Kể từ khi giải tích phức hyperbolic ra đời, việc nghiên cứu các đặc trưng của một miền trong không gian phức luôn được các nhà toán học quan tâm. Theo hướng đó, việc nghiên cứu tính taut đã thu hút được các nhà toán học như: S.Kobayashi, J.P Rosay, H.L Royden, F. Berteloot, H. Gaussier, Plug, M. Jarnicki, Đỗ Đức Thái... và đã có những kết quả đặc sắc. Một trong những kết quả đó là mối liên hệ giữa tính taut địa phương và tính taut toàn cục. Cụ thể là: năm 1970 S. Kobayashi 8 đã chứng tỏ được rằng nếu là một miền bị chặn taut địa phương trong thì là miền taut. Năm 1999 H. Gaussier 7 đã bỏ được điều kiện bị chặn đối với miền và thay thế vào đó bằng điều kiện về sự tồn tại của các hàm đa điều hoà dưới peak và antipeak địa phương tại vô cùng.
Mở đầu Kể từ giải tích phức hyperbolic đời, việc nghiên cứu đặc trng miền không gian phức đợc nhà toán học quan tâm Theo hớng đó, việc nghiên cứu tính taut thu hút đợc nhà toán học nh: S.Kobayashi, J.P Rosay, H.L Royden, F Berteloot, H Gaussier, Plug, M Jarnicki, Đỗ Đức Thái có kết đặc sắc Một kết mối liên hệ tính taut địa phơng tính taut toàn cục Cụ thể là: năm 1970 S Kobayashi [8] chứng tỏ đợc miền bị chặn taut địa phơng Ê n miền taut Năm 1999 H Gaussier [7] bỏ đợc điều kiện bị chặn miền thay vào điều kiện tồn hàm đa điều hoà dới peak antipeak địa phơng vô Tuy nhiên, toán tìm điều kiện cần đủ để miền không bị chặn taut địa phơng trở thành miền taut gần có câu trả lời: kết Đỗ Đức Thái Phạm Nguyễn Thu Trang, Plug Nikolov [11] Đặc biệt, cách đa khái niệm t- điểm, t-điểm, P Plug N Nikolov chứng minh đợc Một miền không bị chặn Ê n có điểm barrier, taut taut địa phơng, đồng thời, đợc điều kiện tơng đơng Mục đích luận văn trình bày lại kết tính taut miền bị chặn không bị chặn Ê n Luận văn đợc chia làm hai chơng: Chơng 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị, bao gồm khái niệm miền không gian phức, giả khoảng cách Kobayashi, miền taut tính chất liên quan, nhằm phục vụ cho chứng minh chơng Chơng 2: Gồm ba phần Phần 1: Xây dựng công cụ, tức trình bày khái niệm mệnh đề nhằm làm công cụ cho việc chứng minh kết tính taut miền Ê n Phần 2: Trình bày kết tính taut miền bị chặn Ê n Phần 3: Trình bày kết tính taut miền không bị chặn Ên Luận văn đợc hoàn thành Khoa Toán Trờng ĐHSP Thái Nguyên - ĐH Thái Nguyên dới hớng dẫn tận tình TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn chân thành đến ngời Thầy Nhân đây, cho phép bày tỏ lòng kính trọng biết ơn tới Thầy tổ môn Giải Tích Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy phản biện cho ý kiến quí báu để hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Quản lý khoa học, Khoa Sau đại học Trờng ĐHSP Thái Nguyên - ĐH Thái Nguyên, bạn bè, đồng nghiệp ngời thân tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình làm luận văn Do thời gian khả hạn chế, nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc góp ý từ thầy cô bạn Tác giả Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hoà dới 1.1.1.1 Hàm điều hoà Cho tập mở Ă m , u : Ă hàm lớp C Hàm u đợc gọi điều hoà nếu: m u = 2u j =1 x j 1.1.1.2 Hàm nửa liên tục Giả sử X không gian mêtric Một hàm u : X [ ; ) đợc gọi nửa liên tục trên X với c Ă tập { x X : u ( x ) < c} mở X Ta chứng tỏ đợc u nửa liên tục trên X khi: ( { lim sup u ( x ) u ( a ) lim sup u ( x ) = lim sup u ( y ) : y B ( a, ) xa >0 xa }) 1.1.1.3 Hàm điều hoà dới Giả sử tập mở Ă m , u : [ ; ) nửa liên tục trên cho u thành phần liên thông Hàm u đợc gọi điều hoà dới nếu: Với tập mở compact tơng đối G hàm h liên tục G , điều hoà G ta có phép kéo theo sau đây: u h G u h G Ta chứng minh đợc rằng: Nếu tập mở Ă m, u C ( ) u điều hoà dới u 1.1.1.4 Hàm đa điều hoà dới Giả sử tập mở Ê m , u : [ ; ) nửa liên tục trên cho u thành phần liên thông Hàm u đợc gọi đa điều hoà dới a , b Ê n hàm: a u ( a + b ) điều hoà dới đồng thành phần liên thông tập { Ê : a + b } 1.1.1.5 Định lý Giả sử hàm lớp C tập mở Ê n Khi đó, đa điều hoà dới nếu: n L ( z; u ) = j i , z z i , j =1 j i với z Ê n Nếu L ( z; u ) > , với z Ê n gọi đa điều hoà dới chặt (hay ngặt) Điều kiện tơng đơng với phát biểu sau: Hàm u C ( D, Ă ) đa điều hoà dới ngặt D với tập compact D0 D > cho hàm D Ă , z a u ( z ) z đa điều hoà dới 1.1.1.6 Định lý Cho hàm u đa điều hoà dới D , u0 đa điều hoà dới D0 , D0 D Giả sử lim sup z0 g, z0G0 u0 ( z ) u ( g ) , g D0 D max { u ( z ) , u ( z0 ) } , z D0 % Khi đó, hàm: u( z) = z D \ D0 u ( z ) , hàm đa điều hoà dới D 1.1.1.7 Hàm đa điều hoà dới không gian phức Giả sử X không gian phức, : X [ ; ) hàm cho Hàm đợc gọi đa điều hoà dới X với phép nhúng địa phơng j : X Ê n hạn chế địa phơng hàm đa điều hoà dới Tập hàm đa điều hoà dới X kí hiệu psh( X ) Chú ý định nghĩa nói tính đa điều hoà dới không phụ thuộc vào phép nhúng địa phơng j Ngoài ra, Narasimhan Fornaess [1] chứng minh hàm nửa liên tục : X [ ; ) không gian phức X đa điều hoà dới X o f điều hoà dới đồng đĩa đơn vị Ê với ánh xạ chỉnh hình f : X 1.1.2 Miền giả lồi 1.1.2.1 Bao đa điều hoà dới Giả sử miền Ê n , K tập compact Tập K = { z : ( z ) sup K psh ( ) } gọi bao đa điều hoà dới P K 1.1.2.2 Miền Oka - giả lồi Miền Ê n Oka - giả lồi có hàm liên tục f : ì [ 0,1] C n thoả mãn : a) Với t [ 0,1] ánh xạ f t : C n , f t ( z ) = f ( z, t ) nhúng chỉnh hình b) Nếu f t ( D ) , với t < f1 (D ) f ( D ì [ 0,1] ) nghĩa f1 ( D ) 1.1.2.3 Định lý Nếu miền Ê n điều kiện sau tơng đơng: (i) log ( z , ) đa điều hoà dới (ii) Tồn hàm đa điều hoà dới vét cạn , có nghĩa với c Ă c = { ( z ) < c} tập compact tơng đối (iii) K P compact K tập compact ( iv) miền Oka - giả lồi 1.1.2.4 Miền giả lồi Miền Ê n gọi giả lồi thoả mãn ba điều kiện tơng đơng định lý gọi giả lồi mạnh log ( z , ) đa điều hoà dới mạnh 1.1.2.5 Miền siêu lồi Miền Ê n siêu lồi tồn hàm đa điều hòa dới, liên tục, bị chặn u < cho tập c = { z ; u ( z ) c} compact với c < Chúng ta gọi u hàm vét cạn xuất phát từ c vét cạn c Do đó, u ( z ) z gần biên Sau định lý Arzela-Ascoli hệ 1.1.3 Định lý Arzela-Ascoli 1.1.3.1 Định lý Cho X không gian khả li, compact địa phơng Y không gian metric compact địa phơng với hàm khoảng cách dY Khi họ F compact tơng đối C ( X , Y ) (nghĩa dãy ánh xạ f n F chứa dãy hội tụ tới ánh xạ f C ( X , Y ) tập compact X) thoả mãn hai điều kiện: (a) F đồng liên tục điểm x X (nghĩa x X > tồn lân cận U x cho dY ( f ( x ) , f ( x ') ) < với x U , f F) (b) Với x X tập { f ( x ) ; f F } compact tơng đối Y 1.1.3.2 Hệ Cho X không gian compact địa phơng tách đợc với giả khoảng cách d X Cho Y không gian metric compact địa phơng với hàm khoảng cách dY Khi họ F D ( X , Y ) = { f C ( X , Y ) có tính chất giảm khoảng cách, tức dY ( f ( x ) , f ( x ') ) < d X ( x, x ) , x, x X } compact tơng đối C ( X , Y ) x X , tập {f(x); f F } compact tơng đối Y 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi 1.2.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2.1.1 Trên đĩa đơn vị mở Ê xét khoảng cách BermanPoincare cho bởi: ( 0, z ) = ln 1+ z , z z 1.2.1.2 Giả khoảng cách Kobayashi Giả sử X không gian phức, p q hai điểm tuỳ ý X Ta gọi dây chuyền chỉnh hình nối p với q X tập hợp { a1, a2 , , an ; f1, f2, , fn Hol(, X )} cho: ( ) f ( ) = p , f a = f ( ) , f n ( an ) = q, i = 2, n , i i i+1 Hol (, X ) không gian ánh xạ chỉnh hình từ vào X đợc trang bị tôpô compact-mở Ta đặt: l = n ( 0, ) i =1 định nghĩa: d X ( p, q ) = inf L , infimum lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình nối p với q X Hàm d X : X ì X [ 0; ) đợc gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X Dễ thấy d X thoả mãn tiên đề giả khoảng cách, tức là: +) d X ( p, q ) , với p, q X +) d X ( p, q ) = d X ( q, p ) , với p, q X +) d X ( p, r ) d X ( p, q ) + d X ( q, r ) , với p, q, r X Chú ý: Giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách BermanPoincare d = 1.2.1.3 Một số tính chất a) Giả sử f : X Y ánh xạ chỉnh hình không gian phức Thế thì: d X ( p, q ) dY ( f ( p ) , f ( q ) ) , p , q X Từ suy rằng, f : X Y song chỉnh hình thì: d X ( p, q ) = dY ( f ( p ) , f ( q ) ) , p, q X b) Với không gian phức X Y ta có: d X ìY ( ( x, y ) , ( x ', y ' ) ) = max { d X ( x, x ' ) , dY ( y, y ' ) } , x , x ' X , y, y ' Y c) Đối với không gian phức tuỳ ý X , hàm d X liên tục X ì X 1.2.1.4 Định nghĩa Một không gian phức X đợc gọi hyperbolic giả khoảng cách Kobayashi d X khoảng cách X , tức là: d X ( p, q ) = p = q 1.2.1.5 Định lý Barth Giả sử X không gian phức hyperbolic Khi đó, khoảng cách d X cảm sinh tôpô không gian X Chứng minh Ta phải chứng minh ánh xạ: Id : ( X , X ) X , Id : X , ữ X , X ữ dX dX ( Do tính chất 1.2.1.3 nên ánh xạ Id : ( X , X ) X , ) liên tục liên tục d X ữ p p theo d p , p = nhng nlim Giả sử tồn dãy { pn } X , nlim n X ( n ) tôpô X Khi đó, tồn lân cận U , V p X tồn dãy { p } { p } cho U V , V n k n đẳng cấu với tập giải tích đa { } đĩa đơn vị Ê n pn U , k > k Dễ thấy V hyperbolic Giả sử dây chuyền chỉnh hình tuỳ ý nối p pnk Gọi qnk giao điểm với U Khi đó, L dV p, qn ữ dV ( p, U ) = c > k Do đó, d X p, pn ữ c, k k d p , p = Điều trái với giả thiết nlim X ( n ) ( ) Vậy ánh xạ Id : X , d ữ X , X liên tục X 1.2.1.6 Định nghĩa Họ hàm Hol ( , X ) gọi đồng liên tục với p X lân cận U p tồn số r ( 0;1) lân cận U p , U U cho ( ) f r U f Hol (, X ) mà f ( ) U 1.2.1.7 Định lý Không gian phức X hyperbolic họ hàm Hol ( , X ) đồng liên tục 1.2.1.8 Định nghĩa Một không gian phức hyperbolic X đợc gọi không gian hyperbolic đầy ( X , d X ) đầy Cauchy tơng ứng với d X 1.2.1.9 Định lý Kobayashi Giả sử X không gian phức hyperbolic Khi đó, X hyperbolic đầy ( hình cầu đóng X , d X ) compact 1.2.1.10 Định lý Eastwood Giả sử : X Y ánh xạ chỉnh hình hai không gian phức Giả sử Y hyperbolic (tơng ứng hyperbolic đầy) tồn phủ mở Y họ 10 Chú ý: Trong định lý điều giả sử t- điểm toàn cục nhng thay giả thiết t- điểm địa phơng đợc Chứng minh Ta có t- điểm địa phơng Ê * = Ê \ { 0} Thật vậy, ta chứng minh t-điểm * = \ { 0} Rõ ràng V lân cận nên D ầ Ê * = D * { } Ta có lD ( z, w) = inf l ; $j ẻ Hol ( D, D* ) , j ( 0) = z, j ( z) = w * K đ ẻ Hol ( D, D ) Nếu Theo định lý Montel suy lim fj ắắắ j đƠ { } j =1 phân kì compact, = \ {0} taut lim f ( 0) ẻ ảD f j j đƠ j * * Vậy theo mệnh đề 2.1.5.3 ta suy t-điểm * = \ { 0} , tức là t- điểm địa phơng Ê * Đồng thời ta suy t-điểm địa phơng Ê * Thế nhng Ê * không hyperbolic Brody (do định lý bé Picard) nên Ê * không hyperbolic, tức miền taut 2.3.1.3 Mệnh đề Mọi điểm barrier tập mở hyperbolic D Ê n t-điểm Chứng minh Lấy a D điểm barrier hàm barrier a Giả sử a không t- điểm, đó, tồn dãy hàm { f j } j =1 Hol (, D) { t j } j =1 j j cho f j (0) a, t j t0 f (t ) b D (theo định j j j nghĩa t-điểm) Do D hyperbolic nên theo định lý 1.2.1.7 Hol ( , X ) đồng liên tục Nghĩa với lân cận V b tồn lân cận U t0 cho 49 f j (U ) V với j đủ lớn Ta giả sử V é D, U rD với r ( 0,1) f j (U ) V , j Khi đó, < thoả mãn r o f j < , j Mặt khác, theo định lý giá trị trung bình ta có: o f j (0) r o f j d => r o f j (0) < 2 r j Ta lại có ( f j (0)) (do tính chất j hàm barrier) Từ ta có < e < Mâu thuẫn Vậy a t- điểm Ta có hệ sau: 2.3.1.4 Hệ Từ định lý 2.3.1.2 2.3.1.3 ta có: Với D Ê n tập mở không bị chặn thoả mãn điểm biên hữu hạn điểm taut địa phơng điểm barrier D taut Đặc biệt, điểm biên hữu hạn D Ê n barrier địa phơng điểm barrier D taut 2.3.2 Tính taut miền kiểu Hartogs 2.3.2.1 Định nghĩa Cho G miền Ê n h : G ì Ê m [ 0, + ) hàm nửa liên tục thoả mãn h ( z, ) = h ( z, ) , z G , Ê , Ê m Miền D = { ( z, ) G ì Ê m } h ( z, ) < đợc gọi miền kiểu Hartogs đáy G với thớ m-chiều 2.3.2.2 Định lý 50 h > D bị chặn G bị chặn inf GìS { } S = zÊm z = hình cầu đơn vị Ê m Chứng minh Điều kiện cần Giả sử D bị chặn Do h ( z, ) = h ( z, ) = h ( z, ) = < , suy ( z, ) D, z nên tập G ì { 0} D Vì D bị chặn nên G bị chặn Nếu inf f = tồn dãy G ìS ( ) { ( z, ) } j ( ) j =1 G ì S cho: ( ) lim h z, j = Vậy với j đủ lớn h z, j < nên z, j D , với j j đủ lớn Ta chọn dãy ( { rj > 0} j =1 ( ) rj = lim rj h z, j = cho jlim j ) lim h z, rj j = Đặt w'j = rj wj j ( ) ' Rõ ràng lim j = lim rj j = Vậy D không bị chặn, mâu thuẫn với j j giả thiết Do inf h > GìS Điều kiện đủ Giả sử G bị chặn, inf h > Ta phải chứng minh D bị chặn Giả sử ngợc GìS {( lại D không bị chặn, đó, z, j j ) } j =1 D cho jlim 51 = rj = Đặt ' = Với j = 1,2, đặt rj = j , rõ ràng jlim j đó, 'j = j rj j rj , ' = nên j S ( ) ( ) ( ) Mặt khác, ta lại có: rj h z, 'j = h z, rj 'j = h z, j < ( ) ( ) rj = mà r h z, ' < 1, j = 1,2, nên lim h z, 'j = Do jlim j j j Vậy inf h = Mâu thuẫn với giả thiết Vậy D bị chặn GìS Chú ý: D giả lồi G giả lồi log h đa điều hoà dới 2.3.2.3 Định lý Miền kiểu hartogs D hyperbolic (**) G hyperbolic inf h > với K é G tập compact tơng đối G K ìS Chứng minh Điều kiện cần Giả sử D hyperbolic Do h ( z,0 ) = h ( z,0 ) = 0h ( z, ) = nên ( z, ) D, z G G ì { 0} D Đây tập đóng D Do D hyperbolic nên G ì { 0} hyperbolic Vậy G hyperbolic Ta chứng minh inf h > Giả sử inf h = , với K é G Khi đó, tồn K ìS K ìS { } j =1 = { a'j , a"j } D điểm dãy a j ( ) a = a' , a" G ì Ê m , a" cho: ( ) ( ) lim a j = a, lim h a j = lim h a'j , a"j = j j 52 j ( ( )) Với j = 1,2, đặt f j ( t ) = a'j , ta"j h a j ữ, t Khi đó, ta có: ( ( )) h a'j , ta"j 2h a j ( ( )) ( ữ = t 2h a j ) ( ( ) ) h ( a ) = 2t < h a'j , a"j = t 2h a j j Vậy f j ( ) D Rõ ràng f j chỉnh hình Vậy f j Hol ( , D ) ( ) ( ) ' ' Ta lại có lim f j ( ) = lim a j , = a , = a% D lim f j ( t ) = j ( ) Do lim h a j = lim j j j j = ), t \ { 0} h ( aj ) Vậy nên: { } lD ( z, ) = inf : Hol ( , D ) ( ) = z, ( ) = < t, t D \ { 0} , với z đủ lớn đủ gần a% Vậy lim inf lD ( z, ) = z a% Mâu thuẫn với định lý 2.1.5.5 Do inf h > K ìS Điều kiện đủ Giả sử (**) mà D không hyperbolic Thế theo định lý 2.1.5.5 ta có lim inf lD ( z, ) = 0, b D tức tồn dãy z a% { ( f j = f j1, f j2 )} j =1 { t j } j =1 ( ) Hol ( , D ) thoả mãn: lim t j = 0, lim f j t j = nhng j ( ) z lim f j ( ) = a D Đặt a = a1 , a2 , a1 G , a2 Ê m Khi đó, G z 53 ( ) 1 hyperbolic nên theo định lý 2.1.5.5 ta có lim f j t j = a Vậy z ( ) f j1 t j K , K é D tập compact tơng đối D ( ) Do lim f j t j j = , ta có: ( ( )) = f (t ) > h f tj j ( ) ( ) f tj h f tj , f tj ( ) ( ) Theo giả thiết inf h > nên lim f j t j K ìS j ữ f t inf h j ữ K ìS ( ) inf h = , tức > , điều K ìS mâu thuẫn Vậy D hyperbolic Ví dụ Ơ - j 2j - Gọi q : Ê đ Ă , q(z1) = log 1- z1 , j =1 j : Ê đ Ă , j (z1) = max { z1 ,1+ q(z1)} Khi đó, j hàm đa điều hòa dới, bị chặn có inf j > D S Vậy miền kiểu Hartogs D = { ( z, ) ì Ê e (z) chiều miền bị chặn giả lồi Ta đặt: { } E = { (0, a ) Ê : a = 1} , E = { (0, a ) Ê : e < a < 1} , E = { (0, a ) Ê : a = e } E0 = (a1, a2 ) D, a1 , 2 2 2 2 Rõ ràng D = U E j Do ta có: j =0 54 } < đáy D với thớ 2.3.2.4 Mệnh đề i) Mọi điểm E0 E1 điểm barrier Do theo mệnh đề 2.1.2 2.3.1.3 t- điểm ii) Mọi điểm E2 điểm barrier địa phơng nhng không tđiểm toàn cục t-điểm địa phơng không điểm barrier toàn cục Đặc biệt, D không miền taut iii) Mọi điểm E3 không t-điểm địa phơng nh không điểm barrier địa phơng Đặc biệt, theo định lý 2.3.1.2 D \ E3 tập tất điểm taut địa phơng Chứng minh i) Do hàm liên tục Ê * = Ê \ { 0} Ta có, điểm E0 điểm barrier Thật vậy, xét hàm: y1 : D đ Ă ổ j (z ) ỗ ữ ữ z , z a y z , z = log = log z2 + j ( z1) < log1 = ỗ ( 2) ( ( 2) ) ữ ỗz2 e ữ ữ ứ ỗ ố Rõ ràng y < hàm đa điều hòa dới Hơn ( z1,z2) ẻ ảD mà z1 j hàm liên tục Ê * = Ê \ { 0} nên: ( lim ) ( ) z , z a , a E 2 ( ( z1, z2 ) ) = Vậy điểm E điểm barrier Mặt khác, ta có hàm: y2 : D Ă đ ( z1,z2) a y2 ( ( z1,z2) ) = log z2 hàm đa điều hòa dới không dơng 55 Rõ ràng ( ) ( ( z1; z2 ) ) = lim z ; z ( 0; a ) E Vậy điểm E1 điểm barrier Vậy theo mệnh đề 2.1.2 D hyperbolic theo mệnh đề 2.3.1.3 E0 E1 tập t- điểm ii) Đặt a = (0, a2 ) E2 Ta giả sử a2 Ă Chọn c (a2 ;1) Với j ẻ N * , ta đặt: fj : D đ Ê hàm chỉnh hình D t a fj (t) = ( 21- 2j ,ct) Rõ ràng $j ẻ N * cho " j > j 21 j log c Khi đó, 1- 2j " j > j 0, ta có: c e2 1- 2j ) < 1ị ct ej (2 < (Do j ( z1) mà j (21- 2j ) < 1) Vậy f j (t ) D f j Hol (, D), j j0 Ta thấy lim fj (t) = (0;ct) = f (t) hội tụ đều, f (0) = (0;0) ẻ D tđƠ f (a2 / c) = (0;a2) = a Suy { f j } j =1 không phân kì compact Vậy theo định nghĩa, ta suy a không t-điểm Bây ta chứng minh a điểm barrier địa phơng Đặt F = Ơ q( z1) = U B(21- 2j ,2- 2j ) , ta có: z ẻ lim F ,z đ0 j =1 1 Thật vậy, log1- 22j - 1z1 - log2, " z1 ẽ F , " j 1, nên: ( ) k k q z 2- j log1- 22j - 1z1 - log2 2- j , k 1 j =1 j =k+1 56 Cho z1 ẽ F z1 đ 0, k đ Ơ nửa liên tục nên ta có lim q( z1) = z ẻ F ,z đ0 1 Ta đặt Ê = Ê \ r D , với e- < r < Với " z ẻ D ầ ( D Ê ) q( z1) < log( re) < (**) Điều suy $e > cho z1 thỏa mãn (**) z1 < e z1 ẻ F Do D ầ ( eD Ê ) è F Ê Gọi p : B ( 21- 2j ,2- 2j ) Ê đ Ă z a p( z) = - j - p hàm barrier D ầ ( eD Ê ) è F Ê điểm a = ( a1;a2) ( ) với a1 = r < a2 < Do r ẻ e- 1;1 đợc chọn nên ta có điểm a = ( 0;a2) với e- < a2 < điểm barrier địa phơng Nghĩa là, điểm thuộc E barrier địa phơng Từ định lý 2.3.1.2, ta có D không miền taut iii) Từ i) ii) từ định lý 2.3.1.2, ta thấy tập biên không t-điểm địa phơng khác rỗng chứa E Do D bất biến qua phép quay w quanh trục z2 " a,b ẻ E w( a) = b Vậy điểm E không t-điểm địa phơng Do điểm barrier địa phơng 2.3.2.5 Mệnh đề Tồn miền hyperbolic không bị chặn Ê có Ơ không tđiểm Chứng minh 57 Dễ thấy hàm: f : D đ Ă ỡù max z ,1- ez , z < e- { ù 2} ( z1, z2) a ùớ ùù z , z2 e- ùợ hàm dơng liên tục D (với D miền ví dụ 1) Do j hàm liên tục nên thoả mãn định lý 2.3.2.3 nên D miền kiểu Hartogs hyperbolic = { ( z, w) ẻ D Ê w f ( z) < 1} miền kiểu D Cũng nh miền Hartogs hyperbolic ( ) 1- 2j ,ct với j đủ lớn Ta cố định c ẻ ( e- 1,1) Ta thấy fj ( t ) := fj ẻ Hol(D, D ) { Nếu ta đặt gj ( t ) := ( cet ) j gj ( t) < 1Ê 22j - 1,( 1- cet ) } - ce t < gj ( t) < 22j - , với t ẻ D j Nghĩa là, ta có: ( ( ) gj ( t) f fj ( t) < D Do ) ) hj = fj , gj ẻ Hol(D, D j đƠ Hơn nữa, với " t mà ce t > Rõ ràng hj ( 0) ắắ ắ ắđ ẻ D inf l ( u,v) Ê (ce)- lim hj ( t) = Ơ Do vậy: u lim D đƠ j đƠ vđ lim inf l ( u,v) Ê e- D Cho c đ 1, ta đợc: u đ Ơ vđ Vậy Ơ không t-điểm D 2.3.2.6 Định lý (Tiêu chuẩn cho tính taut miền Hartogs) 58 D miền taut G taut log h hàm đa điều hoà dới liên tục với h 1() = G ì { 0} Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hàm h thoả mãn log h đa điều hoà dới liên tục với h 1() = G ì { 0} với G taut Ta lấy dãy hàm không phân kì compact Do G taut, { f j } j =1 Hol (, D) nên giả sử lim f j' = f ' Hol (, G ) Khi đó, với r r (0;1) , ta có j U f j' (r) = K r é D Do j =1 { } j =1 f j'' h liên tục nên Kinfì S h > , điều suy r bị chặn r Theo định lý Montel { } j =1 hội tụ đến f j'' hàm chỉnh hình f '' Hol ( , Ê m ) Ta đặt f = ( f ', f '') Do f '( ) G h liên tục nên ta phải có: hf (t ) với t t Theo nguyên lý modun cực đại cho hàm đa điều hòa, ta có: h o f < h o f , tức f (t ) D f (t ) D Do họ hàm taut Điều kiện đủ 59 { f j } j =1 chuẩn tắc Vậy D { } j =1 Hol (, G) , Giả sử D taut Lấy họ hàm g j { đó, D } j =1 Hol (, D) chuẩn tắc, suy { g j } j =1 taut nên họ hàm f j = ( g j ,0) chuẩn tắc Do G taut Với giả thiết D taut ta suy D giả lồi hyperbolic Do log h hàm đa điều hoà dới h > G ì S Hơn tính taut D dựa vào tính taut G Giả sử h không liên tục { } j =1 D r > vài điểm a D Khi đó, tồn dãy a j cho lim a j = a (h(a )) < r (h(a j )) với j ta gọi j a j = ( a 'j , a ''j ), a = (a ' , a '' ) Với j ta đặt: fj : D đ Ê t a fj ( t) = (a'j ,ra''j t) hàm chỉnh hình ( ) ( ) ( ) Hơn ta có: h (a 'j , ''j t ) = r t h (a 'j , a ''j ) r.h a j < { } j =1 Hol (, D) Vậy f j f j ( t ) = ( a ', '' t ) Ta đặt: f ( t ) = ( a ', '' t ) hàm Mặt khác, ta có jlim chỉnh hình có tính chất f ( ) = ( a ',0 ) D ( ) ( Nhng h a ' , a '' ( h ( a ) ) ( f ((h( a)r ) = a ' , a '' ( h ( a ) ) ) = h ( a ) h ( a , a ) = ( h ( a ) ) ) D 60 ' '' h ( a ) = nên Điều chứng tỏ { f j } j =1 Hol (, D) không chuẩn tắc Vậy mâu thuẫn với tính taut D Nghĩa điều giả sử h không liên tục điểm a D không Vậy h liên tục Kết luận Luận văn nghiên cứu tính taut miền bị chặn không bị chặn Ê n Cụ thể, luận văn đạt đợc kết sau: 1) Hệ thống đợc khái niệm kết không gian taut 2) Trình bày số khái niệm tính chất liên quan nh: điểm Barrier, điểm peak antipeak đa điều hoà dới, hàm peak antipeak chỉnh hình, hàm Lempert t-điểm 3) Trình bày chứng minh số kết tính taut miền bị chặn Ê n nh: - Miền giả lồi bị chặn Ê n với biên lớp C1 taut địa phơng - Miền bị chặn Ê n mà taut địa phơng taut - Mọi miền lồi bị chặn Ê n taut 4) Trình bày chứng minh số kết tính taut miền không bị chặn Ê n : - Mọi miền Ê n mà taut địa phơng điểm biên có hàm peak antipeak đa điều hoà dới taut - Chứng minh điều kiện tơng đơng với tính taut miền không bị chặn Ê n - Nghiên cứu tính taut miền kiểu Hartogs _ 61 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Việt Đức, Mở đầu lý thuyết không gian phức Nhà xuất Đại Học S Phạm, Hà Nội 2005 [2] J E Fornaess and R Narasimhan, The Levi problem on complex spaces with singularities, Math Ann 248 (1980), 47-72 [3] H.Gaussier, Tautness and complete hyperbolicity of domains in Cn, Amerca mathmatical society 127(1999), 105-116 [4] R Gunning and H Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, 1965 [5] M Janicki and P Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter, Berlin, 1993 [6] M Janicki and P Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis-revisited, Kraków-Oldenburg, Febturay, 2004 [7] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức Nhà xuất Đại Học S Phạm, Hà nội 1998 [8] S Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth, Belmont, 1992 [9] S Kobayashi, Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, Marcel Dekker, Inc, New York, 1970 [10] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 318 (1998) [11] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer-Verlag, NY, 1987 [12] N Nikolov and P Pflug, Local vs global hyperconvexity, tautness or kcompleteness for unbounded ope sets in Cn , to appear (2005) [13] S H Park, Tautness and Kobayshi Ph D thesis, Oldenburg, 2003 [14] N Sibony, A class of hyperbolic manifolds in recent developments in several complex variables, Ann Math Study 100,(1981), 347-372 [15] Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm hình học Nhà xuất Đại Học S Phạm, Hà nội 2003 [16] H Wu, Normal families of holomorphic mappings , Acta Math 119, (1968), 193-233 62 63 [...]... định lý 1.1.2.3 ta có là miền giả lồi 1.3.13 Định lý Mọi miền siêu lồi bị chặn trong Ê n là taut Chứng minh Giả sử Ê n là miền siêu lồi bị chặn Lấy u là một hàm trên xác định cho tính siêu lồi của nó nghĩa là u là ham đa điều hoà dới, vét cạn, liên tục, bị chặn Lấy Y là một miền bị chặn (có thể lấy Y là một quả cầu) sao cho Y Ê n Lấy một dãy { fi } Hol ( , ) , thế thì có một dãy con { fik } ,... đó M không là taut ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên Hol ( , M ) là đồng liên tục Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con bị chặn trong M là compact tơng đối Vì vậy Hol ( , M ) là chuẩn tắc, do đó M là taut Chú ý: Điều ngợc lại không đúng 1.3.6 Ví dụ Có những không gian phức taut mà không là hyperbolic đầy Ví dụ sau là của Barth Ta xây dựng một không gian phức taut. .. tắc Vậy là miền taut 26 Chơng 2 Tính Taut của một miền trong Ê n 2.1 Một số định nghĩa và mệnh đề chuẩn bị 2.1.1 Điểm barrier và barrier địa phơng 2.1.1.2 Điểm barrier Cho D là một miền trong Ê n Một điểm biên a D của D đợc gọi là một điểm barrier nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dới (psh) âm trên D sao cho lim ( z ) = 0 z a Hàm nh thế đợc gọi là hàm barrier tại a của D 2.1.1.3 Điểm barrier địa... điểm barrier địa phơng nếu tồn tại một lân cận mở U của a trong Ê n sao cho a là một điểm barrier của D U Mệnh đề sau đây nói lên vai trò của điểm barrier 2.1.2 Mệnh đề Nếu điểm là một điểm barrier của một tập mở không bị chặn D trong Ê n , khi đó trên D tồn tại hàm đa điều hoà dới ngặt, bị chặn sao cho là hàm barrier tại Đặc biệt, mọi thành phần liên thông của D là hyperbolic Chứng minh Gọi... hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn trên X Khi đó, không gian con mở: X ' = { p X ; f ( p ) 0} = X Zero ( f ) là hyperbolic đầy 1.2.2.8 Định nghĩa Divisor cartier của một không gian phức Y là một không gian phức con đóng A của Y thoả mãn với mỗi x A tồn tại một lân cận V của x trong Y sao cho A V = { p V : f ( p ) = 0} , ở đó f là hàm chỉnh hình trên V 1.2.2.9 Hệ quả Cho Y không gian phức... điểm địa phơng và điểm taut địa phơng Điểm biên a D của D gọi là t- điểm địa phơng nếu tồn tại lân cận mở U của a trong Ê n sao cho a là t- điểm của D U Điểm biên a D của D gọi là điểm taut địa phơng nếu tồn tại lân cận mở U của a trong Ê n sao cho D U là taut Rõ ràng a là điểm taut địa phơng thì a là t-điểm địa phơng Thật vậy nếu a là điểm taut địa phơng thì D U là miền taut Do đó mọi { } j =1... , j j0 ii) Miền M đợc gọi là taut nếu mọi dãy { fk } k =1,2, , Hol (, M ) hoặc phân kì compact hoặc chứa một dãy con hội tụ đều trên các tập con compact Họ hàm Hol ( , M ) nh thế gọi là họ hàm chuẩn tắc Dãy { fk } gọi là dãy hàm chuẩn tắc 1.3.2 Định lý Kiernan i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền taut iii) Các... dY ( pn 1 , pn ) d n (0, an ) = 1 2n nhng lại là dãy Cauchy vì Vậy Y không là hyperbolic đầy Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong Ê 3 là taut mà không là hyperbolic đầy Còn không gian X = B 2 (0,1) \ { ( 1/ 4;0 ) } là hyperbolic nhng không là taut { } (trong đó B 2 (0,1) = ( z, ) Ê 2 : z + < 1 ) 2 2 Thật vậy, do X bị chặn nên nó là hyperbolic Với mỗi n = 2,3, ta đặt 1 f n : X , f n (... 1.3.9 Định lý Eastwood về tính taut 21 Giả sử : X X là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thoả mãn điều kiện sau: với mỗi x X tồn tại lân cận mở U x của x sao cho 1 ( U x ) là taut Khi đó, nếu X là taut thì X cũng là taut Chứng minh { } ( Giả sử X là taut và dãy f n Hol , X ) là không phân kỳ compact Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy { fn ( zn ) } p X Hiển nhiên... không đúng Để chứng minh định lý Kiernan, ta đa vào một số khái niệm sau: Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức X Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử p = 0 và { } B = ( 1 , , n ) ; 1 + + n < 1 2 2 là một lân cận của p trong M sao cho q B { } Bs = ( 1 , , n ) ; 1 + + n < s 2 2 2 VS = { p ' M ; ( p, p ') < s} { } = z ; z < < 1 2 1.3.3 Định nghĩa 15 Một ... Vậy theo định lý tà taut 43 2.3 Tính taut miền không bị chặn Ên 2.3.1 Tính taut miền Ê n 2.3.1.1 Định lý (điều kiện cần tính taut cho miền Ê n ) Cho D miền Ê n Giả sử D taut địa phơng điểm... hàm vét cạn 41 2.2.2 Định lý Một miền bị chặn Ê n taut địa phơng taut Chứng minh Giả sử Ê n miền bị chặn Lấy Y hình cầu chứa { fk } dãy Hol ( , X ) Giả sử { fk } không phân kì K , L compact... j = Vậy D không bị chặn, mâu thuẫn với j j giả thiết Do inf h > GìS Điều kiện đủ Giả sử G bị chặn, inf h > Ta phải chứng minh D bị chặn Giả sử ngợc GìS {( lại D không bị chặn, đó, z,