Tính siêu lồi, tính taut và tính k đầy của các tập mở không bị chặn trong c

ì ì P PP ế P é Cn ì ì P PP ế P é Cn số ì ì ổ ổ tr ự r tổ ữợ sỹ ữợ t t r r ự tổ tứ t q ỗ ợ sỹ tr trồ t ỡ t s PP ỡ ữủ t ữợ sỹ ữợ t t sỹ r tổ ỷ ỡ t s s ổ ổ ụ ỷ ỡ t t ổ trữớ ữ ụ ữ t ổ t õ ỳ ữớ t t t sỹ t t tr ú tổ tự ố ũ ỷ ỡ ỡ ỗ ổ ỗ ú ù tổ tr sốt q tr t ự ụ ữ tr q tr tỹ t ữớ t s PP ử ỡ ử tự ỵ s ỏ ữợ ỏ ữợ ỏ ữợ t tr s s r ởt tt s ỗ t tt t k t tr Cn s ỗ ởt t ổ tr Cn r t tt ởt t ổ tr Cn r ởt tr Cn k ởt t ổ tr Cn rts t t ữ ú t t ỵ tt ổ ự r r ố ỳ t trữợ s ỳ ổ tr ự t t s ỵ tt tr t ởt ự q trồ t ự r t q s s ữủ ự ỳ t ợ tr t ợ ữ s r ỵ tt ữủ ự rở r tr ỹ ữ ỹ ự ỵ tt ố tr t số t q t ữủ tr õ t t tữỡ ố ợ ố t ự ổ ỹ t s ỗ t tt t t ổ tr Cn t ởt số t q ữỡ t r t tt t t ổ tr Cn ỗ tr tr õ õ ữỡ t t t ữỡ tố t q tt ữỡ s ữỡ r ởt số t q t r t tt t s ỗ ởt t ổ tr Cn ự t r ởt ổ tr Cn q sỹ tỗ t ởt ữỡ t ộ t ỗ tớ t ố ỳ t tt ữỡ t tt t ởt tr Cn P ố ữỡ tr ự t q tr ự t r rts r ởt rts tt s ỗ ổ tr ọ ỳ t rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ ữỡ tự r ữỡ ú tổ tr ởt số tự ỡ sỷ ữỡ s ữ ỵ s ỏ ữợ ỏ ữợ ỏ ữợ t tr s t r ởt tt tr ữỡ ữủ t t t sỷ X ởt t tr Cn f : X C ởt số f ữủ ự t x0 X tỗ t t t : Cn C s |f (x0 + h) f (x0 ) (h)| = 0, |h|0 |h| lim tr õ h = (h1 , , hn ) C |h| = n n |hi | 1/2 i=1 f ữủ t x0 X f ự tr ởt õ x0 ữủ tr X f t tở X ởt f : X Cm õ t t ữợ f = (f1 , , fm ) tr õ fi = i f : X C, i = 1, , m tồ õ f ữủ tr X fi tr X ợ i = 1, , m f : X f (X) Cn ữủ s f s f ụ ỵ s sỷ F ởt õ tứ ổ tổ ổ X ổ tổ ổ Y F ữủ tử ỗ ts tứ x X tợ y Y ợ ộ U y t ữủ ởt V x W y s f (x) t f (V ) U ợ f F F tử ỗ ợ x X y Y t F ữủ tử ỗ tứ X Y ỵ ỵ s ố ợ tử ỗ sỷ F t t tử C(X, Y ) tứ ổ q t ữỡ X ổ sr Y C(X, Y ) õ tổ ổ t õ F t tữỡ ố tr C(X, Y ) s ữủ tọ F tử ỗ ợ ộ x X t ủ Fx = {f (x)|f F } t tữỡ ố tr Y ự ởt tở K, ởt số tỹ tở [0, 2[ g, tỹ ự r inf1 |g, () ||= g, (0)| tr K |g, () g, (0)| 21 ||.(1 ||2 ) t õ t t rk = 41 min(1 ||2 ) K õ t õ ự ởt tr Cn sỷ r tt ữỡ t ộ tr tỗ t ỏ ữợ t t õ ởt tt ự t trữớ ủ rữớ ủ ỗ t ởt tở ởt {fk }k {f } s lim |fk ()| = } k t E = { : lim |fk ()| = } ợ t ý tở E t k õ lim |fk g, | = tr 1/2 t k tỗ t ởt số tỹ ữỡ r s lim |fk ((, r ))| = k õ E tr ỡ ỳ (n )n ởt tr E tử tợ tở tứ t t t {n , n 0} {} tứ s r tỗ t số ữỡ r s ợ số ữỡ n lim |fk ()| = tr (n , r) õ lim |fk ()| = k k t E õ tr õ E = ợ tở tỗ t ởt số tỹ ữỡ r s lim |fk | = tr (, r ) t (|fk |)k k ý tợ tr t t {fk }k ý t rữớ ủ ợ tở {f ()} t tữỡ ố tr Cn trữớ ủ E õ s r {f } ữỡ tr ỵ t õ ởt t tữỡ ố tỗ t ởt {fk }k {f } tử tợ ởt f tứ ự tọ tỗ t ởt s f () D t t f () ự tr t E t õ E = { : f () } tt t E rộ ởt tở E tt ữỡ t f () tỗ t ởt V f () s V tt f ợ tử {fk }k tỗ t U V f () (V V ) s t fk (U ) ự tr V ợ k ợ V tt f (U ) õ E t E = r tr trữớ ủ r {f } ự ởt ý t tr trữớ ủ t r {f } ý t tử tr t t ữủ ự k ởt t ổ tr Cn ữỡ tỹ ố ợ rt t õ t s ởt t D tr Cn z, w tở ũ ởt t D t t t kD (z, w) := k (z, w) trữớ ủ ỏ tổ D D t t kD (z, w) := ó r D k tự ố ợ s t ý t tổ õ k D ởt t tr Cn a D ởt k D lim kD (z, b) = ; za tr õ b tũ ỵ D a D ởt k D ổ õ kD tử tợ a ó r ữỡ ởt k k k õ s t k ởt t tr Cn D ởt t tr Cn sỷ ởt k D ổ õ s tữỡ ữỡ D k t ý ỳ D õ ởt U s D U k t ý ỳ D k ữỡ t ý ỳ D ởt k t ý D ởt ữỡ t ý D ởt ự t (i) (ii) (iii) (iv) (v) (iii) ụ õ (i) (vi) ỵ ứ tt k s r lim inf kD (z, w) > 0, z D w D r t t ý kD õ t ởt tử tr D t ý k ộ ữ ổ õ tử tr D (iv) (i) ự (iii) (iv) sỷ ữủ t tỗ t ởt kD {zj } D, zj a D\{} s ự tọ tỗ t số r > s := inf{kD (zj , w) : j N, w D\B(0, r)} > () t ợ t ý l tỗ t jl N wl D ||wl || > l kD (zjl , wl ) < l õ kD (wl , wm ) < 1 + + kD (zjl , zjm ), l, m N l m {jl } ởt số ỳ tỷ N t t ởt t õ t tt r jl = jm ợ t ý l m õ {wl } ởt kD t t õ t tt r jl õ {wl } ởt kD {zjl } ũ kD ổ ỵ ởt () ữủ ự t õ t tt r kD (zl , zm ) < ợ t ý l, m t t ởt ữớ ợ C l,m : [0, 1] D ố zl zm s kD (zl , zm ) kD (l,m (t); l,m (t))dt < 2kD (zl , zm ) < D := D B(0, r) kD (zl ; l,m (t)) < , l,m ([0, 1]) D, tanh1 lD (l,m (t), w) kD (l,m (t)), w) > , t [0, 1], w D\B(0, r) t tự FD (z, X) inf D\B(0,r) lD (z, ) FD (z, X), z D s r kD (zl , zm ) < 2(coth )kD (zl , zm ) {zj } ởt kD r > s a ởt := D B(a, r ) k D t õ D inf{FD (z, w) : j B(a, r )} > 1, w D\ ữ trữợ t t kD {zj } ụ ởt kD ổ ỵ (iii) (iv) ởt ữỡ t õ s ởt ỏ ữợ ởt k ữỡ ởt t ổ D tr Cn t ởt k := D\B(0, r) ự r > s ởt k D õ t õ FD (z, X) inf lD (z, w) FD (z, X), z D wDB(0,r) t r2 > r1 > r t inf{tanh1 lD (z, w) :z D\B(0, r1 ), w D B(0, r) inf{kD (z, w) :z D B(0, r1 ), w D B(0, r) min{kDB(0,r2 ) (z, w) :z B(0, r1 ), w B(0, r) ỏ ữợ ữỡ t õ ởt ỏ ữợ D B(0, r2 ) t ý t tổ t r õ > FD (z, X) (coth )FD (z, X), z D\B(0, r1 ) sỷ r tỗ t ởt kD tử ự t õ k ổ ỵ t õ tở D D ự rts r t s tr ự t q tr rsts rữợ t t õ s G ởt tr Cn ởt D G ì Cm ữủ ởt rts tr G ợ tợ m D = {(z, w) G ì Cm : h(z, w) < 1}, tr õ h : G ì Cm [0, ) ởt ỷ tử tr ợ h(z, ) = ||.h(z, w), z G, , w Cm ó r D G inf h > tr GìS õ S ỡ tr C ỗ G m ỗ log h ỏ ữợ 2j log |1 22j1 z1 | , (z1 ) : = j=1 (z1 ) : = max{|z1 |, + (z1 )}, t D := {(z1 , z2 ) ì C : |z2 |e(z1 ) < 1} ởt rts ỗ tr ợ tợ ởt E0 t (a1 , a2 ) D ợ a1 = t E1 := {(0, a2 ) C2 | |a2 | = 1}, E2 := {(0, a2 ) C2 e1 < |a2 | < 1}, E3 := {(0, a2 ) C2 : |a2 | = e1 } t r D = Ej j=0 õ s t ý E0 E1 õ t õ ởt t t ý E2 ữỡ ữ ổ t ữỡ õ t ởt t ữỡ ổ ởt t t t ổ ởt tt t ý E3 ổ t ữỡ õ ổ ữỡ r trữớ ủ t t t ữỡ t ợ ởt t ý D\E3 ụ t tt tt ữỡ ự õ ởt tử tr Cn E0 ỡ ỳ > log |z2 | D (z1 , z2 ) E1 r E1 ụ t a := (0, a2 ) E2 õ t tt r a2 > c (a2 , 1) t r fj (t) := (212j , ct) tở Hol(, D) 212j log c fj (t) f (t) := (0, ct) ữỡ f (0) D f ( ac2 ) = a a ởt t t r a ởt ữỡ t t F ủ rớ (212j , 22j ), j = 1, 2, t lim (z1 ) = F z1 t log |122j1 z1 | log ợ t ý z1 / F t ý j õ k (z1 ) j 2j1 log |1 j=1 t F 2j , k z1 | log j=k+1 z1 0, k ỷ tử tr t õ tự ố ú ỵ r C t õ r ợ e1 < r < z D ( ì C), t (z1 ) < log(re) < tr tỗ t > s z1 tọ t tự |z1 | < t z1 F D ( ì C) F ì C p(z) := j tr (212j , 22j ) ì C, r r p ởt tr D ( ì C) t t ý a ợ a1 = r < |a2 | < r (e1 , 1) ữủ tũ ỵ t õ ự ứ (i), (ii) t ổ t rộ õ ự tr E3 E3 ởt q ự ợ q t õ ự r t õ t q s D r t G r inf h > ợ t ý KìS K G () t G ì {0} D G r sỷ r inf h = KìS ợ K G t tỗ t ởt {aj } D ởt a := (a , a ) G ì Cn , a = s aj a h(aj ) j fj (t) := (aj , taj (h(aj )))1 tở Hol(, D), fj (0) a := (a , 0) D fj (t) ợ t ý t \ 0} z lim inf lD (z, w) = t w a r trữớ ủ t rts tr ợ tợ ởt ữủ () ữủ r tr ự t q trữợ t ự ữủ s () t ữủ t D r ự sỷ ữủ t tứ t õ t t ữủ {tj } {fj } Hol(, D) ợ tj 0, fj (tj ) fj (0) a D a = (a , a ) ợ a G a Cn t r G t õ fj (tj ) a fj (tj ) K ợ K D fj (tj ) t õ > h(f (tj )) = ||f (tj )||h(f (tj ), f (tj ) ) ||f (tj )|| ||f (tj )|| inf h , KìS t t õ ự s r ợ tr õ t ữỡ ữ ọ ỡ ỗ t ởt r tr C3 ợ ổ ởt t t t tr max{|z1 |, |ez2 |}, |z2 | < e1 (z1 , z2 ) := z1 |, |z2 | e1 ữỡ tử tr D t := {(z, w) Dì : C|w|(z) < 1} D ởt rts r ố c (e1 , 1) sỷ r fj (t) := (212j , ct) tở Hol(, D) ợ t ý j ợ gj (t) := (cet)j t |gj (t)| < min{22j1 , (1 ce|t|)1 } ce|t| < 1, |gj (t)| < 22j1 ợ t j tự |gj (t)|(fj (t)) < tr ợ hj (0) D ỡ ỳ ợ hj := (fj , gj ) Hol(, D) t ý t ce|t| > t õ hj (t) r lim inf l (u, v) (ce) D u v0 c t õ lim inf lD (u, v) (e)1 u v0 r ổ t tr D ú ỵ ợ ố ũ e1 ((z j , wj ))j t t r z j t D lim inf |z2j | e1 D j (( z j , w j ))j 0, t lim inf lD ((z j , wj ), ( z j , w j ))j lim inf lD (z j , zj ) j j lim inf l2 (z j , zj ) j = lim inf |z2j | e1 j t t r ởt ởt rts tt s ỗ õ s ởt rts D tt s ỗ G tt s ỗ log h ởt ỏ ữợ tử log h1 () = G ì {0} ự ) sỷ h õ t t ữ t sỷ G s ỗ tự õ ởt t ỏ ữợ ổ (z, w) := (z) rở t tữớ tợ D t r max{, log h} ởt rở ỏ ữợ D s r D s ỗ sỷ G tt tỗ t ởt {fi } Hol(, D) s õ ổ ý t õ t tt r fj f Hol(, D) t ợ t ý r (0, 1), f j (r) := Kr D j=1 inf h > {fj }j tr r Kr ìS ỵ t t õ t sỷ r fj f Hol(, Cn ) t f := (f , f ) f () G h tử t õ h(f (t)) ợ t ý t ỵ ỹ t õ h f < h f tự f () D f () D ) ự t ú ỵ r D ỗ r t log h ởt ỏ ữợ h > tr G ì S ỡ ỳ t t tứ t tt t r D t t tt t r G t sỷ r h ổ tử t a D õ t õ t t ữủ ởt {aj } D r > s aj a j (h(a))1 < r (h(aj ))1 ợ j ú ỵ r fj (t) := (aj , raj t) tở Hol(, D) t ợ ợ fj (t) := (aj , raj t) t õ f (0) D f ((h(a)r)1 ) D t ợ t tt t s ỗ D t õ ự s ỗ t tt t t ổ tr Cn tr ữủ t q s r ởt số t t q ữ ỵ s ỏ ữợ ỏ ữợ ỏ ữợ t s t r ởt r ự ỵ t s ỗ t t r t tt ởt t ổ tr Cn ự t r ởt tr Cn q sỹ tỗ t ữỡ t ộ t ố ỳ t tt ữỡ t tt t tr Cn r t r rsts ởt rts tt s ỗ t ssr tss t rt s Cn Pr r t r P P rt sts trs ss rtr t tr rtr r r P P rt sts trs ss rst ssrtts t r s P ts rssrqs st rs t s tt t s r ss rr t ss rr r r P P s rt ttss r tss r sts Cn r Ps rs t s tr t ts t rr r r P tss tt s ss P t ... p(U V Vp ) số ữỡ c, c (c > c ) s inf (z) = c zbU sup (z) = c zbV õ tr U (z) = (z) z ) (V U ) (z) = sup (z), (c+ c z (z) = c+ c z V, ởt ỏ ữợ... s kD (z , z ) ỏ ữủ kD (z , z ) = inf FD ((t), (t))dt, tr õ inf t tt ữớ ố z z r ởt ởt D Cn ữủ k r kD tr D ởt k r D ữủ k r k õ ố ợ kD [Ro] ự r ởt D r... s ỗ t tt t k t tr Cn s ỗ ởt t ổ tr Cn r t tt ởt t ổ tr Cn r ởt tr Cn k ởt t ổ tr Cn