Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng NavierStokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— PHẠM THỊ TRANG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH DẠNG NAVIER-STOKES LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— PHẠM THỊ TRANG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH DẠNG NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. NCS. Phạm Thị Trang 2 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa. Tác giả vô cùng biết ơn PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy c ô trong Bộ môn Giải tích đã cổ vũ động viên và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Tổ chức, Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Hải Dương, đặc biệt là các thầy cô giáo và các anh chị nghiên cứu sinh trong Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đ ỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngày đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả. 3 Mục lục Trang phụ bìa 2 Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn . . 2 Mục lục 3 Một số kí hiệu dùng trong luận án. . 6 MỞ ĐẦU 7 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . 9 3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. PHƯƠNG PHÁP NGHI ÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC C HU ẨN BỊ 18 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 18 1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 21 1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 26 4 1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT . 31 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 33 2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 47 2.5. MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.1. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút toàn cục . . . . 56 2.5.2. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều . . . . . . 57 2.6. TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.1. Tính bị chặn của tập hút lùi trong (H 2 (Ω)) 2 . . . . . . 60 2.6.2. Tính compact của tập hút lùi trong (H 2 (Ω)) 2 . . . . . . 64 2.7. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68 2.7.1. Tập hút lùi của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69 2.7.2. Tính nửa liên tục trên của tập hút lùi sinh bởi hệ N avier- Stokes-Voigt hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER 90 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 92 3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP D σ -HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . 113 KẾT LUẬN . 118 1. CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 118 5 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO 120 6 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes, Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer (xin xem chi tiết ở tr. 19) V  không gian đối ngẫu của không gian V (·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H ((·, ·)),  ·  tích vô hướng và chuẩn trong không gian V · ∗ chuẩn trong không gian V  ·, · đối ngẫu giữa V và V  |·| p chuẩn trong không gian L p (Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞ Id ánh xạ đồng nhất A, A s , B các toán tử dùng đ ể nghiên cứu hệ Navier-Stokes, Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer (xin xem chi tiết ở tr. 20, 21) D(A s ) miền xác định của toán tử A s  hội tụ yếu Y X bao đóng của Y trong X P(X) họ các tập con bị chặn của X d F (K) số chiều fractal của tập compact K dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B. 7 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu được nghiên cứ u vào giữa thế kỉ XVIII và phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay. Nó được coi như chiếc cầu nối g iữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế, đặc biệt là các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng. Lớp phương trình này xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, .dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Chúng cũng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học kĩ thuật như khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầ u mỏ, vật lí plasma, . Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng trong cơ học chất lỏng là hệ Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất, nhớt, không nén được, được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng      ∂u ∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = g(x, t), ∇ · u = 0, ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và g là hàm ngoại lực. Hệ phương trình Navier-Stokes đưa ra lần đầu tiên năm 1822, và được bắt đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu thế kỉ XX với các công trình nền móng của Leray (1934) và Hopf (1951). Sau gần một thế kỉ phát triển, lí thuyết hệ phương trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng 8 hạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và cá c bài tổng quan [4, 50]). Tuy nhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật là tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes ba chiều. Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinh nhiều hướng nghiên cứu mới thú vị. Một trong số đó là nghiên cứu các biến dạng của hệ phương trình Navier-Stokes. Những hệ như vậy xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳng hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiên cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], các α-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiện khi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chất lưu với áp s uấ t phụ thuộ c độ nhớt [5], Đây là một hướng nghiên cứu mới và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới trong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Tuy nhiên theo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoại lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xé t phương trình là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Việc phát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miền không bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó vì đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ k ĩ thuật mới. Chúng tôi sẽ chọn vấn đề nghiên cứu này đối với một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes, xuất hiện trong cơ học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu cho luận án tiến sĩ của m ình. [...]... NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN • Mục đích của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi, tính ổn định của nghiệm dừng) của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes xuất hiện trong cơ học chất lỏng trong trường hợp không ôtônôm và miền xét phương trình thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, cụ thể là hệ phương trình NavierStokes- Voigt và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer... tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) của hệ NavierStokes- Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trường hợp miền xét phương trình (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm), làm đề tài nghiên cứu của luận án "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes"... TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ Navier-StokesVoigt; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của. .. tại và tính ổn định của nghiệm dừng 4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin, các dạng phù hợp của bổ đề compact, và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu... trong mục trước, lớp hệ phương trình dạng Navier- Stokes xuất hiện khi cần mô tả chuyển động của chất lỏng dưới những điều kiện vật lí nhất định Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp hệ phương trình này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, ta thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian... đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của hệ trong tương lai và từ đó có thể đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó là vô hạn chiều, người ta thường... compact, dẫn đến dạng cổ điển của Bổ đề compact Aubin-Lions và do đó các phương pháp thường dùng cho miền bị chặn không còn thích hợp nữa Để khắc phục, chúng ta cần sử dụng những dạng phù hợp của Bổ đề compact Aubin-Lions, kĩ thuật đánh giá phần 13 đuôi của nghiệm, phương pháp phương trình năng lượng và khai thác hợp lí cấu trúc của phương trình Lớp biến dạng thứ hai của hệ Navier-Stokes là lớp hệ Navier-Stokes... các phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân Khi ngoại lực g "lớn" và phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi, một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm Để chứng minh tính compact tiệm cận lùi của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại tập hút, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình năng lượng của. .. sát, hay một vài cơ chế tiêu tán khác Lớp các số hạng tắt dần này đã được khái quát hóa đủ rộng để mô tả các tác động thường gặp của môi trường trong chuyển động của chất lỏng (xem [33]) Về sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này, nói riêng là sự tồn tại tập hút toàn cục hoặc tập hút đều, xin xem các công trình gần đây [6, 7, 26, 33, 45, 46, 52] Hệ phương trình. .. do sự có mặt của số hạng −α2 ∆ut , làm mất đi tính chất parabolic (giống như hệ Navier- Stokes ban đầu) của hệ phương trình (1) Cụ thể, nghiệm của hệ không trơn hơn điều kiện ban đầu, tương tự tính chất của phương trình hyperbolic và hệ quả là hệ động lực tương ứng chỉ có tính chất tiêu hao yếu Điều này gây ra nhiều khó khăn khi chứng minh sự tồn tại tập hút lùi và chứng minh tính trơn của tập hút Tiếp . ngoại lực, f là số hạng phi tuyến thỏa mãn một số điều kiện cần thi t sẽ được đề cập sau và miền Ω ⊂ R 3 được 14 xét không nhất thi t bị chặn. Ngoài những khó khăn do sự xuất hiện của toán tử. BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiên cứu, thi t lập các đ á nh giá cần thi t để xử lí số hạng phi tuyến trong phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các. các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. NCS. Phạm Thị Trang 2 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại