Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

Dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễDáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS TSKH Đinh Nho Hào, Viện Toán học Phản biện 2: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Đặng Đình Châu, Trường Đại học KHTN-ĐHQG Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Bao hàm thức tiến hóa mơ hình cho nhiều tốn khác nhau, tiêu biểu tốn quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến khơng liên tục, toán điều khiển với phản hồi đa trị số bất đẳng thức vi biến phân Đối với hệ tiến hóa mơ tả tốn thực tế, trễ thời gian cho phép việc mơ tả q trình xác Vì vậy, bao hàm thức vi phân có trễ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trong luận án này, tập trung vào vấn đề trung tâm lí thuyết định tính hệ vi phân tiến hóa, dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân khơng ơ-tơ-nơm có trễ, bao gồm tồn nghiệm tích phân, tồn tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu tính hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm Lí thuyết định tính hệ vi phân không gian hữu hạn chiều nghiên cứu từ đầu kỷ 20 thu thành tựu quan trọng cho hệ vi phân đơn trị đa trị Với bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, chuyên khảo Aubin Cellina (1984) Demling (1992) trình bày cách hệ thống kết tính giải được, cấu trúc tập nghiệm Khái niệm ổn định yếu Filippov đề xuất trình bày chuyên khảo có tiếng Anh năm 1988 Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân không gian Banach tổng quát ứng dụng trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời sự, tìm thấy kết nghiên cứu chuyên khảo Hu Papageorgiou (1997) Kamenskii, Obukhovskii Zecca (2001) Dựa vào lí thuyết nửa nhóm, kết tính giải bao hàm thức tiến hóa thiết lập nhiều điều kiện khác nhau, chẳng hạn kết Cardinali Rubbioni (2006) Obukhovskii Zecca (2011) Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, lí thuyết tập hút tồn cục xây dựng (xem Chepyzhov Vishik (1997, 2002), Temam (1997)) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm hệ vi phân ô-tô-nôm (autonomous) Lí thuyết phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết cho hệ động lực đơn trị hệ động lực đa trị Nói riêng với hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút phát triển với số lược đồ nghiên cứu, lược đồ nửa dòng suy rộng Ball (1997, 2004), nửa dòng đa trị Melnik Valero (1998) Hai cách tiếp cận Carballo cộng so sánh (2003) Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ vi phân khơng ơ-tơ-nơm (nonautonomous), lí thuyết tập hút tập hút lùi xây cho trường hợp đơn trị đa trị (xem Caraballo, Kloeden số tác giả (2008, 2003, 2009); Melnik J Valero (1998, 2000)) Trong đó, phải kể đến kết nghiên cứu quan trọng Caraballo, Kloeden cộng tập hút lùi cho hệ vi phân tất định hệ ngẫu nhiên với lược đồ thống Gần đây, Zelati Kalita (2015) đưa cải tiến đáng ý lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, giảm nhẹ tính liên tục hệ động lực đưa tiêu chuẩn compact tiệm cận dựa độ đo không compact Trong lược đồ nghiên cứu tập hút, bước then chốt để chứng minh tồn tập hút toàn cục kiểm tra điều kiện tính compact tiệm cận hệ động lực sinh hệ Điều kiện thỏa mãn nửa nhóm sinh phần tuyến tính nửa nhóm compact Tuy nhiên, hệ vi phân đạo hàm riêng miền khơng bị chặn nói chung khơng thỏa mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh phần tuyến tính khơng có tính chất compact Với khơng gian pha không Hilbert tách được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta kiểm tra điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem Zelati Kalita (2015), Ma, Wang Zong (2002), Zong cộng (2006, 2010)) Tuy nhiên, cách không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khơng gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta khơng thể tìm sở khơng gian pha để áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều Mục tiêu nghiên cứu xây dựng số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận hệ động lực tình kể Đề cập đến khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm thức vi phân, thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov khó áp dụng tính khơng nghiệm tốn Cauchy Do đó, kết tính ổn định cho bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov hạn chế Mục tiêu sử dụng cách tiếp cận điểm bất động Bu (2006) để phân tích dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vơ hạn khơng gian Banach tổng qt, tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường (nghiệm không) xem xét Theo góc nhìn khác, dáng điệu nghiệm hệ vi phân thời gian đủ lớn đóng vai trò quan trọng nhiều tốn thực tiễn, dáng điệu nghiệm khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan trọng tốn liên quan đến q trình sinh-hóa (biochemical networks), q trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction), trình cần quan sát xảy khoảng thời gian ngắn Từ đó, hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Một số kết tiêu biểu cho hệ vi phân thường tìm thấy cơng trình Berger (2011), Duc cộng (2008, 2011, 2016), Giesl Rasmussen (2012), Rasmussen (2007) Sử dụng khái niệm hệ động lực thời gian hữu hạn Giesl Rasmussen (2012) đề xuất, đặt vấn đề nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ khơng gian Banach, chúng tơi tìm kiếm điều kiện chấp nhận áp đặt lên phần tuyến tính phần phi tuyến để chứng minh số điều kiện đủ cho tính hút nghiệm tầm thường Sau đây, chúng tơi trình bày cách ngắn gọn nội dung nghiên cứu Sử dụng lược đồ tập hút lùi Caraballo Kloeden, nghiên cứu tồn tập hút lùi cho số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ khơng gian Banach Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn, chúng tơi xét lớp tốn sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t ≥ τ, u(t) = ϕτ (t − τ ), t ∈ [τ − h, τ ], (1) (2) hàm trạng thái u lấy giá trị không gian Banach tách X , A tốn tử tuyến tính đóng sinh nửa nhóm liên tục mạnh X , F ánh xạ đa trị xác định R × X × C([−h, 0]; X), ut hàm trễ, tức ut (s) = u(t + s) với s ∈ [−h, 0] Ký hiệu {U(t, τ, ·)}t≥τ hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh hệ (1)-(2), tức U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u(·, τ, ϕτ ) nghiệm tích phân hệ (1)-(2)} Liên quan đến kết tồn tập hút lùi, đóng góp chúng tơi đề xuất cách kiểm tra tính compact tiệm cận U theo cách chứng minh tính nén toán tử GT,t = U(t, t − T, ·) C([−h, 0]; X) Đáng lưu ý cách tiếp cận hiệu hệ có trễ ta cần kiểm tra ước lượng độ đo không compact phần phi tuyến Trường hợp hệ có trễ vơ hạn, chúng tơi xét lớp toán sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0], (5) (6) u A giống trường hợp trễ hữu hạn, F ánh xạ đa trị xác định R × B , với B không gian pha kiểu Hale-Kato (Định nghĩa Chương 1) Một số kết tồn tập hút F hàm đơn trị công bố Bouzahir cộng (2011), Caraballo Kloeden (2009) Mục đích chúng tơi giải trường hợp phần phi tuyến đa trị cách sử dụng ước lượng theo độ đo không compact Việc chứng minh tồn nghiệm cho toán (5)-(6) tương tự hệ có trễ hữu hạn Tuy nhiên, nghiên cứu tồn tập hút lùi ta gặp số khó khăn, khó khăn xuất phát từ đặc điểm không gian pha Trên không gian ta tiêu chuẩn tính compact, đồng thời khơng có mối quan hệ đủ tốt độ đo không compact không gian pha độ đo không compact X toán với trễ hữu hạn, dẫn đến việc kỹ thuật sử dụng cho trường hợp trễ hữu hạn lại không khả dụng cho trường hợp trễ vô hạn Ở đây, đề xuất tiêu chuẩn cho tính compact tiệm cận hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị dựa tính co theo độ đo khơng compact, từ chứng minh hệ động lực sinh tốn có tập hút lùi tồn cục khơng gian pha Cγ Kết phần áp dụng cho toán điều khiển với phản hồi đa trị Bên cạnh việc sử dụng khái niệm tập hút lùi, sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận yếu (Định nghĩa chương 4) để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ (5)-(6) theo cách tiếp cận lí thuyết điểm bất động Để giải tốn này, sử dụng độ đo không compact khơng BC([τ, +∞); X), từ đưa tiêu chuẩn compact khơng gian để khai thác nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén Kết lí thuyết áp dụng cho toán điều khiển Nội dung nghiên cứu sau tính hút nghiệm tầm thường khoảng thời gian hữu hạn hệ vi phân hàm sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (14) (15) u A tương tự toán trước, F ánh xạ đa trị xác định [0, T ] × C([−h; 0], X), ut hàm trễ xác định [−h, 0] Hàm ϕ ∈ C([−h, 0]; X) kiện đầu Mục tiêu đưa điều kiện đủ cho tính hút nghiệm tầm thường (14)-(15) hàm phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Cuối cùng, chúng tơi áp dụng kết thu cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu luận án 2.1 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân tiến hóa nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm có trễ lí thuyết tập hút lùi lí thuyết ổn định Cụ thể 1) Tìm điều kiện đủ để kiểm tra tính chất compact tiệm cận hệ động lực đa trị sinh bao hàm thức vi phân chứa trễ hữu hạn vơ hạn, từ chứng minh tồn tập hút lùi 2) Thiết lập điều kiện đảm bảo tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vô hạn 3) Xây dựng điều kiện đủ cho tính hút thời gian hữu hạn nghiệm tầm thường lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ hữu hạn 2.2 Đối tượng nghiên cứu: Trong luận án, xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm khơng gian Banach tổng qt • Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn; • Bao hàm thức vi phân có trễ vơ hạn; với phần tuyến tính sinh nửa nhóm liên tục mạnh phần phi tuyến hàm đa trị 2.3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu thể thông qua nội dung sau • Nội dung 1: Nghiên cứu tồn nghiệm bao hàm thức vi phân không ô-tô-nôm với trễ hữu hạn trễ vơ hạn; • Nội dung 2: Nghiên cứu tồn tập hút lùi cho bao hàm thức vi phân nói trên; • Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường bao hàm thức vi phân với trễ vô hạn; • Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn Phương pháp nghiên cứu ◦ Để chứng minh tồn nghiệm bao hàm thức vi phân, chúng tơi sử dụng lí thuyết nửa nhóm (xem Pazy (1983)), ước lượng độ đo không compact (xem Kamenskii cộng (2001)), công cụ giải tích đa trị định lí điểm bất động cho ánh xạ nén (Kamenskii, Obbukhovskii Zecca (2001)) ◦ Trong nghiên cứu tồn tập hút lùi cho q trình đa trị khơng ơ-tơnơm, chúng tơi sử dụng lược đồ đề xuất Caraballo Kloeden (2009) Trong đó, chúng tơi thực ước lượng theo độ đo khơng compact để thu tính compact tiệm cận trình đa trị ◦ Để nghiên cứu tính ổn định yếu nghiệm tầm thường cho hệ vi phân có trễ vơ hạn tính hút nghiệm tầm thường cho hệ vi phân hàm, sử dụng nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén ứng với độ đo không compact xây dựng tương tự Anh Ke (2015) kỹ thuật ước lượng tiên nghiệm Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình cơng bố Tài liệu tham khảo, luận án gồm năm chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày tính giải tồn tập hút lùi cho lớp bao hàm thức vi phân hàm với trễ hữu hạn Chương trình bày tiêu chuẩn tồn tập hút lùi cho trình đa trị tổng qt, chứng minh tính giải toàn cục lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vơ hạn tồn tập hút lùi cách sử dụng tiêu chuẩn nói Chương trình bày tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ vơ hạn Chương trình bày tính hút nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ hữu hạn đoạn compact Ý nghĩa kết luận án Các kết thu luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu ổn định nghiệm cho bao hàm thức vi phân có trễ trong khơng gian Banach tổng quát, áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hệ vi phân thường có trễ Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị, bao gồm: Các không gian hàm; độ đo không compact ước lượng; lí thuyết nửa nhóm; giải tích đa trị định lí điểm bất động; tập hút lùi cho hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị 1.1 CÁC KHƠNG GIAN HÀM Trong mục này, chúng tơi nhắc lại số không gian hàm như: Lp (Ω), ≤ p < +∞; L∞ (Ω); Lploc (Ω), ≤ p < +∞, với Ω miền bị chặn Rn Các không gian hàm phụ thuộc thời gian, C([a, b]; E); Lp (a, b; E); Cτ := C([−τ, 0]; E), τ > cho trước E khơng gian Banach Đặc biệt, chúng tơi trình bày không gian pha kiểu Hale-Kato B Không gian Cφσ trình bày 1.2 ĐỘ ĐO KHƠNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm độ đo không compact số ước lượng độ đo không compact Hausdorff Trong số trường hợp ước lượng khơng gian Banach tách khác với khơng gian Banach tổng qt 1.3 LÍ THUYẾT NỬA NHĨM Mục dùng để trình bày số khái niệm kết lí thuyết nửa nhóm 1.4 1.4.1 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Một số vấn đề giải tích đa trị Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết giải tích đa trị Trong có khái niệm hàm chọn hàm đa trị, tồn hàm chọn số kết then chốt Mệnh đề 1.5 Mệnh đề 1.6 1.4.2 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động Trong mục này, chúng tơi trình bày ngun lí điểm bất động cho ánh xạ nén 1.5 TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG Ơ-TƠ-NƠM ĐA TRỊ Trong mục này, chúng tơi nhắc lại số khái niệm kết D-hút lùi cho hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị dựa theo T Caraballo P.E Kloeden (2009) với lược đồ chứng minh tồn tập hút lùi Chương TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN Trong chương này, nghiên cứu lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm không gian Banach với trễ hữu hạn Bằng ước lượng theo độ đo không compact, chứng minh tính giải tồn cục tồn tập hút lùi cho trình đa trị sinh hệ Chúng tơi đưa cách chứng minh tính compact tiệm cận hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sử dụng độ đo không compact Phương pháp hữu hiệu hệ vi phân mà nửa nhóm sinh phần tuyến tính khơng có tính compact Nội dung chương dựa báo số [1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, · ) không gian Banach tách được, xét toán: u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ) với t ≥ τ, u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ [τ − h, τ ], (2.1) (2.2) hàm trạng thái u lấy giá trị X , A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 X , F ánh xạ đa trị xác định R × X × C([−h, 0]; X), ut hàm trễ xác định [−h, 0] với h > cho trước, ϕτ ∈ C([−h, 0]; X) kiện đầu 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN Trong mục này, chúng tơi trình bày tính giải tính chất nghiệm hệ (2.1)-(2.2) đoạn J = [τ, T ] Ta giả thiết (A) Nửa nhóm S(·) sinh A liên tục theo chuẩn (F) Ánh xạ đa trị F : J × X × Ch → Kv(X) thỏa mãn (1) t F (t, x, y) có hàm chọn đo với (x, y) ∈ X × Ch (x, y) F (t, x, y) nửa liên tục với hầu khắp t ∈ J ; (2) tồn số không âm a, b hàm g ∈ L1loc (R; R+ ) cho F (t, x, y) ≤ a x + b y Ch + g(t), ∀x ∈ X, y ∈ Ch , F (t, x, y) = sup{ ξ : ξ ∈ F (t, x, y)}; (3) Nếu nửa nhóm S(·) khơng có tính compact, tồn hàm p, q ∈ L1loc (R; R+ ) cho χ(F (t, B, C)) ≤ p(t)χ(B) + q(t) sup χ(C(θ)) θ∈[−h,0] với tập bị chặn B ⊂ X, C ⊂ Ch Sau định nghĩa nghiệm tích phân hệ (2.1)-(2.2) Định nghĩa 2.1 Hàm u : [τ − h, T ] → X gọi nghiệm tích phân hệ (2.1)-(2.2) u ∈ C([τ − h, T ]; X), u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ [τ − h, τ ] tồn hàm f ∈ PF (u|[τ,T ] ) cho t τ u(t) = S(t − τ )ϕ (0) + S(t − s)f (s)ds τ với t ∈ [τ, T ] Sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ đa trị, ta kết sau tồn nghiệm tích phân Định lí 2.1 Giả sử (A) (F) thỏa mãn Khi hệ (2.1)-(2.2) có nghiệm tích phân với kiện đầu ϕτ ∈ Ch Ký hiệu πT , T > τ, toán tử cắt [τ, T ] tác động lên không gian C([τ, +∞); X) Đặt Σ(ϕτ ) = {u ∈ C([τ, +∞); X) : u[ϕτ ] nghiệm tích phân hệ (2.1)-(2.2) [τ − h; T ] với T > τ } Ta thấy πT ◦ Σ(ϕτ ) = S(· − τ )ϕτ (0) + W ◦ PF (πT ◦ Σ(ϕτ )), với T > τ Bổ đề 2.1 Với giả thiết Định lí 2.1, πT ◦Σ({ϕτn }) compact C([τ, T ]; X) {ϕτn } ⊂ Ch dãy hội tụ Nói riêng, πT ◦ Σ(ϕτ ) tập compact với ϕτ ∈ Ch Đặt Σ(t, τ, ϕτ ) = πt ◦ Σ(ϕτ ) Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2 Với giả thiết (A) (F)(1)-(F)(3), Σ(t, τ, ·) nửa liên tục có giá trị compact với (t, τ ) cho trước Hệ động lực đa trị U sinh hệ (2.1)-(2.2) xác định sau: U : R2d × Ch → Pc (Ch ), U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u[ϕτ ] nghiệm tích phân hệ (2.1)-(2.2)} = {ut : u ∈ Σ(ϕτ )} Từ Bổ đề 2.2, ta tính chất sau Bổ đề 2.3 Với giả thiết (A) (F)(1)-(F)(3), U(t, τ, ·) nửa liên tục trên, có giá trị compact với (t, τ ) ∈ R2d 11 Đối với hạng tử phi tuyến fi , i ∈ Z, ta giả sử (Q) Tồn a, b > 0, g = (gi ) : R → cho |gi (t)| ≤ Ci (1 + t2 )γ eωt , (Ci )i∈Z ∈ , γ ∈ R, ω > 0, |fi (t, x, y)|2 ≤ ax2 + by + |gi (t)|2 Với v = (vi )i∈Z ∈ , w = (wi )i∈Z ∈ C([−h, 0]; ), đặt F (t, v, w) = (fi (t, vi , wi (−h)))i∈Z Khi F : R × × Ch → hàm liên tục, Ch = C([−h, 0]; ) √ √ Giả thiết (F*) thỏa mãn a + b < α Như vậy, hệ động lực đa trị không ô-tô-nôm sinh tốn có tập D-hút lùi C([−h, 0]; ) 12 Chương TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VƠ HẠN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tồn tập hút lùi cho lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm với trễ vô hạn cách sử dụng độ đo không compact Các kết đạt áp dụng cho hệ điều khiển dạng phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính với phản hồi đa trị Nội dung chương dựa báo số [2] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, · ) không gian Banach, ta xét toán u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ, uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0], (3.1) (3.2) u lấy giá trị X , A tốn tử tuyến tính sinh C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 X , F ánh xạ đa trị xác định R × B , ut hàm trễ hàm trạng thái tính đến thời điểm t, tức ut (s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0] Hàm ϕτ ∈ B , kiện đầu 3.2 TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI Chúng đưa tiêu chuẩn cho tính compact tiệm cận hệ động lực đa trị khơng ơ-tơ-nơm, xem mở rộng kết Sell You (2002) cho hệ động lực ô-tô-nôm đơn trị Định nghĩa 3.1 Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị U gọi χ-co tập phổ quát D tồn hàm liên tục k : R × R → R+ cho k(t, τ ) → τ → −∞ với t cố định bất đẳng thức sau thỏa mãn χ(U(t, τ, B(τ ))) ≤ k(t, τ )χ(B(τ )), ∀τ ∈ R với B ∈ D Sau kết mục Định lí 3.1 Cho U hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị nửa liên tục trên, xác định X Nếu tồn D-hấp thụ lùi đơn điệu B , nghĩa B(t1 ) ⊂ B(t2 ) t1 ≤ t2 , U χ-co, U có D-hút lùi tồn cục 13 3.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN Để chứng minh tồn nghiệm toán, ta giả thiết (Aa) C0 -nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn, tức hàm với giá trị toán tử t → S(t) liên tục với t > (Ba) Không gian pha B thỏa mãn (B1)-(B4) (Fa) F : J × B → Kv(X), J = [τ, τ + T ] với số dương T đó, thỏa mãn (1) với φ thuộc B , hàm đa trị F (·, φ) : J → Kv(X) có hàm chọn đo mạnh; (2) ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) nửa liên tục với hầu khắp t ∈ J ; (3) tồn hai hàm không âm m1 , m2 ∈ L1 (J) cho F (t, φ) ≤ m1 (t) + m2 (t)|φ|B (4) Nếu S(·) khơng có tính compact tồn hàm khơng âm k ∈ L1 (J) cho χ(F (t, D)) ≤ k(t) sup χ(D(θ)), θ≤0 với tập bị chặn D ⊂ B hầu khắp t ∈ J Định nghĩa 3.2 Hàm liên tục u : (−∞, τ + T ] → X gọi nghiệm tích phân toán (3.1)-(3.2) u(t) = ϕτ (t − τ ) với t ∈ (−∞, τ ] tồn hàm f ∈ PF (u|[τ,τ +T ] ) cho t τ S(t − s)f (s)ds u(t) = S(t − τ )ϕ (0) + τ với t ∈ [τ, τ + T ] Sau kết phần Định lí 3.2 Giả sử (Aa), (Ba) (Fa) thỏa mãn Khi đó, tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm tích phân với ϕτ ∈ B cho trước 3.4 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI Trong phần này, ta giả thiết (Aa*) C0 -nửa nhóm S(t) = etA compact ổn định mũ, tức tồn α > 0, N ≥ cho S(t) ≤ N e−αt , ∀t ≥ (Ba*) Không gian pha B = Cγ , γ > (Fa*) Ánh xạ F thỏa mãn giả thiết (F) với m2 ∈ L∞ (τ, +∞), m1 hàm khơng giảm 14 Ta định nghĩa q trình đa trị sinh (3.1)-(3.2) sau: U : R2d × Cγ → P(Cγ ), U(t, τ, ϕτ ) = {ut : u ∈ Σ(ϕτ )} (3.3) (3.4) Tính nửa liên tục U chứng minh Bổ đề sau Bổ đề 3.1 Với giả thiết (Aa*), (Ba*) (Fa*), U(t, τ, ·) ánh xạ nửa liên tục với giá trị compact với (t, τ ) ∈ R2d Tiếp theo, ta xét D họ tất hàm đa trị D lấy giá trị Pc (Cγ ) cho D(τ ) ⊂ Bγ [0, r(τ )] với bán kính r(τ ) thỏa mãn lim r(τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = τ →−∞ 0, κ := ||m2 ||∞ Ký hiệu χγ độ đo không compact Hausdorff Cγ Bổ đề 3.2 Giả sử ta có (Aa*), (Ba*) (Fa*) Khi đó, hệ động lực khơng ơ-tơ-nơm đa trị U có D-hấp thụ lùi đơn điệu min{α, γ} > N κ lim m1 (τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = τ →−∞ Tập D-hấp thụ lùi đơn điệu U B(t) = Bγ [0, R(t)] với R(t) = N m1 (t) +1 − Nκ = min{α, γ} Bổ đề 3.3 Giả sử (Aa*), (Ba*) (Fa*) thỏa mãn Khi hệ động lực khơng ơ-tơ-nơm đa trị U χγ -co Kết hợp Bổ đề 3.1, 3.2, 3.3 Định lí 3.1, ta kết sau Định lí 3.3 Giả sử (Aa*), (Ba*) (Fa*) thỏa mãn Khi hệ động lực khơng ơ-tơ-nơm đa trị U sinh hệ (3.1)-(3.2) có D-hút lùi tồn cục Cγ min{α, γ} > N κ lim m1 (τ )e(min{α,γ}−N κ)τ = τ →−∞ 3.5 ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn ∂Ω O ⊂ Ω tập mở Xét hệ điều khiển (*) sau ∂u (t, x) = ∆u(t, x) + f0 (t, x, u(t, x)) + b(x)v(t), x ∈ Ω, t > τ ∂t v(t) ∈ ν(θ, y) f1 (u(t + θ, y)), f2 (u(t + θ, y)) dydθ, −∞ O u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ, u(τ + s, x) = ϕτ (s, x), x ∈ Ω, s ∈ (−∞, 0] 15 Chọn X = L2 (Ω), A = ∆ với D(A) = H01 (Ω) ∩ H (Ω) Khi đó, giả thiết (Aa*) thỏa mãn với N = α = λ1 Ký hiệu R+ τ = [τ, +∞) Các giả thiết cho phần phi tuyến gồm: (A1) Hàm ν : (−∞, 0] × Ω → R liên tục cho tồn số dương β hàm không âm k ∈ L2 (O) thỏa mãn |ν(θ, x)| ≤ k(x)eβθ (A2) f0 : R+ τ × Ω × R → R hàm liên tục cho |f0 (t, x, z)| ≤ l1 (t) + l2 (t)|z|, ∞ + l1 ∈ L1loc (R+ τ ) l2 ∈ L (Rτ ) hàm không âm l1 hàm không giảm (A3) f1 , f2 : R → R hàm liên tục Tồn η > cho |fi (z)| ≤ η|z|, i = 1, 2; ∀z ∈ R (A4) b ∈ L2 (Ω) Ta chọn không gian pha B = Cγ với γ ∈ (0, β), ta (Ba*) Các ánh xạ F0 : R+ τ × Cγ → X F1 : Cγ → P(X) xác định sau F0 (t, φ)(x) = f0 (t, x, φ(0, x)), F1 (φ)(x) = b(x) ν(θ, y) f1 (φ(θ, y)), f2 (φ(θ, y)) dydθ −∞ O Đặt F (t, φ) = F0 (t, φ) + F1 (φ), F thỏa mãn (Fa*) với m1 (t) = m2 (t) = l2 (t) + η b β−γ X k |Ω| l1 (t) L2 (O) Từ Định lí 3.2 3.3, ta kết sau Định lí 3.4 Giả sử (A1)-(A4) thỏa mãn Khi (i) Với kiện đầu ϕτ ∈ Cγ , hệ (*) có nghiệm tích phân (−∞, τ + T ] với T > (ii) Hệ động lực không ô-tô-nôm đa trị sinh hệ (*) có D-hút lùi toàn cục Cγ {λ1 , γ} ≥ l2 lim l1 (τ )e(min{λ1 ,γ}−κ)τ = τ →−∞ ∞+ η b β−γ L2 (Ω) k L2 (O) 16 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VƠ HẠN Trong chương này, chúng tơi sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận yếu đưa Anh, Kế Quân (2016) xét dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân có trễ vơ hạn không gian Banach tổng quát Nội dung chương dựa báo số [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, · ) khơng gian Banach, ta xét tốn sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ≥ τ, uτ (s) = ϕτ (s), s ∈ (−∞, 0], (4.1) (4.2) u nhận giá trị X , A tốn tử tuyến tính sinh nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 X , F hàm đa trị xác định R+ τ × B , ut hàm trễ u Trong chương này, khái niệm ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường định nghĩa sau: Ký hiệu SOL(ϕτ ) tập nghiệm hệ với kiện đầu ϕτ giả sử ∈ SOL(0) Nghiệm tầm thường hệ gọi ổn định tiệm cận yếu có tính chất (i) ổn định: với > 0, tồn số dương δ cho |ϕτ |B < δ |yt |B < , ∀y ∈ SOL(ϕτ ) t > τ ; (ii) hút yếu: với ϕτ ∈ B , tồn y ∈ SOL(ϕτ ) cho limt→+∞ |yt |B = 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU + Ký hiệu BC(R+ τ , X) không gian hàm liên tục bị chặn Rτ lấy giá trị X , không gian Banach với chuẩn sup 4.2.1 Độ đo không compact BC(R+ τ , X) Với số cho trước T > τ , ký hiệu πT (·) tốn tử hạn chế khơng gian + BC(R+ τ ; X) Với D ⊂ BC(Rτ ; X), ta định nghĩa χ∞ (D) = sup χT (πT (D)), T >τ χT độ đo không compact Hausdorff C([τ, T ]; X) Tiếp theo, ta định nghĩa dT (D) = sup sup x(t) d∞ (D) = lim dT (D) Từ đó, đặt x∈D t≥T T →∞ 17 χ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D) Khi đó, Banas Olszowy (2009) χ∗ độ đo không compact không gian BC(R+ τ ; X) 4.2.2 Sự tồn nghiệm phân rã Để tồn nghiệm phân rã, ta xét tập gồm hàm u ∈ BC(R+ τ ; X) thỏa h(t) u(t) = O(1) t → +∞, h hàm liên tục, dương xác định R với tính chất: (H1) hàm không giảm (0, +∞) lim h(t) = +∞; t→+∞ (H2) tồn β ∈ (0, 1) cho h(t)h−1 (βt) = O(1) t → +∞ Chú ý: lim h(t)e−γt = 0, với γ > Đặt t→+∞ Mσ = {f ∈ L1loc (R) : Λσ f ∈ BC(R)} Để đạt mục đích, ta cần giả thiết (Ab) Tốn tử A sinh nửa nhóm liên tục mạnh S(t), t ≥ 0, liên tục theo chuẩn ổn định mũ, tức S(t) ≤ N e−αt , ∀t > 0, với N ≥ 1, α > (Bb) Không gian pha B thỏa mãn tiên đề (B1)-(B4) với K ∈ BC(0, +∞; R+ ) M hàm thỏa mãn h(t)M ((1 − β)t) = O(1) t → +∞ (Fb) Hàm phi tuyến F : R+ τ × B → Kv(X), ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện sau (1) với φ B , hàm đa trị F (·, φ) : R+ τ → Kv(X) có hàm chọn đo mạnh địa phương, tức với T > τ tồn hàm đo mạnh f : [τ, T ] → X cho f (t) ∈ F (t, φ) với hầu khắp t ∈ [τ, T ]; (2) ánh xạ F (t, ·) : B → Kv(X) nửa liên tục với hầu khắp t ∈ R+ τ; (3) tồn m ∈ Mκ , κ ∈ (0, αγ) với γ ∈ (0, 1) cho F (t, φ) ≤ m(t)|φ|B (4) Nếu S(·) khơng có tính compact, tồn hàm không âm k ∈ L1loc (R+ τ) cho χ(F (t, D)) ≤ k(t) supθ≤0 χ(D(θ)), với D ⊂ Pb (B) với hầu khắp t ∈ R+ τ Cho v ∈ BCϕτ , đặt τ + PF (v) = {f ∈ L1loc (R+ τ ; X) : f (t) ∈ F (t, v[ϕ ]t ) với hầu khắp t ∈ Rτ } Định nghĩa 4.1 Một hàm liên tục u : R → X gọi nghiệm tích phân tốn (4.1)-(4.2) u(t) = ϕτ (t − τ ) t ∈ (−∞, τ ] tồn hàm f ∈ PF (u|[τ,+∞) ) cho t τ u(t) = S(t − τ )ϕ (0) + S(t − s)f (s)ds τ với t ∈ [τ, +∞) 18 Toán tử nghiệm F : BCϕτ → P(BCϕτ ) định nghĩa sau t τ F(u)(t) = S(t − τ )ϕ (0) + S(t − s)f (s)ds | f ∈ PF (u) τ Ta có F tốn tử đa trị đóng bổ đề sau Bổ đề 4.1 Với giả thiết (Ab) (Fb), toán tử nghiệm F tốn tử đóng với giá trị lồi Đặt BhR (ρ) = BR ∩ {y ∈ BCϕτ : sup h(t) y(t) ≤ ρ}, t≥τ BR hình cầu đóng có tâm gốc tọa độ, bán kính R > ρ > Ta tồn BhR (ρ) bổ đề sau Bổ đề 4.2 Giả sử (Ab), (Bb) (Fb) thỏa mãn Nếu t N sup t≥τ τ t N h2∗ sup t≥T e−α(t−s) m(s)K(s − τ )ds < e−α(t−s) m(s)K(s − βs)ds < 1, βt tồn hai số dương R, ρ cho F(BhR (ρ)) ⊂ BhR (ρ), T = max{0, βτ2 } h∗ = sup(h(t)h−1 (βt)) t≥T Từ đây, ta xét toán tử nghiệm tập BhR (ρ) Bổ đề 4.3 Giả thiết (Ab), (Bb), (Fb) thỏa mãn t S(t − s) χ k(s)ds < sup t≥τ τ Khi tốn tử nghiệm F χ∗ -nén Kết hợp Bổ đề 4.2 Bổ đề 4.3, ta kết sau Định lí 4.1 Với giả thiết Bổ đề 4.2 Bổ đề 4.3, tốn (4.1)(4.2) có nghiệm u (−∞, +∞) thỏa mãn h(t) u(t) = O(1) t → +∞ 4.2.3 Tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường Nội dung kết sau Định lí 4.2 Với giả thiết Bổ đề 4.2 Bổ đề 4.3, nghiệm tầm thường toán (4.1)-(4.2) ổn định tiệm cận yếu 19 4.3 ÁP DỤNG Xét toán điều khiển sau ∂u (t, x) − ∆u(t, x) + λu(t, x) = f (t, x), x ∈ Rn , t ≥ τ ; ∂t f (t, x) ∈ b(t, x) ν(θ, y) k1 (y, u(t + θ, y)), k2 (y, u(t + θ, y)) dydθ; −∞ Ω τ u(τ + s, x) = ϕ (s, x), x ∈ Rn , s ∈ (−∞, 0], Ω miền bị chặn Rn , ∆ toán tử Laplace biến x λ > Cho X = L2 (Rn ), A = ∆ − λI với D(A) = H (Rn ) Khi đó, giả thiết (Ab) thỏa mãn với N = α = λ Sau giả thiết cho phần phi tuyến (G1) b(·, x) ∈ Mκ với κ ∈ (0, λγ) b(t, ·) ∈ L2 (Rn ) với hầu khắp t ∈ R+ τ (G2) ν : (−∞, 0] × Ω → R hàm liên tục tồn Cν > cho |ν(t, x)| ≤ Cν eν0 t với t ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω < ν0 < (G3) kj : Ω × R → R, j = 1, hàm liên tục tồn hàm ξ ∈ L2 (Ω) cho |kj (y, z)| ≤ ξ(y)|z|, j = 1, Trong ví dụ này, ta xét B = CL2g với r = − ν10 ln(1 − ν0 ) g(s) = eν0 s Ánh xạ F : R+ τ × B → P(X) xác định sau F (t, φ)(x) = b(t, x) ν(θ, y) k1 (y, φ(θ, y)), k2 (y, φ(θ, y)) dydθ −∞ Ω Khi đó, giả thiết (Fb) thỏa mãn Về tốc độ phân rã, ta chọn h(t) = tη t ≥ , η > 0, t < h thỏa (H1)-(H2) (Bb) với β ∈ (0, 1) < γ < Định lí 4.3 Giả sử giả thiết (G1)-(G3) thỏa mãn 1+ √ ν0 erν0 Cν ξ L2 (Ω) sup √ β η ν0 t≥τ t e−λ(t−s) b(s, ·) X ds < τ Khi tốn điều khiển có nghiệm tích phân u (−∞, +∞) với tính chất tη u(t, ·) X = O(1) t → +∞ Hơn nữa, nghiệm tầm thường hệ ổn định tiệm cận yếu 20 Chương TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi mở rộng khái niệm tính hút hút mũ khoảng thời gian hữu hạn Giesl Rasmussen đề xuất (2012) xét tính chất nghiệm tầm thường lớp bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến tính Nội dung chương dựa báo số [4] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 5.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, · ) khơng gian Banach, xét tốn sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (5.1) (5.2) với u lấy giá trị X , A tốn tử tuyến tính sinh C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 X , F hàm đa trị xác định [0, T ] × Ch ut hàm trễ u tính đến thời điểm t Hàm ϕ ∈ C([−h; 0], X) kiện đầu T > h Trước hết, đưa khái niệm nghiệm hút cho hệ vi phân có trễ Ký hiệu S(ξ) tập nghiệm với kiện đầu ξ Định nghĩa 5.1 (Hút khoảng thời gian hữu hạn) Cho µ : [−h, T ] → X nghiệm (5.1)-(5.2) với kiện đầu ϕ (i) µ gọi hút [0, T ] tồn số η > cho uT − µT Ch < ξ−ϕ Ch với ξ ∈ Bη (ϕ) \ {ϕ} ⊂ Ch u ∈ S(ξ) (ii) µ gọi nghiệm hút mũ [0, T ] lim sup η sup sup uT − µT η ξ∈Bη (ϕ) u∈S(ξ) Ch < Từ định nghĩa, ta thấy nghiệm có tính hút mũ có tính hút 5.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ Sau điều kiện đủ cho tính hút mũ nghiệm 21 Bổ đề 5.1 Cho µ ∈ S(ϕ) nghiệm (5.1)-(5.2) Khi µ hút mũ [0, T ] uT − µT Ch lim sup sup < ξ Ch ξ Ch →0 u∈S(ϕ+ξ) 5.3 TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG 5.3.1 Sự tồn nghiệm tích phân Ta xét tính giải (5.1)-(5.2) hàm phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Để chứng minh tồn nghiệm J = [0, T ], ta giả thiết (A) Nửa nhóm liên tục mạnh S(·) sinh A liên tục theo chuẩn S(t)x ≤ M x với x ∈ X (F) Hàm F : J × Ch → Kv(X) thỏa mãn (1) F (·, x) có hàm chọn đo mạnh với x ∈ Ch F (t, ·) nửa liên tục với hầu khắp t ∈ J ; (2) tồn hàm m ∈ L1 (J; R+ ), hàm không âm giá trị thực, liên tục không giảm Ψ cho F (t, x) ≤ m(t)Ψ( x Ch ), ∀x ∈ Ch ; (3) Nếu S(·) khơng nửa nhóm compact, tồn hàm k ∈ L1 (J; R+ ) cho χ(F (t, B)) ≤ k(t) sup χ(B(θ)), θ∈[−h,0] với tập bị chặn B ⊂ Ch Ta nhắc lại định nghĩa nghiệm tích phân tốn Định nghĩa 5.2 Một hàm liên tục u : [−h, T ] → X gọi nghiệm tích phân toán (5.1)-(5.2) u(t) = ϕ(t) với t ∈ [−h, 0] tồn f ∈ PF (u|[0,T ] ) cho t S(t − s)f (s)ds u(t) = S(t)ϕ(0) + với t ∈ [0, T ] Bằng lập luận Chương 2, ta thu Định lí sau Định lí 5.1 Giả sử (A), (F) thỏa mãn Ψ(r) = + r Khi tốn (5.1)-(5.2) có nghiệm tích phân với kiện đầu cho trước Lưu ý rằng, hàm phi tuyến Định lí 5.1 có độ tăng trưởng tuyến tính Khi F có độ tăng trưởng tuyến tính, ta có kết sau 22 Định lí 5.2 Giả sử (A) (F) thỏa mãn Nếu tồn R > cho R ϕ(0) + m L1 (J) Ψ( ϕ Ch + R) ≥ M, tốn (5.1)-(5.2) có nghiệm tích phân 5.3.2 Tính hút nghiệm tầm thường Trong phần này, ta xét tính hút khoảng thời gian hữu hạn cho nghiệm tầm thường toán (5.1)-(5.2) Để đạt kết mong muốn, cần giả thiết mạnh cho A F : (A∗ ) Nửa nhóm S(t), t ≥ liên tục theo chuẩn ổn định mũ, tức S(t)x ≤ M e−αt x , với t ≥ 0, x ∈ X, M ≥ 1, α > (F∗ ) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với Ψ hàm Lipschitz cục ta có Ψ(r) = βr + o(r) r → với β ≥ Nhận xét 5.1 Từ (F∗ ), ta có F (t, 0) = Tức hệ có nghiệm tầm thường Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 5.2 Với giả thiết (A∗ ) (F∗ ), ta có lim ϕ Ch →0 sup ut Ch = 0, ∀t ∈ (0, T ] u∈S(ϕ) Sau kết chương Định lí 5.3 Giả sử (A∗ ) (F∗ ) thỏa mãn Khi nghiệm khơng (5.1) hút mũ đoạn [0, T ] ta có ln M + αh + M βeαh m 5.4 L1 (J) < αT (5.5) ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn ∂Ω Ta xét toán (*) sau: ∂u (t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], ∂t f (t, x) ∈ co f˜i (t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, , m , u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0], f˜i : J × R → R, i = 1, 2, , m, hàm liên tục, m co f˜1 , f˜2 , , f˜m = ηi f˜i : ηi ≥ 0, η1 + η2 + + ηm = i=1 23 Xét X = C0 (Ω) = {v ∈ C(Ω) : v = ∂Ω}, với v = sup |v(x)| x∈Ω Đặt A = ∆ với D(A) = {v ∈ C0 (Ω) ∩ H01 (Ω) : ∆v ∈ C0 (Ω)}, Ch = C([−h, 0]; C0 (Ω)) ∗ Khi đó, (A ) thỏa mãn với α = λ1 M = exp λ1 |Ω| n 4π Các hàm f˜i : [0, T ] × R → R, i = 1, m, thỏa mãn (1) f˜i (·, z) đo với z ∈ R; f˜i (t, ·) liên tục với t ∈ J ; (2) |f˜i (t, z)| ≤ m(t)z với (t, z) ∈ J × R, m ∈ L1 (J, R+ ); Xét hàm fi : J × Ch → X cho fi (t, v)(x) = f˜i (t, v(−h, x)) Đặt F (t, v) = co{fi (t, v) : i = 1, 2, , m} Khi (F∗ ) thỏa mãn với Ψ(z) = z (β = 0) Do điều kiện (5.5) thỏa mãn T > h + |Ω| n 4π Theo Định lí 5.3, nghiệm tầm thường toán (*) hút mũ [0, T ] 24 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Các kết đạt Trong luận án, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận số lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ khơng gian Banach Luận án đạt kết sau: (a) Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm với trễ hữu hạn, nhận được: • Sự tồn nghiệm tích phân, tồn tập hút lùi Áp dụng kết cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện với trễ biến thiên hệ vi phân lưới • Điều kiện đủ cho tồn nghiệm đoạn compact với phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Tính hút khoảng thời gian hữu hạn cho nghiệm tầm thường Áp dụng kết lí thuyết cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện (b) Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm với trễ vơ hạn, thu được: • Kết tính giải được; tồn tập hút lùi cách sử dụng tiêu chuẩn chúng tơi đề xuất tính compact tiệm cận q trình đa trị sinh tốn Áp dụng kết cho hệ điều khiển với biến không gian thuộc vào miền bị chặn có biên đủ trơn • Điều kiện đủ cho tồn nghiệm phân rã tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường Áp dụng kết lí thuyết cho lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic đa trị Rn Đề xuất số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Tìm điều kiện đủ cải thiện điều kiện đủ cho tồn tập hút nửa dòng/q trình đa trị Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận (theo cách tiếp cận lí thuyết tập hút lí thuyết ổn định) số lớp bao hàm thức vi phân với trễ biến thiên đa trễ với vấn đề liên quan tính qui nghiệm, tính trơn tập hút • Nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm cho hệ vi phân đa trị bậc phân số số bất đẳng thức vi biến phân đoạn compact nửa trục DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN N.V Dac, T.D Ke, Asymptotic behavior for non-autonomous functional differential inclusions with measures of noncompactness, Topological Methods in Nonlinear Analysis, Volume 49:2 (2017), 383-400 N.V Dac, T.D Ke, Pullback attractor for differential evolution inclusions with infinite delays, Applied Mathematics and Computation, Volume 265 (2015), 667-680 N.V Dac, T.D Ke, Decay solutions and weak stability for differential inclusions with infinite delays, submitted N.V Dac, T.D Ke, Finite-time attractivity for semilinear differential inclusions with finite delays, submitted Các kết luận án báo cáo tại: • Xê mi na Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Hội thảo "Vietnam-Korean workshop on selected topics in Mathematics", Đà Nẵng, tháng năm 2017 ... luận án, xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm khơng gian Banach tổng qt • Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn; • Bao hàm thức vi phân có trễ vơ hạn; với phần... định cho bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov hạn chế Mục tiêu sử dụng cách tiếp cận điểm bất động Bu (2006) để phân tích dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vơ hạn... tồn cục lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ vơ hạn tồn tập hút lùi cách sử dụng tiêu chuẩn nói Chương trình bày tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi phân với trễ vơ hạn