ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THÙY LINH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THÙY LINH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu i MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.3 Không gian phức hyperbolic đầy 1.4 Giả metric vi phân Kobayashi DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15 2.1 Một số khái niệm kết ban đầu 15 2.2 Một số trường hợp đặc biệt 19 2.3 Một số tính chất ánh xạ chuẩn tắc 21 2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào đa tạp phức compact 24 2.5 Một số tính chất mở rộng ánh xạ chuẩn tắc 29 2.6 Dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mở đầu Một họ ánh xạ liên tục hai đa tạp M N gọi chuẩn tắc chứa dãy compact tương đối C(M, N ) phân kỳ compact Việc sử dụng họ chuẩn tắc để nghiên cứu tính hyperbolic đa tạp phức nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu S Kobayashi, S Lang, P.J Kiernan, T.J Barth, P.Gauthier, Nhiều kết đẹp đẽ họ chuẩn tắc chứng minh Bằng việc tổng quát khái niệm cổ điển hàm chuẩn tắc, hàm Bloch, dãy quy dãy P - điểm giải tích phức biến lên trường hợp ánh xạ chỉnh hình đa tạp phức, K.T Hahn [6] chứng minh mối liên hệ khái niệm từ đưa kết thú vị dáng điệu tiệm cận ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch tổng quát ánh xạ chỉnh hình không chuẩn tắc dọc theo dãy P - điểm, dãy quy quỹ đạo tiệm cận tới biên đa tạp phức M Mục đích luận văn học tập, nghiên cứu trình bày lại kết K.T Hahn Luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức hyperbolic, không gian phức hyperbolic đầy đủ giả metric vi phân Kobayashi Chương nội dung Luận văn, trình bày số kết ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ chuẩn tắc vào đa tạp phức compact, số tính chất bản, mở rộng ánh xạ chuẩn tắc cuối dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Luận văn hoàn thành Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành Luận văn này, trước hết xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình làm hoàn thành Luận văn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn tới thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, Trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập làm Luận văn tốt nghiệp Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Thùy Linh 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi Trên đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré ρ∆ = ln + |a| với a ∈ ∆ − |a| 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X Hol(∆, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X , trang bị tô pô compact mở Xét dãy điểm p0 = x, p1 , , pk = y X , dãy điểm a1 , a2 , , ak ∆ dãy ánh xạ f1 , , fk Hol(∆, X) thỏa mãn fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, , k Tập hợp α = {p0 , , pk , a1 , , ak , f1 , , fk } thỏa mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình nối x y X Ta định nghĩa k ρ∆ (0, ), α ∈ Ωx,y , dX (x, y) = inf α i=1 Ωx,y tập hợp tất dây chuyền chỉnh hình nối x y X 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi dX : X × X → R giả khoảng cách X gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X Tổng k i=1 ρ∆ (0, ) gọi tổng Kobayashi dây chuyền chỉnh hình α Nhận xét: Nếu X liên thông với x, y ∈ X , tồn dây chuyền chỉnh hình X nối x với y Thật vậy, lấy x ∈ X gọi Z tập gồm tất điểm X mà nối với x dây chuyền chỉnh hình Ta chứng minh Z vừa tập mở vừa tập đóng Nếu X đa tạp phức hiển nhiên Z = X Nếu X không gian phức Lấy z ∈ Z Theo định lý Hironaka giải kỳ dị, tồn lân cận U z ánh xạ chỉnh hình toàn ánh, riêng π : M → U, với M đa tạp phức có hữu hạn thành phần liên thông π đẳng cấu chỉnh hình bên tập điểm kỳ dị X U Vì X đa tạp phức, π toàn ánh nên Z mở Để chứng minh Z đóng ta lấy dãy {yn } Z yn → z ∈ X Ta lại lấy lân cận U z giải kỳ dị π : M → U Với n đủ lớn ta có yn ∈ U Vì π toàn ánh, ta nâng {yn } thành {un } ⊂ M Do {yn , z} tập compact π ánh xạ riêng nên {π −1 (yn ), π −1 (z)} tập compact Từ ta trích dãy hội tụ kí hiệu {un }, tới điểm u ∈ M π(u) = z Vì M đa tạp nên tồn dây chuyền chỉnh hình M nối u với un Vậy qua π , tồn dây chuyền chỉnh hình nối yn với z với n đủ lớn Mà yn nối với x dây chuyền chỉnh hình, 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn có dây chuyền chỉnh hình nối z với x Suy z ∈ Z Vậy Z đóng Mà X liên thông nên Z = X 1.1.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi a) Nếu f : X → Y ánh xạ chỉnh hình hai không gian phức f làm giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)) ∀x, y ∈ X Hơn nữa, dX giả khoảng cách lớn X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X giảm khoảng cách b) + d∆ ≡ ρ∆ + dCm ≡ c) Đối với không gian phức X, Y, ta có dX×Y ((x, y), (x , y )) = max{dX (x, x ), dY (y, y )} với x, x ∈ X y, y ∈ Y d) Giả sử X không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi dX : X × X → R hàm liên tục Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có |dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y) với xn , yn , x, y ∈ X Do để chứng minh tính liên tục dX ta cần chứng minh dX (yn , y) → yn → y a) Trường hợp X đa tạp phức Gọi U lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n , n = dimX Ta có d∆n ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, , n} Vì U song chỉnh hình với ∆m nên theo tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi ta có dU = d∆m liên tục Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → yn → y Vậy dX liên tục 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn b) Trường hợp y điểm kỳ dị Theo định lý Hironaka giải kỳ dị, tồn lân cận mở U y X ánh xạ chỉnh hình riêng, toàn ánh π : M → U , với U đa tạp phức Vì yn → y nên tồn lân cận compact tương đối V y cho V ⊂ V ⊂ U yn ∈ V Do π toàn ánh riêng nên π −1 (V ) compact tương đối M Vì vậy, tồn dãy {zn } ⊂ M cho π(zn ) = yn zn → z ∈ M Rõ ràng π(z) = y Theo a), M đa tạp phức, ta có dM (zn , z) → n → ∞ Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) ≤ dM (zn , z) → n → ∞ Vậy dX hàm liên tục 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa Không gian phức X gọi không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách X , tức dX (p, q) = ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X 1.2.2 Một số tính chất không gian phức hyperbolic a) Nếu X ,Y không gian phức, X × Y không gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic b) Giả sử X không gian phức không gian phức Y Nếu Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác, không gian không gian hyperbolic hyperbolic c) (Định lý Barth) Giả sử X không gian phức liên thông Nếu X hyperbolic dX sinh tô pô tự nhiên X Chứng minh 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có không gian phức X compact địa phương với tô pô đếm được, metric hóa định lý metric hóa Urưxơn Vì có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên X Ta phải chứng minh dX ρ so sánh được, tức với {xn } ⊂ X ta có ρ(xn , x) → ⇔ dX (xn , x) → n → ∞ Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → suy dX (xn , x) → n → ∞ Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → mà ρ(xn , x) n → ∞ Khi tồn s > cho có dãy (vẫn ký hiệu {xn }) mà xn nằm ρ- cầu tâm x, bán kính s Nối xn với x dây chuyền chỉnh hình Gọi γ ảnh trắc địa đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X Xét hàm t → ρ(γ(t), x), hàm liên tục tồn t0 ∈ [a, b] cho ρ(γ(t0 ), x) = s Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm mặt cầu tâm x bán kính s (đối với metric ρ) Từ theo định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi ta có dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → n → ∞ Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy {ynk } hội tụ tới y thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s Khi đó, dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0, n→∞ mà y = x Điều mâu thuẫn tới giả thiết X không gian hyperbolic d) ( Bổ đề Eastwood) Giả sử π : X → Y ánh xạ chỉnh hình không gian phức Giả sử Y hyperbolic với điểm y ∈ Y có lân cận U y cho π −1 (U ) hyperbolic Khi X hyperbolic 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tính chất ánh xạ chuẩn tắc 21 2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào đa tạp phức compact 24 2.5 Một số tính chất mở rộng ánh xạ chuẩn tắc 29 2.6 Dáng điệu tiệm cận ánh xạ Bloch ... từ đưa kết thú vị dáng điệu tiệm cận ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch tổng quát ánh xạ chỉnh hình không chuẩn tắc dọc theo dãy P - điểm, dãy quy quỹ đạo tiệm cận tới biên đa tạp phức M Mục đích... DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15 2.1 Một số khái niệm kết ban đầu 15 2.2 Một số trường hợp đặc biệt 19 2.3 Một số tính chất ánh xạ