Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes

Chính vì vậy, việc nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của những hệphương trình trong cơ học chất lỏng, nói riêng là những hệ phương trình dạngNavier-Stokes, thông qua việc chứng minh s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viếtchung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khiđưa vào luận án

NCS Phạm Thị Trang

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,chu đáo của PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứutuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa

Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS Trần Đình Kế và các thầy cô trong Bộmôn Giải tích đã cổ vũ động viên và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quýbáu trong nghiên cứu khoa học

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đạihọc, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; BanGiám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Tổ chức, Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳngHải Dương, đặc biệt là các thầy cô giáo và các anh chị nghiên cứu sinh trongSeminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm HàNội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đãdành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tácgiả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả thành kính dângtặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngàyđón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả

Mục lục

Trang phụ bìa 2

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Một số kí hiệu dùng trong luận án 6

MỞ ĐẦU 7

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 7

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 9

3 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN 14

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 15

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 16

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 17

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 18

1.1.1 Các không gian hàm 18

1.1.2 Các toán tử 20

1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 21

1.2 TẬP HÚT LÙI 22

1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 26

1.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 26

1.3.2 Một số bổ đề và định lí quan trọng 29

Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT 31

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 31

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 33

2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 40

2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 47

2.5 MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 56

2.5.1 Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút toàn cục 56

2.5.2 Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều 57

2.6 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI 59

2.6.1 Tính bị chặn của tập hút lùi trong (H2(Ω))2 60

2.6.2 Tính compact của tập hút lùi trong (H2(Ω))2 64

2.7 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68 2.7.1 Tập hút lùi của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69 2.7.2 Tính nửa liên tục trên của tập hút lùi sinh bởi hệ Navier-Stokes-Voigt hai chiều 80

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER 90 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 90

3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 92

3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP Dσ-HÚT LÙI 102

3.4 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 113

KẾT LUẬN 118

1 CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 118

2 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 118

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONGLUẬN ÁN 119TÀI LIỆU THAM KHẢO 120

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes,

Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer(xin xem chi tiết ở tr 19)

V0 không gian đối ngẫu của không gian V

(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H

((·, ·)), k · k tích vô hướng và chuẩn trong không gian V

k · k∗ chuẩn trong không gian V0

h·, ·i đối ngẫu giữa V và V0

| · |p chuẩn trong không gian Lp(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞

A, As, B các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes,

Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer(xin xem chi tiết ở tr 20, 21)

D(As) miền xác định của toán tử As

YX bao đóng của Y trong X

P(X) họ các tập con bị chặn của X

dF(K) số chiều fractal của tập compact K

dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu được nghiên cứu vào giữa thế kỉXVIII và phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay Nó được coinhư chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng Rất nhiều phương trình đạohàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế, đặc biệt là các phươngtrình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng Lớp phương trình này xuấthiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí,dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát Chúng cũng xuất hiệnkhi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học kĩ thuật như khoahọc hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma,

Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng trong cơ họcchất lỏng là hệ Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất,nhớt, không nén được, được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng,động lượng và có dạng

hạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và các bài tổng quan [4, 50]) Tuynhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật làtính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệNavier-Stokes ba chiều Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinhnhiều hướng nghiên cứu mới thú vị Một trong số đó là nghiên cứu các biếndạng của hệ phương trình Navier-Stokes Những hệ như vậy xuất hiện khi mô

tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳnghạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khinghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với

số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiêncứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes haichiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], cácα-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiệnkhi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chấtlưu với áp suất phụ thuộc độ nhớt [5], Đây là một hướng nghiên cứu mới

và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giớitrong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng nhưnhững khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu Tuy nhiêntheo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dángđiệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoạilực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xét phương trình

là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây) Việcphát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miềnkhông bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó

vì đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ kĩ thuật mới

Chúng tôi sẽ chọn vấn đề nghiên cứu này đối với một số hệ phương trìnhdạng Navier-Stokes, xuất hiện trong cơ học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứucho luận án tiến sĩ của mình

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Như đã được đề cập đến trong mục trước, lớp hệ phương trình dạng Stokes xuất hiện khi cần mô tả chuyển động của chất lỏng dưới những điềukiện vật lí nhất định Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp hệ phươngtrình này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa họctrong những năm gần đây Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán,

Navier-ta thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vôcùng vì khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xuthế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó có thể đưa ra những đánh giá,điều chỉnh thích hợp

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàmriêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó

là vô hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút Lí thuyết tập húttoàn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX Cho đến nay,

sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớpphương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ôtônôm và một số lớp phươngtrình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [2, 13, 49]) Tuynhiên, khi phương trình là không ôtônôm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộcvào thời gian, quỹ đạo nghiệm không còn là bất biến dương đối với phép tịnhtiến theo thời gian và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thíchhợp Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực khôngôtônôm, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [12] hoặc lí thuyết tậphút lùi [9]; xin xem các cuốn chuyên khảo [10, 13] về những kết quả gần đây

về hai loại tập hút này

Nỗ lực đầu tiên để mở rộng khái niệm tập hút toàn cục sang trường hợpkhông ôtônôm dẫn đến sự ra đời của tập hút đều Tuy nhiên, lí thuyết tập hútđều chỉ giải quyết được một lớp nhỏ các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian(thường phải giả thiết các hàm ngoại lực f là bị chặn tịnh tiến), không đảm

bảo tính chất bất biến của tập hút toàn cục, và nói chung tập hút đều khôngthỏa mãn nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là thường có số chiều fractalbằng vô cùng) Hơn nữa, mặc dù biến thời gian xuất hiện tường minh trongphương trình, tập hút đều không phụ thuộc vào biến thời gian.

Để khắc phục các hạn chế trên, lí thuyết tập hút lùi ra đời Tập hút lùixuất hiện khi ta cố định thời điểm cuối t và xét dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa hệ khi thời điểm đầu τ → −∞; được định nghĩa là một họ các tập phụthuộc vào thời gian, compact, bất biến, hút họ các tập trong một không giannhất định (ví dụ họ các tập bị chặn trong không gian pha) Các tính chất này

là sự mở rộng một cách tự nhiên các tính chất của tập hút toàn cục trongtrường hợp ôtônôm Ta cũng thường chứng minh được tập hút lùi thỏa mãnnguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là có số chiều fractal hữu hạn), một tínhchất rất quan trọng khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều Hơn nữa, sovới các lí thuyết tập hút khác, lí thuyết tập hút lùi ra đời muộn hơn và hiệnnay vẫn đang là vấn đề rất thời sự Lí thuyết tập hút lùi cũng giải quyết đượccho một lớp rộng hơn các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian so với tập hútđều, cho phép xử lí các phương trình đạo hàm riêng với đuôi ngẫu nhiên (vớimột chút điều chỉnh nhỏ để trở thành lí thuyết tập hút ngẫu nhiên), một lớpphương trình rất rộng lớn và quan trọng Xin xem thêm cuốn chuyên khảo gầnđây [10] về ý nghĩa cũng như mối quan hệ giữa tập hút lùi với các loại tập hútkhác như tập hút toàn cục và tập hút đều

Chính vì vậy, việc nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của những hệphương trình trong cơ học chất lỏng, nói riêng là những hệ phương trình dạngNavier-Stokes, thông qua việc chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại và cáctính chất của tập hút lùi là một trong những vấn đề thời sự hiện nay, thu hútđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới

Trong các biến dạng của hệ phương trình Navier-Stokes đã được đề cậpđến ở mục trước, có hai dạng rất được quan tâm trong thời gian gần đây

trong đó α là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng.

Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt mô tả chuyển động của các chất lỏngloại Kelvin-Voigt, không nén được, nhớt, đàn hồi (với tham số đặc trưng chotính đàn hồi là α) (xem [38]) Chú ý rằng khi α = 0 hệ Navier-Stokes-Voigttrở thành hệ Navier-Stokes cổ điển và khi ν = 0 ta được mô hình Bardinadạng đơn giản, mô tả chuyển động của các chất lỏng không nhớt [8] Vì vậy,gần đây, hệ (1) cũng được E.S Titi và các cộng sự sử dụng để chính qui hóa

hệ phương trình Navier-Stokes, từ đó xấp xỉ hệ phương trình này trong khônggian ba chiều khi α nhỏ, giúp mô phỏng số trực tiếp nghiệm của hệ trong cảhai trường hợp điều kiện biên tuần hoàn và điều kiện biên Dirichlet (xem [8]).Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của

hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt trong không gian ba chiều đã thu hútđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Khi ngoại lực g khôngphụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minhlần đầu tiên bởi A.P Oskolkov trong [38] Sau đó, V.K Kalantarov đã chứngminh sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinhbởi hệ này [28, 29] Gần đây, trong các công trình [31, 32], V.K Kalantarov

và E.S Titi đã phát triển kết quả trên, chứng minh được tính determiningmodes và tính chính qui Gevrey của tập hút toàn cục Trong trường hợp ngoạilực g phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại tập hút đều của quá trình sinhbởi hệ (1) được chứng minh gần đây trong [15, 40, 51] khi ngoại lực là hàm

bị chặn tịnh tiến, và sự tồn tại tập hút lùi của hệ (1) được chứng minh trong[19] Tuy nhiên, tất cả các kết quả nhận được ở trên đối với hệ phương trìnhNavier-Stokes-Voigt ba chiều là ở trong miền bị chặn Theo hiểu biết của chúngtôi, chỉ có công trình [11] là xét hệ Navier-Stokes-Voigt hai chiều trong miền

không bị chặn với ngoại lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm)

và chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ

Vì vậy, còn nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu liên quan đến hệ Stokes-Voigt ba chiều, nói riêng những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứutrong luận án này là:

Navier-• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua

sự tồn tại tập hút lùi) trong trường hợp ba chiều khi ngoại lực g phụthuộc vào biến thời gian t (trường hợp không ôtônôm), và miền xétphương trình không nhất thiết bị chặn (nhưng thỏa mãn bất đẳng thứcPoincaré)

• Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi

• Nghiên cứu tính nửa liên tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trong trườnghợp hai chiều, tức là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes-Voigt với tậphút của hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng Ở đây chỉ xét được trườnghợp hai chiều vì tính đặt đúng toàn cục của hệ Navier-Stokes ba chiềuvẫn là vấn đề mở rất lớn

Khó khăn gặp phải khi nghiên cứu các vấn đề trên, trước hết là do sự có mặtcủa số hạng −α2∆ut, làm mất đi tính chất parabolic (giống như hệ Navier-Stokes ban đầu) của hệ phương trình (1) Cụ thể, nghiệm của hệ không trơnhơn điều kiện ban đầu, tương tự tính chất của phương trình hyperbolic và hệquả là hệ động lực tương ứng chỉ có tính chất tiêu hao yếu Điều này gây ranhiều khó khăn khi chứng minh sự tồn tại tập hút lùi và chứng minh tínhtrơn của tập hút Tiếp theo, do miền được xét là không bị chặn, nên các phépnhúng Sobolev cần thiết chỉ liên tục mà không compact, dẫn đến dạng cổ điểncủa Bổ đề compact Aubin-Lions và do đó các phương pháp thường dùng chomiền bị chặn không còn thích hợp nữa Để khắc phục, chúng ta cần sử dụngnhững dạng phù hợp của Bổ đề compact Aubin-Lions, kĩ thuật đánh giá phần

đuôi của nghiệm, phương pháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lícấu trúc của phương trình.

Lớp biến dạng thứ hai của hệ Navier-Stokes là lớp hệ Navier-Stokes với sốhạng tắt dần (damping term) hoặc hệ Navier-Stokes "được thuần hóa" (tamedNavier-Stokes equations) [42] Trong [6], Cai và Jiu thêm số hạng tắt dần

|u|r−1u vào hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều cổ điển và nghiên cứu ảnhhưởng của số hạng đó tới tính đặt đúng của hệ phương trình hệ quả Số hạngtắt dần này biểu thị các lực kháng cản chuyển động của chất lỏng, thườngxuất hiện khi nghiên cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa, khi cólực kéo, lực ma sát, hay một vài cơ chế tiêu tán khác Lớp các số hạng tắt dầnnày đã được khái quát hóa đủ rộng để mô tả các tác động thường gặp của môitrường trong chuyển động của chất lỏng (xem [33]) Về sự tồn tại duy nhấtnghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này, nói riêng là

sự tồn tại tập hút toàn cục hoặc tập hút đều, xin xem các công trình gần đây[6, 7, 26, 33, 45, 46, 52]

Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer nhận được khi cả hai

số hạng −α2∆ut và số hạng tắt dần f(x, u), chẳng hạn f(x, u) = |u|r−1u, cùngxuất hiện trong hệ Navier-Stokes cổ điển, mô tả chuyển động của các chất lỏngloại Kelvin-Voigt, nhớt, đàn hồi, không nén được trong môi trường có lực cản

Mô hình này được đề cập đến lần đầu tiên trong một báo cáo hội nghị củaV.K Kalantarov năm 2010 (xem [30]) và có dạng như sau

xét không nhất thiết bị chặn.

Ngoài những khó khăn do sự xuất hiện của toán tử −α2∆ut và miền đượcxét là không bị chặn như khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiệncủa số hạng tắt dần f(x, u) cũng làm việc nghiên cứu hệ (2) trở nên phức tạphơn Lúc này, trong hệ phương trình xuất hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến(u · ∇)u và f(x, u) cần xử lí, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo các kĩthuật đánh giá, cũng như phải lựa chọn các dạng bổ đề compact phù hợp.Đối với lớp hệ này, mục đích của chúng tôi là nghiên cứu sự tồn tại và dángđiệu tiệm cận nghiệm của hệ với một lớp số hạng phi tuyến f(x, u) khá rộng

và hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian, trong miền không nhất thiết bị chặn

mà chỉ cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré; đưa ra lời giải cho vấn đề mởđược đặt ra bởi V.K Kalantarov trong [30]

Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại vàdáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) của hệ Navier-Stokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trường hợp miềnxét phương trình (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré

và ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm), làm đềtài nghiên cứu của luận án "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệphương trình dạng Navier-Stokes"

3 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬNÁN

• Mục đích của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cậnnghiệm (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi, tính ổn định của nghiệmdừng) của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes xuất hiện trong cơhọc chất lỏng trong trường hợp không ôtônôm và miền xét phương trìnhthỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, cụ thể là hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

• Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt

và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trườnghợp miền xét phương trình không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳngthức Poincaré và ngoại lực phụ thuộc thời gian

• Phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung sau:

Nội dung 1: Hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm

◦ Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;

◦ Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi;

◦ Đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi;

◦ Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi;

◦ Nghiên cứu tính nửa liên tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trongtrường hợp hai chiều, tức là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes-Voigt và hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng (khi α = 0)

Nội dung 2: Hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm

◦ Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm;

◦ Nghiên cứu sự tồn tại tập hút lùi;

◦ Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phươngpháp và công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉGalerkin, các dạng phù hợp của bổ đề compact, và các bổ đề xử lí sốhạng phi tuyến

• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng cáccông cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều

không ôtô nôm (xem [2, 10, 13, 37, 41, 49]), và các phương pháp nghiêncứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân.

Khi ngoại lực g "lớn" và phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sựtồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữu hiệu để nghiên cứucác hệ động lực không ôtônôm Để chứng minh tính compact tiệm cận lùicủa quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại tập hút, chúng tôi sửdụng phương pháp phương trình năng lượng của J.M Ball (cho nghiệmyếu), phương trình enstrophy (cho nghiệm mạnh) Để chứng minh tậphút lùi có số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương phápchứng minh được đưa ra bởi O.A Ladyzhenskaya Để chứng minh tínhtrơn của tập hút, chúng tôi sử dụng phương pháp được phát triển bởi O.Goubet và R Rosa [21, 22], cụ thể là phương pháp phân tách nghiệm và

sử dụng phương trình năng lượng cho ut

Khi ngoại lực g “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiêncứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng và chứng minh nghiệmcủa hệ dần đến nghiệm dừng duy nhất này khi thời gian t ra vô cùng

5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Đối với hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm: Chứng minh được sự tồntại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Navier-Stokes-Voigt khôngôtônôm Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal củatập hút lùi; tính trơn của tập hút lùi, tính nửa liên tục trên của tập hútlùi trong trường hợp 2 chiều Đây là nội dung của Chương 2

• Đối với hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm: Chứngminh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm Chứng minh được sự tồn

tại của tập hút lùi và sự tồn tại, tính ổn định của nghiệm dừng Đây lànội dung của Chương 3.

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vàoviệc hoàn thiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ phươngtrình dạng Navier-Stokes trong cơ học chất lỏng

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên cáctạp chí chuyên ngành quốc tế, 01 bài đang gửi đăng và đã được báo cáo tại:

• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội;

• Đại hội toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 2013

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danhmục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: Chương 1 trình bày một sốkiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kếtquả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes-Voigt; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận củanghiệm yếu của hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng đểnghiên cứu, thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trongphương trình Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng quát về lí thuyết tậphút lùi và một số kết quả bổ trợ được dùng trong các chương sau

1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊNQUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN

Đặc biệt, khi p = 2, L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

là các không gian Banach với chuẩn

0 (Ω))n để xét các hàm vectơ trong không gian n chiều

Khi Ω là miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, ta xét tích vô hướng vàchuẩn tương ứng trong H1

0(Ω) = (H01(Ω))n như sau((u, v)) =

V0 Các không gian trên đều là không gian Hilbert

Bây giờ ta định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian

Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn k · kX và không gian đốingẫu của nó được kí hiệu là X0

Định nghĩa 1.1 Không gian Lp(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm

đo được ϕ : [0, T ] → X với chuẩn

i)kϕkL p (0,T ;X) := Z T

0 kϕ(s)kpXds1/p

< +∞ với 1 ≤ p < ∞,ii)kϕkL ∞

(0,T ;X) := esssup0≤t≤Tkϕ(t)kX < +∞

Khi đó Lp(0, T ; X) là một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <+∞ Không gian liên hợp của Lp(0, T ; X) là Lq(0, T ; X0) với 1/p + 1/q = 1.Định nghĩa 1.2 Không gian C([0, T ]; X) gồm tất cả các hàm liên tục ϕ :[0, T ] → X với chuẩn

kϕkC([0,T ];X) := max

0≤t≤Tkϕ(t)kX.Khi đó C([0, T ]; X) là một không gian Banach

Định nghĩa 1.3 Lploc(R; X) là không gian các hàm ϕ(s), s ∈ R với giá trịtrong X, khả tích địa phương bậc p (theo nghĩa Bochner), tức là,

Z t 2

t 1

kϕ(s)kpXds < +∞, với mọi t1, t2 ∈ R, t1 ≤ t2.1.1.2 Các toán tử

Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến các hệ phương trình được xét trongluận án như sau

Giả sử Ω là một miền trong Rn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré với biêntrơn

Đặt A : V → V0 là toán tử xác định bởi hAu, vi = ((u, v)) Tập xác địnhcủa toán tử A là D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H} Dễ thấy, D(A) = H2(Ω) ∩ V và

Au = −P ∆u với mọi u ∈ D(A), trong đó P là phép chiếu trực giao từ L2(Ω)lên H

Ta có, với mọi u ∈ D(A),

kuk ≤ 1

λ1/21 |Au|; |D2u| ≤ C|Au|; (1.1)với λ1 là hằng số trong bất đẳng thức Poincaré, nên có thể coi |A(·)| cũng xácđịnh một chuẩn trong V ∩ H2(Ω), tương đương với chuẩn trong H2(Ω)

Ta cũng định nghĩa các toán tử vi phân bậc phân As như thông lệ, và đặt

Vs := D(As/2) với tích vô hướng (u, v)s = (As/2u, As/2v) và chuẩn tương ứng

là kuks = |As/2u| Khi đó, Vs ⊂ (Hs(Ω))n và V1 = V , V0 = H

Đặt B : V ×V → V0 là toán tử xác định bởi hB(u, v), wi = b(u, v, w), trongđó

Từ đây, ta dùng kí hiệu c để chỉ các hằng số đã biết Giá trị của c có thể khác

ở các dòng khác nhau Đầu tiên, ta nhắc lại một số bất đẳng thức nội suy cầndùng để đánh giá số hạng phi tuyến

kukL ∞ ≤ C|u|1/2|Au|1/2 ∀ u ∈ D(A)

Bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg (khi n=3) (xem, chẳng hạn [47]):

kukL 6/(3−2ε) ≤ C|u|1−εkukε, ∀ 0 ≤ ε ≤ 1, u ∈ V

Sử dụng các bất đẳng thức trên, đánh giá (1.1) cùng bất đẳng thức H¨older (sẽnhắc lại sau), ta có bổ đề sau.

c|u|kvk|w|1/2|Aw|1/2, ∀u ∈ H, v ∈ V, w ∈ D(A),

(1.4)và

|B(u)| ≤ C|u|1/2kuk|Au|1/2 ∀ u ∈ D(A) (1.5)Nếu n = 3, thì

ckukkvk|w|1/2kwk1/2,ckukkvkkwk,

2−1|u|1/2kuk3/2kvk nếu n = 3, ∀ u, v ∈ V. (1.7)1.2 TẬP HÚT LÙI

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút lùi sẽ được sửdụng trong luận án (có thể xem, chẳng hạn, trong [9])

Giả sử (X, d) là một không gian metric đủ Nửa khoảng cách HausdorffdistX(·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau

ánh xạ phụ thuộc hai tham biến {U(t, τ)} trong X có các tính chất sau:

U (t, r)U (r, τ ) = U (t, τ ) với mọi t ≥ r ≥ τ,

U (τ, τ ) = Id với mọi τ ∈ R

Định nghĩa 1.5 Quá trình {U(t, τ)} được gọi là liên tục nếu với mọi τ ∈ R,

t ≥ τ, U(t, τ)xn → U(t, τ)x, khi xn → x trong X

Giả sử P(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X và D là một lớpkhác rỗng các tập được tham số hóa ˆD = {D(t) : t ∈ R} ⊂ P(X).

Định nghĩa 1.6 Quá trình {U(t, τ)} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếuvới bất kì t ∈ R, bất kì ˆD ∈ D, bất kì dãy τn → −∞, và bất kì dãy xn ∈ D(τn),dãy {U(t, τn)xn} là compact tương đối trong X

Định nghĩa 1.7 Họ các tập bị chặn ˆB ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quátrình U(t, τ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì ˆD ∈ D, tồn tại τ0 = τ0( ˆD, t) ≤ t saocho

[

τ ≤τ 0

U (t, τ )D(τ ) ⊂ B(t)

Tập hút lùi được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.8 Họ ˆA = {A(t) : t ∈ R} ⊂ P(X) gọi là một tập D-hút lùiđối với {U(t, τ)} nếu

(1) A(t) là compact với mọi t ∈ R;

Ta có định lí sau về sự tồn tại tập hút lùi

Định lí 1.1 [9] Giả sử {U(t, τ)} là quá trình liên tục và D-compact tiệm cậnlùi Khi đó, nếu tồn tại một họ các tập D-hấp thụ lùi ˆB = {B(t) : t ∈ R} ∈ D,thì {U(t, τ)} có một tập D-hút lùi duy nhất ˆA = {A(t) : t ∈ R}, trong đó

và V trù mật trong H Ta đồng nhất H với không gian đối ngẫu H0 và xét Vnhư là không gian con của H0 bằng cách đồng nhất v ∈ V với phần tử fv ∈ H0xác định bởi

Cho T∗ ∈ R cố định Giả sử tồn tại họ {A(t) : t ≤ T∗} các tập con khácrỗng, compact của V thỏa mãn tính bất biến

U (t, τ )A(τ ) = A(t), với mọi τ ≤ t ≤ T∗,

và thỏa mãn với mọi τ ≤ t ≤ T∗, mọi u0 ∈ A(τ), tồn tại toán tử tuyến tínhliên tục L(t; τ, u0) ∈ L(V ) sao cho

kU(t, τ)u0−U(t, τ)u0−L(t; τ, u0)(u0−u0)k ≤ γ(t−τ, ku0−u0k)ku0−u0k (1.9)với mọi u0 ∈ A(τ), trong đó γ : R+× R+ → R+ là hàm thỏa mãn γ(s, ) khônggiảm với mọi s ≥ 0 và

lim

r→0γ(s, r) = 0, với mọi s ≥ 0 (1.10)

Ta giả sử rằng, với mọi t ≤ T∗, ánh xạ F (., t) khả vi Gâteaux trong V ,nghĩa là với mọi u ∈ V tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F0(u, t) ∈ L(V ; V0)thỏa mãn

lim

→0

1

 [F (u + v, t) − F (u, t) − F0(u, t)v] = 0 ∈ V0.Hơn nữa, ta giả sử rằng

F0 : (u, t) ∈ V × (−∞, T∗] 7→ F0(u, t) ∈ L(V ; V0)liên tục (do đó, trong trường hợp đặc biệt, với mỗi t ≤ T∗, ánh xạ F (., t) khả

vi liên tục Fréchet trong V )

Khi đó, với mọi τ ≤ T∗, mọi u0, v0 ∈ V , tồn tại duy nhất v(t) = v(t; τ, u0, v0)

là nghiệm của hệ phương trình

dt = F

0(U (t, τ )u0, t)v, τ < t < T∗,v(τ ) = v0

(1.11)

Giả sử

v(t; τ, u0, v0) = L(t; τ, u0)v0, với mọi τ ≤ t ≤ T∗, u0, v0 ∈ A(τ) (1.12)

Ta có định lí về đánh giá số chiều của tập hút lùi như sau.

Định lí 1.2 Với các giả thiết trên, và giả sử thêm rằng

[

τ ≤T ∗

A(τ ) compact tương đối trong V,

toán tử F0c(U (t, τ )u0, t) := F0(U (t, τ )u0, t) + F0∗(U (t, τ )u0, t) thỏa mãn bấtđẳng thức

dimF(A(t)) ≤ N, với mọi t ∈ R,trong đó N là số thực dương thỏa mãn

kukL r (Ω) ≤ kukθLs (Ω)kuk1−θLt (Ω).

• Bất đẳng thức Gronwall : Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên[0; T ] và thỏa mãn

dx(t)

dt ≤ g(t)x(t) + h(t), với hầu khắp t,trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ] Khi đó

x(t) ≤ x(0)eG(t)+

Z t 0

eG(t)−G(s)h(s)ds,với mọi 0 ≤ t ≤ T, ở đó

G(t) =

Z t 0

g(r)dr

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và

dx(t)

dt ≤ ax(t) + b,thì

ξ(s)ds + C2,với C1, C2 là các hằng số không âm Khi đó

ξ(t) ≤ C2 1 + C1teC1 t
với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T

• Bất đẳng thức Gronwall đều dạng thứ nhất : Giả sử x, a và b là các hàmdương thỏa mãn

dx(t)

dt ≤ a(t)x(t) + b(t)với

x(t) ≤

X

r + B



eAvới mọi t ≥ t0 + r

• Bất đẳng thức Gronwall đều dạng thứ hai: Giả sử với τ ∈ R và s > τbất kì ta có

Z t+r t

y(s)ds +

Z t+r t

h(s)ds

exp

 Z t+r t

g(s)ds

 (1.14)

1.3.2 Một số bổ đề và định lí quan trọng

Sau đây ta sẽ nhắc lại một số bổ đề và định lí quan trọng thường được sử dụng

để chứng minh các kết quả của luận án

Bổ đề 1.2 [36, Bổ đề compact Aubin-Lions] Cho X0, X và X1 là ba khônggian Banach với X0 và X1 là không gian phản xạ Giả sử X0 nhúng compacttrong X và X nhúng liên tục trong X1 Với 1 < p, q < +∞, ta đặt

W = {u ∈ Lp(0, T ; X0) | ˙u ∈ Lq(0, T ; X1)}

Khi đó W nhúng compact trong Lp(0, T ; X)

Bổ đề 1.3 [48, Định lí 13.3] Giả sử X và Y là hai không gian Banach trongđó

Bổ đề 1.4 [20, Định lí 2.2] Cho O là một miền bị chặn trong Rd, X ⊂ E

là các không gian Banach, trong đó phép nhúng trên là compact Xét 1 ≤ p <

q ≤ +∞ Giả sử F ⊂ Lp(O; E) thỏa mãn

(i) ∀ w ⊂⊂ O, lim

h→0sup

f ∈F kτhf −fkL p (w;E) = 0 (ở đó τhf là toán tử dịch chuyển

τhf (x) = f (x + h));

(ii) F bị chặn trong Lq(O; E) ∩ L1(O, X)

Khi đó, F là compact tương đối Lp(O; E)

Bổ đề 1.5 [1, Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue] Cho X là một không gian độ

đo và {fn} là một dãy các hàm đo được trên X sao cho lim

n→∞fn(x) = f (x) vớihầu khắp x ∈ X Nếu tồn tại hàm khả tích Lebesgue g sao cho với mọi n ∈ N,

Bổ đề 1.6 [36, Bổ đề 1.3, tr.12] Giả sử O là một tập mở bị chặn trong Rt×Rn

x

và {gj} là một dãy các hàm trong Lp(O), 1 < p < ∞, thoả mãn

kgjkL p (O) ≤ C với mọi j ∈ N∗.Khi đó, nếu g ∈ Lp(O) và gj → g h.k.n trong O thì gj * g trong Lp(O)

Bổ đề 1.7 [47, Hệ quả của Định lí điểm bất động Brouwer] Cho X là khônggian Hilbert vô hạn chiều với tích vô hướng [·, ·] và chuẩn [·], P là một ánh xạliên tục đi từ X vào chính nó sao cho [P (ξ), ξ] > 0 với mọi [ξ] = k > 0 Khi

đó, tồn tại ξ ∈ X sao cho [ξ] ≤ k và P (ξ) = 0

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệutiệm cận nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trìnhNavier-Stokes-Voigt không ôtônôm trong một miền không nhất thiết bị chặn(nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré) trong R3 Các kết quả đạt đượcbao gồm: Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (được chứng minh bằngphương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin), sự tồn tại duy nhất một tập Dσ-hút lùihữu hạn chiều của quá trình sinh ra bởi bài toán Ngoài ra, chúng tôi cũngđưa ra một số bình luận về mối quan hệ giữa tập hút lùi với tập hút đều vàtập hút toàn cục

Sau đó, chú ý rằng mọi kết quả đạt được ở trên cho hệ phương trình Stokes-Voigt ba chiều đều đúng trong trường hợp hai chiều, chúng tôi tiếp tụcchứng minh được tính compact trong không gian (H2(Ω))2 ∩ V của tập hútlùi ˆAα của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt hai chiều, sự tồn tại tập hútlùi ˆA0 trong V của hệ phương trình Navier- Stokes hai chiều tương ứng và chỉ

Navier-ra rằng ˆAα hội tụ đến ˆA0 khi α → 0 theo nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff(tức là chứng minh tính nửa liên tục trên của ˆAα tại α = 0)

Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [1], [3] trong Danh mụccông trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω là một miền tùy ý trong Rn (n = 2 hoặc 3) (có thể bị chặn hoặc không

bị chặn) với biên ∂Ω Xét hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt (trong một sốtài liệu viết là Voight) không ôtônôm sau:

trong đó u = u(x, t) = (u1(x, t), , un(x, t)), p = p(x, t) tương ứng là hàmvéctơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt, α làtham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, u0 là vận tốc ban đầu và

g = g(x, t) là hàm ngoại lực

Để nghiên cứu bài toán (2.1) chúng ta giả thiết:

(H1) Ω là miền tùy ý trong Rn, thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, nghĩa làtồn tại hằng số λ1 > 0 sao cho

1+α 2 λ 1, với λ1 là hằng số trong bất đẳng thức Poincaré.Trong chương này, khi n = 3, dưới các điều kiện (H1)-(H2), chúng tôinghiên cứu các vấn đề sau đối với bài toán (2.1):

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

• Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinhbởi nghiệm yếu của bài toán.

• Mối quan hệ giữa tập hút lùi với tập hút đều và tập hút toàn cục.Khi n = 2 và ngoại lực g thỏa mãn thêm điều kiện một số điều kiện (sẽ nói rõ

ở phần sau), chúng tôi chứng minh:

• Tính trơn của tập hút lùi (Chú ý rằng tính trơn nhận được của tập hútlùi vẫn đúng trong trường hợp n = 3; ta xét n = 2 chỉ để thuận tiện choviệc nghiên cứu tính nửa liên tục trên của tập hút lùi ở phần sau)

• Tính nửa liên tục trên của tập hút lùi tại α = 0

2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU

Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (2.1)

Định nghĩa 2.1 Hàm u được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (2.1) trênkhoảng (τ, T ) nếu

Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu được trình bày ở định lí sau

Định lí 2.1 Giả sử các điều kiện (H1) − (H2) được thỏa mãn Khi đó, vớimọi u0 ∈ V , τ ∈ R, T > τ cho trước, bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệmyếu u trên khoảng (τ, T ) Hơn nữa, với mọi t > τ, hàm số cho bởi u0 7→ u(t)liên tục trên V

Chứng minh Ta sẽ chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán bằngphương pháp xấp xỉ Galerkin qua 5 bước như sau:

Bước 1: Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ Faedo-Galerkin

Do V là không gian tách được và V trù mật trong V nên tồn tại một dãy các

phần tử độc lập tuyến tính {w1, w2, } ⊂ V, trực giao và đầy đủ trong V Đặt Vm = span{w1, , wm} và Pmu =Pm

j=1(u, wj)wj là phép chiếu trực giao

j=1ajwj(x) với aj = (u0, wj) Áp dụngđịnh lí Peano suy ra bài toán xấp xỉ trên có nghiệm um địa phương Nhờ cácước lượng tiên nghiệm thiết lập trong Bước 2 dưới đây, nghiệm xấp xỉ này làtồn tại toàn cục trên cả khoảng (τ, T )

Bước 2: Thiết lập các ước lượng tiên nghiệm cho nghiệm xấp xỉ um.Nhân hai vế phương trình (2.2) với cm

j , lấy tổng theo j, sau đó lấy tích phântheo biến s, cận từ τ đến t, ta có

∂

∂s|∇um(s)|2ds =

Z t

τ hg, umids.Suy ra

|um(t)|2+ν

Z t

τ |∇um(s)|2ds+α2|∇um(t)|2 ≤ ν1kgk2L2 (τ,T ;V 0

)+|u0|2+α2|∇u0|2

Bất đẳng thức trên suy ra {um} bị chặn trong L∞(τ, T ; V ) Từ đó, ta có thể

dễ dàng kiểm tra được {Aum} và {Bum} bị chặn trong L2(τ, T ; V0)

Bây giờ, ta cần chứng minh tính bị chặn của dum

dt

 Nhân hai vế phươngtrình (2.2) với ˙cm

j (s), lấy tổng theo j, sau đó lấy tích phân hai vế theo biến s

cận từ τ đến t, ta được

Z t

τ

∂um

∂s

2

ds + ν

Z t τ

Z t τ

2

ds + ν2

Z t τ

2

Z t τ