Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng navier stokes

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— PHẠM THỊ TRANG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG NAVIER-STOKES LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— PHẠM THỊ TRANG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG NAVIER-STOKES Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án NCS Phạm Thị Trang LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả vơ biết ơn PGS.TS Trần Đình Kế thầy Bộ mơn Giải tích cổ vũ động viên truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Tổ chức, Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Hải Dương, đặc biệt thầy cô giáo anh chị nghiên cứu sinh Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, người dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả thành kính dâng tặng q tinh thần lên bậc sinh thành, người ngày đón đợi hy vọng bước trưởng thành tác giả Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN 14 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 15 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 16 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 17 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18 1.1 CÁC KHƠNG GIAN HÀM, TỐN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 18 1.1.1 Các không gian hàm 18 1.1.2 Các toán tử 20 1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 21 TẬP HÚT LÙI 22 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 26 1.2 1.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 26 1.3.2 Một số bổ đề định lí quan trọng 29 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT 31 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 31 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 33 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 40 2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 47 2.5 MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 56 2.5.1 Mối quan hệ tập hút lùi tập hút toàn cục 56 2.5.2 Mối quan hệ tập hút lùi tập hút 57 2.6 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI 59 2.6.1 Tính bị chặn tập hút lùi (H (Ω))2 60 2.6.2 Tính compact tập hút lùi (H (Ω))2 64 2.7 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68 2.7.1 Tập hút lùi hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69 2.7.2 Tính nửa liên tục tập hút lùi sinh hệ NavierStokes-Voigt hai chiều 80 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER 90 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 90 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 92 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP Dσ -HÚT LÙI 102 3.4 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 113 KẾT LUẬN 118 CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 118 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 118 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO 120 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes, Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer (xin xem chi tiết tr 19) V không gian đối ngẫu không gian V (·, ·), | · | tích vơ hướng chuẩn khơng gian H ((·, ·)), · · ∗ ·, · | · |p tích vô hướng chuẩn không gian V chuẩn không gian V đối ngẫu V V chuẩn không gian Lp (Ω), với ≤ p ≤ ∞ Id ánh xạ đồng A, As , B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes, Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer (xin xem chi tiết tr 20, 21) D(As ) miền xác định toán tử As hội tụ yếu Y X P(X) bao đóng Y X họ tập bị chặn X dF (K) số chiều fractal tập compact K dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu nghiên cứu vào kỉ XVIII phát triển mạnh mẽ từ kỉ XIX Nó coi cầu nối toán học ứng dụng Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng mơ hình tốn toán thực tế, đặc biệt phương trình hệ phương trình học chất lỏng Lớp phương trình xuất mơ tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát Chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học kĩ thuật khoa học hàng khơng, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Một lớp hệ phương trình bản, quan trọng học chất lỏng hệ Navier-Stokes, mô tả dịng chảy chất lỏng nhất, nhớt, khơng nén được, xây dựng từ định luật bảo tồn khối lượng, động lượng có dạng    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = g(x, t), ∂t  ∇ · u = 0, u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt g hàm ngoại lực Hệ phương trình Navier-Stokes đưa lần năm 1822, bắt đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu kỉ XX với cơng trình móng Leray (1934) Hopf (1951) Sau gần kỉ phát triển, lí thuyết hệ phương trình Navier-Stokes đạt nhiều kết sâu sắc (xem, chẳng hạn, chuyên khảo [14, 47, 48] tổng quan [4, 50]) Tuy nhiên, nhiều câu hỏi mở chưa giải quyết, bật tính nghiệm yếu tồn toàn cục nghiệm mạnh hệ Navier-Stokes ba chiều Những nỗ lực giải toán làm phát sinh nhiều hướng nghiên cứu thú vị Một số nghiên cứu biến dạng hệ phương trình Navier-Stokes Những hệ xuất mô tả chuyển động chất lưu điều kiện vật lí định, chẳng hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong số tài liệu viết Voight) xuất nghiên cứu chuyển động chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất nghiên cứu dòng chất lưu tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai chiều xuất nghiên cứu hệ Navier-Stokes miền mỏng [43], α-mơ hình học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động chất lưu với áp suất phụ thuộc độ nhớt [5], Đây hướng nghiên cứu thời sự, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới năm gần đây, ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt toán học đặt nghiên cứu Tuy nhiên theo hiểu biết chúng tôi, kết đạt tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ chủ yếu dừng lại trường hợp ngoại lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ơtơnơm) miền xét phương trình bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu đây) Việc phát triển kết cho trường hợp không ôtônôm miền không bị chặn vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, khó địi hỏi cách tiếp cận công cụ kĩ thuật Chúng chọn vấn đề nghiên cứu số hệ phương trình dạng Navier-Stokes, xuất học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu cho luận án tiến sĩ 111 Kết hợp với giả thiết eσ(s−t) g(s) ∈ L2 (t − k, t; V ) ta thu t lim sup n →∞ t−k eσ(s−t) g(s), U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n ds t = t−k Lại có, eσ(s−t) g(s), U (s, t − k)wk ds t eσ(s−t) [v(s)]2 ds xác định chuẩn L2 (t−k, t; V ), t−k tương đương với chuẩn thường dùng, suy t t−k eσ(s−t) [U (s, t − k)wk ]21 ds t ≤ lim inf n →∞ t−k eσ(s−t) [U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n ]21 ds Tiếp theo, Bổ đề 3.1, ta có U (s, t − k)wk yếu Lr+1 (t − k, t; Lr+1 (Ω)), U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n U (s, t−k)U (t−k, τn )u0n → U (s, t−k)wk mạnh L2 (t−k, t; (H01 )loc (Ω)), nên t t−k Ω eσ(s−t) f (U (s, t − k)wk ) · U (s, t − k)wk dxds t ≤ lim inf n →∞ t−k Ω eσ(s−t) f (x, U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n ) · U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n dxds Từ đánh giá trên, ta dễ dàng có lim sup[U (t, τn )u0n ]22 n →∞ ≤ e−σk + α2 Rσ2 (t − k) λ1 t eσ(s−t) +2 t−k g(s), U (s, t − k)wk − [U (s, t − k)wk ]21 − Ω f (x, U (s, t − k)wk ) · U (s, t − k)wk dx ds 112 Mặt khác, ta có [w0 ]22 = [U (t, t − k)wk ]22 −σk =e [wk ]22 t −2 −2 t−k t t−k t +2 t−k eσ(s−t) g(s), U (s, t − k)wk ds eσ(s−t) [U (s, t − k)wk ]21 ds Ω eσ(s−t) f (x, U (s, t − k)wk ) · U (s, t − k)wk dxds Vì vậy, lim sup[U (t, t − τn )u0n ]22 ≤ e−σk n →∞ ≤ e−σk + α2 Rσ2 (t − k) + [w0 ]22 − e−σk [wk ]22 λ1 + α2 Rσ2 (t − k) + [w0 ]22 λ1 Mà ta lại có −σk e Rσ2 (t 2e−σt − k) = ν k → +∞, suy t−k −∞ eσs g(s) 2∗ ds → lim sup[U (t, τn )u0n ]22 ≤ [w0 ]22 n →∞ Định lí chứng minh Nhận xét 3.1 Như hệ trực tiếp định lí trên, ta tồn tập hút tồn cục q trình sinh tốn ngoại lực g ∈ V khơng phụ thuộc vào biến thời gian t Khi đó, ta định nghĩa nửa nhóm liên tục S(t) : V → V cho S(t)u0 = u(t), u(t) nghiệm yếu toán (3.1) với điều kiện ban đầu u0 Dễ thấy S(t)u0 = U (t, 0)u0 = U (t + τ, τ )u0 , với τ ∈ R Vì vậy, từ đánh giá (3.17) ta có hình cầu B0 = u ∈ V : u ≤ ϕ1 σα2 L1 + g νσα2 ∗ 113 tập hấp thụ bị chặn S(t), nghĩa với tập bị chặn B bất kì, tồn T (B) cho S(t)B ⊂ B0 với t ≥ T (B) Mặt khác, với tn → +∞ un ∈ B bất kì, dãy S(tn )un = U (tn , 0)un = U (0, −tn )un compact tương đối V (do phần ii) chứng minh Định lí 3.2) Vì vậy, S(t) compact tiệm cận V Do đó, theo định lí biết tồn tập hút toàn cục (xem, chẳng hạn, [49, Định lí 1.1]), nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục compact liên thông A V 3.4 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG Giả sử ngoại lực g ∈ V không phụ thuộc vào biến thời gian t Ta có định nghĩa nghiệm dừng tương ứng toán (3.1) sau: Định nghĩa 3.2 Một hàm u∗ ∈ V ∩ Lr+1 (Ω) gọi nghiệm dừng tốn (3.1) thỏa mãn ν((u, v)) + b(u, u, v) + Ω với v ∈ V ∩ Lr+1 (Ω) f (x, u) · v dx = g, v Sự tồn nghiệm dừng phát biểu định lí sau Định lí 3.3 Dưới giả thiết kí hiệu trên, tốn (3.1) có nghiệm dừng u∗ thỏa mãn ν u∗ + 2µ u∗ r+1 Lr+1 ≤ g ν ∗ + ϕ1 L1 (3.19) Hơn nữa, giả thiết sau thỏa mãn ν> Kλ−1 + g 2∗ ϕ1 + ν ν −1/4 2−1 λ1 L1 1/2 (3.20) nghiệm dừng tốn (3.1) Chứng minh (i) Sự tồn Đầu tiên, ta thấy việc chứng minh đánh giá (3.19) cho nghiệm dừng u∗ (nếu tồn tại) dễ dàng Thật vậy, nghiệm dừng u∗ tồn phải thỏa mãn đẳng thức ν((u∗ , u∗ )) + b(u∗ , u∗ , u∗ ) + Ω f (x, u∗ ) · u∗ dx = g, u∗ 114 Do b(u∗ , u∗ , u∗ ) = f (x, v) · v ≥ µ|v|r+1 − ϕ1 (x), ta có ν u∗ +µ Ω |u∗ |r+1 dx ≤ ϕ1 L1 + g ≤ ϕ1 L1 + ∗ g 2ν u∗ ∗ + ν ∗ u , từ ta đánh giá (3.19) Bây giờ, ta cần chứng minh nghiệm dừng toán tồn Thật vậy, V ∩ Lr+1 (Ω) tách V trù mật V ∩ Lr+1 (Ω) nên tồn dãy phần tử độc lập tuyến tính, trực giao {w1 , w2 , } ⊂ V, đầy đủ V ∩ Lr+1 (Ω) Kí hiệu Vm = span{w1 , , wm } Một nghiệm dừng xấp xỉ toán (3.1) hàm có dạng m u m cmi wi = i=1 thỏa mãn ν((um , wi )) + b(um , um , wi ) + Ω f (x, um ) · wi dx = g, wi (3.21) Để chứng minh tồn nghiệm, ta định nghĩa toán tử Rm : Vm → Vm ((Rm u, v)) = ν((u, v)) + b(u, u, v) + Ω f (x, u) · v dx − g, v với u, v ∈ Vm Với u ∈ Vm ta có ((Rm u, u)) = ν((u, v)) + b(u, u, u) + Ω ≥ν u 2+µ u ν ≥ u − ϕ1 f (x, u) · u dx − g, u r+1 Lr+1 L1 − ϕ1 L1 − g g 2∗ − 2ν ∗ u Vì vậy, chọn k= ϕ1 g 2∗ + ν ν L1 1/2 , ta ((Rm u, u)) ≥ với u ∈ Vm cho u = k đó, sử dụng Bổ đề 1.7, hệ Định lí điểm bất động Brouwer, ta có: với m ≥ tồn um ∈ Vm cho um ≤ k Rm (um ) = 115 Thay wi (3.21) um với ý b(um , um , um ) = f (x, v) · v ≥ µ|v|r+1 − ϕ1 (x), ta ν um + 2µ um r+1 Lr+1 ≤ g ν ∗ + ϕ1 L1 Do đó, {um } bị chặn V ∩ Lr+1 (Ω), dẫn đến {f (x, um )} bị chặn L(r+1)/r (Ω) Vì vậy, từ dãy {um } ta trích dãy con, kí hiệu {um } cho um hội tụ yếu V ∩ Lr+1 (Ω) đến u∗ ta chứng minh u∗ nghiệm dừng yếu tốn (3.1) (ii) Tính nghiệm Giả sử u∗1 u∗2 hai nghiệm dừng toán (3.1) Đặt u∗ = u∗1 − u∗2 ta có: với v ∈ V ∩ Lr+1 (Ω) ν Au∗ , v + b(u∗1 , u∗1 , v) − b(u∗2 , u∗2 , v) + Ω (f (x, u∗1 ) − f (x, u∗2 )) · vdx = Chọn v = u∗ ta ν u∗ = −b(u∗1 , u∗1 , u∗ ) + b(u∗2 , u∗2 , u∗ ) − ≤ b(u∗ , u∗ , u∗2 ) − ≤ −1/4 2−1 λ1 ≤ Kλ−1 + u ∗ Ω Ω (f (x, u∗1 ) − f (x, u∗2 )) · u∗ dx fu (x, ξ)u∗ · u∗ dx u∗2 + K|u∗ |2 g 2∗ ϕ1 + ν ν −1/4 2−1 λ1 L1 1/2 u∗ (3.22) Từ (3.20) (3.22) ta suy tính nghiệm dừng Bây giờ, ta chứng minh nghiệm dừng u∗ nhận ổn định mũ toàn cục Định lí 3.4 Giả sử giả thiết Định lí 3.1 với g khơng phụ thuộc vào biến thời gian điều kiện (3.20) thỏa mãn Khi đó, nghiệm u(t) tốn (3.1) với τ = thỏa mãn đánh giá sau u(t) − u∗ ≤ 1+ λ1 α2 e−λt u(0) − u∗ , với λ số dương thỏa mãn λ(λ−1 + α ) − 2ν + −1/4 λ1 ϕ1 g 2∗ + ν ν L1 1/2 + 2Kλ−1 < (Sự tồn số λ > suy từ điều kiện (3.20)) 116 Chứng minh Đặt w(t) = u(t) − u∗ ta có dw(t) ,v dt d∇w(t) , ∇v dt + ν((w(t), v)) + α2 + b(u(t), u(t), v) − b(u∗ , u∗ , v) + (f (x, u(t)) − f (x, u∗ ), v) = Chọn v = eλt w(t) (với λ số dương bất kì, giá trị chọn sau), ta có λ d λt e |w| + α2 eλt w − eλt (|w|2 + α2 w ) + νeλt w + eλt b(u, u, w) dt − eλt b(u∗ , u∗ , w) + eλt (f (x, u) − f (x, u∗ ), w) = Vì vậy, d λt e |w| + α2 eλt w dt ≤ eλt λ|w|2 + λα2 w ≤ eλt λλ−1 w λt ≤e λ(λ−1 2 − 2ν w + λα2 w + α ) − 2ν + 2 + 2b(w, w, u∗ ) − − 2ν w −1/4 λ1 −1/4 + λ1 w g 2∗ ϕ1 + ν ν Ω f (x, ξ)w · wdx u∗ + 2K|w|2 1/2 L1 + 2Kλ−1 Do (3.20), ta có −1/4 −2ν + λ1 g 2∗ ϕ1 + ν2 ν L1 1/2 + 2Kλ−1 < Vì vậy, ta chọn λ > đủ nhỏ cho λ(λ−1 + α ) − 2ν + thu −1/4 λ1 g 2∗ ϕ1 + ν ν L1 1/2 + 2Kλ−1 < 0, d λt (e [w(t)]22 ) ≤ dt Vì vậy, [u(t) − u∗ ]22 ≤ e−λt [u(0) − u∗ ]22 Chú ý u ≤ [u]2 ≤ α2 ta điều phải chứng minh + α2 λ1 u ∀u ∈ V, w 117 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, nghiên cứu hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ba chiều miền không thiết bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh tồn nghiệm yếu (Định lí 3.1) 2) Chứng minh tồn tập hút lùi trình sinh nghiệm yếu tốn ngoại lực g phụ thuộc vào biến thời gian (Định lí 3.2) 3) Chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu toán ngoại lực g không phụ thuộc vào biến thời gian "đủ nhỏ" (Định lí 3.3) 118 KẾT LUẬN CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt hệ KelvinVoigt-Brinkman-Forchheimer ba chiều trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm) miền xét hệ không thiết bị chặn mà cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Các kết đạt bao gồm: Đối với hệ Navier-Stokes-Voigt: Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi, tính trơn tập hút lùi, tính nửa liên tục tập hút lùi trường hợp hai chiều Đối với hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer: Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn tập hút lùi, tồn tính ổn định nghiệm dừng KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Tiếp tục nghiên cứu tính chất tập hút lùi q trình sinh hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer: tính trơn, đánh giá số chiều tập hút, phụ thuộc liên tục tập hút theo tham số • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trường hợp ngoại lực phụ thuộc vào trễ chứa nhiễu ngẫu nhiên 119 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C T Anh and P T Trang, Pullback attractors for 3D Navier-StokesVoigt equations in some unbounded domains, Proc Royal Soc Edinburgh Sect A 143 (2013), 223-251 C T Anh and P T Trang, On the 3D Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal 89 (2013), 36-54 C T Anh and P T Trang, Regularity and upper semicontinuity of pullback attractors for Navier-Stokes-Voigt equations in two-dimensional unbounded domains, submitted 120 Tài liệu tham khảo [1] R.A Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [2] A.V Babin and M.I Vishik (1992), Attractors of Evolution Equations, Amsterdam, North-Holland, 532 p [3] J.M Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin Dyn Syst 10, 31-52 [4] C Bardos and B Nicolaenko (2002), Navier-Stokes equations and dynamical systems, Handbook of dynamical systems, Vol 2, 503-597, NorthHolland, Amsterdam [5] M Bulicek and J Malek (2005), On the dimension on the attractor for a class of fluids with pressure dependent viscossity, Comm Pure Appl Anal 4, 805-822 [6] X Cai and Q Jiu (2008), Weak and strong solutions for the incompressible Navier-Stokes equations with damping, J Math Anal Appl 343, 799-809 [7] X Cai and L Lei (2010), L2 decay of the incompressible Navier-Stokes equations with damping, Acta Math Sci., Ser B, Engl Ed 30, 1235-1248 [8] Y Cao, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models, Commun Math Sci 4, 823-848 121 [9] T Caraballo, G Lukaszewicz and J Real (2006), Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal 64, 484-498 [10] A Carvalho, J.A Langa and J.C Robinson (2013), Attractors for InfiniteDimensional Non-Autonomous Dynamical Systems, Appl Math Sci 182 Berlin: Springer, 409 p [11] A.O Celebi, V.K Kalantarov and M Polat (2009), Global attractors for 2D Navier-Stokes-Voight equations in an unbounded domain, Appl Anal 88, 381-392 [12] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (1994), Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension, J Math Pures Appl 73, 279-333 [13] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [14] P Constantin and C Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago [15] Y Dou, X Yang and Y Qin (2011), Remarks on uniform attractors for the 3D non-autonomous Navier-Stokes-Voight equations, Bound Value Probl 2011, 2011:49, 11 pp [16] C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2001), The Navier-Stokes-alpha model of fluid turbulence, Advances in nonlinear mathematics and science, Phys D 152/153 (2001), 505-519 [17] J García-Luengo, P Marín-Rubio and J Real (2011), H -boundedness of the pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in bounded domains, Nonlinear Anal 74, 4882-4887 122 [18] J García-Luengo, P.M Rubio and J Real (2012), Pullback attractors in V for non-autonomous 2D-Navier-Stokes equations and their tempered behaviour, J Differential Equations 252, 4333-4356 [19] J García-Luengo, P Marín-Rubio and J Real (2012), Pullback attractors for three-dimensional non-autonomous Navier-Stokes-Voigt equations, Nonlinearity 25, 905-930 [20] M J Garrido-Atienza and P Mari´ n-Rubio (2006), Navier-Stokes equations with delays on unbounded domains, Nonlinear Anal 64, 1100-1118 [21] O Goubet (2000), Asymptotic smoothing effect for weakly damped forced Korteweg-de Vries equations, Discrete Contin Dyn Syst 6, 625-644 [22] O Goubet and R Rosa (2002), Asymptotic smoothing and the global attractor of a weakly damped KdV equation on the real line, J Differential Equations 185, 25-53 [23] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, 523-567 [24] Y Hou and K Li (2004), The uniform attractor for the 2D nonautonomous Navier-Stokes flow in some unbounded domains, Nonlinear Anal 58, 609-630 [25] A.A Ilyin and E.S Titi (2003), Attractors for the two-dimensional NavierStokes-α model: an α-dependence study, J Dynam Differential Equations 15, 751-778 [26] Y Jia, X Zhang and B Dong (2011), The asymptotic behavior of solutions to three-dimensional Navier-Stokes equations with nonlinear damping, Nonlinear Anal., Real World Appl 12, 1736-1747 123 [27] N Ju (2000), The H -compact global attractor for the solutions to the Navier-Stokes equations in two-dimensional unbounded domains, Nonlinearity 13, 1227-1238 [28] V.K Kalantarov (1986), Attractors for some nonlinear problems of mathematical physics, Zap Nauchn Sem Lenigrad Otdel Math Inst Steklov (LOMI) 152, 50-54 [29] V.K Kalantarov (1988), Global Behavior of Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics of Classical and Non-classical Type, Dr Sc thesis, St Peterburg [30] V.K Kalantarov (2010), Global behavior of solutions to BrinkmanForchheimer equations, Workshop on Dissipative PDE’s on Bounded and Unbounded Domains, Edinburgh, 24p [31] V.K Kalantarov and E.S Titi (2009), Global attractor and determining modes for the 3D Navier- Stokes-Voight equations, Chin Ann Math Ser B 30, 697-714 [32] V.K Kalantarov and E.S Titi (2009), Gevrey regularity for the attractor of the 3D Navier- Stokes-Voight equations, J Nonlinear Sci 19, 133-152 [33] V.K Kalantarov and S Zelik (2012), Smooth attractors for the BrinkmanForchheimer equations with fast growing nonlinearities, Comm Pure Appl Anal 11, 2037-2054 [34] O.A Ladyzhenskaya (1991), Attractor for Semigroups and Evolution Equations, Cambridge University Press, Cambridge [35] J.A Langa, G Lukaszewicz and J Real (2007), Finite fractal dimension of pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal 66, 735-749 124 [36] J.L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires Paris: Dunod, Gauthier-Villars [37] A Miranville and S Zelik (2008), Attractors for disspative partial differential equations in bounded and unbounded domains, Handbook of differential equations: Evolutionary equations Vol IV Amsterdam: Elsevier/ North-Holland Handbook of Differential Equations, 103-200 [38] A.P Oskolkov (1973), The uniqueness and solvability in the large of boundary value problems for the equations of motion of aqueous solutions of polymers, Zap Nauchn Sem Leningrad Otdel Math Inst Steklov (LOMI) 38, 98-136 [39] M Paicu, G Raugel and A Rekalo (2012), Regularity of the global attractor and finite-dimensional behavior for the second grade fluid equations, J Differential Equations 252, 3695-3751 [40] Y Qin, X Yang and X Liu (2012), Averaging of a 3D Navier-StokesVoight equation with singularly oscillating forces, Nonlinear Anal Real World Appl 13 (2012), 893-904 [41] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge [42] M Răockner and X Zhang (2009), Tamed 3D Navier- Stokes equation: existence, uniqueness and regularity, Infin Dimens Anal Quantum Probab Relat Top 12, 525-549 [43] J Roh (2005), Dynamics of the g-Navier-Stokes equations, J Differential Equations 211, 452-484 [44] R Rosa (1998), The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains, Nonlinear Anal 32, 71-85 125 [45] X Song and Y Hou (2011), Attractors for the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with damping, Dist Cont Dyna Syst 31, 239-252 [46] X Song and Y Hou (2015), Uniform attractors for three-dimensional Navier-Stokes equations with nonlinear damping, J Math Anal Appl 422, 337-351 [47] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [48] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [49] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, 2nd edition, New York [50] R Temam (2000), Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20th century, Development of Mathematics 19502000, Birkhă auser, Basel, 1049-1106 [51] G Yue and C.K Zhong (2011), Attractors for autonomous and nonautonomous 3D Navier-Stokes-Voight equations, Discrete Cont Dyna Syst Ser B 16, 985-1002 [52] Z Zhang, X Wu and M Lu (2011), On the uniqueness of strong solution to the incompressible Navier-Stokes equations with damping, J Math Anal Appl 377, 414-419 ... bày kết tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu hệ Navier- StokesVoigt; Chương trình bày kết tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer 18 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC... luận án "Dáng điệu tiệm cận nghiệm số hệ phương trình dạng Navier- Stokes" MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN • Mục đích luận án nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông... đuôi nghiệm, phương pháp phương trình lượng khai thác hợp lí cấu trúc phương trình Lớp biến dạng thứ hai hệ Navier- Stokes lớp hệ Navier- Stokes với số hạng tắt dần (damping term) hệ Navier- Stokes