tính
Trước hết chúng ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm dạng:
˙
x = Ax, (1.2)
Định lý 1.5.1. Cho A là ma trận cấp n×n. Khi đó với mỗi x0 ∈ Rn cho trước, bài toán giá trị ban đầu
˙
x = Ax x(0) = x0
có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức x(t) = eAtx0. Chứng minh. Xem trong [55].
Định lý 1.5.2. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2) với ma trận hằng số
Alà ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λj = λj(A)
của ma trận A có phần thực âm, tức là:
Reλj(A) < 0, (j = 1, . . . , n).
Chứng minh. Xem trong [55].
Ta đã biết bức tranh pha của một hệ phương trình vi phân, chẳng hạn hệ (1.2) với x ∈ Rn là tập hợp tất cả các đường cong nghiệm của (1.2) trong không gian pha Rn.
Để áp dụng vào các mô hình thú mồi trong chương 3. Bây giờ chúng ta sẽ xét các dạng có thể có của bức tranh pha của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) trong không gian pha R2, tức là x ∈ R2 và A là ma trận cấp 2×2. Do tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A = P BP−1, với ma trận B có dạng chuẩn Jordan, nên từ phương trình (1.2), bằng phép đổi biến y = P−1x ta được
˙
y = By (1.3)
Nhận xét 1.5.1. Hệ (1.2) và hệ (1.3) sai khác nhau bằng một phép biến đổi không suy biến nên bức tranh pha của hai hệ đó là tương đương tuyến tính, tức là, từ bức tranh pha của hệ (1.3), bằng một phép biến đổi tuyến
tính hệ trục toạ độ ta sẽ nhận được bức tranh pha của hệ (1.2). Vậy, chúng ta chỉ cần xét các bức tranh pha của hệ (1.3).
Ma trận B = P−1AP có một trong các dạng sau: B = λ 0 0 µ ; B = λ 1 0 λ ; B = a −b b a
Khi đó, các dạng của ma trận eBt tương ứng là
eBt = eλt 0 0 eµt ; eBt = eλt 1 t 0 1 ; eBt = eat cosbt −sinbt sinbt cosbt
và nghiệm của bài toán (1.3) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 là
x(t) = eλt 0 0 eµt x0; x(t) =eλt 1 t 0 1 x0; x(t) = eat cosbt −sinbt sinbt cosbt x0 Trường hợp 1. B = λ 0 0 µ với λ < 0< µ.
Bức tranh pha của hệ tuyến tính (1.3) trong trường hợp này được cho bởi hình 1.1 và khi đó hệ (1.3) có điểm gốc là điểm yên ngựa (điểm saddle). Nếu µ < 0 < λ thì dấu mũi tên trong hình 1.1 đảo lại.
Trường hợp 2. B = λ 0 0 µ với λ ≤µ < 0 hoặc B = λ 1 0 λ với λ <0.
Bức tranh pha của hệ tuyến tính (1.3) trong các trường hợp này được cho bởi hình 1.2 và điểm gốc được gọi là nút ổn định (Stable node). Nó được gọi là nút chính thường (proper) nếu λ = µ và nút không chính thường (improper) trong hai trường hợp còn lại. Nếu λ ≥ µ > 0 hoặc λ > 0 thì các mũi tên trong hình 1.2 đảo lại và các nút này là không ổn định. Tính ổn định của điểm nút được xác định bởi dấu của các giá trị riêng: ổn định nếu λ ≤µ < 0 và không ổn định nếu λ ≥ µ > 0.
Hình 1.2: Điểm nút ổn định tại gốc. Trường hợp 3. B = a −b b a với a<0.
Trong trường hợp này bức tranh pha của hệ (1.3) cho bởi hình 1.3 và điểm gốc toạ độ được gọi là tiêu điểm ổn định (Stable focus). Nếu a > 0 thì điểm gốc được gọi là tiêu điểm không ổn định (unstable focus). Khi ma trận A có hai giá trị phức liên hợp với phần thực khác không, a+bi, với
a < 0 thì bức tranh pha của hệ (1.1) tương đương với một trong các bức tranh pha đã chỉ trong hình 1.3.
Hình 1.3: Tiêu điểm ổn định tại gốc. Trường hợp 4. B = 0 −b b 0 .
Bức tranh pha của trường hợp này là hình 1.4 và ta gọi điểm gốc là tâm (Center). Trong trường hợp A có cặp giá trị riêng thuần ảo liên hợp, ±bi
thì bức tranh pha của hệ (1.2) tương đương với một trong các hình đã chỉ ra trong hình 1.4. Nếu một hoặc tất cả các giá trị riêng bằng 0, tức là
det(A) = 0 thì điểm gốc được gọi là điểm cân bằng suy biến của hệ (1.2).
Hình 1.4: Điểm gốc là tâm.
Định nghĩa 1.5.4. Hệ tuyến tính (1.2) được gọi là có một saddle, một nút, một tiêu điểm hoặc tâm tại gốc nếu ma trận A đồng dạng với một trong các dạng tương ứng của ma trận B trong các trường hợp 1, 2, 3, 4.
Định lý 1.5.3. Đặt δ = det(A), τ = Tr A và xét hệ phương trình tuyến tính
˙
1) Nếu δ < 0 thì hệ saddle tại gốc toạ độ.
2) Nếu δ > 0 và τ2−4δ ≥ 0 thì hệ đã cho có một điểm nút là gốc toạ độ, nó ổn định nếu τ < 0 và không ổn định nếu τ > 0.
3) Nếu δ > 0, τ2 −4δ < 0 và τ 6= 0 thì hệ đã cho có một tiêu điểm tại gốc toạ độ, nó ổn định nếu τ < 0 và không ổn định nếu τ > 0.
4) Nếu δ > 0 và τ = 0 thì hệ có tâm là gốc toạ độ. Chứng minh. Xem trong [55].
Định nghĩa 1.5.5. Nút ổn định hoặc tiêu điểm ổn định của hệ (1.1) được gọi là sink của hệ tuyến tính và nút không ổn định hoặc tiêu điểm không ổn định được gọi là source của hệ đó.
Định lý 1.5.4. Nếu A là ma trận thực cấp 2n×2n các các giá trị riêng phức λj = aj+ibj và λ¯j = aj−ibj, j = 1, . . . , n thì tồn tại các vector phức riêngwj = uj+ivj và w¯j = uj−ivj, j = 1, . . . , n sao cho {u1, v1, . . . , un, vn}
là một cơ sở của R2n. Với cơ sở này, ma trận P = [v1 v1· · ·vn un] là khả nghịch.
Chứng minh. Xem trong [55].
Tiếp theo, chúng ta xét phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm:
dx dt = A(t)x+f(t), (1.4) trong đó A(t), f(t) ∈ C(R+) và giả sử: dx dt = A(t)x, (1.5) là hệ thuần nhất tương ứng.
Định nghĩa 1.5.6. Hệ phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định (ổn định tiệm cận) nếu tất cả các nghiệm của hệ đều ổn định (ổn định tiệm cận) khi t →+∞.
Định lý 1.5.5. Hệ phương trình vi phân (1.4) ổn định với mọi số hạng tự do f(t) khi và chỉ khi nghiệm tầm thường η(t) ≡ 0 của hệ thuần nhất (1.5)
ổn định Liapunov khi t→ +∞. Chứng minh. Xem trong [4]
Định lý 1.5.6. Hệ phương trình vi phân (1.4) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định tiệm cận khi t→ +∞.
Chứng minh. Xem trong [4]
Định lý 1.5.7. Hệ phương trình vi phân (1.5) ổn định khi và chỉ khi mọi nghiệmx(t),(t0 ≤ t < +∞) của hệ đều giới nội trên nửa trụct0 ≤ t < +∞. Chứng minh. Xem trong [4]
1.5.2 Tính ổn định của phương trình vi phân phi
tuyến
Xét phương trình vi phân
dx
dt = f(t, x), (1.6)
với các giả thiết sau:
Giả thiết 1.5.1.
i) f(t, x) là hàm hầu tuần hoàn theo t đều với x ∈ K, trong đó K là một tập compact trong Rn,
ii) phương trình (1.6) có nghiệm duy nhất đối với các bài toán giá trị ban đầu trong K.
Định nghĩa 1.5.7. Một nghiệm ϕ của (1.6) được gọi là ổn định đều trên
[t1; +∞) nếu với mọi ² > 0, tồn tại δ > 0 sao cho t0 ∈ [t1; +∞) và
kϕ(t0)−ψ(t0)k < δ với ψ là một nghiệm của (1.6) thì suy ra kϕ(t)−ψ(t)k< ² trên [t0; +∞).
Định nghĩa 1.5.8. Một nghiệm ϕ của (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận đều trên [t1; +∞) nếu nó là ổn định đều và nếu tồn tại r > 0 sao cho với mọi ² > 0, tồn tại T(²) > 0 đồng thời với t0 ≥ t1 và kx0 −ϕ(t0)k < r thì
kx(t, t0, x0)−ϕ(t)k < ² với mọi t ≥ t0 +T(²).(Ở đây kí hiệu x(t, t0, x0) là nghiệm của (1.6) với x(t0) =x0).
Định lý 1.5.8. Giả sử hệ (1.6) thỏa mãn giả thiết 1.5.1. Nếu (1.6) chỉ có hữu hạn nghiệm ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) trên [t1; +∞) thì nó có nghiệm hầu tuần hoàn ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) trên R. Chứng minh. Xem trong [9].
Định lý 1.5.9. Nếu hệ (1.6) là tuần hoàn, ϕ là một nghiệm ổn định đều và bị chặn thì ϕ là hầu tuần hoàn tiệm cận (Asymptotical almost periodic solutuion) và phần hầu tuần hoàn của nó cũng là một nghiệm.
Chứng minh. Xem trong [9].
Định lý 1.5.10. Nếu (1.6) là tuần hoàn đồng thời có một nghiệm ổn định tiệm cận đều và bị chặn trên [t0; +∞) thì tồn tại một nghiệm tuần hoàn ổn định tiệm cận đều
Bây giờ chúng ta xét một trường hợp đặc biệt nhưng rất quan trọng và thường xuất hiện trong các ứng dụng. Đó là phương trình vi phân ôtônôm dạng
˙
x = f(x) (1.7)
Giả sử x0 là một không điểm của f(x): f(x0) = 0 và hàm f(x) khả vi liên tục trong lân cận của x0.
Định lý 1.5.11. (Tiêu chuẩn Dulac’s)
Giả sử f ∈ C1(G) trong đó G là miền đơn liên trong R2. Nếu tồn tại một hàm B ∈ C1(G) sao cho 5(Bf) khác 0 và không đổi dấu trong G thì (1.7)
không có quỹ đạo đóng nằm trọn trong G. Nếu K là một miền hình khuyên chứa trong G mà trên đó 5(Bf) không đổi dấu thì tồn tại ít nhất một chu trình giới hạn (limit cycle) của (1.7) trong K.
Dáng điệu tiệm cận và bán kính ổn định của mô hình quần thể có cấu trúc tuổi