Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của động học các quần thể được mô tả bởi phương trình vi phân

Song đó chỉ là một mặt của vấn đề.Mặt khác của vấn đề là ở chỗ sinh thái học là một lĩnh vực của sinh vậthọc, phương pháp toán học đã xâm nhập vào đó sâu sắc đến mức mà hiệnnay ta có thể

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TỐNG THÀNH TRUNG

NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MÔ TẢ

BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TỐNG THÀNH TRUNG

NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MÔ TẢ

BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số : 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TS Nguyễn Hữu Dư

2 TS Trịnh Tuấn Anh

HÀ NỘI - 2011

Lời cam đoan i

1.1 Lý thuyết toán tử tuyến tính 6

1.1.1 Toán tử đóng và toán tử compact 6

1.1.2 Phổ của toán tử tuyến tính 8

1.2 Khái niệm và một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn 9

1.2.1 Định nghĩa 9

1.2.2 Một số tính chất của hàm hầu tuần hoàn 11

1.3 Lý thuyết phổ của hàm số 13

1.3.1 Phổ của hàm bị chặn 13

1.3.2 Phổ của hàm hầu tuần hoàn 17

1.3.3 Một số tính chất của phổ hàm số 18

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh 19

1.4.1 Định nghĩa và ví dụ 19

1.4.2 Một số tính chất của C0−nửa nhóm 21

1.4.3 Nửa nhóm liên tục đều và nửa nhóm compact 24

1.4.4 Định lý bao hàm phổ 25

1.5 Tính ổn định của phương trình vi phân 26

1.5.1 Tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính 27 1.5.2 Tính ổn định của phương trình vi phân phi tuyến 33 2 Dáng điệu tiệm cận và bán kính ổn định 36

2.1 Hệ Lotka-Von Foerster không thuần nhất 36

2.1.1 Giới thiệu bài toán và một số kết quả của H.Inaba 36 2.1.2 Một số mô hình dân số 40

2.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Lotka-Von Foerster 45

2.2.1 Những kết quả chính 45

2.2.2 So sánh với những kết quả đã biết 54

2.3 Bán kính ổn định của quần thể có cấu trúc tuổi 57

2.3.1 Bán kính ổn định của hệ dương liên tục vô hạn chiều 57 2.3.2 Bán kính ổn định của hệ Lotka-Von Foerster 59

3 Dáng điệu động học của các quần thể thú-mồi 64

3.1 Sơ lược lịch sử và ý nghĩa sinh học của bài toán 64

3.2 Động học của quần thể thú mồi Holling kiểu II 72

3.2.1 Giới thiệu 72

3.2.2 Sự bền vững của hệ 75

3.2.3 Tính ổn định tiệm cận 80

3.2.4 Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn 83

3.3 Mô hình thú-mồi trong môi trường tuần hoàn 87

3.3.1 Giới thiệu mô hình 87

3.3.2 Sự bền vững của hệ 92

3.4 Mô hình thú-mồi với hệ số hằng 101

3.4.1 Giới thiệu 101

3.4.2 Các kết quả chính 1023.4.3 Ví dụ 1113.4.4 Vài lời bình luận 113

Kết luận 115Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 116Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 117

L(X, Y) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục

từ không gian Banach X đến không gian Banach Y

L(X) := L(X, X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục

từ không gian Banach X vào chính nó

L1(0, T, E) Không gian các hàm từ [0, T ] vào E, khả tích Lơ-be

L1(0, ω) Không gian các hàm số trên [0, ω], khả tích Lơ-be

L∞ (0, ω, R+) Không gian các hàm f đo được và esssup f < ∞

trên [0, ω] và lấy giá trị trên R+

C0(R+, E) Không gian các hàm liên tục f (t), hội tụ tới 0 khi t → +∞

và lấy giá trị trên E

trên R+ và lấy giá trị trên X

BC(R, X) Không gian các hàm liên tục và bị chặn trên R

và lấy giá trị trên XintR2

+ Phần trong của tập R2

+

ρ(A) Tập các điểm chính quy hay tập giải của toán tử A

R(λ, A) n = (λI − A) −n Lũy thừa bậc n của toán tử giải R(λ, A)

σ(A) Tập phổ của toán tử A

σ0(A) Phổ biên của toán tử A

LR(Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A C (Y) ⊆ U},

trong đó A C là C− thác triển tuyến tính của A

L+(Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A ≥ 0}

R(f ) Miền giá trị của hàm f

TrA Tổng các tất cả các phần tử trên đường chéo chính

của ma trận vuông A detA Định thức của ma trận A

supp f Bao đóng của tập tất cả các giá trị x thuộc miền xác định

của f mà f (x) 6= 0.

Những năm 70 của thế kỷ 20 đã trôi qua và có thể nói những năm đóđược đặc trưng bằng sự bùng nổ các công trình nghiên cứu mô hình toánhọc trong sinh thái học Minh chứng cho điều này là hiện nay trên toàn thếgiới có tới hàng chục tạp chí chủ yếu đăng các công trình về toán sinh thái.Ngoài ra, số lượng các công trình về toán sinh thái được công bố trong cáctạp chí chuyên ngành (thực vật học, động vật học, thủy sinh vật học, nônghọc, ) ngày càng tăng Tất nhiên, ta có thể giả định: chính sự quan tâmđặc biệt ngày càng rộng rãi trong quần chúng tới các vấn đề sinh thái họcphù hợp với hiện tượng bùng nổ đó Song đó chỉ là một mặt của vấn đề.Mặt khác của vấn đề là ở chỗ sinh thái học là một lĩnh vực của sinh vậthọc, phương pháp toán học đã xâm nhập vào đó sâu sắc đến mức mà hiệnnay ta có thể nói tới sự xuất hiện một môn khoa học mới: Toán-Sinh thái.Đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Toán-Sinh thái là hệ sinh thái, cònphương pháp nghiên cứu là toán học Hiện nay ta có thể chia các mô hìnhtoán học trong sinh thái thành hai nhóm lớn: Các mô hình giải tích vàcác mô hình mô phỏng Trong các mô hình giải tích người ta sử dụng mộtphương thức hình thức hóa toán học nào đó để mô tả đối tượng sinh thái

và sau đấy sử dụng các kĩ thuật giải tích toán học để rút ra kết luận đặcthù hoặc các tính chất chung của chúng Đối với các mô hình mô phỏngthì lý thuyết xác suất và máy tính điện tử là công cụ nghiên cứu cơ bản

và cần thiết Các mô hình Lotka-Vollterra cổ điển có thể xem là những ví

dụ điển hình về các mô hình giải tích.

Mô hình phổ biến nhất trong Toán-Sinh thái phải kể đến là mô hìnhquần thể gồm hai loài khác nhau, một trong hai loài là thức ăn cho những

cá thể của loài kia Tác động qua lại giữa các loài dạng này rất phổ biếntrong tự nhiên và được gọi là mối quan hệ "thú-mồi"

Một trong những vấn đề trung tâm của sinh thái học nói chung (củaToán-Sinh thái nói riêng) là vấn đề ổn định, sự bền vững và các tính chấtcủa hệ sinh thái trong lân cận các trạng thái cân bằng Mặt khác, các giớihạn ổn định của hệ sinh thái xác định tải trọng tối đa của hệ sinh thái,vượt qua giới hạn đó sẽ dẫn đến sự diệt vong hay sự bùng nổ của hệ sinhthái Chúng ta luôn gặp vấn đề ổn định khi xem xét các vấn đề đánh giágiới hạn ô nhiễm môi trường, vấn đề xét các hậu quả hay thậm chí giảiquyết vấn đề về khả năng thực hiện các phương sách hoạt động kinh tế -

tự nhiên Tất cả những đánh giá đó chỉ trực quan và xác thực khi chúng

là những đại lượng số

Mặt khác, trong giai đoạn qua, lý thuyết ổn định toán học phát triểnhết sức mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật.Trong lý thuyết đó, định nghĩa ổn định đã được phát biểu một cách hoàntoàn chặt chẽ và nhiều kết quả đạt được liên quan đến điều kiện cần và

đủ để hệ ổn định Song vấn đề là ở chỗ lý thuyết đó không nghiên cứubản thân các đối tượng cụ thể mà nghiên cứu các mô hình toán học củachúng Vì vậy, nếu ta có một mô hình toán học tương đối "tốt" (theo nghĩatính phù hợp và sự mô tả đầy đủ) của một quần xã sinh học hay của hệsinh thái (chẳng hạn, bằng các thuật ngữ của phương trình vi phân hoặcsai phân) thì ta có thể trả lời câu hỏi về tính ổn định của một quần xãthực bằng cách nghiên cứu mô hình của chúng với các phương pháp thôngthường của lý thuyết ổn định Tất nhiên, các tình huống thực tế phức tạphơn nhiều so với những điều ta mô tả Nhưng ý nghĩa vẫn không thay đổi

Vì lẽ đó, nghiên cứu những mô hình toán học cho hệ sinh thái và sử dụngcác phương pháp toán học để phân tích tính ổn định của chúng là rất cầnthiết.

Trong luận án này, chúng tôi quan tâm chủ yếu đến một số mô hìnhthú-mồi trong hệ sinh thái Mục đích của luận án là nghiên cứu dáng điệutiệm cận của nghiệm, sự tồn tại nghiệm dương, nghiệm tuần hoàn, hầutuần hoàn, tính bị chặn của nghiệm, sự bền vững, tính ổn định và bánkính ổn định của hệ Bản luận án là tổng hợp các kết quả nghiên cứu chínhtrong các bài báo, các báo cáo tại các xemina (seminar), các hội nghị Toánhọc của tác giả Nội dung cơ bản của luận án được chia thành ba chương.Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị Chúng tôi tổng hợp một

số kiến thức cơ bản đã biết để sử dụng trong các nghiên cứu ở các chươngsau

Chương 2 nghiên cứu dáng điệu và bán kính ổn định của quần thể cócấu trúc tuổi được mô tả bằng hệ Lotka-Von Foerster tuyến tính Các kếtquả chính của chương này được công bố trong các công trình [1, 4]

Chương 3, chúng tôi xét dáng điệu nghiệm của hai dạng mô hình quầnthể thú-mồi phi tuyến Đó là mô hình quần thể thú mồi với hàm đápứng Holling kiểu hai (có cải tiến) và quần thể thú-mồi với hàm đáp ứngBeddington-DeAngelis Chúng tôi chỉ ra điều kiện đủ cho sự phát triển bềnvững của các loài trong mô hình và tính ổn định tiệm cận của hệ Hơn nữa,như một hệ quả của sự phát triển bền vững, đó là điều kiện đủ cho sự tồntại nghiệm tuần hoàn dương bị chặn Các kết quả của chương này đượccông bố trên các công trình [2, 3, 5]

Các kết quả chính của luận án là tổng hợp các nghiên cứu của tác giả,được trình bày trong các bài báo [1, 2, 3, 4, 5] và đã được báo cáo toàn bộhoặc từng phần ở các hội nghị khoa học và xêmina sau:

- Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại

học Khoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội.

- Xêmina "Phương trình vi phân" của liên trường ĐH - Viện nghiên cứu:Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội - Đại học Sư phạm Hà Nội - Viện Toánhọc Việt Nam

- Xêmina "Những ứng dụng toán học trong hệ sinh thái và môi trường"của Bộ môn Toán sinh, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội

- Hội nghị Khoa học ngành Toán - Cơ - Tin học nhân kỷ niệm 50 nămthành lập khoa, Hà Nội 10-2006

- Hội nghị khoa học lần thứ XVII, Trường Đại học Mỏ địa chất Hà Nội,2006,

- Hội nghị Toán học Toàn quốc, lần thứ 7, Quy Nhơn, tháng 8 năm 2008

- Hội nghị Khoa học Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm 2010

Luận án được hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, TrườngĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội dưới sự hướng dẫn, sự động viên khích lệ lớnlao của GS TS Nguyễn Hữu Dư và TS Trịnh Tuấn Anh Tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư và

TS Trịnh Tuấn Anh, những người đã dành nhiều tình cảm, công sức dạy

dỗ, hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học và hoàn thành bản luận án này.Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tác giả đãnhận được rất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các Thầy cô giáo trong KhoaToán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội Tác giả xin cảm

ơn sự giúp đỡ của các Thầy cô

Trong thời gian làm luận án tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức

bổ ích cũng như nhận được nhiều tình cảm sâu sắc từ tập thể các Thầy

cô, các thành viên của các xêmina "Giải tích và ứng dụng", "Những ứngdụng toán học trong hệ sinh thái và môi trường" tại Khoa Toán - Cơ -Tin học, Trường ĐHKHTN cũng như xêmina liên trường, Trường đại họcKhoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội - Đại học Sư phạm Hà Nội - Viện Toán

học Việt Nam Tôi xin cảm ơn các chủ trì xêmina GS.TS Nguyễn Hữu Dư,GS.TSKH Nguyễn Đình Công, PGS.TS Đặng Đình Châu và tất cả cácthành viên của các xêmina trên.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban Chủnhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học và các phòng banchức năng của Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, Trường ĐH Hoa Lư vàTrường ĐH Kinh tế quốc dân đã tạo các điều kiện thuận lợi cho tác giảhoàn thành nhiệm vụ học tập, công tác và nghiên cứu

Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, quan tâmchăm sóc và sự ủng hộ nhiệt tình của những người thân trong gia đình tácgiả Đây là món quà tinh thần xin được tặng tất cả những người thân yêunhất

Kiến thức chuẩn bị

Để thuận tiện trong nghiên cứu ở các chương sau, trong chương này,chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về lý thuyếttoán tử tuyến tính, lý thuyết hàm hầu tuần hoàn, lý thuyết phổ hàm số,

lý thuyết nửa nhóm và một số khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định củaphương trình vi phân

Định nghĩa 1.1.1 Một toán tử tuyến tính

Nhận xét 1.1.1 A là toán tử đóng khi và chỉ khi ∀{x n } ⊂ D(A), lim

và lim

n→∞ Ax n = y thì x ∈ D(A), Ax = y.

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là không gian con của X Một toán tử P được

gọi là phép chiếu từ X vào M nếu nó là toán tử tuyến tính liên tục từ X

Nhận xét 1.1.2 Nếu P là phép chiếu thì Q = I − P cũng là phép chiếu và

Im P = ker Q và ker P = Im Q

Định nghĩa 1.1.3 Toán tử tuyến tính K ∈ L(X, Y) (không gian các toán

tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X đến không gian Banach Y)

Ví dụ 1.1.1 Mọi toán tử hữu hạn chiều K ∈ L(X, Y) đều là toán tử

Chứng minh Nhờ định lý chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân ta suy ra

Kf (t) là hàm liên tục Hơn nữa, vì k liên tục trên tập compact [a, b] × [a, b]

Từ đó ta suy ra K là toán tử tuyến tính liên tục Vì k liên tục đều trên tập compact nên với mỗi ² > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu |t − t 0 | < δ thì

compact tương đối Vậy K là toán tử compact.

Định nghĩa 1.1.4 Cho A : D(A) ⊂ X → Y là một toán tử tuyến tính.

Tập

được gọi là tập các điểm chính quy hay tập giải của A.

Tập σ(A) = C\ρ(A) được gọi là tập phổ của A.

Sau đây chúng tôi nêu một số tính chất phổ của toán tử compact

Mệnh đề 1.1.1 Cho T là toán tử compact và λ ∈ C\{0} Nếu λI − T là

ánh xạ một - một thì miền giá trị của λI − T là đóng.

Chứng minh Xem trong [7].

Mệnh đề 1.1.2 Nếu T là toán tử compact, {λ n } là một dãy các giá trị vô

Chứng minh Xem trong [7].

Định lý 1.1.1 Giả sử X là một không gian Banach, L(X) là không gian

các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào chính nó Khi đó, nếu T ∈ L(X)

là toán tử compact và λ là một số khác không thì N(T − λI) là một không gian con hữu hạn chiều của X.

Chứng minh Xem trong [2].

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian Banach và T ∈ L(X) là toán

tử compact Nếu λ thuộc tập phổ σ(T) của T và λ 6= 0 thì λ là một giá trị riêng của T.

Chứng minh Xem trong [2].

Định lý 1.1.3 Giả sử X là một không gian Banach Nếu T ∈ L(X) là

toán tử compact thì σ(T) không có điểm tụ khác không và tập hợp σ(T) nhiều nhất là đếm được.

Chứng minh Xem trong [2].

hầu tuần hoàn

Định nghĩa 1.2.1 Tập các số thực S là trù mật tương đối trong R nếu

tồn tại số dương l sao cho [α, α + l] ∩ S 6= ∅, với mọi α ∈ R.

Ví dụ 1.2.1.

i) Tập các số nguyên Z là trù mật tương đối trong R

ii) Mọi tập trù mật trong R là trù mật tương đối trong R

Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr)

Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mỗi ² > 0, tập

²−chu kỳ

K(², f ) := {τ ∈ R : sup

t∈R

kf (t + τ ) − f (t)k ≤ ²}

là trù mật tương đối trong R.

* Không gian các hàm hầu tuần hoàn xác định trên R và lấy giá trị trên

X được kí hiệu là: AP (R, X).

Định nghĩa 1.2.3 Hàm liên tục f : R → X được gọi là hàm tựa tuần

hoàn nếu tồn tại hàm liên tục

(t1, t2, , t n ) 7−→ F (t1, t2, , t n)

(với n là số tự nhiên khác 0 nào đó) tuần hoàn theo từng biến và F (t, t, , t) =

f (t), ∀t ∈ R.

Định nghĩa 1.2.4 Một tập S các số thực được gọi là có cơ sở nguyên hữu

hạn nếu tồn tại một tập con hữu hạn M ⊂ S sao cho phần tử bất kỳ s ∈ S

1, , m.

Ví dụ 1.2.2.

i) Mọi hàm tuần hoàn đều là hàm hầu tuần hoàn

ii) Đa thức lượng giác P (t) =Pn k=1 a k e iλ k t (a k ∈ X, λ k ∈ R) là hàm hầu

tuần hoàn

iii) Với a, b bất kỳ, a, b ∈ X, các hàm f : R → X, trong đó f (t) =

những hàm hầu tuần hoàn (Các hàm này không là hàm tuần hoàn

nếu a, b 6= 0).

Định nghĩa 1.2.5 Hàm liên tục f : R+ → X là hầu tuần hoàn tiệm cận

là hàm hầu tuần hoàn tiệm cận

* Không gian các hàm hầu tuần hoàn tiệm cận trên R+ lấy giá trị trên X

kí hiệu là AAP (R+, X).

* Các định nghĩa hàm tuần hoàn tiệm cận, tựa tuần hoàn tiệm cận cũngđược định nghĩa tương tự như định nghĩa 1.2.5

Tính chất 1.2.1 Nếu f : R 7→ X là hàm hầu tuần hoàn thì f là hàm liên tục đều trên R.

Chứng minh Xem trong [29].

Tính chất 1.2.2 Nếu f ∈ AP (R, X) thì tập giá trị của f , R(f ) := {x ∈

X : ∃t ∈ R : x = f (t)} là compact tương đối trong X.

Chứng minh Xem trong [29].

hoàn và hội tụ đều đến hàm f trên R Khi đó f là hàm hầu tuần hoàn Chứng minh Xem trong [29].

Tính chất 1.2.4 Cho x = f (t) là hàm hầu tuần hoàn lấy giá trị trên không gian Banach X và hàm y = g(x) liên tục trên R(f ) với giá trị trong không

X1.

Chứng minh Xem trong [29].

Chứng minh Xem trong [9].

Tính chất 1.2.6 (Định lý Bochner) Cho f : R 7→ X là hàm liên tục Khi

{f (t + h)}, −∞ < h < ∞, là compact tương đối trong C(R, X).

Chứng minh Xem trong [29].

Tính chất 1.2.7 Tổng của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn Tích của một hàm hầu tuần hoàn f : R → X với một hàm số hầu tuần hoàn φ(t) là một hàm hầu tuần hoàn.

Chứng minh Xem trong [29].

Tính chất 1.2.8 (Định lý giá trị trung bình) Với mọi hàm hầu tuần hoàn

Chứng minh Xem trong [29].

Với hàm hầu tuần hoàn f bất kỳ và với mọi λ ∈ R thì hàm f (t)e −iλt

là hầu tuần hoàn, do đó với mọi λ ∈ R, a(λ, f ) = M {f (t)e −iλt } được xác

Định nghĩa 1.3.1 (Phổ Beurling) Ta gọi tập phổ Beurling của hàm f ∈

BUC(R, X) là tập hợp được kí hiệu và xác định như sau :

Thật vậy, ∀λ / ∈ {2kπ : f k 6= 0} suy ra λ 6= 2k0π, k0 ∈ Z hoặc λ = 2k0π mà

f k0 = 0, trong đó f k là hệ số Fourier thứ k của f

Do f là hàm tuần hoàn nên tồn tại một dãy đa thức lượng giác

cho phép biến đổi Fourier-Carleman của f

Chứng minh Xem trong [39].

Chứng minh Ta có phép biến đổi Fourier-Carleman của f như sau:

Nếu Rez > 0 thì

∞

Z0

e −zt f (t)dt =

∞

Z0

e −zt ae iλt dt

= a

Z ∞0

Ví dụ 1.3.4 Giả sử f là hàm tuần hoàn chu kỳ τ thì

trong đó f n là hệ số Fourier thứ n của f

Chứng minh Xét biến đổi Fourier - Calerman của f với Reλ > 0 Ta có:

e

f (λ) =

∞

Z0

f (t)dt

= (1 − e −λτ)−1

τ

Z0

Mệnh đề 1.3.1 f là hàm tựa tuần hoàn khi và chỉ khi f là hàm hầu tuần

Chứng minh Xem trong [29].

Định nghĩa 1.3.4 (Phổ của hàm trên nửa đường thẳng)

nửa mặt phẳng phải:

ˆ

f (λ) =

Z ∞0

5) Nếu A là toán tử đóng, f (t) ∈ D(A), ∀t ∈ R và Af ∈ BUC(R, X) thì

Sp(Af ) ⊂ Sp(f ).

Chứng minh Xem trong [36], [40] và [41].

Mệnh đề 1.3.2 Nếu f : R → X là hàm liên tục đều, σ(f ) là đếm được

và X không chứa bất kỳ không gian con nào đẳng cấu với không gian dãy

Chứng minh Xem trong [29].

Mệnh đề 1.3.3 Nếu f : R → X là hàm liên tục đều, σ(f ) là tập rời rạc

thì f là hàm hầu tuần hoàn.

Chứng minh Xem trong [29].

i) T(0) = I, I là toán tử đồng nhất.

ii) T(t + s) = T(t)T(s), ∀t, s ≥ 0.

iii) lim

Một nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn thường

được gọi là một C0−nửa nhóm (C0−semigroup).

Định nghĩa 1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm (T(t)) t≥0 là toán tử tuyến tính A với miền xác định D(A) đuợc xác định như sau:

Bây giờ chúng ta xét một vài ví dụ về C0−nửa nhóm và ví dụ một nửa

nhóm nhưng không là C0−nửa nhóm.

Ví dụ 1.4.1 Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian

Banach X Khi đó (e tA)t≥0 xác định bởi công thức:

tử sinh là A có miền xác định D(A) = X.

Ví dụ 1.4.2 Xét không gian

BU C(R, X) := {f : R → X : f liên tục đều và bị chặn}.

Giả sử (S(t)) t≥0 là họ các toán tử dịch chuyển trên BUC(R, X) tức là:

S(t)f (s) := f (t + s), ∀t ≥ 0, f ∈ BUC(R, X).

Dễ ràng kiểm tra (S(t)) t≥0 thoả mãn điều kiện i), ii) của định nghĩa 1.4.1.

Từ tính liên tục đều của các hàm trong BUC(R, X) suy ra họ các toán tử dịch chuyển (S(t)) t≥0 là một C0−nửa nhóm.

Định lý 1.4.1 Nếu (T(t)) t≥0 là một C0−nửa nhóm thì tồn tại hằng số

Chứng minh Xem trong [33] hoặc [37].

Hệ quả 1.4.1 Nếu (T(t)) t≥0 là một C0−nửa nhóm thì với mỗi x ∈ X, ánh

2) Nếu x ∈ X thì R0t T(s)xds ∈ D(A) và

A

µZ t0

T(s)xds

¶

= T(t)x − x.

Chứng minh Xem trong [33] và [37].

Hệ quả 1.4.2 Nếu A là toán tử sinh của một C0−nửa nhóm (T(t)) t≥0 thì miền xác định D(A) của A là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng.

Định lý 1.4.3 Cho (T(t)) t≥0 và (S(t)) t≥0 là hai C0−nửa nhóm các toán

tử tuyến tính bị chặn với các toán tử sinh tương ứng là A và B Nếu A = B thì T(t) = S(t) với mọi t ≥ 0.

Chứng minh Xem trong [38], trang 8.

Định lý 1.4.4 (Hille-Yosida)

1) A là toán tử đóng và D(A) trù mật trong X.

1, 2, 3, và Reλ > ω.

Chứng minh Xem trong [38].

Hệ quả 1.4.3 Một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một C0−nửa

1) A là toán tử đóng và D(A) = X,

2) Tập giải của A là ρ(A) ⊂ (0, +∞) và ∀λ > 0, kR(λ, A)k ≤ 1

λ . Nhận xét 1.4.1 Với λ ∈ C, Reλ > ω thì giải của A được viết dưới dạng

tường minh:

R(λ, A)x =

Z ∞0

Chứng minh Xem trong [7].

Định lý 1.4.5 Giả sử A (với tập xác định D(A)) là toán tử sinh của

e −λt T(t)dt.

Chứng minh Xem trong [7].

1.4.3 Nửa nhóm liên tục đều và nửa nhóm compact

Định nghĩa 1.4.3 Nửa nhóm một tham số (T(t)) t≥0 trên không gian Banach X được gọi là liên tục đều (hoặc liên tục theo chuẩn) nếu ánh xạ

liên tục theo tôpô toán tử đều (uniform operator topology) trên L(X).

Định lý 1.4.7 Mọi nửa nhóm liên tục đều (uniformly continuous

T (t) = e At , t ≥ 0, với A là một toán tử trong L(X).

Chứng minh Xem trong [34].

Định nghĩa 1.4.4 Một C0−nửa nhóm (T(t)) t≥0 được gọi là nửa nhóm

được gọi là nửa nhóm compact nếu nó là nửa nhóm compact với t > 0.

Định lý 1.4.8 Giả sử (T(t)) t≥0 là nửa nhóm compact với t > t0 Khi đó

Chứng minh Xem trong [38].

Định lý 1.4.9 Giả sử (T(t)) t≥0 là C0−nửa nhóm với toán tử sinh A Khi

sau thỏa mãn

2) ∀λ ∈ ρ(A), R(λ, A) là toán tử compact.

Chứng minh Xem trong [35].

Hệ quả 1.4.4 Giả sử (T(t)) t≥0 là một nửa nhóm liên tục đều với toán tử

là toán tử compact với mọi λ ∈ ρ(A).

Chứng minh Xem trong [35].

Giả sử (T(t)) t≥0 là C0−nửa nhóm trên không gian Banach X với toán tử

sinh là A Trong mục này chúng ta quan tâm đến quan hệ giữa phổ của

xảy ra không? Ta sẽ chỉ ra ví dụ chứng tỏ đẳng thức đó không đúng với

Ví dụ 1.4.4.

Xét không gian Banach

X = {f : [0, 1] → R sao cho f liên tục và f (1) = 0}

với chuẩn sup Ta xét họ toán tử (T(t)) t≥0 xác định như sau:

Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được (T(t)) t≥0 là một C0−nửa nhóm trên

X Toán tử sinh A của nó có tập xác định

Do vậy, ρ(A) = C và σ(A) = ∅ Mặt khác, vì với mọi t ≥ 0, T(t) là toán

tử tuyến tính bị chặn nên σ(T(t)) 6= ∅ với mọi t ≥ 0 Do đó, đẳng thức

không đúng đối với một C0−nửa nhóm bất kỳ Nhưng, ta có định lý bao

hàm phổ sau:

Định lý 1.4.10 Giả sử (T(t)) t≥0 là một C0−nửa nhóm với toán tử sinh

là A Khi đó, ta có

Chứng minh Xem trong [33].

Chúng tôi xin nhắc lại một số khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định Xétphương trình vi phân

dx2dt

dx n dt

(ta cũng thường kí hiệu ˙x = dx

dt ) Với giả thiết f (t, x) ∈ C

0,1

t,x (Z), tức là f

là hàm liên tục theo (t, x) và có các đạo hàm cấp một liên tục theo x trong miền Z = I t+ × D x , I t+ = {t0 < t < +∞} (t0 có thể bằng −∞).

Định nghĩa 1.5.1 Nghiệm η(t), (a < t < +∞) của phương trình (1.1)

được gọi là ổn định theo Liapunov khi t → +∞ nếu với mọi số dương ²

1) Tất cả các nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) (kể cả nghiệm η(t)) thỏa mãn điều kiện

tính

Trước hết chúng ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm dạng:

trong đó x ∈ R n , A là ma trận cấp n × n.

Định lý 1.5.1 Cho A là ma trận cấp n × n Khi đó với mỗi x0 ∈ R n cho trước, bài toán giá trị ban đầu

˙x = Ax

Chứng minh Xem trong [55].

Định lý 1.5.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2) với ma trận hằng số

của ma trận A có phần thực âm, tức là:

Reλ j (A) < 0, (j = 1, , n).

Chứng minh Xem trong [55].

Ta đã biết bức tranh pha của một hệ phương trình vi phân, chẳng hạn

hệ (1.2) với x ∈ R n là tập hợp tất cả các đường cong nghiệm của (1.2)trong không gian pha Rn

Để áp dụng vào các mô hình thú mồi trong chương 3 Bây giờ chúng ta

sẽ xét các dạng có thể có của bức tranh pha của hệ phương trình vi phântuyến tính (1.2) trong không gian pha R2, tức là x ∈ R2 và A là ma trận cấp 2 × 2 Do tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A = P BP −1, với ma

trận B có dạng chuẩn Jordan, nên từ phương trình (1.2), bằng phép đổi biến y = P −1 x ta được

Nhận xét 1.5.1 Hệ (1.2) và hệ (1.3) sai khác nhau bằng một phép biến

đổi không suy biến nên bức tranh pha của hai hệ đó là tương đương tuyếntính, tức là, từ bức tranh pha của hệ (1.3), bằng một phép biến đổi tuyến

tính hệ trục toạ độ ta sẽ nhận được bức tranh pha của hệ (1.2) Vậy, chúng

ta chỉ cần xét các bức tranh pha của hệ (1.3)

Nếu µ < 0 < λ thì dấu mũi tên trong hình 1.1 đảo lại.

Hình 1.1: Điểm gốc là điểm saddle

các mũi tên trong hình 1.2 đảo lại và các nút này là không ổn định Tính

ổn định của điểm nút được xác định bởi dấu của các giá trị riêng: ổn định

nếu λ ≤ µ < 0 và không ổn định nếu λ ≥ µ > 0.

Trong trường hợp này bức tranh pha của hệ (1.3) cho bởi hình 1.3 và điểm

gốc toạ độ được gọi là tiêu điểm ổn định (Stable focus) Nếu a > 0 thì

điểm gốc được gọi là tiêu điểm không ổn định (unstable focus) Khi ma

trận A có hai giá trị phức liên hợp với phần thực khác không, a + bi, với

a < 0 thì bức tranh pha của hệ (1.1) tương đương với một trong các bức

tranh pha đã chỉ trong hình 1.3

Hình 1.3: Tiêu điểm ổn định tại gốc.

Bức tranh pha của trường hợp này là hình 1.4 và ta gọi điểm gốc là tâm

(Center) Trong trường hợp A có cặp giá trị riêng thuần ảo liên hợp, ±bi

thì bức tranh pha của hệ (1.2) tương đương với một trong các hình đãchỉ ra trong hình 1.4 Nếu một hoặc tất cả các giá trị riêng bằng 0, tức là

det(A) = 0 thì điểm gốc được gọi là điểm cân bằng suy biến của hệ (1.2).

Hình 1.4: Điểm gốc là tâm

Định nghĩa 1.5.4 Hệ tuyến tính (1.2) được gọi là có một saddle, một

nút, một tiêu điểm hoặc tâm tại gốc nếu ma trận A đồng dạng với một trong các dạng tương ứng của ma trận B trong các trường hợp 1, 2, 3, 4.

Định lý 1.5.3 Đặt δ = det(A), τ = Tr A và xét hệ phương trình tuyến

tính

˙x = Ax

1) Nếu δ < 0 thì hệ saddle tại gốc toạ độ.

nó ổn định nếu τ < 0 và không ổn định nếu τ > 0.

gốc toạ độ, nó ổn định nếu τ < 0 và không ổn định nếu τ > 0.

4) Nếu δ > 0 và τ = 0 thì hệ có tâm là gốc toạ độ.

Chứng minh Xem trong [55].

Định nghĩa 1.5.5 Nút ổn định hoặc tiêu điểm ổn định của hệ (1.1) được

gọi là sink của hệ tuyến tính và nút không ổn định hoặc tiêu điểm không

ổn định được gọi là source của hệ đó.

Định lý 1.5.4 Nếu A là ma trận thực cấp 2n × 2n các các giá trị riêng

phức λ j = a j + ib j và ¯ λ j = a j − ib j , j = 1, , n thì tồn tại các vector phức riêng w j = u j +iv j và ¯ w j = u j −iv j , j = 1, , n sao cho {u1, v1, , u n , v n }

khả nghịch.

Chứng minh Xem trong [55].

Tiếp theo, chúng ta xét phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm:

Định nghĩa 1.5.6 Hệ phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định (ổn

định tiệm cận) nếu tất cả các nghiệm của hệ đều ổn định (ổn định tiệm cận) khi t → +∞.

Định lý 1.5.5 Hệ phương trình vi phân (1.4) ổn định với mọi số hạng tự

do f (t) khi và chỉ khi nghiệm tầm thường η(t) ≡ 0 của hệ thuần nhất (1.5)

ổn định Liapunov khi t → +∞.

Chứng minh Xem trong [4]

Định lý 1.5.6 Hệ phương trình vi phân (1.4) ổn định tiệm cận khi và

chỉ khi nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định tiệm cận khi t → +∞.

Chứng minh Xem trong [4]

Định lý 1.5.7 Hệ phương trình vi phân (1.5) ổn định khi và chỉ khi mọi

Chứng minh Xem trong [4]