Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng navier stokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— PHẠM THỊ TRANG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG NAVIER-STOKES LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— PHẠM THỊ TRANG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG NAVIER-STOKES Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án NCS Phạm Thị Trang LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả vơ biết ơn PGS.TS Trần Đình Kế thầy Bộ mơn Giải tích cổ vũ động viên truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Tổ chức, Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Hải Dương, đặc biệt thầy cô giáo anh chị nghiên cứu sinh Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, người dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả thành kính dâng tặng q tinh thần lên bậc sinh thành, người ngày đón đợi hy vọng bước trưởng thành tác giả Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN 14 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 15 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 16 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 17 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18 1.1 CÁC KHƠNG GIAN HÀM, TỐN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 18 1.1.1 Các không gian hàm 18 1.1.2 Các toán tử 20 1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 21 TẬP HÚT LÙI 22 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 26 1.2 1.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 26 1.3.2 Một số bổ đề định lí quan trọng 29 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT 31 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 31 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 33 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 40 2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 47 2.5 MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 56 2.5.1 Mối quan hệ tập hút lùi tập hút toàn cục 56 2.5.2 Mối quan hệ tập hút lùi tập hút 57 2.6 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI 59 2.6.1 Tính bị chặn tập hút lùi (H (Ω))2 60 2.6.2 Tính compact tập hút lùi (H (Ω))2 64 2.7 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68 2.7.1 Tập hút lùi hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69 2.7.2 Tính nửa liên tục tập hút lùi sinh hệ NavierStokes-Voigt hai chiều 80 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER 90 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 90 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 92 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP Dσ -HÚT LÙI 102 3.4 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 113 KẾT LUẬN 118 CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 118 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 118 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO 120 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes, Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer (xin xem chi tiết tr 19) V không gian đối ngẫu không gian V (·, ·), | · | tích vơ hướng chuẩn khơng gian H ((·, ·)), · · ∗ ·, · | · |p tích vô hướng chuẩn không gian V chuẩn không gian V đối ngẫu V V chuẩn không gian Lp (Ω), với ≤ p ≤ ∞ Id ánh xạ đồng A, As , B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes, Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer (xin xem chi tiết tr 20, 21) D(As ) miền xác định toán tử As hội tụ yếu Y X P(X) bao đóng Y X họ tập bị chặn X dF (K) số chiều fractal tập compact K dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu nghiên cứu vào kỉ XVIII phát triển mạnh mẽ từ kỉ XIX Nó coi cầu nối toán học ứng dụng Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng mơ hình tốn toán thực tế, đặc biệt phương trình hệ phương trình học chất lỏng Lớp phương trình xuất mơ tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát Chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học kĩ thuật khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Một lớp hệ phương trình bản, quan trọng học chất lỏng hệ Navier-Stokes, mô tả dịng chảy chất lỏng nhất, nhớt, khơng nén được, xây dựng từ định luật bảo tồn khối lượng, động lượng có dạng    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = g(x, t), ∂t  ∇ · u = 0, u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt g hàm ngoại lực Hệ phương trình Navier-Stokes đưa lần năm 1822, bắt đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu kỉ XX với cơng trình móng Leray (1934) Hopf (1951) Sau gần kỉ phát triển, lí thuyết hệ phương trình Navier-Stokes đạt nhiều kết sâu sắc (xem, chẳng hạn, chuyên khảo [14, 47, 48] tổng quan [4, 50]) Tuy nhiên, nhiều câu hỏi mở chưa giải quyết, bật tính nghiệm yếu tồn toàn cục nghiệm mạnh hệ Navier-Stokes ba chiều Những nỗ lực giải toán làm phát sinh nhiều hướng nghiên cứu thú vị Một số nghiên cứu biến dạng hệ phương trình Navier-Stokes Những hệ xuất mô tả chuyển động chất lưu điều kiện vật lí định, chẳng hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong số tài liệu viết Voight) xuất nghiên cứu chuyển động chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất nghiên cứu dòng chất lưu tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai chiều xuất nghiên cứu hệ Navier-Stokes miền mỏng [43], α-mơ hình học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động chất lưu với áp suất phụ thuộc độ nhớt [5], Đây hướng nghiên cứu thời sự, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới năm gần đây, ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt toán học đặt nghiên cứu Tuy nhiên theo hiểu biết chúng tôi, kết đạt tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ chủ yếu dừng lại trường hợp ngoại lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ơtơnơm) miền xét phương trình bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu đây) Việc phát triển kết cho trường hợp không ôtônôm miền không bị chặn vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, khó địi hỏi cách tiếp cận công cụ kĩ thuật Chúng chọn vấn đề nghiên cứu số hệ phương trình dạng Navier-Stokes, xuất học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu cho luận án tiến sĩ ... luận án "Dáng điệu tiệm cận nghiệm số hệ phương trình dạng Navier- Stokes" MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN • Mục đích luận án nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông... đến dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vơ biết dáng điệu tiệm cận nghiệm, ta dự đoán xu phát triển hệ tương lai từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương. .. đuôi nghiệm, phương pháp phương trình lượng khai thác hợp lí cấu trúc phương trình Lớp biến dạng thứ hai hệ Navier- Stokes lớp hệ Navier- Stokes với số hạng tắt dần (damping term) hệ Navier- Stokes