Tính hyperbolic của các miền lồi không bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Cao Luận TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC MIỀN LỒI KHƠNG BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TháiNguyên, 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Cao Luận TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC MIỀN LỒI KHƠNG BỊ CHẶN Chun ngành: Tốn giải tích Mãsố : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS PhạmViệtĐức TháiNguyên, 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tơixin cam đoanđâylàcơngtrìnhnghiêncứucủatơivớisựhướngdẫncủa PGS TS PhạmViệtĐức CácsốliệuvàtríchdẫnliênquanđãnêutrongLuậnvănnàylàhồntồntrungthực , chưacótrongbấtkỳmộtcơngtrìnhcủatácgiảnàokhác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Trongqtrìnhhồnthànhluậnvăntơiđãnhậnđượcsựhướngdẫntậntìnhcủa PGS.TS PhạmViệtĐức - Trường ĐHSP ĐạihọcTháiNgun - Vớilịngkínhtrọngtơixinđượcbiếtơnsâusắctớithầy Nhândịpnàytơicũngxinđượcchânthànhcảmơncácthầy, cơđãtậntìnhgiảngdạy, chỉbảotơitrongsuốtqtrìnhhọctậpvàhồnthànhluậnvăntạiTrường ĐHSP – ĐạihọcTháiNgun Đồngthờitơicũngxincảmơn Ban giámhiệu, KhoaTốn, PhịngQuảnlýkhoahọc, KhoaSauđạihọcTrường ĐHSP - ĐạihọcTháiNgun, đãtạođiềukiệnthuậnlợichoviệchọctậpvànghiêncứucủatơi Cuốicùngtơixincảmơngiađình, bạnbèvàđồngnghiệpnhữngngườilnđộngviênvàgiúpđỡtơitrongsuốtqtrìnhhọ ctậpvàhồnthànhluậnvăn Do thờigianvàkhảnăngcịnhạnchế, nênchắcchắnluậnvănkhơngthểtránhkhỏinhữngthiếusót, chúngtơirấtmongnhậnđượcsựđónggóptừcácthầycơvàcácbạn TháiNgun, tháng03 năm 2013 Nguyễn Cao Luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU … Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giảkhoảngcách Kobayashi ………………………… …… 1.2 GiảkhoảngcáchCaratheodory ……………………………… 1.3 Mộtsốtínhchất ……………………………………………… 1.4 HàmLempert …………… ………………………………… 1.5 Hàmđađiềuhòadưới ……….……………………………… 1.6 Metric Bergman ……………………………… …………… 10 1.7 Khônggianphức hyperbolic ………………………………… 13 Chương 2: TÍNH HYPERBOLIC TRONG NHỮNG MIỀN LỒI KHÔNG BỊ CHẶN 21 2.1 Mộtsốkếtquả ban đầu …………… ……………………… 21 2.2 Tính hyperbolic trongnhữngmiềnlồikhơngbịchặn.…… 31 2.3 Ứngdụng … 40 KẾT LUẬN … 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu tính chất khơng gian phức hyperbolic nghiên cứu từ lâu nhiều nhà toán học giới.Đối với tính hyperbolic miền lồi khơng bị chặn có số kết công bố Năm 2009, F Bracci A Saracco [5] chứng minh 11 điều kiện tương đương với tính hyperbolic theo nghĩa Kobayashi miền lồi khơng bị chặn.Nội dung luận văn trình bày chi tiết kết nói Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày số kiến thức sở liên quan chặt chẽ đến nội dung luận văn, :các giả khoảng cách bất biến không gian phức hyperbolic theo nghĩa Kobayashi, Brody Caratheodory Chương trình bày kết tính hyperbolic miền lồi không bị chặn Cụ thể, nội dung chương trình bày chứng minh định lý 11 điều kiện tương với tính hyperbolic miền lồi không bị chặn  N Cuối số hệ ứng dụng định lý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.1.1 Trên đĩa đơn vị mở    z  C|| z  1 , khoảng cách BergmanPoincaré cho   0, z   ln 1 z , z   1 z 1.1.2 Giả sử X không gian phức, p q hai điểm tùy ý X Ta gọi dây chuyền chỉnh hình  nối p với q X tập hợp a , , a n  ; f1 , , f n  Hol  , X  cho : f1    p, f i    f i 1   , f n  an   q, i  1, n  1, đó, Hol  , X  khơng gian ánh xạ chỉnh hình từ  vào X trang bị tôpô compact-mở n Đặt : L     0,  định nghĩa: d X  p, q   inf L , infimun lấy i 1 theo tất dây chuyền chỉnh hình  nối p với q X Hàm d X : X  X  0,   gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X Dễ thấy d X thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách Đặc biệt,  giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman-Poincare, d   1.2 Giả khoảng cách Caratheodory Cho X mộtkhông gian phức, Hol  X ,   tập hợp ánh xạ chỉnh hình f : X   Giả khoảng cách Caratheodory c X xác định Xbởicơng thức: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn c X  p, q   sup   f  p  , f  q   , với p, q  X f supremum lấy theo tồn f  Hol  X ,   Một số tính chất 1.3 1.3.1 Mệnh đề.Nếu X Y hai không gian phức ánh xạ chỉnh hình f : X  Y có tính chất giảm khoảng cách: cY  f  p  , f  q    c X  p, q  dY  f  p  , f  q    d X  p, q  , f  Hol  X ,Y  , p, q  X Chứng minh: Vì g : X   h : Y   ánh xạ chỉnh hình nên h  f : X   ánh xạ chỉnh hình Do đó, với hai điểm p, q  X ln có:   c X  p, q   sup   g  p  , g  q   , g  Hol  X ,   ;   cY  f  p  , f  q    sup   h  f  p  , h  f  q   , h  f  Hol  X ,   Theo Bổ đề Schwarz ta có:   h  f  p , h  f  q     f  p , f  q  suy     sup   f  p  , f  q    sup   h  f  p  , h  f  q   Tức : c X  p, q   cY  f  p  , f  q   Tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi hiển nhiên  dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm p q X f   dây chuyền chỉnh hình nối f  p  , f  q  Y  Hơn d X giả khoảng cách lớn X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f :   X giảm khoảng cách Từ mệnh đề ta có hệ quả:Mỗi song chỉnh hình f : X  Y không gian phức đẳng cự Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tức c X  p, q   cY  f  p  , f  q   ; d X  p, q   dY  f  p  , f  q   , p,q  X 1.3.2 Mệnh đề Cho khơng gian phức X, ta có d X  p, q   cX  p, q  , p, q  X Chứng minh.Như định nghĩa d X  p, q  , chọn p = p0 , p1 ,…, pk = q X, điểm a1, a2,…, ak, b1,…, bkcủa  ánh xạ chỉnh hình f1, f2,…, fk Hol(  ,X) thỏa mãn fi    pi1, fi bi   pi Cho flà ánh xạ chỉnh hình từX vào  Khi k k    a , b      f  f  a  , f  f b  i 1 i i i 1 i i i i    f  f1  a1  , f  f k  bk   =  f  p  , f  q   Trong bất đẳng thức thứ suy từ bổ đề Schwarz bất đẳng thức thứ hai hệ bất đẳng thức tam giác Do k d X  p, q   inf    , bi   sup   f  p  , f  q    c X  p, q   i 1 1.3.3 Mệnh đề.Cho  đĩa đơn vị mở C , ta có : d  c   Chứng minh.Từ bổ đề Schwarz-Pick ta thấy : ánh xạ chỉnh hình f :    giảm khoảng cách khoảng cách Poincaré  Hơn nữa, từ định nghĩa giả khoảng cách Caratheodory Kobayashi với cách lập luận tương tự phần chứng minh Mệnh đề 1.3.2, ta thu được: d  p, q     p, q   c  p, q  , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p,q  http://www.lrc-tnu.edu.vn Sử dụng phép biến đổi đồng  ta thu đẳng thức d  p, q  = c  p, q     p, q  , p, q   1.3.4 Mệnh đề.Cho X không gian phức a) Nếu  X giả khoảng cách sau  X  p, q     f  p  , f  q   f  Hol  X ,   ; p, q  X cX  p, q    X  p, q  p, q  X b) Nếu  X giả khoảng cách X thỏa mãn  X  f  a  , f  b      a, b  f  Hol  , X  ; a, b    X  p, q   d X  p, q  , p,q  X Chứng minh Phần a) hiển nhiên Ta chứng minh b) Thật vậy, chọn p0 , p1, , pk , a1, , ak , b1, , bk , f1, , f k chứng minh mệnh đề 1.3.2 Khi k k i 1 i 1  X  p, q     X  pi 1 , pi     X  f i   , f  bi   k     , bi  i 1 k Vì thế,  X  p, q   inf    , bi   d X  p, q   i 1 1.3.5 Mệnh đề.Giả  x, y  ,  x, y  X sửX Y hai không gian phức.Với x Y ta có d X x Y   x, y  ,  x, y    max  d X  x, x  , dY  y, y   (1) max c X  x, x  , cY  y, y   c X x Y   x, y  ,  x, y    c X  x, x   cY  y , y  (2) Chứng minh.Vì phép chiếu  : X  Y  X chỉnh hình tính giảm khoảng cách, ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Vậy lim f jk   tập B  n , r  k  Theo định lý Montel, ta có: lim f jk      Vậy tập E đóng k  Do  liên thơng, E tập vừa đóng vừa mở nên E   Do đó, lim f jk     ,      f j  j 1 phân kì compact  k  Trường hợp 2: Với  , dãy  f    j tập compact tương đối C n Vậy bị chặn địa phương Theo định lý Arzela-Ascoli ta suy  f    có dãy hội tụ tập compact tới hàm chỉnh j hình f  Hol  , D  , tức f j  f  Hol  , D  Ta chứng minh k f   j j 1 phân kì compact hội tụ tập compact Thật vậy, gọi E     | f      \  Rõ ràng E tập đóng,  đóng Giả sử E   Lấy  E  f     Do D taut địa phương f    , suy tồn lân cận V f    cho V  D taut Do f jk  f suy tồn lân cận U-mở  V  f    , V   V cho f jk U   D  V  với k đủ lớn, suy f jk V : U  D  V với D  V taut Vậy f U   D f     D Vậy U mở E suy raElà tập mở Do  liên thơng nên ta có E   Do f     D   f j  j 1 phân kì compact Do D taut Như   ta chứng minh xong định lý Rõ ràng miền lồi taut địa phương điểm biên, tính taut suy từsự tồn hàm peak antipeaktại vô cực 2.1.10 Định lý Nếu D  C n miền bị chặn cho có hàm chỉnh hình,peak yếu địa phương điểm biên D, D taut Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Chứng minh.Theo Định lý 1.7.7, ta giả sử có hàm chỉnh hình, peak yếu điểm biên D Do Dbị chặn, nên dãy hk   Hol  , D  có dãy hội tụ tới ánh xạ h  Hol  , C n  Do h     D Điều chứng tỏ h     D h     D Giả sử có điểm z0  cho h  z0  D Cho f hàm peak yếu D h(z0) Khi f  h hàm chỉnh hình  mà đạt cực đại z0 Do đó, f  h  z    f  h  z0    , điều kéo theo h     D   Do h     D Vậy D taut  2.1.11 Hệ quả.Mọi miền lồi bị chặn D  C n taut Chứng minh.Với x D có phiếm hàm tuyến tính phức  : C n  C cho Re    z    Re    x   , z  D Khi f  e hàm peak yếu chỉnh hình x Vậy theo Định lý  2.1.10, D taut Nếu f : D  D hàm chỉnh hình, dãy lặp  f  xác ok định phương pháp qui nạp sau f  k : f  k 1  f Nếu f có điểm cố định zo  D ,  f  khơng phân kì compact Mặt khác, tùy thuộc ok vào hình học D, tồn hàm chỉnh hình f thỏa mãn  f  khơng phân kì ok compactnhưng f khơng có điểm bất động D Kết sau chứng minh Abate [3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 2.1.12 Định lý.Giả sử D  C N miền taut Giả sử H j  D; Q   với j > f : D  D ánh xạ chỉnh hình Khi dãy lặp  f  phân ok kì compact f khơng có điểm tuần hồn D Nếu D miền lồi bị chặn dãy lặp  f  phân kì compact ok f khơng có điểm bất động D 2.2 Tính hyperbolic miền lồi khơng bị chặn Nội dung phần chứng minh định lý sau: 2.2.1 Định lý.Giả sử D  CN làmột miền lồi(có thể không bị chặn) Cácđiều kiện sau tương đương: (1) D song chỉnh hình với miền bị chặn; (2) D hyperbolic; (3) D taut; (4) D hyperbolic đầy; (5) D không chứacác đường cong nguyên khác hằng; (6) D không chứa đường thẳng affine phức; (7) D có N siêu phẳng thựcđộc lập tuyến tính tách rời; (8) D có hàm peak anti-peaktại vơ cực; (9) D có chứa metric Bergman bD; (10) D đầy ứng với metric Bergman bD ; (11)Với ánh xạ f : D  D chỉnh hình cho dãy lặp  f  khơng k phân kì compact, tồn z0  D cho f  z0   z0 Để chứng minh định lý ta cần số kết sau: Cho D miền C n ,ta định nghĩa hàm Lempert  D xác định bởi:  D  z, w   inf   0, t  : t   0,1 ,   Hol  ,D  :     z,   t   w , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32  khoảng cách Poincaré  , Hol  , D  tập ánh xạ chỉnh hình từ  vào D Nói chung hàm Lempert  D giả khoảng cách khơng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Giả khoảng cách Kobayashi hàm lớn  D mà thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Bổ đề sau mở rộng kết Lempert [13] cho miền lồi không bị chặn : 2.2.2 Bổđề.Cho D  C N miền lồi (có thể khơng bị chặn) Khi kD   D  cD Chứng minh Với D miền lồi bị chặn bổ đề chứng minh Lempert [13] Giả sử D không bị chặn Lấy DR giao D với hình cầu tâm gốc tọa độ bán kính R>0 Với R  tập DR miền lồi bị chặn khơng rỗng Do kDR   DR  cDR Bây lấy DR  dãy tăng miền mà hợp chúng D Khi đó, lim kDR  kD , lim cDR  cD , lim  DR   D ([9, Mệnh đề 2.5.1 Mệnh đề R R R 3.3.5]) Như kD   D  cD Bổ đề chứng minh  2.2.3 Mệnh đề Cho D  C N miền lồi (có thể khơng bị chặn) Khi đó, hình cầu Kobayashi D lồi Chứng minh Đối với trường hợpD bị chặn(xem [2, Mệnh đề 2.3.46]) Đối với trường hợp Dkhông bị chặn, lấy B hình cầu Kobayashi bán kính  tâm z0  D GọiDRlà giao D với hình cầu Euclide tâm gốc tọa độ bán kính R>0.Giả sử BR hình cầu Kobayashi DR bán kính  tâm z0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Khi đó, tập lồi BR  BR  B với R  1,   , hợp lồi tăng chúng  BR  B , lim kDR  kD R R  Vậy mệnh đề chứng minh 2.2.4 Bổ đề.Cho D  C N miền lồi taut (có thể khơng bị chặn) Khi đó, với cặp z, w  D tồn ánh xạ   Hol  ,D cho:   0  z,   t   w, t 0,1 kD  z, w    0, t  Chứng minh.Theo Bổ đề2.2.2, ta có kD   D , tồn dãy k  đĩa chỉnh hình tk   0,1 cho k  0  z k  tk   w k D  z , w   lim   0, tk  k  Do D taut k  0  z với k, giả sử k  hội tụ tập compact đến ánh xạchỉnh hình  :   D ,khi   0  z Mặt khác, kD  z, w   , nên tồn t0  1sao cho tk  t0 với k Bằng cách lấy dãy con, ta giả sử tk  t  t0 Khi k D  z , w   lim   0, tk     0, t  k  Hơn nữa,   t   lim k  tk   w có điều cần chứng minh k   2.2.5 Mệnh đề.Cho D  C N miền lồi (có thể khơng bị chặn) Khi D taut hyperbolic đầy Chứng minh Giả sử D hyperbolic đầy Gọi M miền khác C N Vì  D, d D  tight, theo định nghĩa miền tight tập ánh xạ chỉnh hình từ M vào D đồng liên tục D hyperbolic đầy, nên tập bị chặn D compact tương đối Điều kéo theo Hol  M , D  chuẩn tắc Vì D taut Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Ngược lại, giảsửD taut Chúng ta chứng minh cầu đóng Kobayashi compact (tương đương với tính hyperbolic đầy, theo Mệnh đề 1.7.3 Chương 1) Lấy R  , z  D hình cầu B  z , R   w  D : k D  z , w   R Nếu B  z, R  khơng compact tồn dãy wk  cho wk   p D   kD  z, wk   R Với k, lấy k  Hol  ,D  đĩa cực trị cho Bổ đề 2.2.4 cho k  0  z, k  tk   wk , với tk   0,1 kD  z, wk     0, tk  Chú ý rằng, kD  z, wk   R , nên tồn t0  cho tk  t0 với k Bằng cách lấy dãy cần, ta giả sử rằngvới t  Do D taut k  0  z , dãy k  hội tụ tập compact tới đĩa chỉnh hình  :   D cho   0  z Mặt khác,   t   lim k  tk   lim wk  p , điều mâu thuẫn k  k  Bởi B  z, R  compact D hyperbolic đầy.Mệnh đề  chứng minh 2.2.6 Mệnh đề.[5, Bổ đề 3].Cho D  C N miền lồi, không chứa đường thẳng affine phức Khi tồn siêu mặt phức L1  0 ,…, LN  0 độc lập tuyến tính chứa gốc tọa độ a1, , aN R cho D  Re L1  a1, ,Re LN  aN  Chứng minh Không tính tổng qt, ta giảsử O  D Do D không chứa đường thẳng affine phức, suy D không rỗng Lấy điểm p1  D siêu phẳngtiếp xúc thực qua p1 , cho Re L1  a1 (nếu biên trơn có siêu phẳng tiếp xúc), L1 xác định cho D  Re L1  a1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Giả sử L1,…,Lk , k