Tổng quát hóa bổ đề schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN N BÌNH TỔNG QT HĨA BỔ ĐỀ SCHWARZ CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN YÊN BÌNH TỔNG QUÁT HÓA BỔ ĐỀ SCHWARZ CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN PHỨC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Huệ Minh Thái Nguyên - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả luận văn Nguyễn n Bình Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii Mục lục Mở đầu iii Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức 1.1.4 Không gian tiếp xúc phân thớ tiếp xúc đa tạp phức Hàm độ dài 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Khoảng cách sinh hàm độ dài Tơpơ compact mở compact hóa điểm 1.3.1 Tôpô compact mở 1.3.2 Compact hóa điểm Không gian phức 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Điểm quy điểm kỳ dị 10 1.4.3 Định lý Ascoli họ liên tục đồng 10 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 11 1.5.1 Định nghĩa 11 1.5.2 Tính chất 12 Không gian phức hyperbolic 13 1.6.1 13 Định nghĩa Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.7 1.8 1.6.2 Tính chất 13 1.6.3 Không gian phức nhúng hyperbolic 14 Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức 15 1.7.1 Định nghĩa 15 1.7.2 Tính chất 15 1.7.3 Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình không gian phức 17 Không gian taut 17 1.8.1 Không gian phức taut 17 1.8.2 Tính chất 18 1.8.3 Không gian phức nhúng taut 19 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 2.1 20 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức taut 20 2.1.1 Tổng quát hóa định lý Cartan-Carathéodory 21 2.1.2 Sự hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chỉnh hình f khơng gian phức taut 2.2 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hyperbolic 2.3 23 29 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 2.3.1 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 2.3.2 32 32 Sự hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 34 Kết luận 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu Việc tổng quát hóa lớp Bổ đề Schwarz nghiên cứu Cartan-Carathéodory qua kết sau: Định lý: Cho X mặt Riemann hyperbolic f ánh xạ chỉnh hình từ X vào X , có điểm bất động p Khi iq ⑤f ✶ ♣pq⑤ ↕ iiq f ✶ ♣pq ✏ f ✏ id iiiq ⑤f ✶ ♣pq⑤ ✏ f tự đẳng cấu Sau Abate r3s chứng minh thêm kết hội tụ dãy ánh xạ lặp tf n ✉ ánh xạ chỉnh hình f , là: ivq ⑤f ✶ ♣pq⑤ ➔ dãy ánh xạ lặp tf n ✉ f hội tụ p với f n định nghĩa f ✏ f f n ✏ f ✆ f n✁1 với n → Định lý Abate [3] tổng qt hóa cho ánh xạ chỉnh hình không gian phức taut Kobayashi [10], Kaup [9] mở rộng (các khẳng định i), ii), iii) với điều kiện yếu hơn) cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hyperbolic Năm 2000, J E Joseph M H Kwack [6] đưa hai tính chất cho họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, từ mở rộng kết cho ánh xạ chuẩn tắc khơng gian phức Mục đích luận văn nghiên cứu, học tập hệ thống lại kết nêu Nội dung luận văn trình bày thành hai chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Nội dung chương trình bày số kiến thức Giải tích phức hyperbolic Đồng thời trình bày số khái niệm tính chất họ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Những kiến thức sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương II: Tổng quát hóa Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Chương gồm hai nội dung Thứ trình bày kết mở rộng Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức taut, khơng gian phức hyperbolic kết mở rộng Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Thứ hai trình bày kết hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ chuẩn tắc) không gian phức taut (không gian phức) Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, trước hết tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Huệ Minh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn tới thầy Khoa Tốn, trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt q trình học tập, làm hồn thành luận văn Luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 21 tháng 08 năm 2013 Học viên Nguyễn n Bình Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô Hausdorff   Cặp ♣U, ϕq gọi đồ địa phương X , U tập mở X ϕ : U Ñ Cn ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i) ϕ♣U q tập mở Cn Ñ ϕ♣U q đồng phôi   Họ A ✏ t♣Ui, ϕiq✉i€I đồ địa phương X gọi ii) ϕ : U tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn i) tUi ✉i€I phủ mở X ii) Với Ui , Uj mà Ui ❳ Uj ✘ ❍, ánh xạ ϕj ✆ ϕ✁ i : ϕi ♣Ui ❳ Uj q Ñ ϕj ♣Ui ❳ Uj q ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas A1 , A2 gọi tương đương hợp A1 ❨ A2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ X , X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều 1.1.2 Ví dụ + Giả sử D miền Cn Khi đó, D đa tạp phức n chiều t♣D, IdD q✉ + Đa tạp xạ ảnh Pn ♣Cq Xét Ui ✏ trz0 : z1 : : zn s € Pn ♣Cq⑤zi ✘ 0✉ với i ✏ 0, 1, , n Rõ ràng tUi ✉ni✏1 phủ mở Pn ♣Cq Xét đồng phôi ϕi : Ui Ñ Cn rz0 : z1 : : zns ÞÑ ♣ zz0 , , zzi✁1 , zzi 1 , , zzn q với đồ địa phương i i i i Ta có ϕj ✆ ϕ✁ i : ♣z0 , , zi✁1 , zi 1 , , zn q ÞĐ ♣ Rõ ràng ϕj zk qk✘j ; k zj ✏ 0, , m; zi ✏ ✆ ϕ✁i ánh xạ chỉnh hình Vậy Pn♣Cq đa tạp phức n chiều gọi đa tạp xạ ảnh n chiều 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức Đ N gọi chỉnh hình M với đồ địa phương ♣U, ϕq M đồ địa phương ♣V, ψ q N cho f ♣U q ⑨ V ánh xạ ψ ✆ f ✆ ϕ✁1 : ϕ♣U q Đ ψ ♣V q ánh xạ chỉnh hình Hay nói cách khác, với x € M, y € N , tồn hai đồ địa phương ♣U, ϕq ♣V, ψ q x y tương ứng cho ψ ✆ f ✆ ϕ✁1 : ϕ♣U q Ñ ψ ♣V q ánh xạ chỉnh hình Giả sử f : M Đ N song ánh đa tạp phức Nếu f f ✁1 Giả sử M, N đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M ánh xạ chỉnh hình f gọi ánh xạ song chỉnh hình M N Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.4 Khơng gian tiếp xúc phân thớ tiếp xúc đa tạp phức Giả sử M đa tạp phức m chiều ∆ đĩa đơn vị C Giả sử ♣U, φ, ∆m q đồ địa phương quanh x; tức là, U lân cận Ñ ∆m ánh xạ song chỉnh hình Đặt φ ✏ ♣z1, , zmq Khi ♣z , , z m q hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x Đặt z α ✏ xα   iy α , xα y α giá trị thực Khi ♣x1, , xm, y1, , ymq hệ tọa độ địa phương thực quanh x, M x φ : U xem đa tạp khả vi thực 2m chiều Giả sử Tx M không gian tiếp xúc M x Khi Tx M khơng gian vectơ thực 2m chiều, t♣ ❇❇x1 qx, , ♣ ❇x❇m qx, ♣ ❇❇y1 qx, , ♣ ❇y❇m qx✉ (1.1) sở Tx M Ký hiệu Tx M ❜R C phức hóa Tx M Khi (1.1) sở không gian vectơ phức Tx M ❜R C Đặt ❇ ✏ ♣ ❇ ✁ i ❇ q, ↕ j ↕ m ❇zj ❇xj ❇yj Ta kí hiệu Tx M ✏t ➳ m j ✏1 ξj ♣ ❇ q ; ξ j € C✉ ❇zj x Khi Tx M khơng gian tuyến tính phức m chiều Tx M ❜R C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương ♣z1, , zmq Ta gọi TxM không gian tiếp xúc đa tạp phức M x Đặt TM ✏ Tx M (hợp rời) ↕ x€M Ta định nghĩa phép chiếu π : T M Ñ M điều kiện π♣TxM q ✏ x Khi T M có cấu trúc đa tạp phức 2m chiều cho π ánh xạ chỉnh hình Cụ thể hơn, giả sử ♣z , , z m q hệ tọa độ chỉnh hình địa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 26 ✆ γ ✏ γ ✶ ρ♣X q f ✏ γ ✶ ✆ γ ✁1 ρ♣X q Nhận xét 2.6 Khi dãy tf k ✉ không phân kỳ compact, ta gọi đa tạp Do f M định lý đa tạp giới hạn ánh xạ f , số chiều M gọi số bội giới hạn f co rút chỉnh hình ρ định lý gọi co rút giới hạn f Nếu f có điểm bất động số bội giới hạn tính sau: Mệnh đề 2.7 r3s Cho X không gian phức taut, f € H ♣X, X q cho f ♣pq ✏ p, p điểm không kỳ dị X Khi khơng gian tiếp xúc p đa tạp giới hạn f không gian unita Đặc biệt, số bội giới hạn f số giá trị riêng dfp chứa ❇ ∆ kể bội Ñ M co rút giới hạn f , rõ ràng p € M Cố định dãy tf k ✉ hội tụ tới ρ, ta có: ♣dfpqk ÝĐ dρp Chứng minh Lấy ρ : X ν ν Đặt ✏ LN ❵ LU Theo định lý 2.2, dρp ⑤L ✏ dρp ⑤L ✏ id Do sp♣dfp ⑤L q ⑨ ❇ ∆ Từ ta có LU ✏ Tp M Tp X N U U Từ định lý 2.5, ta có hệ sau: Hệ 2.8 r3s Cho X không gian phức taut không chứa không € H ♣X, X q cho f ♣X q ➈ X Khi f có điểm bất động không kỳ dị x0 € X dãy gian phức compact có chiều dương f ánh xạ lặp f hội tụ tới x0 Chứng minh Vì f ♣X q ➈ X , dãy ánh xạ lặp tf k ✉ f compact tương đối H ♣X, X q Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 Lập luận chứng minh định lý trên, ta tìm dãy tf k ✉ hội tụ tới co rút chỉnh hình ρ : X Vì ρ♣X q Đ X ⑨ f ♣X q ñ ρ♣X q không gian phức liên thông compact X Theo giả thiết, ρ♣X q điểm x0 € X Vì f ✆ ρ ✏ ρ ✆ f ñ x0 điểm bất động f Lập luận định lý, x0 điểm giới hạn tf k ✉, k Ñ✽ tức tf k ✉ ÝÝÝÑ x0 Định lý sau mối quan hệ hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chỉnh hình f không gian phức taut với tập giá trị riêng df Định lý 2.9 r3s Cho X khơng gian phức taut, f Khi dãy ánh xạ lặp tf k ✉ f € H ♣X, X q hội tụ H ♣X, X q tới ánh xạ co chỉnh hình ρ f có điểm bất động không kỳ dị p € X cho sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉ Chứng minh Giả sử dãy ánh xạ lặp tf k ✉ hội tụ H ♣X, X q tới Đ M Ta có: f ✆ ρ♣z q ✏ lim f ♣f k ♣z qq ✏ lim f k 1 ♣z q ✏ ρ♣z q k Ñ✽ k Ñ✽ Suy f ⑤M ✏ idM Lấy p € M Vì dρp ✏ lim ♣dfp qk nên λ giá trị riêng k Ñ✽ dfp dãy tλk ✉ lũy thừa λ hội tụ tới phần tử sp♣dρp q ⑨ t0; 1✉ Suy λ € ∆ ❨ t1✉ Ngược lại, giả sử f có điểm bất động p € X cho sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉; đặc biệt tf k ✉ compact tương đối H ♣X, X q Lấy ρ : X Ñ M giới hạn f Do M taut, lập luận chứng minh Định lý 2.2 -iv), đặt Tp X ✏ LN ❵ LU Theo Mệnh đề 2.7, LU ✏ Tp M Mặt khác, theo giả thiết dfp ⑤L ✏ id nên ♣dfp qk Ñ dρp k Ñ ✽ ánh xạ co chỉnh hình ρ : X U Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 Đặc biệt, p điểm bất động ánh xạ giới giạn h tf k ✉ ✏ dρp Áp dụng Định lý 2.2 -iii), ta có h⑤M ✏ idM Theo Định lý 2.5, h ✏ ρ Nói cách khác, ρ ánh xạ giới hạn tf k ✉, tf k ✉ compact tương đối H ♣X, X q nên tf k ✉ Ñ dhp ρ Định lý 2.10 r3s Cho X không gian phức hyperbolic compact € H ♣X, X q Tồn số nguyên dương m cho f m co rút chỉnh hình Đặc biệt, dãy ánh xạ lặp tf k ✉ hội tụ f : X Ñ X co rút chỉnh hình f Chứng minh Lấy ρ ánh xạ co rút chỉnh định lý 2.5 Ta có f ⑤ρ♣X q tự đẳng cấu ρ♣X q Đặc biệt f k ♣X q ⑩ ρ♣X q, ❅k Do dãy giảm không gian phức hyperbolic compact X ⑩ f ♣X q ⑩ f 2♣X q ⑩ phải dừng, tồn số nguyên k0 cho f k 1 ♣X q ✏ f k ♣X q, ❅k ➙ k0 Vì ρ ánh xạ giới hạn dãy tf k ✉, ta có f k ♣X q ✏ ρ♣X q, ❅k ➙ k0 Theo định lý 2.5, Aut♣ρ♣X qq hữu hạn Do tồn số nguyên m ➙ k0 cho ♣f ⑤ρ♣X q qm ✏ idρ♣X q Vì f m ♣z q € ρ♣X q, ❅z € X nên ta có f 2m ♣z q ✏ f m ♣f m ♣z qq ✏ f m ♣z q, ❅z € X Suy f m co rút X vào ρ♣X q Định nghĩa 2.11 Cho f : X Ñ X ánh xạ chỉnh hình Điểm bất động p € X f gọi điểm bất động hút sp♣dfp q ⑨ ∆ Ta có định lý sau: Định lý 2.12 r3s Cho X không gian phức taut, f € H ♣X, X q Khi dãy ánh xạ lặp tf k ✉ hội tụ tới điểm không kỳ dị p € X p điểm bất động hút f Chứng minh Giả sử p điểm bất động hút f Theo Mệnh đề 2.7, giới hạn bội f 0, tf k ✉ hội tụ tới p Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 Ngược lại, dãy tf k ✉ hội tụ tới p € X , p đa tạp giới hạn f Áp dụng Mệnh đề 2.7, ta có sp♣dfp q ⑨ ∆ nên p điểm bất động hút f 2.2 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hyperbolic Định lý 2.13 r10s Cho X không gian phức hyperbolic p điểm bất động không kỳ dị X Cho f : X chỉnh hình thỏa mãn f ♣pq Ñ X ánh xạ ✏ p, dfp : TpX Ñ TpX vi phân f p Khi iq Các giá trị riêng dfp có giá trị tuyệt đối nhỏ 1; iiq Nếu dfp phép biến đổi đồng Tp X f phép biến đổi đồng X iiiq Nếu ⑤det♣dfp q⑤ ✏ f ánh xạ song chỉnh hình → đủ nhỏ thỏa mãn hình cầu mở U ♣p, rq ✏ tx € X; dX ♣p, xq ➔ r✉ có bao đóng compact B ✏ U ♣p, rq Cho D tập ánh xạ giảm khoảng cách f từ B vào dX ⑤B Chứng minh Ta lấy r Theo Định lý Ascoli ta có D compact i) Cho f € H ♣X, X q với f ♣pq ✏ p, cho λ giá trị riêng dfp Với số nguyên dương k, ánh xạ lặp f k hạn chế B thuộc D vi phân ♣dfp qk có giá trị riêng λk Vì D compact, ta phải có ⑤λ⑤ ↕ ii) Để đơn giản, ta kí hiệu dm fp cho tất đạo hàm riêng cấp m p Ta muốn dfp phép biến đổi đồng Tp X , dm fp ✏ với m ➙ Cho m số dương bé ➙ thỏa mãn dmfp ✘ Khi dm♣f k qp ✏ k.dmfp với số nguyên dương k Vì k tiến tới vô nên dm ♣f k qp tiến tới vơ cùng, mâu thuẫn tính compact D Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 iii) Giả sử ⑤det♣dfp q⑤ ✏ Từ i) kéo theo tất giá trị riêng dfp có giá trị tuyệt đối Ta chứng minh dfp chéo hóa Thật vậy, giả sử dfp khơng chéo hóa được, dạng chuẩn Jordan dfp phải gồm khối dạng sau: ☎λ ✝✝0 ✝✝ ✆ λ ☞ ✍✍ ✍✍ ✌ 0 λ với ⑤λ⑤ ✏ Do vậy, ♣dfp qk có dạng chuẩn Jordan gồm khối dạng ☎λ ✝✝ ✝✝ ✆ kλk✁1 ✝ k λ kλk✁1 k ✝ ✝ λk ☞ ✍✍ ✍✍ ✌ Điều mâu thuẫn với tính compact D kλk✁1 tiến tới vơ k tới vô Bây giờ, ta chứng minh idX giới hạn dãy ánh xạ lặp f f ánh xạ song chỉnh hình Trước tiên ta chứng minh có dãy tf ki ✉ tf k ✉ hội tụ tới phép biến đổi đồng idX Vì dfp ma trận đường chéo có phần tử chéo có giá trị tuyệt đối 1, nên có dãy t♣df qkp ✉ i t♣dfpqk ✉ hội tụ đến ma trận đơn vị Vì D compact, cách lấy dãy cần thiết, ta giả sử tf k ✉ hội tụ tới ánh xạ hU ♣p,rq từ U ♣p, rq vào Vi phân hU ♣p,rq p, với limd♣f k qp , phép biến đổi đồng Tp X Theo ii), hU ♣p,rq phải phép biến đổi đồng U ♣p, rq i i Cho W tập mở lớn X mà tồn dãy tf k ✉ hội tụ phép biến đổi đồng W Khơng tính tổng qt, ta giả sử tf k ✉ hội tụ phép biến đổi đồng i i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 W Vì U ♣p, rq ⑨W ✘ X lấy x € ❇ W chọn s đủ nhỏ thỏa mãn U ♣x, sq ✏ ty € X : dX ♣x, y q ➔ s✉ có bao đóng compact Vì limf k ♣xq ✏ x f giảm khoảng cách nên có lân cận Ux x thỏa mãn f k ♣Ux q ⑨ U ♣x, sq với i ➙ ip Cho F tập tất ánh xạ giảm khoảng cách từ Ux vào U ♣x; sq Ta có F compact Ta trích dãy từ tf k ✉ hội tụ Ux Vì hội tụ đến phép biến đổi đồng W ❨ Ux nên phải hội tụ nên W khác rỗng Nếu W i i i phép biến đổi đồng Ux Vì điều mâu thuẫn với tính lớn ✏ X , khẳng định chứng minh Ta giả sử tf k ✉ hội tụ idX Bây ta xét dãy t♣f qk ✁1 ✉ có dãy hội tụ W , ta phải có W i i ánh xạ ngược f Lập luận tương tự trên, việc lấy dãy cần thiết, ta giả sử t♣f qk ✁1✉ hội tụ tới i ánh xạ chỉnh hình gU ♣p,rq từ U ♣p, rq vào Cho V tập mở lớn X với tính chất có dãy t♣f qk ✁1✉ hội tụ phép biến đổi chỉnh hình gV i V Sự tồn tập V chứng minh tương tự tồn W phía Từ tính lớn V , ta lại thu V ✏ X với lập luận Bằng cách lấy dãy ta giả sử t♣f qk ✁1✉ hội tụ tới ánh xạ chỉnh hình g từ X vào i Khi ✆ g ✏ f ✆ ♣lim♣f qk ✁1q ✏ limf k ✏ idX Tương tự, g ✆ f ✏ idX Do đó, f ánh xạ song chỉnh hình g f i i ánh xạ ngược f Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 2.3 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc khơng gian phức 2.3.1 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Mệnh đề 2.14 r6s Cho X, Y không gian phức H hàm nửa độ dài X cho f ✝ H ↕ K∆ với H ♣∆, X q Với ⑨ H ♣X, Y q, ta có phát biểu sau tương đương: iq F chuẩn tắc iiq F ✆ H ♣∆, X q tập liên tục đồng H ♣∆, Y q iiiq Có hàm độ dài E Y thỏa mãn ⑤df ⑤H,E ↕ với f € F F Chứng minh i) suy ii): Áp dụng định lý Ascoli ta có điều phải chứng minh ii) suy iii): Giả sử F ✆ H ♣∆, X q tập liên tục đồng H ♣∆, Y q Ta chứng minh với hàm độ dài E Y tập compact Q ⑨ Y , tồn c → cho ⑤df ⑤H,E f € F ↕ c f ✁1♣Qq với Giả sử Q ⑨ Y compact không thỏa mãn điều điện phát biểu cho hàm độ dài E , chọn dãy tpn ✉, tfn ✉, tvn ✉ q € Q cho pn € X, fn € F , € Tp ♣X q, fn ♣pn q € Q, H ♣vn q ✏ 1, fn ♣pn q Ñ q E ♣dfn ♣vn qq → n Khi E ♣dfn ♣vn qq Ñ ✽ dãy tφn ✉ H ♣∆, X q thỏa mãn φn ♣0q ✏ pn ⑤♣dfn ✆ φn q0 ⑤ Ñ ✽ n Gọi V lân cận compact Q mà nhúng hyperbolic Y Từ giả thiết ii), ta chọn 0➔ r ➔1 cho fn ✆φn ♣∆r q ⑨ V , ∆r ✏ tz € ∆ : ⑤z ⑤ ➔ r✉, tập ♣fn ✆ φn q⑤∆r compact tương đối H ♣∆r , Y q, điều mâu thuẫn với ⑤♣dfn ✆ φn q♣0q⑤ Ñ ✽ Chọn dãy tVn ✉, tcn ✉ cho tập Vn tập mở compact ✽ tương đối Y , Vn ⑨ Vn 1 , ❨ Vn ✏ Y, cn → ⑤df ⑤H,E ➔ cn f ✁1 ♣Vn q với f € n✏ F Chọn hàm liên tục µ Y cho Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 µcn ↕ V n ③Vn✁1 Khi hàm L ✏ µE hàm độ dài Y ⑤df ⑤H,L ↕ với f € F iii) suy i): Vì có hàm độ dài E Y cho ⑤df ⑤H,E ↕ với f € F nên phần tử F ✆ H ♣∆, X q giảm khoảng cách ứng với d∆ dE Bằng cách lập luận [7]- Mệnh đề 1.6, ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.15 r6s Cho X, Y không gian phức Nếu F ⑨ H ♣X, Y q chuẩn tắc đều, F compact tương đối C ♣X, Y ✝ q Chứng minh Cho p €X cho U lân cận hyperbolic p Theo mệnh đề 2.14, có hàm khoảng cách U Y mà chúng, f €F ánh xạ giảm khoảng cách, hạn chế F lên U compact tương đối C ♣U, Y ✝ q Mệnh đề 2.16 r6s Cho X không gian phức không gian phức Y cho f € H ♣X, Y q ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn f ♣X q ⑨ X Khi tập hợp ánh xạ lặp f họ chuẩn tắc H ♣X, Y q compact tương đối C ♣X, Y ✝ q Chứng minh Họ F ánh xạ lặp f chuẩn tắc F ✆ H ♣∆, X q ⑨ f ✆ H ♣∆, X q, f ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn f ♣X q ⑨ X Theo Mệnh đề 2.15, F compact tương đối C ♣X, Y ✝ q Cho X không gian phức không gian phức Y f € H ♣X, Y q thỏa mãn f ♣X q ⑨ X Ký hiệu F tập ánh xạ lặp ánh xạ f F ✶ tập giới hạn dãy tf n ✉ C ♣X, Y ✝ q Thế F ✏ F ❨ F ✶ tập compact C ♣X, Y ✝ q f ánh xạ chuẩn tắc Từ mệnh đề trên, cách lập luận tương tự chứng minh định lý 2.2, ta có kết sau xem tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 Định lý 2.17 r6s Cho X không gian phức không € H ♣X, Y q f ♣pq ✏ p gọi gian phức Y , p điểm không kỳ dị X Giả sử f ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn f ♣X q ⑨ X dfp : Tp ♣X q Ñ Tp ♣X q vi phân f p Khi đó: iq Các giá trị riêng dfp có giá trị tuyệt đối nhỏ 1; iiq Nếu dfp phép biến đổi đồng Tp ♣X q, f phép biến đổi đồng X iiiq Nếu ⑤det♣dfp q⑤ ✏ f ánh xạ song chỉnh hình X Theo nhận xét [7]: ánh xạ đồng X chuẩn tắc X nhúng hyperbolic Y Ta có hệ sau: Hệ 2.18 r6s Cho X không gian phức không gian phức Y X nhúng hyperbolic Y tồn € H ♣X, Y q cho f ♣X q ⑨ X với p điểm không kỳ dị X f ♣pq ✏ p ⑤det♣dfp q⑤ ✏ ánh xạ chuẩn tắc f 2.3.2 Sự hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Cho X không gian phức, U tập mở X Ta nói ánh xạ ρ € H ♣U, X q co rút chỉnh hình U ρ2 ✏ ρ U Ta có ảnh ρ♣U q co rút chỉnh hình ρ U khơng gian đóng địa phương X , tức với p € U , tồn lân cận W p X cho U ❳ W đóng W p € ρ♣U q điểm không kỳ dị U , p điểm khơng kỳ dị ρ♣ U q Ta xét hai bổ đề sau: Bổ đề 2.19 r6s Cho X không gian phức không gian phức Y Cho f € H ♣X, Y q ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn f ♣X q ⑨ X Giả sử tồn tập mở khác rỗng U X thỏa mãn α♣U q ⑨ X với α € F ✶ Ta có khẳng định sau: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 iq Tồn ánh xạ ρ € F ✶ thỏa mãn ρ2 ✏ ρ U α € F ✶ có dạng α ✏ γ ✆ ρ U với γ ✏ α⑤U0 tự đẳng cấu không gian phức U0 ✏ ρ♣U q iiq h♣U q ✏ U0 với h € F ✶ iiiq Hạn chế f lên U0 , f ⑤U0 , tự đẳng cấu U0 € F ✶ giả sử f n Đ α Ta giả thiết mk ✏ nk 1 ✁ nk Ñ ✽, pk ✏ mk ✁ nk Ñ ✽, f m Ñ ρ € C ♣X, Y ✝ q f p Ñ β € C ♣X, Y ✝ q Vì limf m ♣f n ♣xqq ✏ limf n   ♣xq ✏ α♣xq, ta có U , ρ ✆ α ✏ α ✆ ρ ✏ α Vì limf p ♣f n ♣xqq ✏ limf m ♣xq ✏ ρ♣xq, β ✆ α ✏ α ✆ β ✏ ρ U , nên ρ2 ✏ β ✆ α ✆ ρ ✏ β ✆ α ✏ ρ U Mặt khác, từ β ✆ α ✏ α ✆ β ✏ ρ, ta kết luận α tự đẳng cấu ρ♣U q ✏ U0 Đặt γ ✏ α⑤U α ✏ γ ✆ ρ U0 Chứng minh Cho α k k k k k k k k k Chứng minh ii) iii) hoàn toàn tương tự chứng minh định lý 2.5 cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức taut Bổ đề 2.20 r6s Cho X không gian phức không € H ♣X, Y q ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn f ♣X q ⑨ X Nếu dãy ánh xạ lặp tf n ✉ f hội tụ tới ánh xạ ρ € C ♣X, Y ✝ q, ρ2 ✏ ρ điểm khơng kỳ dị p € ρ♣X q ❳ X , ta có sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉ Ngược lại, f có điểm bất động khơng kỳ dị p cho sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉, dãy tf n ✉ hội tụ tập mở khác rỗng U X tới ánh xạ co rút chỉnh hình ρ U số chiều ρ♣U q gian phức Y cho f số bội giá trị riêng dfp ✏ tρ✉ từ Bổ đề 2.19 ta có ρ co rút chỉnh hình lân cận điểm p € ρ✁1 ♣X q ρ co rút chỉnh hình ρ✁1 ♣X q Vì ρ♣X q ❳ X ⑨ Fix♣f q (là tập điểm bất động ánh xạ f ) Nếu p € Fix♣f q điểm không kỳ dị λ Chứng minh Nếu F ✶ giá trị riêng dfp , λk hội tụ đến giá trị riêng dρp là Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 Lấy W lân cận p Ta chứng minh tồn lân cận U p cho α♣U q ⑨ W với α € F ✶ Giả sử ngược lại tồn dãy tf nk ✉ tzk ✉ thỏa mãn zk Ñ p f nk ♣zk q ❘ W Điều mâu thuẫn với tính compact tương đối F C ♣X, Y ✝ q Gọi ánh xạ co rút ρ € F ✶ ánh xạ giới hạn dãy tf n ✉ U α € F ✶ Bằng cách lập luận tương tự Abate áp dụng Định lý 2.17, Bổ đề 2.19, α ánh xạ đồng ρ♣X q ❳ U , α ✆ ρ ✏ ρ U Do α ✏ α ✆ ρ U nên α ✏ ρ thành phần liên thông ρ✁1 ♣X q chứa p Định lý sau hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chuẩn tắc không gian phức X , suy trực tiếp từ Bổ đề 2.20 sử dụng nguyên lý đồng Định lý 2.21 r6s Cho X không gian phức không H ♣X, Y q ánh xạ chuẩn tắc thỏa mãn f ♣X q ⑨ X Nếu dãy tf n ✉ hội tụ hội tụ ánh xạ chỉnh hình ρ thỏa mãn ρ2 ✏ ρ điểm bất động khơng kỳ dị p f , ta có sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉ Đảo lại, f có điểm bất động khơng kỳ dị p thỏa mãn sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉ F ✶ ⑨ H ♣X, Y q tf n ✉ hội tụ gian phức Y f € Hệ sau Định lý 2.9 ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức nhúng taut Hệ 2.22 r6s Cho X không gian phức nhúng taut € H ♣X, X q Khi dãy ánh xạ lặp tf k ✉ f hội tụ H ♣X, Y q tới ánh xạ co chỉnh hình ρ € H ♣X, Y q tồn điểm bất động không kỳ dị p € X cho sp♣dfp q ⑨ ∆ ❨ t1✉ Chứng minh Ta cần chứng minh F ✶ ⑨ H ♣X, Y q Giả sử ngược lại, F ✶ ❶ H ♣X, Y q giả sử limf n ♣z0 q ✏ ✽ € Y ✝ , với z0 € X nk ✁ nk✁1 Ñ ✽ Ta định nghĩa dãy ánh xạ không gian phức Y f k Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 tφk ✉ ⑨ H ♣∆, X q φk ♣zq ✏ f n   ✁n ♣z0q Vì tf n ✆ φk ✉ compact tương đối H ♣X, Y q nên ta có mâu thuẫn k k k Hoàn toàn tương tự 2.1.2, kết sau mở rộng Định lý 2.12 Hệ 2.8 cho trường hợp ánh xạ chuẩn tắc không gian phức X Định lý 2.23 r6s Cho f ánh xạ chuẩn tắc không gian phức X p € X điểm không kỳ dị X Khi đó, dãy ánh xạ lặp tf n ✉ f hội tụ tới p p điểm bất động hút f Chứng minh - Điều kiện đủ hiển nhiên - Điều kiện cần: Giả sử p điểm bất động hút f Khi co rút chỉnh hình ρ dãy tf n ✉ xác định lân cận U p ánh xạ theo Bổ đề 2.20, số chiều không gian ảnh ρ♣U q Do X liên thông đường nên ta có điều phải chứng minh Định lý 2.24 r6s Cho X không gian phức không chứa không gian phức compact với số chiều dương Nếu f € H ♣X, X q ánh xạ chuẩn tắc với ảnh compact tương đối f có điểm bất động p dãy ánh xạ lặp hội tụ p Chứng minh Theo Bổ đề 2.19, tồn co rút chỉnh hình ρ € F ✶ Vì ρ♣X q không gian compact, dựa vào Bổ đề 2.20, ta có điều phải chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Với mục đích học tập, nghiên cứu, trình bày, hệ thống lại mở rộng Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình, luận văn đạt kết sau: Trình bày tổng qt hóa Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức taut hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức taut (Định lý 2.2, Định lý 2.5, Định lý 2.9, Định lý 2.10, Định lý 2.12) Trình bày tổng quát hóa Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hyperbolic (Định lý 2.13) Trình bày tổng qt hóa Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chuẩn tắc không gian phức (Định lý 2.17, Định lý 2.21, Định lý 2.23, Định lý 2.24) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 Tài liệu tham khảo [1] P V Đức (2005), "Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic", NXB Đại học sư phạm Hà Nội [2] Đ Đ Thái (2002), "Cơ sở lý thuyết hàm hình học", NXB Đại học sư phạm Hà Nội [3] M Abate (1989), "Iteration theory of holomorphic maps on taut manifolds", Mediterranean Press, Rende, Cosenza [4] W K Hayman (1995), "Uniformly normal families", in: Lectures on functions of a complex variable (ed Kaplan), Univ of Mich Press, pp 199-212 [5] M Hervé (1963), "Several complex variables, local theory", Oxford Univ Press, London [6] J E Joseph M H Kwack (2000), "A generalization of the Schwarz lemma to normal selfmaps of complex spaces", J Austral Math Soc (Series A) 68, 10-18 [7] J E Joseph M H Kwack (1997), "Extension and convergence theorems for families of normal maps in several complex variables", Proc Amer Math Soc 125, 1675-1684 [8] J E Joseph M H Kwack (1966), "Some clasical theorems and families of normal maps in several complex variables", Complex Variables 29, 343-378 [9] W Kaup (1967), "Reelle Transformationsgruppen und invariante Metriken auf komplexen Răaumen", Invent Math 3, 43-70 Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 [10] S Kobayashi (1998), "Hyperbolic complex spaces", Springer, New York [11] H Wu (1967), "Normal families of holomorphic mappings", Acta Math 119, 193-233 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 2.3.1 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 2.3.2 32 32 Sự hội tụ dãy ánh xạ. .. hyperbolic tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức, đồng thời trình bày điều kiện cần đủ cho hội tụ dãy ánh xạ lặp ánh xạ chuẩn tắc 2.1 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chỉnh hình... Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 2.3 Bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức 2.3.1 Tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Mệnh đề 2.14