Dáng điệu tiệm cận của các ánh xạ chuẩn tắc nhiều biến phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THÙY LINH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THÙY LINH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu i MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.3 Không gian phức hyperbolic đầy 1.4 Giả metric vi phân Kobayashi DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15 2.1 Một số khái niệm kết ban đầu 15 2.2 Một số trường hợp đặc biệt 19 2.3 Một số tính chất ánh xạ chuẩn tắc 21 2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào đa tạp phức compact 24 2.5 Một số tính chất mở rộng ánh xạ chuẩn tắc 29 2.6 Dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mở đầu Một họ ánh xạ liên tục hai đa tạp M N gọi chuẩn tắc chứa dãy compact tương đối C(M, N ) phân kỳ compact Việc sử dụng họ chuẩn tắc để nghiên cứu tính hyperbolic đa tạp phức nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu S Kobayashi, S Lang, P.J Kiernan, T.J Barth, P.Gauthier, Nhiều kết đẹp đẽ họ chuẩn tắc chứng minh Bằng việc tổng quát khái niệm cổ điển hàm chuẩn tắc, hàm Bloch, dãy quy dãy P - điểm giải tích phức biến lên trường hợp ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức, K.T Hahn [6] chứng minh mối liên hệ khái niệm từ đưa kết thú vị dáng điệu tiệm cận ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch tổng quát ánh xạ chỉnh hình không chuẩn tắc dọc theo dãy P - điểm, dãy quy quỹ đạo tiệm cận tới biên đa tạp phức M Mục đích luận văn học tập, nghiên cứu trình bày lại kết K.T Hahn Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức hyperbolic, không gian phức hyperbolic đầy đủ giả metric vi phân Kobayashi Chương nội dung Luận văn, trình bày số kết ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ chuẩn tắc vào đa tạp phức compact, số tính chất bản, mở rộng ánh xạ chuẩn tắc cuối dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Luận văn hoàn thành Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Để hồn thành Luận văn này, trước hết tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn tới thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, Trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn tới gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm Luận văn tốt nghiệp Luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong nhận góp ý thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Thùy Linh 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi Trên đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré ρ∆ = ln + |a| với a ∈ ∆ − |a| 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X Hol(∆, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X , trang bị tơ pô compact mở Xét dãy điểm p0 = x, p1 , , pk = y X , dãy điểm a1 , a2 , , ak ∆ dãy ánh xạ f1 , , fk Hol(∆, X) thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, , k Tập hợp α = {p0 , , pk , a1 , , ak , f1 , , fk } thỏa mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình nối x y X Ta định nghĩa k ρ∆ (0, ), α ∈ Ωx,y , dX (x, y) = inf α i=1 Ωx,y tập hợp tất dây chuyền chỉnh hình nối x y X 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi dX : X × X → R giả khoảng cách X gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X Tổng k i=1 ρ∆ (0, ) gọi tổng Kobayashi dây chuyền chỉnh hình α Nhận xét: Nếu X liên thơng với x, y ∈ X , tồn dây chuyền chỉnh hình X nối x với y Thật vậy, lấy x ∈ X gọi Z tập gồm tất điểm X mà nối với x dây chuyền chỉnh hình Ta chứng minh Z vừa tập mở vừa tập đóng Nếu X đa tạp phức hiển nhiên Z = X Nếu X không gian phức Lấy z ∈ Z Theo định lý Hironaka giải kỳ dị, tồn lân cận U z ánh xạ chỉnh hình tồn ánh, riêng π : M → U, với M đa tạp phức có hữu hạn thành phần liên thơng π đẳng cấu chỉnh hình bên ngồi tập điểm kỳ dị X U Vì X đa tạp phức, π tồn ánh nên Z mở Để chứng minh Z đóng ta lấy dãy {yn } Z yn → z ∈ X Ta lại lấy lân cận U z giải kỳ dị π : M → U Với n đủ lớn ta có yn ∈ U Vì π tồn ánh, ta nâng {yn } thành {un } ⊂ M Do {yn , z} tập compact π ánh xạ riêng nên {π −1 (yn ), π −1 (z)} tập compact Từ ta trích dãy hội tụ kí hiệu {un }, tới điểm u ∈ M π(u) = z Vì M đa tạp nên tồn dây chuyền chỉnh hình M nối u với un Vậy qua π , tồn dây chuyền chỉnh hình nối yn với z với n đủ lớn Mà yn nối với x dây chuyền chỉnh hình, 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn có dây chuyền chỉnh hình nối z với x Suy z ∈ Z Vậy Z đóng Mà X liên thông nên Z = X 1.1.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi a) Nếu f : X → Y ánh xạ chỉnh hình hai khơng gian phức f làm giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)) ∀x, y ∈ X Hơn nữa, dX giả khoảng cách lớn X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X giảm khoảng cách b) + d∆ ≡ ρ∆ + dCm ≡ c) Đối với khơng gian phức X, Y, ta có dX×Y ((x, y), (x , y )) = max{dX (x, x ), dY (y, y )} với x, x ∈ X y, y ∈ Y d) Giả sử X không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X × X → R hàm liên tục Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có |dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y) với xn , yn , x, y ∈ X Do để chứng minh tính liên tục dX ta cần chứng minh dX (yn , y) → yn → y a) Trường hợp X đa tạp phức Gọi U lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n , n = dimX Ta có d∆n ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, , n} Vì U song chỉnh hình với ∆m nên theo tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi ta có dU = d∆m liên tục Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → yn → y Vậy dX liên tục 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn b) Trường hợp y điểm kỳ dị Theo định lý Hironaka giải kỳ dị, tồn lân cận mở U y X ánh xạ chỉnh hình riêng, toàn ánh π : M → U , với U đa tạp phức Vì yn → y nên tồn lân cận compact tương đối V y cho V ⊂ V ⊂ U yn ∈ V Do π toàn ánh riêng nên π −1 (V ) compact tương đối M Vì vậy, tồn dãy {zn } ⊂ M cho π(zn ) = yn zn → z ∈ M Rõ ràng π(z) = y Theo a), M đa tạp phức, ta có dM (zn , z) → n → ∞ Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) ≤ dM (zn , z) → n → ∞ Vậy dX hàm liên tục 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa Không gian phức X gọi không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách X , tức dX (p, q) = ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X 1.2.2 Một số tính chất không gian phức hyperbolic a) Nếu X ,Y khơng gian phức, X × Y không gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic b) Giả sử X không gian phức không gian phức Y Nếu Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác, khơng gian khơng gian hyperbolic hyperbolic c) (Định lý Barth) Giả sử X không gian phức liên thông Nếu X hyperbolic dX sinh tơ pơ tự nhiên X Chứng minh 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có khơng gian phức X compact địa phương với tô pô đếm được, metric hóa định lý metric hóa Urưxơn Vì có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên X Ta phải chứng minh dX ρ so sánh được, tức với {xn } ⊂ X ta có ρ(xn , x) → ⇔ dX (xn , x) → n → ∞ Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → suy dX (xn , x) → n → ∞ Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → mà ρ(xn , x) n → ∞ Khi tồn s > cho có dãy (vẫn ký hiệu {xn }) mà xn nằm ngồi ρ- cầu tâm x, bán kính s Nối xn với x dây chuyền chỉnh hình Gọi γ ảnh trắc địa đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X Xét hàm t → ρ(γ(t), x), hàm liên tục tồn t0 ∈ [a, b] cho ρ(γ(t0 ), x) = s Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm mặt cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ) Từ theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → n → ∞ Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy {ynk } hội tụ tới y thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s Khi đó, dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0, n→∞ mà y = x Điều mâu thuẫn tới giả thiết X không gian hyperbolic d) ( Bổ đề Eastwood) Giả sử π : X → Y ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức Giả sử Y hyperbolic với điểm y ∈ Y có lân cận U y cho π −1 (U ) hyperbolic Khi X hyperbolic 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Do đó, {f ◦ ϕ|ϕ ∈ Aut(M )} họ đồng liên tục Vì N compact nên họ chuẩn tắc 2.4.2 Hệ Các điều kiện sau tương đương: (a) Ánh xạ f ∈ Hol(M, N ) có dãy P - điểm M (b) supz∈M Qf (z) = ∞ (c) f ∈ / N (M, N ) Nhận xét: Rõ ràng ánh xạ Bloch f ∈ Hol(M, N ) có dãy P điểm N compact hay khơng Tuy nhiên, dãy P - điểm có từ ánh xạ chuẩn tắc f ∈ Hol(M, N ) với N khơng compact Ta xét ví dụ sau: Giả sử f (z) = (5 + w + e1−w )4 , w = 1+z , z ∈ ∆ 1−z Sau vài phép tính, ta tìm : Qf (zn ) = |f (zn )|(1 − |zn |2 ) → ∞, với − 2n2 + 2n3 πi zn = + 2n3 πi Dễ thấy rằng, ánh xạ f bỏ qua lân cận gốc đĩa đơn vị ∆, tức f ∈ N (∆, C) định lý cổ điển Montel 2.4.3 Định lý Mọi dãy {pn } M dãy quy f ∈ N (M, N ) f ∈ B0 (M, N ) với B0 (M, N ) = {f ∈ B(M, N ); lim sup Qf (p) = 0} n→∞ p∈M \M n Chứng minh Giả sử tất dãy điểm M quy f ∈ N (M, N ), đặt Mn = {p ∈ M |kM (p0 , p) < n}, 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 p0 điểm cố định M Khi đó, tồn dãy {pn } M cho Qf (pn ) = sup{Qf (p)|p ∈ Mn \ Mn−1 } Do tính quy dãy {pn } f nên với ε > 0, ∃δ > cho với dãy {qn } M thỏa mãn kM (pn , qn ) < δ , ta có lim dN f (pn ), f (qn ) = n→∞ Với n tồn ϕn ∈ Aut(M ) cho pn = ϕn (p0 ) Vì f chuẩn tắc nên dãy {f ◦ ϕn } có dãy {f ◦ ϕν } hội tụ đến g ∈ Hol(M, N ) Bk (p0 , δ) Đặc biệt lim gν (p0 ) = lim f ◦ ϕν (p0 ) = g(p0 ) = l Với z ∈ Bk (p0 , δ) ta có dN l, g(z) ≤ dN g(p0 ), gν (p0 ) + dN gν (p0 ), gν (z) + dN gν (z), g(z) (2.14) Trong vế phải bất đẳng thức (2.14), số hạng số hạng thứ ba dần đến tính hội tụ gν Bk (p0 , δ) Số hạng thứ hai dần đến dãy {pn } dãy quy Do đó, g(z) ≡ l với z ∈ Bk (p0 , δ) Áp dụng định lý cho hàm chỉnh hình ta có g(z) ≡ l M , M liên thơng Do đó, gν hội tụ đến hàm số l tập compact M Do lim Qf (pν ) = lim Qgν (p0 ) = ν→∞ Từ ν→∞ ∞ M \ Mν = Mα+1 \ Mα , α=ν sup{Qf (p)|p ∈ M \ Mν } = sup Qf (pα ) α≥ν+1 ta có f ∈ B0 (M, N ), limν→∞ Qf (pν ) = Ngược lại, giả sử f ∈ B0 (M, N ) Do dãy hội tụ {pn } M dãy quy với f ∈ Hol(M, N ) nên ta cần chứng minh dãy phân kỳ compact 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Lấy p0 điểm cố định M sn = kM (p0 , pn ) Khi lim sn = ∞ n→∞ Từ dãy {sn } ta chọn dãy tăng nghiêm ngặt kí hiệu dãy {sn } Đặt kM (pn , pn+1 ) | n = 1, 2, Khi δ > Lấy dãy {qn } M với kM (pn , qn ) < δ Nếu f ∈ B0 (M, N ), Ωn = sup{Qf (p)|p ∈ M \ Mn } δ = inf tồn hữu hạn với n Ωn → n → ∞ Do đó, dN f (pn ), f (qn ) ≤ kM (pn , qn )Ωn−1 ≤ δΩn−1 Vì lim dN f (pn ), f (qn ) = n→∞ Vậy theo định nghĩa, dãy {pn } dãy quy 2.5 Một số tính chất mở rộng ánh xạ chuẩn tắc 2.5.1 Định lý Giả sử Ω miền bị chặn Cm N đa tạp phức Giả sử tồn dãy {pn } Ω {rn }, rn > với rn = 0, n→∞ δΩ (pn ) lim (2.15) δΩ (p) = ρ(p, ∂Ω) khoảng cách Euclide từ p đến ∂Ω thỏa mãn {f (pn + rn ζ)}, f ∈ Hol(Ω, N ), hội tụ địa phương đến ánh xạ chỉnh hình khác g ∈ Hol(Cm , N ) Khi {pn } dãy P- điểm f Đặc biệt, Ω miền bị chặn Cm N compact sup{Qf (p) : p ∈ Ω} = ∞ 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 f ánh xạ khơng chuẩn tắc Chứng minh Vì g hàm khác Cm nên có hai điểm phân biệt ζ ζ Cm cho g(ζ ) = g(ζ ) Lấy δ = dN g(ζ ), g(ζ ) > 0, qni = pn + rn ζ i (i = 1, 2) Từ bất đẳng thức tam giác kéo theo dN f (qn1 ), f (qn2 ) ≥ δ với δ > Do ta cần chứng minh kΩ (qn1 , qn2 ) → n → ∞ Chọn R > max{|ζ |, |ζ |} Khi |pn − qni | = rn |ζ i | ≤ rn R Do qni ∈ B(pn , rn R), (i = 1, 2) Ta thấy rằng, B(z, r) ⊂ Ω kΩ (z, w) ≤ tan h−1 |z − w| với w ∈ B(z, r) r (2.16) Thật vậy, lấy w = z đặt f (λ) = z + λν, ν = (w − z)/s, s = |w − z|/r Khi đó, tính giảm khoảng cách metric Kobayashi qua ánh xạ f ∈ Hol(∆, Ω) ta có kΩ (z, w) = kΩ f (0), f (s) ≤ k∆ (0, s) = tan h−1 |w − z| r Sử dụng bất đẳng thức (2.16) B(pn , rn R), kΩ (pn , qni ) i −1 |qn ≤ tan h − pn | rn R = tan h−1 δΩ (pn ) δΩ (pn ) 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Từ ta có lim kΩ (pn , qni ) = n→∞ (i = 1, 2) Bất đẳng thức tam giác kΩ (qn1 , qn2 ) → n → ∞ Trường hợp đặc biệt, Ω miền chỉnh hình bị chặn Cm N compact sup{Qf (p) : p ∈ Ω} = ∞ f không chuẩn tắc Điều suy từ Hệ 2.4.2 2.5.2 Hệ Giả sử Ω miền bị chặn Cm N đa tạp compact Nếu f ∈ N (Ω, N ) với cách chọn dãy {pn } Ω {rn }, rn > thỏa mãn (2.15), dãy {f (pn + rn ζ)} hội tụ đến ánh xạ Cm hội tụ đến điểm N Chiều ngược lại Định lý 2.5.1 khơng xét hình cầu đơn vị mở Cm với m ≥ Tuy nhiên, ta chứng minh kết yếu định lý sau 2.5.3 Định lý Giả sử Ω miền bị chặn Cm N đa tạp compact Nếu f ∈ Hol(Ω, N ) thỏa mãn sup Λf (p)δΩ (p) = ∞ (2.17) p∈Ω có dãy {pn } Ω {rn }, rn > thỏa mãn điều kiện (2.15) cho {f (pn + rn ζ)} hội tụ địa phương Cm đến ánh xạ chỉnh hình khác g ∈ Hol(Cm , N ) Chứng minh Điều kiện (2.15) kéo theo tồn dãy {qn } Ω cho lim Λf (qn )δΩ (qn ) = ∞ n→∞ Điều chứng tỏ qn dần tới biên Ω Do đó, tồn dãy {δn }, δn > 0, δn → cho δΩ (qn ) > δn lim Λf (qn )δΩn (qn ) = ∞, n→∞ 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.18) http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Ωn = {p ∈ Ω : δΩ (p) > δn } Đặt Mn = max{Λf (p)δΩn (p) : p ∈ Ωn } Vì Λf liên tục Ωn , nên tồn dãy {pn } Ωn cho Mn = Λf (pn )δΩn (pn ) Do qn ∈ Ωn , nên từ (2.18) có Mn → ∞ Λf (pn ) → ∞ n → ∞ Đặt rn = Khi δΩ (pn ) = n Λf (pn ) Mn (2.19) rn rn ≤ = → n → ∞ δΩ (pn ) δΩn (pn ) Mn rn Λf (pn ) = với n Vì Rn = δΩn (pn ) rn (2.20) → ∞ với R > 0, R ≤ Rn n đủ lớn, lấy |ζ| ≤ R Khi pn + rn ζ ∈ Ωn Do vậy, ánh xạ gn (ζ) = f (pn + rn ζ) (2.21) xác định chỉnh hình với |ζ| < R Từ pn + rn ζ ∈ Ωn kéo theo Mn ≥ Λf (pn + rn ζ)δΩn (pn + rn ζ) (2.22) Do đó, từ (2.21), (2.22) (2.19), ta có Λgn (ζ) = rn Λf (pn + rn ζ) ≤ rn Mn δΩn (pn ) = δΩn (pn + rn ζ) δΩn (pn + rn ζ) (2.23) Vì vế phải (2.23) dần tới với ζ nằm tập compact Cm nên {gn } đồng liên tục chuẩn tắc Cm N 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 compact Bằng cách lấy dãy cần, xét dãy {gn }, ta giả sử tồn dãy {pn } Ω {rn }, rn > với rn → n → ∞ δΩ (pn ) cho {gn (ζ)} hội tụ địa phương đến ánh xạ chỉnh hình khác g ∈ Hol(Cm , N ) Vậy g khác suy từ (2.23) lấy ζ = (2.20) Với m = 1, lấy Ω đĩa đơn vị mở ∆ C N Khi đó, với f ∈ Hol(∆, N ) bất kỳ, Qf (z) = (1 − |z|2 )Λf (z), Λf (z) = sup hN f (z), df (z)ξ |ξ|=1 Do δ∆ (z) ≤ − |z|2 ≤ 2δ∆ (z) Điều kiện (2.15) tương đương với điều kiện rn =0 n→∞ − |pn | lim (2.24) điều kiện (2.17) tương đương với điều kiện sup Qf (z) = ∞ z∈∆ Kết hợp Định lý 2.5.1 2.5.3 ta nhận Định lý sau 2.5.4 Định lý Giả sử ∆ đĩa đơn vị mở C N đa tạp compact Ánh xạ f ∈ Hol(∆, N ) không ánh xạ chuẩn tắc tồn dãy {zn } ∆, {rn }, rn > thỏa mãn điều kiện (2.24) cho {f (zn + rn ζ)} hội tụ địa phương C đến ánh xạ chỉnh hình khác g ∈ Hol(C, N ) 2.5.5 Định lý Giả sử ∆ đĩa đơn vị mở C N đa tạp compact Họ F ⊂ Hol(∆, N ) không chuẩn tắc tồn r ∈ (0, 1) dãy {zn }, |zn | ≤ r, {rn }, rn ↓ 0, {fn } F cho {fn (zn + rn ζ)} hội tụ địa phương đến ánh xạ chỉnh hình khác g ∈ Hol(C, N ) 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Lấy X đa tạp phức N Khi đó, từ định nghĩa, Hol(∆, X) họ chuẩn tắc X taut [3] Do đó, ta có tiêu chuẩn để X taut sau 2.5.6 Hệ Một đa tạp phức đóng X đa tạp compact N taut với cách chọn dãy {zn } ∆ {fn } Hol(∆, X) {rn } với rn ↓ ta có {fn (zn + rn ζ)} hội tụ địa phương đến ánh xạ C Đặc biệt, ta nhận lại kết R Brody[4] 2.5.7 Hệ Một đa tạp compact N hyperbolic tương đương taut khơng tồn ánh xạ chỉnh hình khác f : C → N 2.6 Dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch Giả sử Ω miền bị chặn Cm ζ ∈ ∂Ω Kí hiệu Tζ (∂Ω) không gian tiếp xúc thực (2n − 1) chiều ∂Ω ζ Gọi νζ vectơ đơn vị trực giao với Tζ (∂Ω) ζ cho tνζ ∈ / Ω với t > đủ nhỏ Kí hiệu Cνζ đường thẳng phức sinh νζ Khi khơng gian tiếp xúc phức ζ xác định không gian phức (n − 1) chiều Tζ (∂Ω) cho CTζ (∂Ω) = {z ∈ Cm : (z, w) = ∀w ∈ Cνζ } Rõ ràng, Cνζ ⊥ CTζ Cm = Cνζ ⊕C CTζ Tập S Ω gọi tiệm cận ζ ∈ ∂Ω S ∩ ∂Ω = {ζ} gọi tiệm cận không tiếp xúc ζ S ⊂ Γα (ζ) với α > , 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Γα (ζ) = {z ∈ Ω : |z − ζ| < αδζ (z)}, δζ (z) = ρ(z, ∂Ω), ρ(z, Tζ (∂Ω)) ρ khoảng cách Euclide Cm Đặc biệt, đường cong γ : [0, 1] → Ω tiệm cận không tiếp xúc ζ γ(t) ∈ Γα (ζ) với α > 1, t ∈ [0, 1) lim− γ(t) = ζ t→1 Ta nói ánh xạ f : Ω → N có giới hạn tiệm cận l ζ ∈ ∂Ω dọc theo đường cong γ Ω γ tiệm cận ζ lim dN f (γ(t)), l) = t→1− f có giới hạn bán kính l ζ lim dN f (ζ − ενζ ), l = ε→0+ f có giới hạn khơng tiếp xúc l ζ lim Γα (ζ) z→ζ dN f (z), l = với α > f có giới hạn chấp nhận l ζ lim Aα (ζ) z→ζ dN f (z), l = với α > 0, Aα (ζ) = {z ∈ Ω : |(z − ζ, νζ )| < (1 + α)δζ (z); |z − ζ|2 < αδζ (z)}.(∗) 2.6.1 Mệnh đề Giả sử Ω miền bị chặn N đa tạp phức Giả sử S1 S2 tập hợp tiệm cận ζ ∈ ∂Ω cho lim S2 z→ζ ρ(z, S1 ) = ρ(z, ∂Ω) (2.25) Nếu f ∈ B(Ω, N ) thỏa mãn lim dN f (z), l) = S1 z→ζ 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 lim dN f (z), l = S2 z→ζ Chứng minh (2) (2) Giả sử {zn } dãy dọc theo S2 với zn → ζ Chọn dãy (1) {zn } S1 cho |zn(2) − zn(1) | ≤ 2ρ(zn(2) , S1 ) (1) (2) Nối zn zn đường thẳng phức qn Khi qn ∩ Ω chứa đĩa ∆n có bán kính rn > ρ(zn(2) , ∂Ω), tâm zn2 Nếu f ∈ B(Ω, N ) tồn số Q > cho dN f (zn(1) ), f (zn(2) ) ≤ QkΩ (zn(1) , zn(2) ) (2.26) Do tính giảm khoảng cách metric Kobayashi nên kΩ (zn(1) , zn(2) ) ≤ k∆n (zn(1) , zn(2) ) (1) −1 |zn (2) − zn | = tan h rn (2) −1 2ρ(zn , S1 ) ≤ tan h (2) ρ(zn , ∂Ω) (2.27) Các bất đẳng thức (2.26) (2.27) với (2.25) cho thấy lim f (zn(1) ) = lim f (zn(2) ) = l n→∞ n→∞ metric dN 2.6.2 Mệnh đề Giả sử Ω miền bị chặn Cm , ζ điểm giới hạn Ω, điểm mà tồn vectơ trực giao S continuum tiệm cận tùy ý ζ cho lim S z→ζ ρ(z, Cνζ ) = 0, r ν(z) 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 đó, kí hiệu r ν(z) bán kính hình cầu lớn Ω∩ CTν(z) , CTν(z) siêu phẳng qua ν(z), hình chiếu trực giao z đến Cνζ , song song với CTζ (∂Ω) Nếu f ∈ B(Ω, ) (trong hình cầu Riemann) lim χ f (z), l = 0, S z→ζ lim χ f (z), l = với α > Γα (ζ) z→ζ Chứng minh Từ định nghĩa r ν(z) , ta có Ω ∩ CTν(z) chứa hình cầu B ν(z), r ν(z) |CTν(z) Tính giảm khoảng cách metric Kobayashi kéo theo kΩ z, ν(z) ≤ tan h−1 Vì f ∈ B(Ω, |z − ν(z)| r ν(z) ), ta có χ f (z), f ν(z) ≤ QkΩ z, ν(z) với số Q > Ký hiệu ν(S) hình chiếu trực giao S lên Cνζ Khi đó, η → ζ dọc theo ν(S) f (η) → l Dễ thấy, f |Ω∩Cνζ nằm B(Ω ∩ ) f hàm phân hình chuẩn tắc Ω ∩ Cνζ Do vậy, theo kết cổ điển Lehto Virtanen [9] ta có Cνζ , lim χ f (η), l) = với α > 1, Γα (ζ) η→ζ Γα (ζ) = {η ∈ Ω ∩ Cνζ : |η − ζ| < αρ(η, Tζ )} Lấy U lân cận đủ nhỏ ζ Hình chiếu trực giao Γα (ζ) ∩ U lên Cνζ chứa Γβ (ζ) với β ≥ α Hơn nữa, z ∈ Γα (ζ) ∩ U |z − ζ| < αδζ (z) = α|z − τ (z)| + o |τ (z) − ζ| , 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 τ (z) hình chiếu trực giao z lên Tζ (∂Ω) Vì |z − ζ|2 = |z − τ (z)|2 + |τ (z) − ζ|2 , |τ (z) − ζ| < α2 − 1|z − τ (z)| + o(|τ (z) − ζ|) Vì ta có U đủ nhỏ |τ (z) − ζ| < α|z − τ (z)| (2.28) Trên Γα (ζ) ∩ U ∩ CTη , η ∈ Cνζ , ta có |z − τ (z)| = |ν(z) − ν(τ (z))| ≤ |ν(z) − ζ|, |z − ν(z)| ≤ |τ (z) − ζ| Từ (2.28) kéo theo |z − η| < α|η − ζ| Cụ thể Γα (ζ)∩U ∩ CTη nằm ngồi hình cầu B(η, αδ) δ = |η−ζ| đủ nhỏ Từ định nghĩa r(η), Ω∩ CTη (∂Ω) chứa hình cầu B(η, r(η))|CTη Sử dụng tính chất giảm khoảng cách kΩ f |B(η,r(η)) Bloch ta có |z − ν(z)| , r ν(z) αδ ≤ Q tan h−1 r ν(z) χ f (z), f (ν(z)) ≤ Q tan h−1 (2.29) với Q > z ∈ Γα (ζ)∩ CTη |η −ζ| = δ đủ nhỏ Nếu z ∈ Γα (ζ)∩U , ν(z) ∈ Γβ (ζ) với β ≥ α Do r ν(z) ≥ rβ (δ) = inf{r(η) : η ∈ Γβ (ζ), |η − ζ| = δ} Nhưng từ Bổ đề [5] ta có rβ (δ) =∞ δ→0 δ lim δ = δ→0 r ν(z) lim 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Điều với (2.29) kéo theo lim χ f (z), f (ν(z)) = Γα (ζ) z→ζ Theo bất đẳng thức tam giác lim f (z) = l metric χ Γα (ζ) z→ζ Vậy mệnh đề chứng minh Lấy Ω miền bị chặn Cm với biên lớp C Khi với điểm biên ζ ∈ ∂Ω có đơn vị chuẩn tắc νζ rζ > cho B(ζ − rζ νζ , rζ ) chứa Ω tiếp xúc với ∂Ω ζ Sự tiếp xúc trường hợp yếu dọc theo tập Aα (*) Do đó, lập luận tương tự Mệnh đề 2.6.2 ta có 2.6.3 Mệnh đề Giả sử Ω miền bị chặn với biên lớp C S continuum tiệm cận tùy ý ζ ∈ ∂Ω thỏa mãn ρ2 (z, Cνζ ) lim = S z→ζ ρ(z, CTζ ) Nếu f ∈ B(Ω, ) lim χ f (z), l) = với l ∈ S z→ζ , lim χ f (z), l = với α > Γα (ζ) z→ζ 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Kết luận Với mục đích tìm hiểu dáng điệu tiệm cận ánh xạ chuẩn tắc đa tạp phức luận văn đạt số kết sau: Trình bày số tính chất ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch (Định lý 2.1.5; 2.1.6; Mệnh đề 2.2.1; 2.2.2; 2.3.3; 2.3.4) Trình bày đặc trưng mối liên hệ ánh xạ chuẩn tắc ánh xạ Bloch (Định lý 2.4.1; 2.4.3) Trình bày số tính chất mở rộng ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch (Định lý 2.5.1; 2.5.3; 2.5.4; 2.5.5) Trình bày đặc trưng riêng dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch (Mệnh đề 2.6.1; 2.6.2; 2.6.3) 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Việt Đức, Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, NXB Đại học sư phạm Hà Nội (2005) [2] J M Anderson, J.Clunie and Ch Pommerenke, On Bloch functions and normal functions, J.Reine Angew Math 270 (1974), 12-37 [3] T.Barth, Taut and tight complex manifolds, Proc Amer Math Soc 24 (1970), 429-431 [4] R Brody, Compact manifolds anh hyperbolicity, Trans Amer Math Soc 235 (1978), 213-219 [5] J A Cima and S G Krantz, Lindelof principle and normal functions of several complex variables, Duke Math J 50 (1983), 303-328 [6] K T Hahn, Asymptopic behavior of normal mappings of several complex variables, Can J Math Vol 36, No.4 (1984), 718-746 [7] P J Kiernan, On the relations between taut, tight and hyperbolic manifolds, Bull Amer Math Soc 76 (1970), 49-51 [8] S Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 318(1998) [9] O Lehto and V I Virtanen, Boundary behavior and normal meromorphic functions, Acta Math 97 (1957), 47-63 [10] H H Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math.119 (1967), 193-233 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tính chất ánh xạ chuẩn tắc 21 2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào đa tạp phức compact 24 2.5 Một số tính chất mở rộng ánh xạ chuẩn tắc 29 2.6 Dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch ... từ đưa kết thú vị dáng điệu tiệm cận ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch tổng qt ánh xạ chỉnh hình khơng chuẩn tắc dọc theo dãy P - điểm, dãy quy quỹ đạo tiệm cận tới biên đa tạp phức M Mục đích luận... DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15 2.1 Một số khái niệm kết ban đầu 15 2.2 Một số trường hợp đặc biệt 19 2.3 Một số tính chất ánh xạ