Ánh xạ chuẩn tắc và tính hyperbolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– DƢƠNG THỊ ÁNH TUYẾT ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀ TÍNH HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––– DƢƠNG THỊ ÁNH TUYẾT ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀ TÍNH HYPERBOLIC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Luận văn nghiên cứu độc lập hướng dẫn PGS.TS Phạm Việt Đức, tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Dƣơng Thị Ánh Tuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii MỤC LỤC Lời cam đoan .i Mục lục ii Lời nói đầu Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm độ dài 1.2 Họ liên tục đồng 1.3 Metric vi phân Roden-Kobayashi 1.4 Phủ chỉnh hình 1.5 Không gian phân thớ 1.6 Giả khoảng cách Kobayashi 1.7 Không gian phức hyperbolic 1.8 Một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic không gian phức 10 Chƣơng Ánh xạ chuẩn tắc tính hyperbolic 20 2.1 Ánh xạ chuẩn tắc 20 2.2 Ánh xạ chuẩn tắc tính hyperbolic 25 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Vào đầu năm 70, S Kobayashi đưa lí thuyết khơng gian phức hyperbolic trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lí thuyết thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Với kết S Kobayashi, Zaidenberg, Kwack nhiều ứng dụng họ chuẩn tắc sử dụng để nghiên cứu tính hyperbolic khơng gian phức Đặc biệt vào năm 90 kỉ trước, loạt cơng trình Joseph M Kwack sử dụng công cụ túy tô pô họ chuẩn tắc để chứng minh mở rộng kết quan trọng giải tích hyperbolic Mục đích luận văn trình bày chi tiết kết năm 2003 hai tác giả ánh xạ chuẩn tắc ứng dụng vào nghiên cứu tính hyperbolic khơng gian phức Bố cục luận văn chia làm hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức hyperbolic Đồng thời trình bày số kết Eastwood, Kobayashi, Eastman tiêu chuẩn cho tính hyperbolic thơng qua ánh xạ chỉnh hình Chương Ánh xạ chuẩn tắc tính hyperbolic Đây nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày ánh xạ chuẩn tắc số tính chất Phần mở rộng, khái quát kết Eastwood, Kobayashi, Eastman, Zaidenberg Abate lấy ánh xạ chuẩn tắc để nghiên cứu tính hyperbolic khơng gian phức Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Việt Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người bảo giúp đỡ em nhiều trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, trường THPT Trần Phú, gia đình bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm độ dài [1] Hàm nửa độ dài không gian phức X hàm nửa liên tục trên, không âm H nón tiếp xúc T( X) cho : H(av) = a H(v) , với £ , v, av Ỵ T( X) Một hàm độ dài hàm nửa độ dài mà liên tục H(v) > với mi v 0, v ẻ T( X) Ta kí hiệu dH khoảng cách sinh X H Khi b dH ( x, y) = inf ò H ( g '(t ))dt , g a g : [a ,b ]® X đường cong lớp C1 nối x y Khoảng cách dH sinh tôpô X Nếu H, E hàm độ dài khơng gian phức X, Y f Ỵ H( X,Y) Khi chuẩn df H ,E ứng với hàm độ dài H, E định nghĩa df H ,E = df = sup{df p : p Î X}, df p H ,E = df p = sup{E(df p (v)) : v Ỵ T( X) p , H(v) = 1} 1.2 Họ liên tục đồng [1] Giả sử F họ ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y Họ F gọi liên tục đồng từ x Ỵ X tới y Ỵ Y với Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn lân cận U điểm y tìm lân cận V x lân cận W điểm y cho f ( x) Ỵ W f ( V) Ð U với f Ỵ F Nếu F liên tục đồng với x Ỵ X y Ỵ Y F gọi liên tục đồng từ X đến Y 1.3 Metric vi phân Royden-Kobayashi [1] Giả sử X khơng gian phức, D = {z Ỵ £ : z < 1} đĩa đơn vị %x X gồm véc tơ mở £ Gọi x điểm X Nón tiếp xúc T có dạng f* (u) , u Ỵ TD f Ỵ H( D, X) % Khi K X : T X ® ¡ định nghĩa : x % K X (v) = inf { u , u ẻ TD f* (u) = v}, v Î T X, x u độ dài véc tơ tiếp xúc u đo metric Poincaré dsD2 = 4dzdz 2 (1- z ) , " z Ỵ D đĩa đơn vị D infimum lấy với f Ỵ H( D, X) u Ỵ TD cho f* (u) = v Nếu x điểm quy, với v Î Tx X tồn véc tơ u Î TD cho f* (u) = v , K X (v) < ¥ Nếu x điểm kì dị khơng tồn u ta đặt K X (v) = ¥ % X ® ¡ xác định metric vi phân Ta gọi Ánh xạ K X : T x K X metric vi phân Royden-Kobayashi không gian phức X 1.4 Phủ chỉnh hình [1] Ánh xạ chỉnh hình p : X ' ® X gọi phủ chỉnh hình với x Ỵ X , có lân cận mở U chứa x mà p - 1(U ) hợp rời rạc tập mở Ua Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn X ' (tức p - (U ) = UU a , Ua tập mở X ' Ua Ç Ub = Ỉ I a , b Ỵ I ,a ¹ b ) thỏa mãn p Ua : Ua ® U song chỉnh hình Khi X ' không gian phủ, X gọi đáy phủ với x Ỵ X , p - 1( x) gọi thớ x phủ p 1.5 Không gian phân thớ [1] Ánh xạ liên tục p : E ® X khơng gian Hausdorff gọi phân thớ K -véc tơ bậc r điều kiện sau thỏa mãn i Với p Î X, Ep := p - 1( p) K -không gian véc tơ r chiều ( Ep gọi thớ p ) ; ii Với p Î X tồn lân cận U p Î X đồng phôi h : p - 1(U ) ® U ´ K r tháa m·n h( Ep ) {p}´ K r , h p xác định bi phộp hp thnh hp : Ep ắ hắ đ {p} K r ắ proj ắ đ Kr , l đẳng cấu K -không gian véc tơ (cặp (U, h) gọi tầm thường hóa địa phương) Đối với K -phân thớ véc tơ p : E ® X , E gọi khơng gian tồn thể, X gọi khơng gian đáy, ta thường nói E phân thớ véc tơ X Ta cịn kí hiệu phân thớ véc tơ ( E, p , X) Nếu E, X không gian phức p ánh xạ chỉnh hình, tồn ánh, phép đồng phơi h ánh xạ song chỉnh hình phân thớ véc tơ gọi phân thớ chỉnh hình 1.6 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức [1] Với < r < Ơ ta t Dr = {z ẻ £ : z < r }, Dr gọi đĩa bán kính r Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.6.1 Khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị Xét ánh xạ r D : D´ D ® ¡ + xác định bởi: a- b 1- ba r D (a, b) = ln ; " a, b Ỵ D a- b 11- ba 1+ Ta có r D khoảng cách D gọi khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị 1.6.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.6.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X H( D, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian phức X trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0 = x, p1, , pk = y X , dãy điểm a1, a2 , , ak D dãy ánh xạ f1, f2 , , fk H( D, X) thỏa mãn fi (0) = pi- 1, fi (ai ) = pi , " i = 1,2, , k Ta gọi dây chuyền chỉnh hình g nối x với y tập hợp : g = {p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk } thỏa mãn điều kiện n Ta đặt Lg = å r D (0, ) định nghĩa dX ( x, y) = inf Lg infimum i= lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình g nối x với y Dễ thấy dX thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách, tức là: i dX ( x, y) ³ 0, " x, y Ỵ X ii dX ( x, y) = dX ( y, x), " x, y Î X iii dX ( x, z) £ dX ( x, y) + dX ( y, z), " x, y, z Ỵ X Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Mệnh đề sau chứng minh [7] 2.1.9 Mệnh đề Cho X không gian phức H hàm nửa độ dài X cho f * ( H ) £ K D với f Ỵ H( D, X) Cho Y không gian phức F Ð H( X,Y) Khi phát biểu sau tương đương : (1) F chuẩn tắc (2) F o H( D, X) tập liên tục đồng H( D, Y) (3) Tồn hàm độ dài E Y cho df H ,E £ với f Ỵ F Mệnh đề sau chứng minh Brody (xem [9], hệ 3.6.8) 2.1.10 Mệnh đề Cho Y không gian phức compact không gian phức Z Nếu Y hyperbolic tồn lân cận compact tương đối U Y mà nhúng hyperbolic Z 2.1.11 Định lí Cho f : X ® Z ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức với ảnh compact tương đối Khi phát biểu sau tương đương (1) f chuẩn tắc (2) Gọi F hàm độ dài Z , tồn c> cho ( f o j )* (c2 F ) £ dsD2 ví i " j Ỵ H( D, X) Chứng minh Đặt df o dj = sup F(df (dj (v))) , v= supremum lấy tất véc tơ tiếp xúc đơn vị v Ỵ TD dsD2 (1) Þ (2) Giả sử (2) khơng xảy có dãy {j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN n }Ð H( D, X) cho http://www.lrc.tnu.edu.vn 26 df o dj Khi n > n {f o j n } không compact tương đối H( D, Z) f khơng chuẩn tắc Điều mâu thuẫn với (1) Vậy (2) (2) Þ (1) Xét họ Ff = {f o j ; j Ỵ H( D, X)} Vì f o j ánh xạ giảm khoảng cách từ D đến Z với a Ỵ D tập hợp {f (j (a)); j Ỵ H( D, X)} tập compact tương đối tập f ( X) Vậy nên họ Ff = {f o j ; j Ỵ H( D, X)} compact tương đối H( D, Z) Hay f chuẩn tắc Định lí chứng minh 2.1.12 Hệ Cho f : X ® Z ánh xạ chuẩn tắc, chỉnh hình không gian phức Gọi dZ hàm khoảng cách Z sinh hàm độ dài cF định lí 2.1.11 Khi f giảm khoảng cách dX dZ 2.2 Ánh xạ chuẩn tắc tính hyperbolic Các kết sau tương tự kết định lí 1.8.11, 1.8.15 chương sử dụng ánh xạ chuẩn tắc sau : 2.2.1 Định lí Cho f : X ® Z ánh xạ chuẩn tắc không gian phức với ảnh compact tương đối Khi X hyperbolic tồn phủ mở {Va }của Z cho f - 1(Va ) hyperbolic Chứng minh Gọi dZ hàm khoảng cách định nghĩa hệ 2.1.12 Lấy p Ỵ X f ( p) Ỵ Va Chọn e > cho e -lân cận V( f ( p), e) f ( p) dZ nằm Va Lấy U ( p, e) e -lân cận p dX Theo hệ 2.1.12 ta có : Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 U ( p, e) Ð f - 1(V( f ( p), e)) Ð f - 1( Va ) Vì f - 1( Va ) hyperbolic nên suy U ( p, e) hyperbolic Theo mệnh đề 1.8.7 X hyperbolic Định lí chứng minh Định lí sau chứng minh [9] (xem hệ 5.1.26 trang 250) 2.2.2 Định lí Cho f : X ® Z ánh xạ chuẩn tắc không gian phức với ảnh compact tương đối Khi X hyperbolic đầy f ánh xạ riêng với z Ỵ Z , thành phần liên thông f - ( z) hyperbolic Định lí sau Zaidenberg chứng minh [10] 2.2.3 Định lí Nếu X khơng gian phức, compact tương đối không gian phức Y , X nhúng hyperbolic Y ánh xạ bao hàm i : X ® Y ánh xạ chuẩn tắc Định lí sau mở rộng kết Zaidenberg tính compact tương đối X không cần thiết Đồng thời mở rộng kết Abate [3]: Không gian phức X hyperbolic ánh xạ đồng i : X ® X ánh xạ chuẩn tắc 2.2.4 Định lí Cho X khơng gian phức khơng gian phức Y Khi X nhúng hyperbolic Y hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) Ánh xạ bao hàm i Ỵ H( X,Y) ánh xạ chuẩn tắc (2) Tồn ánh xạ chuẩn tắc f Ỵ H( Z,Y) từ khơng gian phức Z cho f ( Z) Ð X f : Z ® X ánh xạ phủ Chứng minh (1) Theo mệnh đề 2.1.9, ta chọn hàm độ dài E Y cho dE ( f ( p), f (q)) £ dX ( p, q) với p, q Ỵ X Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 (2) Lấy E hàm độ dài Y cho dE ( f (a), f (b)) £ dZ (a, b) với a, b Î Z Với p, q Î X % p Ỵ f - 1( p) ta có: %% dX ( p, q) = inf dZ ( p , q) ³ dE ( p, q) - %Ỵ f q ( q) Định lí chứng minh Định lí sau mở rộng định lí 1.8.10 ánh xạ chuẩn tắc 2.2.5 Định lí Cho f Ỵ H( X,Y) ánh xạ chuẩn tắc không gian phức Khi X hyperbolic điều kiện sau thỏa mãn : (1) Với x, x ' ẻ X, x x ' v f ( x) = f ( x ') , tồn lân cận V f ( x) Y cho x x ' nằm thành phần khác f - 1( V) (2) Với x Ỵ X có lân cận U cho f đồng phôi từ U lên tập mở f (U ) (3) Với y Î Y f - ( y) tập hữu hạn Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.9, ta chọn hàm độ dài E Y cho dE ( f ( p), f (q)) £ dX ( p, q) với p, q Ỵ X Vì dX giả khoảng cách dE khoảng cách nên định lí suy từ kết Kobayashi [9] Các hệ sau mở rộng định lí 1.8.9 kết khác Kobayashi [9] 2.2.6 Hệ Cho p Ỵ H( X, Z) spread không gian phức Nếu p ánh xạ chuẩn tắc X hyperbolic 2.2.7 Hệ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 Cho p Î H( X, Z) ánh xạ phủ khơng gian phức Nếu p chuẩn tắc X hyperbolic Với điểm a không gian tơpơ ta kí hiệu N (a) tập lân cận mở a Định lí sau mở rộng định lí 1.8.10, 1.8.11, 1.8.12 chương định lí 2.2.1 2.2.8 Định lí Cho f Ỵ H( X, Z) ánh xạ chuẩn tắc khơng gian phức X Z Khi X hyperbolic hai điều kiện sau thỏa mãn : (1) Tồn phủ mở {Va } Z cho thành phần liên thông f - 1( Va ) hyperbolic (2) Với z Ỵ Z , thành phần liên thơng f - ( z) compact hyperbolic Chứng minh Lấy {f n } dãy H( D, X) gọi D = D - {a Ỵ D : f n (an ) đ Ơ ẻ XƠ vớ i dÃy an đ a} Nu D = ặ, dóy f n đ Ơ Ta s ch D hai điều kiện (1) (2) thỏa mãn tồn W(a) Ỵ N (a) dãy {f nk W( a) } dãy hạn chế dãy {f } W(a) mà {f n nk W( a) } compact tương đối H(W(a), X) , tức D mở Giả sử D , ta chọn {mn } dãy dãy {f n } cho mn (an ) đ x ẻ X vi mi dóy an ® a Vì f o H( D, X) compact tương đối C( D, Z¥ ) , nên ta giả sử f o mn ® h Î C( D, Z¥ ) Giả sử (1) thỏa mãn, ta có V phần tử phủ mở cho trước, W(a) Ỵ N (a) dãy {f nk W( a ) } dãy hạn chế dãy {f } W(a) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN n http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Ta chọn cho f o f nk (W(a)) Ð V Khi f nk (W'(a)) Ð M , M thành phần liên thơng f - 1( V) thỏa mãn f nk (ak ) ® x Ỵ M Vì M { hyperbolic, nên dãy f nk ta suy {f nk W( a) W( a ) } } compact tương đối C(W(a), M ¥ ) Từ compact tương đối H(W(a), X) với W(a) Ỵ N (a) Giả sử (2) thỏa mãn, lấy A thành phần liên thông f - 1(h(a)) chứa x Theo mệnh đề 2.1.10 ta chọn U lân cận compact tương đối A mà U nhúng hyperbolic X Theo tính chất giả khoảng cách Kobayashi dU xác định tơpơ U , ta chọn lân cận compact tương đối K Ð U ca A cho ả K ầ f - 1(h(a)) = ặ Gi s vi mi W(a) ẻ N (a) liminf f nk (Wa ) Ç ( X - K ) ặ Chn mt dóy {f (1) nk }Ð {f } cho dãy f nk (1) nk (bk ) Ï K với dãy bk ® a Lấy g k đoạn thẳng ak bk Khi ú f nk ( g k ) ầả K ặ Ta chn xnk ẻ f (1) nk ( g k ) ầả K Khi ú mt dãy dãy {x } hội tụ đến nk im x ' ẻ ả K v f ( x ') ¹ f ( x) Chọn lân cận V f ( x) cho f ( x ') Ï V Cuối ta : f o f nk (W'(a)) Ð V với W'(a) Ỵ N (a) vỡ f o f nk đ h ẻ C( D, Z¥ ) Điều mâu thuẫn với lim f ( xnk ) = f ( x ') Suy tồn W(a) Ỵ N (a) cho f nk (Wa ) Ð K dãy {f nk W( a) } hội tụ H(W(a), X) K compact tương đối nhúng hyperbolic X Ta hồn thiện việc chứng minh định lí cách lấy { m= Wa : a Ỵ D , Wa Ỵ N (a),f n Wa } cã mét d·y héi tơ H(Wa , X) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Vì D mở D , nên tồn phủ đếm {Wi }Ð m D Trước tiên chọn dãy {f (1) n } dãy {f n } hội tụ H (W1, X) Sau (1) chọn dãy {f (2) n } dãy {f n } hội tụ H (W2 , X) Cứ tiếp tục vậy, dãy mà ta thu {f (nk ) } dãy dãy {f (nk+ 1) } cho k {f } hội tụ ( k) n H (UWi , X) Dãy đường chéo {f (kk ) } hội tụ đến ánh xạ i= f Ỵ H(D , X) Gi f%ẻ C( D,YƠ ) xỏc nh f%(a) = f (a) với a Ỵ D f%(a) = Ơ nu a ẻ D - D Khi {f (kk ) } hội tụ đến f%, tức H( D, X) compact tương đối C( D, X¥ ) Định lí chứng minh Định lí sau đưa điều kiện cần để không gian phức taut hay hyperbolic compact 2.2.9 Định lí Cho f Ỵ H( X, Z) ánh xạ riêng không gian phức X Z cho f o H( D, X) compact tương đối H( D, Z) È {¥ } ( H( D, Z)) Khi X taut ( hyperbolic compact) hai điều kiện sau thỏa mãn : (1) Tồn phủ mở {Va } Z cho thành phần liên thông f - 1( Va ) hyperbolic (2) Với z Î Z f - ( z) hyperbolic Chứng minh Lấy {f n } dãy H( D, X) D = D - {a Ỵ D : f n (an ) đ Ơ ẻ XƠ vớ i dÃy an đ a} Nu D = ặ thỡ dóy f n đ Ơ v nh lớ c chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Nu D ặ, ta cú th gi s f o f n đ h ẻ H (D, Z) Ta D = D Thật vậy, lấy a Ỵ D L lân cận compact tương đối h(a) Khi tồn W(a) Ỵ N (a) cho f o f n (W(a)) Ð L , từ suy { } cho {f f n (W(a)) Ð f - 1( L) Tồn dãy f nj nj } (a) hội tụ tới điểm x Ỵ f - 1( L) f - ( L) compact Do D Vậy D Ð D , hay D= D Giả sử D , ta chọn {mn } dãy dãy {f n } cho mn (an ) đ x ẻ X với dãy an ® a Vì f o H( D, X) compact tương đối C( D, Z¥ ) , nên ta giả sử f o mn đ h ẻ C( D, ZƠ ) Giả sử (1) thỏa mãn, ta có V phần tử phủ mở cho trước, W(a) Ỵ N (a) dãy {f nk W( a ) } dãy hạn chế dãy {f n } W(a) Ta chọn cho f o f nk (W(a)) Ð V Khi f nk (W'(a)) Ð M , M thành phần liên thông f - 1( V) thỏa mãn f nk (ak ) đ x ẻ M Vỡ M { hyperbolic, nên dãy f nk ta suy {f nk W( a) W( a ) } } compact tương đối C(W(a), M ¥ ) Từ compact tương đối H(W(a), X) với W(a) Ỵ N (a) Giả sử (2) thỏa mãn, lấy A thành phần liên thông f - 1(h(a)) chứa x Theo mệnh đề 2.1.10 ta chọn U lân cận compact tương đối A mà U nhúng hyperbolic X Theo tính chất giả khoảng cách Kobayashi dU xác định tôpô U , ta chọn lân cận compact tương đối K Ð U A cho ¶ K Ç f - 1(h(a)) = Ỉ Giả sử với W(a) Ỵ N (a) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 liminf f nk (Wa ) ầ ( X - K ) ặ Chn mt dãy {f (1) nk }Ð {f } cho dãy f nk (1) nk (bk ) Ï K với dãy bk ® a Lấy g k đoạn thẳng ak bk Khi f nk ( g k ) ầả K ặ Ta chn xnk ẻ f (1) nk ( g k ) ầả K Khi dãy dãy {x } hi t n nk im x ' ẻ ả K f ( x ') ¹ f ( x) Chọn lân cận V f ( x) cho f ( x ') Ï V Cuối ta f o f nk (W'(a)) Ð V với W'(a) ẻ N (a) vỡ f o f nk đ h ẻ C( D, ZƠ ) iu ny mõu thuẫn với lim f ( xnk ) = f ( x ') Suy { tồn W(a) Ỵ N (a) cho f nk (Wa ) Ð K dãy f nk W( a ) } hội tụ H(W(a), X) K compact tương đối nhúng hyperbolic X Ta đặt : { m= Wa : a Ỵ D , Wa Ỵ N (a),f n Wa } cã mét d·y héi tô H(Wa , X) Vì D mở D , nên tồn phủ đếm {Wi }Ð m D Trước tiên chọn dãy {f (1) n } dãy {f n } hội tụ H (W1, X) Sau (1) chọn dãy {f (2) n } dãy {f n } hội tụ H (W2 , X) Cứ tiếp tục vậy, dãy mà ta thu {f (nk ) } dãy dãy {f (nk+ 1) } cho k {f } hội tụ ( k) n H (UWi , X) Dãy đường chéo {f (kk ) } hội tụ đến ánh xạ i= f Ỵ H(D , X) Gi f%ẻ C( D,YƠ ) xỏc nh bi f%(a) = f (a) vi a ẻ D v f%(a) = Ơ a Ỵ D - D Khi {f (kk ) } hội tụ đến f%, tức H( D, X) compact tương đối C( D, X¥ ) Ta X compact f o H( D, X) compact tương đối H( D, Z) Lấy {xn } dãy X f n Ỵ H( D, X) xác định Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 f n ( x) = xn Vì f o f n compact tương đối H( D, Z) nên theo tính chất { } hội tụ tới điểm x Ỵ f ta suy có dãy xnj X Định lí chứng minh Hệ sau tổng quát hóa định lí 1.8.14, 1.8.15 chương 2.2.10 Hệ Cho f Î H( X, Z) ánh xạ riêng từ không gian phức X vào không gian phức Z mà hyperbolic đầy (hoặc taut) Khi X hyperbolic đầy (hoặc taut) hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) Tồn phủ mở {Va } Z cho thành phần liên thông f - 1( Va ) hyperbolic (2) Với z Ỵ Z thành phần liên thơng f - ( z) hyperbolic Chứng minh Ta cần kiểm tra điều kiện cần Lấy {xn } dãy Cauchy giả khoảng cách dX Vì f có tính chất giảm khoảng cách với dX dZ , nên dãy {f ( xn )} dãy Cauchy hội tụ tới điểm p Ỵ Z Gọi K lân cận compact p Ỵ Z Với xn Ỵ f - 1( K ) Vì f - 1( K ) compact mà dãy xn dãy Cauchy nên hội tụ Từ ta có điều phải chứng minh Hệ sau mở rộng định lí 2.2.2 2.2.11 Hệ Cho f Ỵ H( X, Z) ánh xạ riêng chuẩn tắc không gian phức X Z , với ảnh compact tương đối Khi X compact hyperbolic hai điều kiện sau thỏa mãn : Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 (1) Tồn phủ mở {Va } Z cho thành phần liên thông f - 1( Va ) hyperbolic (2) Với z Ỵ Z , thành phần liên thông f - ( z) hyperbolic 2.2.12 Định nghĩa Một không gian phức, compact tương đối X không gian phức Y gọi nhúng taut Y H( D, X) compact tương đối H( D,Y) , tức với dãy {fn }Ð H( D, X) có dãy hội tụ H( D,Y) Định lí sau tương tự định lí 2.2.1 khơng gian phức nhúng hyperbolic nhúng taut 2.2.13 Định lí Cho X không gian phức không gian phức Y f Ỵ H( X, Z) ánh xạ chuẩn tắc từ X vào không gian phức Z với ảnh compact tương đối Khi X nhúng hyperbolic (nhúng taut) Y tồn phủ mở {Va } Z cho f - 1( Va ) nhúng hyperbolic (nhúng taut) Y Chứng minh Lấy {f n } dãy H( D, X) Ð C( D,Y¥ ) Khơng tính tổng quát giả sử f o f n hội tụ đến h Ỵ H( D, Z) Lấy E = D - {a ẻ D : f n (an ) đ Ơ ẻ YƠ vớ i dÃy an đ a} Nu E = ặ thỡ dóy f n đ Ơ Nu E ặ ly a ẻ E v gọi V Ỵ N (h(a)) cho f - ( V) nhúng hyperbolic Y Tồn dãy {f nk } cho f nk (ak ) đ y ẻ Y vi mi dóy an đ a Tồn W'(a) Ỵ N (a) a cho f o f n (W'(a)) Ð V Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 f n (W '(a)) Ð f - (V) Từ suy dãy {f nk W '( a) } compact tương đối C(W'(a),Y¥ ) Vỡ f nk (ak ) đ y ẻ Y , nên ta có dãy {f nk W( a) } compact tương đối H(W(a), Y) với W(a) Ỵ N (a) , tức a Ỵ E dãy dãy {f n W( a ) } hội tụ H(W(a), Y) với W(a) Î N (a) Tiếp theo ta chứng minh H( D, X) compact tương đối C( D,Y¥ ) cách đặt { m= Wa : a Ỵ E, Wa Ỵ N (a),f n Wa } cã mét d·y héi tơ H(Wa , X) Vì E mở D , nên tồn phủ đếm {Wi }Ð m E Trước tiên chọn dãy {f (1) n } dãy {f n } hội tụ H (W1, X) Sau (1) chọn dãy {f (2) n } dãy {f n } hội tụ H (W2 , X) Cứ tiếp tục vậy, dãy mà ta thu {f (nk ) } dãy dãy {f (nk+ 1) } cho k {f } hội tụ ( k) n H (UWi , X) Dãy đường chéo {f (kk ) } hội tụ đến ánh xạ i= f Ỵ H( E, X) Gi f%ẻ C( D,YƠ ) xỏc định f%(a) = f (a) với a Ỵ D v f%(a) = Ơ nu a ẻ D - E Khi {f (kk ) } hội tụ đến f%, tức H( D, X) compact tương đối C( D, Y¥ ) Bây ta ch rng E = D E ặ việc chứng minh X nhúng hyperbolic taut Y lập luận tương tự Hiển nhiên E Ð D Lấy a Ỵ D U Î N (h(a)) cho f - 1(U ) nhúng taut Y Ta chọn W(a) Ỵ N (a) cho Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN f o f n (W(a)) Ð U http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 f n (W(a)) Ð f - 1(U ) Từ suy tồn W(a) Î N (a) cho f n W( a ) có dãy hội tụ H(W(a), Y) Vậy a Ỵ E hay E É D Định lí chứng minh KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu ánh xạ chuẩn tắc tính hyperbolic không gian phức qua ánh xạ chuẩn tắc Luận văn đạt số kết sau : Trình bày cách hệ thống số kiến thức sở giải tích phức hyperbolic : Hàm độ dài, không gian phân thớ, phủ chỉnh hình, giả khoảng cách Kobayashi, khơng gian phức hyperbolic, khơng gian phức nhúng hyperbolic,… Trình bày số kết Eastwood, Kobayashi, Eastman tiêu chuẩn cho tính hyperbolic ánh xạ chỉnh hình Trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ chuẩn tắc Trình bày số kết Zaidenberg, Kobayashi tiêu chuẩn cho tính hyperbolic ánh xạ chuẩn tắc Trình bày số ứng dụng ánh xạ chuẩn tắc vào tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đồng thời mở rộng kết nói Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lí thuyết khơng gian phức hyperbolic Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] Abate M (1989), Iteration theory of holomorphic map on Taut Manifolds, Mediterranae Press, Cosenza [3] Abate M (1993), “A characterization of hyperbolic Manifolds”, Proc Amer Math Soc 177, 789-793 [4] Hayman.W.K (1955), Lectures on functions of a complex valiable, ed by Kaplan, Univ of Mich Press, 199-212 [5] Jarvi P (1988), “An extension theorem for normal function in several Variables”, Proc A.M.S 103, 1171-1174 [6] Joseph J E and Kwack M H (2003), “Normal maps and hyperbolic”, Scientiae Mathematicae Japonicae Online, Vol 9, 245-251 [7] Joseph J E and Kwack.M H (2000), “A generalization of the Schwars lemma to normal selfmaps of complex spaces”, Austral Math Soc (Series A) 68, 10-18 [8] Joseph J E and Kwack M H (1997), “Extension and convergence theorems for families of normal maps in several complex variables”, Proc A.M.S 125, no 6, 1675-1684 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 [9] Kobayashi S (1998), Hyperbolic complex spaces, Springer, New York Verlag, New York [10] Zaidenberg M G (1992), “Shottky-Landau growth estimates for snormal families of holomorphic mappings”, Math Ann 293, 123-141 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... phức hyperbolic 1.8 Một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic không gian phức 10 Chƣơng Ánh xạ chuẩn tắc tính hyperbolic 20 2.1 Ánh xạ chuẩn tắc 20 2.2 Ánh xạ chuẩn tắc. .. tạp phức M Ta nói f ánh xạ chuẩn tắc {f } chuẩn tắc Rõ ràng từ định nghĩa 2.1.1 phần tử họ chuẩn tắc ánh xạ chuẩn tắc Ví dụ sau khẳng định họ ánh xạ chuẩn tắc khơng chuẩn tắc 2.1.2 Ví dụ Định... Trình bày số kết Zaidenberg, Kobayashi tiêu chuẩn cho tính hyperbolic ánh xạ chuẩn tắc Trình bày số ứng dụng ánh xạ chuẩn tắc vào tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đồng thời mở rộng kết nói Số hóa