Tính tự nhiên tôpô của định lý noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

Trần Thị Kim Liên: Tính tự nhiên tơpơ định lý Noguchi dãy ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức – Tốn giải tích MỤC LỤC Mở đầu…………….…………………………………………………… Chương : Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ chỉnh hình…………………………………… …………… 1.2 Đa tạp phức………………………………………………………… 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức………………… 1.4 Không gian phức hyperbolic ………… …………………………… Chương : Tính tự nhiên tơpơ định lí Noguchi dãy ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức 2.1 Mở đầu…………………….……………………………………… 19 2.2 Tổng quát tôpô kết Kiernan, Kobayashi, Kwack Noguchi không gian phức……………………………………… 20 2.3 Một số đặc trƣng tính chất  ứng dụng……………………… 32 Kết luận……………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Vào đầu năm 70, S.Kobayashi đƣa lý thuyết không gian phƣ́c hyperbolic và trở thành một nhƣ̃ng hƣớng nghiên cƣ́u quan trọng giải tích phức Trong nhƣ̃ng năm gần , lý thuyết thu hút quan tâm nghiên cƣ́u của nhiều nhà toán học thế giới Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức với kết quan trọng gắn liền với tên tuổi các nhà toán học nhƣ Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi Tƣ̀ việc khái quát hóa đị nh lý Picard lớn để đƣợc k ết K3 – đị nh lý (đị nh lý Kiernan , Kobayashi, Kwack), tiếp sau định lý thác triển hội tụ Noguchi Sau kết quả của Noguchi , tƣ̀ năm 1994 đến năm 2000, J.Joseph M.Kwack đã chƣ́ng tỏ đƣợc tất cả các kết quả đều có thể chứng minh mở rộng đƣợc bằng phƣơng pháp túy tôpô Tƣ̀ đó đã đƣa một số đặc trƣng của tí nh nhúng hyperbolic của các không gian phƣ́c Các nghiên cƣ́u này đã góp phần thúc đẩy sƣ̣ phát triển của lý thuyết các không gian phƣ́c hyperbolic và mở nhƣ̃ng hƣớng nghiên cƣ́u mới Trong luận văn này, chúng đặt vấn đề tì m hiểu các kết quả của J.Joseph M Kwack theo các hƣớng đã nêu Luận văn gồm có hai chƣơng Chƣơng 1, chúng tơi trình bày vấn đề giải tích phức nhiều biến giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chƣơng sau Bao gờm đị nh nghĩa số khái niệm đa tạp phức , không gian phƣ́c hyperbolic và tí nh nhúng hyperbolic không gian phức Tiếp theo l kết Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi về thác triển ánh xạ chỉnh hì nh giƣ̃a khơng gian phức Chƣơng nội dung luận văn Trong chƣơng chúng tơi trình bày số đặc trƣng của tí nh chất , chứng minh và tổng quát các kết quả của Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các kết trình bày chƣơng đã đƣợc J Joseph M Kwack trình bày  4 Tuy nhiên luận văn chúng đã cố gắng trì nh bày một cách tƣơng đối chi tiết các chứng minh của các đị nh lý và trì nh bày các vấn đề theo cách hiểu Ngồi chúng tơi còn chứng minh đƣợc số ví dụ mà J Joseph M Kwack đã đƣa nhằm làm rõ các vấn đề đƣợc trì nh bày luận văn Luận văn đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Việt Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy , Cô giảng dạy cho em kiến thức khoa học suốt trình học tập trƣờng Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, ngƣời thân bạn bè động viên giúp đỡ suốt q trình khố học và hoàn thành ḷn văn này Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập mở  n f : X   hàm tùy ý (1) Hàm f đƣợc gọi khả vi phức x0  X tồn ánh xạ tuyến tính  :  n   cho : lim h 0 f ( x0  h)  f ( x0 )   (h) 0 h h  (h1, h2 , , hn )  n h  h1  h2   hn 2 (2) Hàm f gọi chỉnh hình x0  X f khả vi phức lân cận x0 đƣợc gọi chỉnh hình X f chỉnh hình mọi điểm thuộc X (3) Cho X tập mở  n Khi ánh xạ f : X   m có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng f  ( f1, f , , f m ) fi   i  f : X   ; f đƣợc gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với mọi i  1,2, , m 1.1.2 Định nghĩa Cho X tập mở  n , hàm f : X  f ( X )   n song chỉnh hình f song ánh chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 1.2.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Hausdorff (1) Cặp U ,  đƣợc gọi đồ địa phƣơng X U Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập mở X,  : U   n điều kiện sau đƣợc thỏa mãn : (i)  (U ) tập mở  n (ii)  : U   (U ) đồng phôi (2) Họ A  U i ,i iI đồ địa phƣơng X đƣợc gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau đƣợc thỏa mãn: (i) U i iI phủ mở X (ii) Với mọi U i ,U j mà Ui  U j   ánh xạ  j  i1 : i U i  U j    j U i  U j  ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas A1, A2 đƣợc gọi tƣơng đƣơng hợp A1  A2 atlas Đây quan hệ tƣơng đƣơng tập atlas Mỗi lớp tƣơng đƣơng xác định cấu trúc khả vi phức X, X với cấu trúc khả vi phức đƣợc gọi đa tạp phức n chiều 1.2.1.2 Ví dụ (1) Giả sử D miền  n , D đa tạp phức n chiều với đồ địa phƣơng  D, Id  D (2) Đa tạp xạ ảnh Pn ( )   Xét U i   z0 : z1 : : zn   P n ( ) zi  với i  0,1,2, , n Rõ ràng U i i 1 phủ mở Pn ( ) n Xét đồng phôi i : Ui  C n  z0 z z z  , , i 1 , i 1 , , n  zi zi zi   zi  z0 : z1 : : zn    Ta có : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  zk z  j  j  i1 :  z0 , , zi 1 , zi 1 , zn     ,  kk 0,j n zi  ánh xạ chỉnh hình.Vậy Pn ( ) đa tạp phức n chiều 1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức (1) Cho M,N hai đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M  N gọi chỉnh hình M với mọi đồ địa phƣơng U ,  M đồ địa phƣơng V ,  N cho f (U )  V ánh xạ   f   1 :  (U )  (V ) chỉnh hình Ta ký hiệu H ( M , N ) tập ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức M đến đa tạp phức N (2) Cho M,N hai đa tạp phức f : M  N song ánh Nếu f , f 1 ánh xạ chỉnh hình f đƣợc gọi ánh xạ song chỉnh hình M N 1.2.3 Định nghĩa (1) Cho M đa tạp phức, khơng gian phức đóng X tập đóng M mà mặt địa phƣơng có thể xác định khơng điểm số hữu hạn hàm chỉnh hình, nghĩa với x0  X tồn lân cận mở V x0 M số hữu hạn hàm chỉnh hình 1,2 , ,n V cho X  V tập điểm x  X thỏa mãn : 1 ( x)  2 ( x)   n ( x)  (2) Cho M đa tạp phức, không gian phức đóng A M đƣợc gọi divisor M mặt địa phƣơng khơng điểm hàm chỉnh hình, nghĩa với x  A có lân cận V x M cho A  V tập khơng điểm hàm f chỉnh hình V Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi dim M  m divisor A đƣợc gọi có giao chuẩn tắc mặt địa phƣơng : M  A  ( D* )r  Ds , với r + s = m, D đĩa đơn vị  1.3 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.3.1 Khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị Giả sử D   z   , z  1 đĩa đơn vị mở  a b  ba Xét ánh xạ D : D  D    xác định  D (a, b)  ln ; a, b  D a b 1  ba 1 Ta có  D khoảng cách D gọi khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị 1.3.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.3.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X H ( D, X ) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian phức X đƣợc trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0  x, p1, , pk  y X, dãy điểm a1, a2 , , ak D dãy ánh xạ f1, f , , f k H ( D, X ) thỏa mãn fi (0)  pi 1, fi (ai )  pi , i  1,2, , k Ta gọi dây chuyền chỉnh hình  nối x với y tập hợp :    p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk  thỏa mãn điều kiện n Ta đặt : L    D (0; ) định nghĩa d X ( x, y)  inf L i 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn infimum lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình  nối x với y Dễ thấy d X thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách, tức : i ) d X ( x, y )  0, x, y  X ii ) d X ( x, y )  d X ( y, x), x, y  X iii ) d X ( x, z )  d X ( x, y )  d X ( y, z ), x, y, z  X Nói cách khác d X giả khoảng cách X Giả khoảng cách d X đƣợc gọi giả khoảng cách Kobayashi khơng gian phức X 1.3.2.2 Tính chất Ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất sau d X : i) d D   D d (( zi ),( w j )) Dn  max  ( zi , w j ) với mọi ( zi ),( w j )  Dn j 1, n ii) Nếu f : X  Y ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức X,Y d X ( p, q)  dY ( f ( p), f (q)), p, q  X Từ suy rằng f : X  Y song chỉnh hình d X ( p, q)  dY ( f ( p), f (q)), p, q  X iii) Đối với không gian phức X tùy ý, hàm khoảng cách d X liên tục X  X iv) Nếu X,Y không gian phức với mọi x1, x2  X ; y1, y2 Y ta có max d X ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 )  d X Y (( x1, y1),( x2 , y2 )) 1.4 Không gian phức hyperbolic 1.4.1 Không gian phức hyperbolic 1.4.1.1 Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi không gian hyperbolic giả khoảng cách Kobayashi d X khoảng cách X, nghĩa là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn d X ( p, q)   p  q , p, q  X 1.4.1.2 Ví dụ (a) D hyperbolic d D   D mà  D khoảng cách D nên d D khoảng cách D (b)  n không hyperbolic Thật vậy, giả sử d cách Kobayashi  n , ta rằng d n n giả khoảng  d n không khoảng cách  n Với x, y  n p  D ( p  0) , xét ánh xạ : f :D n z x yx z p Khi f ánh xạ chỉnh hình, f (0)  x f ( p )  y Do f làm giảm khoảng cách đối với d D d nên ta có: n d D (0; p )  d d Cho p dần tới ta có d n n n ( f (0); f ( p )) ( x, y )   D (0; p ) ( x, y )  Vậy  n không đa tạp hyperbolic 1.4.1.3 Tính chất i) Nếu X,Y khơng gian phức, X  Y khơng gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic ii) Giả sử X không gian phức, Y không gian hyperbolic f : X  Y ánh xạ chỉnh hình đơn ánh X khơng gian hyperbolic Đặc biệt, X không gian phức khơng gian hyperbolic Y X hyperbolic Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Với mọi x, x '  X , x  x ' ta có : d X ( x, x ')  dY  f ( x), f ( x ')  Mặt khác f đơn ánh nên f ( x)  f ( x ') Y không gian hyperbolic nên ta có : dY  f ( x), f ( x ')    d X ( x, x ')   X không gian hyperbolic iii) Định lý Barth (xem 8 ) Giả sử X không gian phức liên thông Nếu X hyperbolic d X sinh tơ pơ tự nhiên X 1.4.1.4 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood) Giả sử  : X  Y ánh xạ chỉnh hình không gian phức Giả sử Y hyperbolic với điểm y  Y có lân cận U y cho  1 (U ) hyperbolic X hyperbolic 1.4.2 Khơng gian phức hyperbolic đầy 1.4.2.1 Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi hyperbolic đầy X hyperbolic mọi dãy Cauchy với khoảng cách d X hội tụ 1.4.2.2 Mệnh đề Giả sử X không gian hyperbolic liên thơng Khi X hyperbolic đầy với x  X r  hình cầu đóng B( x, r ) compact 1.4.2.3 Mệnh đề (a) Các đĩa đa đĩa hyperbolic đầy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong định lý mệnh đề dƣới đây, ta xây dựng số điều kiện cần đủ khác cho tồn thác triển liên tục từ tập trù mật để đƣa đặc trƣng tính chất  Trong định lý mệnh đề X Y không giả thiết k - không gian 2.3.2 Định lý Cho X0 tập trù mật không gian X, Y không gian quy f : X  Y hàm Các phát biểu tương đương : (1) Hàm f thác triển thành hàm liên tục f : X  Y (2) Với x  X ,   ( x ) f (V  X )  K tập có phần tử với K  Y f (V  X )  K   với V   ( x) (3) Hàm f thỏa mãn hai điều kiện sau : (a) f 1 ( K )  f 1 ( M )   K M tập đóng rời Y (b)   ( x ) f (V  X )   với x  X Chứng minh (1)  (2) : Với mỗi x  X ta có :  f ( x)    ( x)   f (V )   f (V  X )   f (V )  f ( x) (*)  ( x)  ( x) Thật ta cần chứng minh f (V )  f (V  X ) với mọi V   ( x) Giả sử y  f (V ) với mọi W   ( y) có x V U   ( x ) cho y  f ( x ) f (U )  W  x0 U Do V  U  X    x0 V  U  X    x0 V  X  f ( x0 ) W   W  f V  X    với mọi W   ( y) f ( x )  f V  X    0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn  y  f V  X   f (V )  f V  X    Từ (*) ta có   ( x ) f (V  X )  f ( x) Vậy với x  X   ( x ) f (V  X ) tập có phần tử Ngoài ra, K  Y f (V  X )  K   với mọi V   ( x) , ta chứng minh tập   ( x ) f (V  X )  K tập có phần tử Thật vậy, f (V  X )  K   nên y  f (V  X )  K  y  f (V  X )  với mọi V   ( x) y  K   y    ( x ) f (V  X )  y  f (V  X )  với mọi V   ( x)    y  K  y  K    ( x ) f (V  X )  K   Mặt khác   ( x ) f (V  X ) tập có phần tử nên   ( x ) f (V  X )  K tập có phần tử Vậy (1)  (2) (2)  (3) : Giả sử f 1 ( K )  f 1 ( M )   với K M tập đóng rời Y  x  f 1 ( K )  f 1 ( M ) Vì x  f 1 ( K )  f (V  X )  K   , V   ( x)    ( x ) f (V  X )  K tập có phần tử Tƣơng tự ta có :   ( x ) f (V  X )  M tập có phần tử Kết hợp với   ( x ) f (V  X ) tập có phần tử ta có K  M   , điều mâu thuẫn với giả thiết Do (2)  (3) (3)  (1) : Trƣớc tiên ta chứng minh rằng   ( x ) f (V  X ) tập có phần tử với x  X Giả sử y, z    ( x ) f (V  X ) y  z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lấy W,H theo thứ tự lân cận đóng rời y, z Khi x  f 1 (W )  f 1 ( H ) , mâu thuẫn điều kiện (3a) Vậy   ( x ) f (V  X ) tập có phần tử với x  X Giả sử  y    ( x) f (V  X ) , ta định nghĩa f ( x)  y Nhƣ x  X f ( x)    ( x ) f (V  X ) nên f ( x)  f ( x) Bây ta giả sử x  X ,W   ( f ( x)) W1 ,W2   ( f ( x)) thỏa mãn W1  W2  W2  W , theo (3a) ta có  x  f 1 (W )  1  x  f (Y  W2 ) Từ tồn V   ( x) thỏa mãn V  X  f 1 (Y  W2 )    f (V  X )  W2 f (V )   zV  Q (z ) f (Q  X )  f (V  X ) W2 W  f (V )  W Vậy f liên tục (1) đƣợc chứng minh 2.3.3 Mệnh đề (xem  2 ) Cho X0 không gian trù mật không gian X, Y khơng gian quy cho f  C ( X ,Y ) Khi f có thác triển liên tục f  C ( X , Y )  f (V  X ) : V   ( x) hội tụ với x  X 2.3.4 Mệnh đề (xem 9 ) Cho X0 tập trù mật không gian X, Y không gian compact f : X  Y hàm Các phát biểu tương đương : (1) Hàm f thác triển thành hàm f  C ( X , Y ) (2) Với x  X ,   ( x ) f (V  X ) tập có điểm (3) Nếu K M tập đóng rời Y : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn f 1 ( K )  f 1 ( M )    ta đƣa thêm một số đị nh nghĩ a và Bây giờ để khái quát tí nh chất khái niệm cần thiết 2.3.5 Đị nh nghĩ a (xem  4 ) Cho  A  lƣới tập không gian tôpô X Ta gọi (1) Một giới hạn  A       A , ký hiệu lim  A hay đơn giản limA khơng có nhầm lẫn (2) Ta nói rằng x  X điểm tụ mạnh đối với  A  với V   ( x) có  cho A  V (3) Nếu  f  lƣới hàm từ không gian X tới không gian Y, X  X x  X ta có lƣới  f (V  X )x Chúng ta sử dụng    ( x) nhƣ tập thứ tự quan hệ : ( ,V )  (  ,W )     W  V 2.3.6 Đị nh lý Cho X0 tập trù mật không gian X cho   F ( X ,Y ) Các phát biểu tương đương : (1)  thỏa mãn tính chất   X , X ,Y    (2) Với lưới  f   có lưới f   f  thỏa mãn lim f1 ( K )  lim f1 ( M )   với cặp tập rời K,M Y mà K compact M đóng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3) Với lưới  f   có lưới  f   f  thỏa mãn   với cặp tập rời K,M Y mà K compact M đóng, tồn lân cận W K thỏa mãn lim f1 (W )  lim f1 ( M )   (4) Với lưới  f   có lưới  f   f   thỏa mãn  với tập đóng M Y y  Y  M , tồn lân cận W   ( y) thỏa mãn lim f1 (W )  lim f1 ( M )     K  Y compact ,  f (V  X ) (5) Với lưới x  X  f   có lưới f   f  cho với  có điểm tụ x mạnh Y f  (V  X )  Y  K (6) Với x  X lưới  f (V  X )x  f   , tồn lưới có điểm tụ mạnh Y , với tập compact K  Y , f (V  X )  Y  K (7) Nếu  f  lưới  có lưới  f   f    cho với x  X tập compact K  Y , y  K  lim f  (V  X ) điểm tụ mạnh f   (V  X ) x   (8) Nếu  f  lưới  có lưới f   f  cho với x  X tập compact K  Y , y  K  lim f  (V  X ) điểm tụ mạnh f   (V  X ) x Chứng minh Hiển nhiên (3)  (4), (5)  (6) (7)  (8) ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 http://www.lrc-tnu.edu.vn (1)  (2) : Giả sử  f  lƣới  K,M tập rời Y K compact M đóng Từ hệ 2.2.5 định lý 2.2.6, f  C ( X , Y  ) tồn với  có lƣới f    f  cho f   g  C ( X , Y  ) Giả sử x  lim f1 ( K )  lim f1 ( M )  f  ( x)  g ( x) tính liên tục đồng C  X , Y  ,   tính compact K Y nên ta có g ( x)  K  M Y   g ( x)  K  M , mâu thuẫn với giả thiết K M  (2)  (3): Do K , M  Y , K  M   K compact, M đóng nên có lân cận compact W thỏa mãn W  M   , từ ta có điều phải chứng minh (4)  (1) : Giả sử có x  X , y  Y ( f , x , v ) lƣới  X  X cho :  x  x v  x    f ( x )  y  f (x )  y    để đến đƣợc mâu thuẫn ta chọn H   ( y) , tồn lƣới ( f , x , v ) gọi ( f , x , v ) thỏa mãn  f ( x )  y với    f ( x )  Y  H   Khi W   ( y) f  lƣới  f  ta có : x  lim f1 (W  H )  lim f1 (Y  H )  lim f1 (W )  lim f1 (Y  H ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều mâu thuẫn với (4) Vậy (1) đúng (1)  (5) : Giả sử K  Y compact mãn f (V  X )  K   (nghĩa  f  lƣới  thỏa f (V  X )  Y  K ) với mọi cặp ( ,V )    ( x) Theo hệ 2.2.5 định lý 2.2.6 thi có lƣới  f  thỏa mãn f   f   g  C ( X , Y  ) Khi g ( x)  K Lấy W   ( g ( x)) nằm Y tính liên tục đồng C  X , Y ,   nên ta có f  (V )  W f  (V  X )  W (1)  (7) : Nếu  f  lƣới  theo hệ 2.2.5 định lý  f   f  thỏa mãn 2.2.6 ta có lƣới   f  C ( X ,Y  ) với  f   g  C ( X , Y  ) Nếu x X,K Y compact  y  K  lim f  (V  X )  y  g ( x)  Y điểm tụ mạnh đối với f  (V  X ) x (6) (8)  (1) : Cho x  X , y  Y , W lân cận compact y cho ( f , x , v ) lƣới  X  X cho x  x, v  x , f (v ) Y  W với  f ( x )  y  y W  lim f (V  X ) f (V  X )  W   Do (6) (8) tồn lƣới  f (V  X )x f   (V  X ) cho f  (V  X )  W Điều mâu thuẫn v  x f (v ) Y  W với  Định lý đƣợc chứng minh 2.3.7 Hệ quả Cho Y tập compact, X  X trù mật cho   F ( X ,Y ) Các phát biểu tương đương : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn (1)  thỏa mãn tính chất   X , X ,Y  (2) Với lưới  f   có lưới  f   f  cho với   x  X , Y  lim f  (V  X ) tập hợp có phần tử (3) Với lưới f   (V  X )  f   có lưới  f   f  cho   có điểm tụ mạnh Y với x  X x (4) Với lưới  f   có lưới  f   f  cho   lim f1 ( K )  lim f1 ( M )   với cặp tập đóng rời K M Y (5) Nếu lưới  f   có lưới  f   f  cho   y, z  Y ; y  z tồn tập mở W   ( y), H   ( z) thỏa mãn lim f1 (W )  lim f1 ( H )   (6) Nếu x  X ; y, z  Y ( f , x , v ) lưới  X  X cho x  x, v  x , f (v )  y f (v )  z y = z (7)  thỏa mãn : (a) Mỗi f   thác triển thành f  C ( X , Y )   (b) f : f  compact tương đối C ( X , Y ) Chứng minh (1)  (2)  (3) : Do mệnh đề tƣơng đƣơng (1), (5) (6) định lý 2.3.6 tính compact Y (1)  (4) : Do tƣơng đƣơng (1) (4) định lý 2.3.6 (4)  (5)  (6) : Hiển nhiên (6)  (7)  (1) : Hiển nhiên từ định lý 2.2.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ đƣợc chứng minh Nếu X  D X  D* , M đa tạp phức, X = M X  M  A với A divisor có giao chuẩn tắc M, x  X ta có sở tập mở  ( x ) thỏa mãn V  X liên thông với V   ( x) Định lý đặc trƣng khác tính chất  2.3.8 Định lý Cho X  X trù mật giả sử x  X có sở  ( x ) tập mở thỏa mãn V  X liên thông với V   ( x) ,   F ( X , Y ) Các phát biểu tương đương: (1)  thỏa mãn tính chất   X , X ,Y  (2) Với x  X ; y, z  Y ( f , x , v ) lưới  X  X cho x  x, v  x , f (v )  y f (v )  z , ta có y = z (3) Với lưới f   (V  X )  f   có lưới  f   f  cho   có điểm tụ mạnh Y với x  X x   (4) Với lưới  f   , có lưới f   f  cho lim f1 ( K )  lim f1 ( M )   với cặp tập hợp compact rời K M Y (5) Với lưới y, z  Y ; y  z  f   , có lưới tồn  f   f  cho  W   ( y), H   ( z)  thỏa lim f1 ( K )  lim f1 ( H )   Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn mãn Ta cần chứng minh (4)  (1) (2)  (1) Giả sử (1) khơng đúng Khi có thể giả thiết ( f , x , v ) lƣới  X  X , x  X ; y  Y , f ( x )  y , x  x , W , H   ( y) thỏa mãn W  H , H compact , f ( x ) W f (v )  Y  H với    Với lƣới f   f  ta có x  lim f1 (W )  lim f1 (H ) W , H biểu diễn tƣơng ứng biên W H Từ có lƣới ( f , x , q )  X  X q  W cho x  x, q  x , f ( x )  y, f (q )  q, q  y nên (4) (2) không xảy Vậy (4)  (1) (2)  (1) Định lý đƣợc chứng minh Trong 2.2.9 ta chỉ đƣợc rằng không gian phƣ́c hyperbolic không gian phƣ́c X nhúng Y  H ( M  A, X ) thỏa mãn tính chất  đối với  M  A, M ,Y  , với M đa tạp phức A divisor M có giao chuẩn tắc Sƣ̉ dụng k ết áp dụng hệ 2.3.7 2.3.8 ta nhận đƣợc đặc trƣng tính nhúng hyperbolic không gian sau: 2.3.9 Hệ Với X không gian phức không gian phức Y ta có phát biểu sau tương đương: (1) X nhúng hyperbolic Y (2) Với dãy  fn H ( D* , X ) , có dãy  f   f  thỏa nk n mãn lim f nk ( K1 )  lim f nk ( K )   với cặp tập rời K1 , K Y mà K1 compact K2 đóng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn (3)Với dãy  fn H ( D* , X ) có dãy  f   f  n nk cho với cặp tập rời K1 , K Y mà K1 compact K2 đóng, tồn lân cận W K1 thỏa mãn lim f nk (W )  lim f nk ( K )    f   f  K  Y compact,  f (V  X ) có điểm tụ  fn (4) Với dãy cho, với x  D H ( D* , X ) , có dãy n nk nk x mạnh Y f nk (V  X )  Y  K (5) Với x  D dãy f nk  (V  D* ) x  fn H ( D* , X ) tồn lưới có điểm tụ mạnh Y , với tập compact K Y, f n (V  D* )  Y  K (6) Nếu  fn dãy H ( D* , X ) , có dãy  f   f  nk n cho, với x  D K compact Y, y  K  lim f nk (V  D* )   điểm tụ mạnh với f nk (V  D* ) x   (7) Với dãy  f n  H ( D* , X ) , có dãy f nk  f n  cho lim f nk ( K1 )  lim f nk ( K )   với cặp tập compact rời K1, K2  Y   (8) Với dãy  f n  H ( D* , X ) có dãy f nk  f n  cho y, z  Y ; y  z tồn W   ( y), H   ( z) thỏa mãn lim f nk (W )  lim f nk ( H )   2.3.10 Hệ Với X không gian phức khơng gian phức Y ta có phát biểu sau tương đương: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn (1) X nhúng hyperbolic Y (2) Với dãy  fn  H ( D* , X ) , có lưới  fm  fn  cho lim f m (V  D* ) tập điểm với x  D (3) Với dãy    fn H ( D* , X ) có lưới  fm  fn  cho f m (V  D* ) có điểm tụ mạnh Y với x  D x (4) Với dãy  fn  H ( D* , X ) , có dãy  f   f  n nk cho lim f nk ( K1 )  lim f nk ( K )   với cặp tập hợp đóng rời K1, K2  Y (5) Nếu mãn  fn dãy H ( D* , X ) , có dãy  f   f  thỏa nk y, z  Y ; y  z , tồn W   ( y), H   ( z) n thỏa mãn lim f nk (W )  lim f nk ( H )   Nhận xét Trong hệ quả 2.3.9 2.3.10 , D* có thể thay M  A với M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc M Các lƣới tƣơng đƣơng (4) (5) hệ 2.3.9 tƣơng đƣơng (2) (3) hệ 2.3.10 có thể lấy dãy Các kết sau định lí dạng Định lí Ascoli: 2.3.11 Định lý Cho Y khơng gian quy (khơng thiết k - không gian)   C ( X , Y ) thỏa mãn  ( x ) compact tương đối Y với x  X Các phát biểu sau tương đương : (1)  liên tục đồng   (2 ) Với lưới  f   , có lưới f   f  , cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn lim f1 ( K )  lim f1 ( M )   với cặp tập hợp đóng rời K, M Y  f  (3) Với lưới   với x  X , f  (V )  , có lưới  f   f  , cho   có điểm tụ mạnh Y x Chứng minh (1)  (2) : Lập luận tƣơng tự chứng minh (1)  (2) định lý 2.3.6 (2)  (3) : Giả sử f ( x)  y , cho W   ( y), H   ( z) cho   H  W , x  lim f1 ( H ) với lƣới f   f    Với lƣới f   f  từ giả thiết (2), ta có x  lim f1 (Y  W ) Từ f  (V )  W (3)  (1) : Giả sử x  X , y  Y , lƣới ( f , x )  X W   ( y) thỏa mãn x  x, , f ( x ) Y  W với mọi  f ( x)  y Khi khơng có lƣới  f   f  để  f     (V ) có điểm tụ mạnh Mâu thuẫn suy định lý đƣợc chứng minh 2.3.12 Hệ Cho Y khơng gian quy (không thiết k - không gian) Khi   C ( X , Y ) compact tương đối  ( x ) compact tương đối Y với x  X  thỏa mãn điều kiện (2) điều kiện (3) định lý 2.3.11 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng đã tì m h iểu các kết quả của J Joseph M.Kwack việc chứng minh K3 – đị nh lý và đị nh lý thác triển hợi tụ của Noguchi bằng phƣơng pháp hồn tồn dựa vào tính chất tơpơ khơng gian hàm Cụ thể kết sau : Tởng qt hóa kết Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi về thác triển ánh xạ chỉnh hình giƣ̃a các khơng gian phƣ́c bằng cách đƣa đị nh nghĩ a và thiết lập tí nh chất đặc trƣng của tí nh chất  (đị nh lý 2.2.4, 2.2.6, 2.2.10; mệnh đề 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9) đƣa các chứng minh chi tiết và các ví dụ minh họa (ví dụ 2.2.11, 2.2.12, 2.2.13) Khái qt hóa tính chất  (đị nh lý 2.3.6, 2.3.8; hệ quả 2.3.7) đƣa tính chất đặc trƣng tính hyperbolic v tính nhúng hyperbolic không gian phƣ́c (hệ quả 2.3.9, 2.3.10) Chúng chứng minh lại sƣ̣ mở rộng cho tí nh hyperbolic và tí nh nhúng hyperbolic không gian phức Cuối chúng nhắc lại định lý dạng định lý Ascoli Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 N Bourbaki and J Dieudonné (1939), Note de Tératopologie II, Rev Questions Sci 77, 180 – 181 2 J Dugundji (1996), Topology, Allyn and Bacon, Boston 3 J E Joseph and M H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and space of continuous extensions of holomorphic maps, J Geometric Analysis, v.4, 361 – 378  4 J E Joseph and M H Kwack (1995), The topological nature of two Noguchi theorems on sequences of holomorphic mappings between complex spaces Canadian J Math 47 no 6, 1240 – 1252 5 M Kwack (1969), Generalization of the big Picard theorem, Ann Math 90, – 22  6 P Kiernan (1973), Hyperbolically inbedded spaces and the big Picard theorem, Math Ann 204, 203 – 209  7 S Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Space, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 318  8 S Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Space, Springer Verlag 9 A D Taĭmanov (1952), On the extension of continuous mappings of topogical space, (Russian) Mat Sb 31, 459 – 462 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... với dãy  zn,  M  A thỏa mãn zn,  z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG TÍNH TỰ NHIÊN TƠPƠ CỦA ĐỊNH LÝ NOGUCHI VỀ DÃY CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA...  kk 0,j n zi  ánh xạ chỉnh hình. Vậy Pn ( ) đa tạp phức n chiều 1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức (1) Cho M,N hai đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M  N gọi chỉnh hình M với mọi đồ... Định lý Kiernan Giả sử X không gian phức, compact tương đối không gian phức Y Khi X nhúng hyperbolic Y H ( D, X ) compact tương đối H ( D, Y ) 1.4.4 Các định lý thác triển chỉnh hình không gian