Điểm nguyên và tính hyperbolic của phần bù các siêu mặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MẠC QUỐC NHẬT ĐIỂM NGUYÊN VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU MẶT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MẠC QUỐC NHẬT ĐIỂM NGUYÊN VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU MẶT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dự hướng dẫn khoa học PGS TSKH Trần Văn Tấn Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TSKH Trần Văn Tấn, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán k19a, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Mạc Quốc Nhật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xạ ảnh 1.2 Giá trị tuyệt đối 1.3 Divisor very ample 1.4 Các siêu phẳng siêu mặt vị trí tổng quát 1.5 Đa tạp hyperbolic theo nghĩa Brody 1.6 Bổ đề Borel phức suy rộng Số nghiệm nguyên phương trình Diophantine 12 2.1 Số nghiệm nguyên phương trình Diophantine đa thức 12 2.2 Điểm nguyên phần bù siêu mặt 18 Tính hyperbolic phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh phức n chiều 23 3.1 Tính hyperbolic phần bù 2n + siêu mặt 23 3.2 Trường hợp phần bù 2n siêu mặt 25 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn luận văn Một vấn đề lý thuyết số nghiên cứu nghiệm nguyên nghiệm hữu tỷ phương trình Diophantine Cho f (x, y) đa thức với hệ số nguyên tồn trường mở rộng để phân tích f (x, y) trường có ba cặp nhân tử phân biệt khơng tỷ lệ tuyến tính Năm 1909, Thue chứng minh với số nguyên b = tùy ý, phương trình Diophantine f (x, y) = b(∗) có hữu hạn nghiệm nguyên Phương trình (*) gọi phương trình Thue kết Thue xem phát quan trọng lý thuyết số Không dừng lại đa thức hai biến, Schmidt tổng quát sang trường hợp nhiều biến Schmidt xét cho trường hợp phương trình f1 fr = g , với fj (j = 1, , r) dạng tuyến tính bậc n biến g số Hơn nữa, Schmidt [22] chứng minh cho trường hợp fj dạng tuyến tính n biến bậc đa thức g nhỏ r − n Câu hỏi số nghiệm ngun phương trình Diophantine có mối quan hệ sâu sắc Xấp xỉ Diophantine Lý thuyết Nevanlinna liên tục thu hút quan tâm đơng đảo nhà tốn học Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài "Điểm ngun tính hyperbolic phần bù siêu mặt" thuộc hướng nghiên cứu nói Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến điểm nguyên tính hyperbolic phần bù siêu mặt Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Mục đích luận văn tìm hiểu lớp phương trình Diophantine ứng với đa thức dạng tích tìm hiểu tính hyperbolic phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh Cụ thể, đọc hiểu trình bày lại cách tường minh báo "Integral points and the hyperbolicity of the complement of hypersurfaces", Min Ru J reine angew Math năm 1993.[17] Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Số nghiệm ngun phương trình Diophantine Chương 3: Tính hyperbolic phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh phức n chiều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi nhắc lại số tính chất không gian xạ ảnh, định giá, siêu mặt vị trí tổng quát, đa tạp hyperbolic theo nghĩa Brody kiến thức liên quan khác nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi Các khái niệm kết chương trích dẫn từ [1], [2], [3], [4], 1.1 Không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường Không gian xạ ảnh n chiều K, ký hiệu Pn (K), hay đơn giản Pn tập hợp lớp tương đương (a0 , , an ) phần tử K, không đồng thời không theo quan hệ tương đương (a0 , , an ) ∼ λ(a0 , , an ) với λ thuộc K\ {0} Mỗi phần tử Pn gọi điểm Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T họ đa thức K[X0 , , Xn ] Tập Z = {P ∈ Pn |f (P ) = với f ∈ T } gọi tập không điểm họ đa thức vành K[X0 , , Xn ] Tập không điểm đa thức F gọi siêu mặt xác định F Đặc biệt, F đa thức bậc siêu mặt Z(F ) gọi siêu phẳng xác định F Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.3 Tập Y Pn gọi tập đại số tồn họ đa thức T K[X0 , , Xn ] cho Y = Z(T ) Mệnh đề 1.1.4 (i) Hợp hai tập đại số tập đại số (ii) Giao họ tùy ý tập đại số tập đại số (iii) Tập hợp rỗng tồn khơng gian tập đại số Định nghĩa 1.1.5 Trên Pn xác định tô pô với tập mở phần bù tập đại số gọi tô pô Zariski Định nghĩa 1.1.6 Một tập khác rỗng Y không gian tô pơ X gọi khả quy biểu diễn thành hợp hai tập đóng thực Y Trái lại, Y gọi bất khả quy Định nghĩa 1.1.7 Đa tạp đại số xạ ảnh (hay đơn giản đa tạp xạ ảnh) tập đóng, bất khả quy Pn Định nghĩa 1.1.8 Giả sử Y tập Pn Iđêan I(Y ) := { f ∈ K[X0 , , Xn ] |f đa thức f (P ) = với P ∈ Y } gọi iđêan Y K[X0 , , Xn ] Định nghĩa 1.1.9 Giả sử X không gian tô pô Chiều X supermum tất số nguyên n cho tồn dãy Z1 ⊂ ⊂ Zn tập phân biệt, đóng, bất khả quy X Chiều đa tạp W xác định chiều không gian tô pô cảm sinh W Ví dụ 1.1.10 Chiều Pn n Mệnh đề 1.1.11 Một siêu mặt bất khả quy Pn có n − chiều Định nghĩa 1.1.12 Một đa tạp r− chiều Y Pn gọi giao đầy đủ iđêan I(Y ) Y sinh n − r đa thức Định nghĩa 1.1.13 Giả sử Y tập đại số Pn Vành S(Y ) = K[X0 , , Xn ]/I(Y) gọi vành tọa độ Y Mệnh đề 1.1.14 (i) Nếu a iđêan sinh họ đa thức T Z(T ) = Z(a) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Nếu T1 ⊆ T2 tập vành đa thức K[X0 , , Xn ] Z(T2 ) ⊆ Z(T1 ) (iii) Nếu Y1 ⊆ Y2 tập Pn I(Y1 ) ⊆ I(Y2 ) (iv) Nếu Y1 , Y2 tập Pn I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ) (v) Nếu Y tập Pn Z(I(Y )) = Y (bao đóng Y ) Mệnh đề 1.1.15 Một tập đại số Y ⊆ Pn bất khả quy I(Y ) iđêan nguyên tố Mệnh đề 1.1.16 Cho X đa tạp xạ ảnh Pn f ∈ K[X0 , , Xn ] đa thức khác khơng triệt tiêu hồn tồn X Khi dim(X ∩ Z(f )) = dim X − Hệ 1.1.17 Giả sử Z ⊂ Pn giao đầy đủ r− chiều không chứa siêu phẳng vơ cực X0 = Khi giao Z với siêu phẳng X0 = đa tạp (r − 1) chiều Mệnh đề 1.1.18 Giả sử K Khi dim K[X1 , , Xn ] = n 1.2 Giá trị tuyệt đối Định nghĩa 1.2.1 Cho K trường Ánh xạ |.|v : K → R+ gọi giá trị tuyệt đối trường K thỏa mãn điều kiện sau: (i) |x|v 0, với x ∈ K; (ii) |x|v = x = 0; (iii) |xy|v = |x|v |y|v , với x, y ∈ K; (iv) |x + y|v |x|v + |y|v , với x, y ∈ K Nếu thay điều kiện (iv) điều kiện mạnh (v) |x + y|v max(|x|v , |x|v ), với x, y ∈ K |.|v gọi giá trị tuyệt đối không Acsimet Giá trị tuyệt đối mà |x|v = với x ∈ K∗ gọi giá trị tuyệt đối tầm thường Ví dụ 1.2.2 Cho K trường số phép nhúng σ1 : K → R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn σ2 : K → C Khi ánh xạ |.|v : K → R+ Xác định với a ∈ K, |a|v = |σ (a)| |a|v = |σ2 (a)|2 giá trị tuyệt đối K tương ứng gọi giá trị tuyệt đối thực phức Nhận xét 1.2.3 Một giá trị tuyệt đối |.|v K xác định metric K với hàm khoảng cách d(x, y) = |x − y|v Do xác định K tô pô Tô pô xác định giá trị tuyệt đối p−adic gọi tô pô p−adic Mệnh đề 1.2.4 Cho K trường với giá trị tuyệt đối không Acsimet |.|v α1 , , αn ∈ k, |ai |v < |α1 |v , với i > Khi đó, (i) |1| = 1, |−1| = 1, |−x| = |x|, với x ∈ K; n (ii) = |α1 |v ; αi i=1 v ∞ ∞ αi hội tụ (iii) chuỗi i=1 = |α1 |v αi i=1 v Mệnh đề 1.2.5 Cho giá trị tuyệt đối |.|1 , |.|2 K với |.|1 không tầm thường Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) |.|1 , |.|2 xác định tô pô K; (ii) |α|1 < |α|2 < 1, với α ∈ K; (iii) tồn số λ > cho |α|1 = |α|λ2 , với α ∈ K Định nghĩa 1.2.6 Hai giá trị tuyệt đối gọi tương đương chúng thỏa mãn điều kiện mệnh đề 1.2.5 Định lý 1.2.7 (Định lý Ostrowski) Giả sử |.| giá trị tuyệt đối khơng tầm thường Q Khi đó, (i) Nếu |.| giá trị tuyệt đối Acsimet |.| tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường Q (ii) Nếu |.| giá trị tuyệt đối khơng Acsimet |.| tương đương với giá trị tuyệt đối p−adic Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 nhóm sở R Vành mở rộng R hữu hạn sinh Hơn ∀x ∈ A, Pi (x), ≤ i ≤ q thuộc Γ (lưu ý đa thức Pi (x) với hệ số R (2.1) đúng) nên Pi (x), 1/Pi (x) thuộc R với x thuộc A) Do Pji = Qi , i = 1, , k + V , với x ∈ P(A) ∩ V ( R chứa tất hệ số Qj nghịch đảo chúng), Q2 (x)/Q1 (x), , Qk+2 (x)/Q1 (x) thuộc Γ Do ci Ti (x)/T0 (x) ∈ Γ, ≤ i ≤ k + với x ∈ P (A) ∩ V (chú ý ci , 1/ci thuộc R ) ta biểu thị Ti (Q2 (x)/Q1 (x), , Qk+2 (x)/Q1 (x)) Ti (x) Theo bổ đề sở nghiệm {T1 (x)/T0 (x), , Tm (x)/T0 (x)|x ∈ P(A) ∩ V } phương trình m ci Ti (x)/T0 (x) = i=1 chứa siêu phẳng chéo HI = {x ∈ V | ci Ti (x)/T0 (x) = 0} i∈I I tập thực {1, , m} có phần tử Do tính bất khả quy phân biệt X1 , , Xk+2 nên HI xác định hữu hạn đa tạp bất khả quy V K Do P(A) ∩ V chứa hợp hữu hạn đa tạp Theo quy nạp kết luận P(A) chứa khơng gian 0- chiều Pn (K) Do số R- nghiệm phương trình(2.1) hữu hạn Ví dụ 2.1.5 Nếu lấy P1 = x0 , P2 = x1 , P3 = x2 , P4 = x0 + x1 + x2 , P5 = x20 − 2x21 − 2x22 , đa thức vị trí tổng qt theo Định lý 2.1.4 phương trình x0 x1 x2 (x0 + x1 + x2 )(x20 − 2x21 − 2x22 ) = b có hữu hạn nghiệm nguyên với ∀b = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 2.2 Điểm nguyên phần bù siêu mặt Định lý 2.1.4 tương ứng với tính hữu hạn điểm nguyên phần bù hợp số siêu mặt Pn (K) Chúng ta sử dụng định nghĩa tập điểm nguyên phần bù divisor đưa Vojta [25], định lý sau Định lý 2.2.1 Cho K trường số, M (K) tập định giá K Gọi S ⊂ M (K) tập hữu hạn chứa tất định giá Acsimet Giả sử D1 , , Dq siêu mặt vị trí tổng quát Pn (K) (bất kỳ n + siêu mặt có giao rỗng), với hệ số đại số Nếu q 2n + q Pn (K) − D có hữu hạn (S, D)- điểm nguyên, D = ∪ Di i=1 Để chứng minh định lý trên, cần chuẩn bị sau: Cho K trường số đại số bậc d M (K) tập định giá K M∞ (K) tập định giá Acsimet K Với v ∈ M (K) ký hiệu |.|v giá trị tuyệt đối liên kết với v, chuẩn hóa cho Q có |.|v = || (giá trị tuyệt đối thông thường) v Acsimet, ngược lại với v không Acsimet |p|v = p−1 v nằm số nguyên tố hữu tỷ p Ký hiệu Kv bao đầy K theo v dv = [Kv : Qv ] bậc địa phương Chúng ta d /d đặt v = ||vv Cho S tập hữu hạn M (K) chứa M∞ (K) có s phần tử Chúng ta gọi phần tử x ∈ K S - đơn vị x v =1 với v ∈ / S Phần tử x ∈ K gọi S - nguyên x v ≤1 với v ∈ S Gọi OS vành S - nguyên K Chú ý tập OS tương ứng 1-1 với tập vành hữu hạn sinh R Z Trong thực tế OS vành hữu hạn sinh Z, đặt S c = {v ∈ M (K)| x v ≤ 1, ∀x ∈ R}, S = M (K) − S c , S tập hữu hạn chứa tất định giá Acsimet Một điểm P ∈ An (K) điểm nguyên tất Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 tọa độ S - nguyên điểm đại số Pn (K) nguyên tọa độ nằm bao đóng nguyên OK,S K Tương tự đa tạp afin W ⊂ An xác định K kế thừa khái niệm điểm nguyên với định nghĩa cho An Cho D divisor hiệu very ample đa tạp xạ ảnh V đặt = x1 , , xN sở không gian véc tơ L(D) = {f |f hàm hữu tỷ V, f = (f ) + D ≥ 0} Khi P → (x1 (P ), , xN (P )) xác định phép nhúng V − D vào An ; Vì nói (S, D)- điểm nguyên xi (P ) ∈ Os (hoặc bao đóng nguyên K) với i Định nghĩa 2.2.2 Cho K trường số M (K) tập định giá K Kv bổ sung đủ K theo v ∈ M (K) |.|v Ta mở rộng |.|v tới định giá bao đóng đại số Kv Cho D divisor X Hàm Weil toàn cục liên kết với D hàm λD (X(K − sup pD) × M (K) → R có tính chất sau: Với cặp (U, f ) kết hợp với D, tồn hàm liên tục bị chặn địa phương h : U (K) × M (K) → R cho với điểm U (K) − sup pD ta có λD (x, v) = − log |f (x)|v + h(x, v) Hàm h xác định λD cặp (U, f ) Bổ đề 2.2.3 (Vojta[24]) Cho D divisor hiệu very ample V Cho I tập V (K) − |D| Khi khẳng định sau tương đương (a) I tập D- điểm nguyên (hay (S, D)−điểm nguyên) V; (b) Tồn hàm Weil toàn cục λD,v với v ∈ M (K) − S thỏa mãn (i) hầu hết cv = và, (ii) với P ∈ I, ∀v ∈ M (K) − S , với phép nhúng K Kv ta có λD,v (P ) ≤ cv Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Cho D divisor hiệu V I tập V (K)−D Khi I gọi tập (S, D)- khả nguyên điểm tồn hàm Weil thỏa mãn điều kiện (b) bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 Cho S tập hữu hạn định giá K chứa định giá Acsimet Gọi E trường mở rộng hữu hạn K T tập định giá E nằm định giá S Khi I ∈ V (K) tập (S, D)- điểm nguyên tập (T, D)- điểm nguyên Bổ đề 2.2.5 Cho I tập tập D- điểm nguyên V , f hàm hữu tỷ cực bên ngồi D Khi tồn số b ∈ K cho bf (P ) nguyên với P ∈ I Bây ta chứng minh Định lý 2.2.1 Chứng minh Cho K trường số, S ⊂ M (K) tập hữu hạn chứa tất định giá Acsimet D1 , , Dq siêu mặt Pn (K) với hệ số đại số Chúng ta chứng minh q ≥ 2n + Pn (K) − D chứa hữu q hạn (S, D)- điểm nguyên, D = ∪ Di Chúng ta giả sử i=1 tất hệ số siêu mặt K Vì ngược lại, mở rộng K S tới K S việc thêm vào tất hệ số siêu mặt ý (S, D)- điểm nguyên (S , D)- điểm nguyên Cho P tập (S, D)- điểm nguyên Pn (K) − D Giả sử siêu mặt D1 , , Dq xác định đa thức P1 , , Pq Do giả thiết D1 , , Dq vị trí tổng quát nên cần chứng minh với đa tạp xạ ảnh đóng V xác định K Pn (K), P ∩ V chứa hợp hữu hạn đa tạp thực V Áp dụng Bổ đề 2.1.2, có (k + 2) siêu mặt (bất khả quy) phân biệt X1 , , Xk+2 V , Xi , ≤ i ≤ k + thành phần bất khả quy V ∩ Dj Đặt Q1 = Pj1 , , Qk+2=Pjk+2 Do kích thước đối số hàm V siêu việt bậc k , có phụ thuộc đại số hàm hữu tỷ Q2 /Q1 , , Qn+2 /Q1 V Do tồn đa thức T thỏa mãn T (Q2 /Q1 , , Qn+2 /Q1 ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 đồng V , nên giả sử hệ số T K Do có m ci Ti /T0 = i=1 ci = với T0 , Ti , ≤ i ≤ m đơn thức {Q2 /Q1 , , Qk+2 /Q1 } Do Qi /Q1 , ≤ i ≤ k + hàm V cực ngồi D, tồn ∈ K cho ∀x ∈ P ∩ V Qi (x)/Q1 (x) (2.2) đưa vào giá trị S - nguyên x ∈ P ∩ V (Bổ đề 2.2.5) lập luận tương tự tồn bi ∈ K, cho bi Q1 (x)/Qi (x) (2.3) đưa vào giá trị S - nguyên điểm x ∈ P ∩ V Gọi R mở rộng nhỏ vành R chứa cj , , bi nghịch đảo chúng, Γ nhóm đơn vị R Vành mở rộng R hữu hạn sinh Hơn nữa, (2.2), (2.3) với x ∈ P ∩ V , Qi (x)/Q1 (x), ≤ i ≤ q thuộc Γ nên ci Ti (x)/T0 (x) ∈ Γ, ≤ i ≤ m với v ∈ P(A) ∩ V (ci , 1/ci thuộc R) Chúng ta biểu thị T1 (Q2 (x)/Q1 (x), , Qk+2 (x)/Q1 (x)) Ti (x) Theo bổ đề sở nghiệm {T1 (x)/T0 (x), , Tm (x)/T0 (x)|x ∈ P ∩ V } phương trình m ci Ti (x)/T0 (x) = i=1 chứa siêu phẳng chéo HI = {x ∈ V | ci Ti (x)/T0 (x) = 0} i∈I I tập thực {1, , m} có phần tử Do tính bất khả quy phân biệt X1 , , Xk+2 kéo theo HI xác định hữu hạn đa tạp bất khả quy thực V xác định K Do P ∩ V chứa hợp hữu hạn đa tạp hữu hạn Bằng quy nạp kết luận P chứa hữu hạn không gian 0- chiều Pn (K) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Định lý kéo theo hệ sau Định lý 2.2.6 [Ru Wong [20]] Cho H tập siêu phẳng Pn với hệ số đại số nằm vị trí tổng qt H 2n + Khi với trường K, với tập hữu hạn S ⊂ M (K) chứa tất giá trị Acsimet, Pn (K) − |H| có hữu hạn (S, |H|)- điểm nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chương Tính hyperbolic phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh phức n chiều Trong chương chứng minh tính hyperbolic Brody phần bù siêu mặt vị trí tổng quát sử dụng bổ đề Borel 3.1 Tính hyperbolic phần bù 2n + siêu mặt Định lý 3.1.1 (Batets, Eremenko Sodin) Mọi ánh xạ chỉnh hình f từ C vào Pn (C) bỏ 2n + siêu mặt vị trí tổng quát ánh xạ Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1.2 Cho V đa tạp xạ ảnh đóng Pn (C) với số chiều k ≥ D siêu mặt Khi V ⊂ D V ∩ D = ∅ dim(V ∩ D) = k − Bổ đề 3.1.3 Cho V đa tạp xạ ảnh đóng bất khả quy Pn (C) với số chiều k ≥ 1, D1 , , D2n+1 siêu mặt vị trí tổng quát Pn (C) Khi tồn tập số {i1 , , ik+2 } {1, , 2n + 1} cho chọn thành phần bất khả quy Xj từ V ∩ Dij (j = 1, , k + 2) cho X1 , , Xk+2 phân biệt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Tiếp tục ta chứng minh định lý 3.1.1 Gọi P1 , Pt đa thức xác định siêu mặt Dj , j = 1, , q q ≥ 2n + Chúng ta cần chứng minh đa tạp xạ ảnh đóng V Pn (C) với f (C) ⊂ V , f (C) chứa đa tạp thực V Áp dụng Bổ đề 3.1.3 có (k + 2) siêu mặt bất khả quy phân biệt X1 , , Xk+2 V , Xi , ≤ i ≤ k + thành phần bất khả quy V ∩ Dji Đặt Q1 = Pj1 , , Qk+2 = Pjk+2 Khi Q1 (f ), , Qk+2 (f ) hàm khơng triệt tiêu tồn kích thước đối số hàm V có siêu việt bậc k có phụ thuộc đại số hàm hữu tỷ Q2 /Q1 , , Qk+2 /Q1 V Từ tồn đa thức T thỏa mãn T (Q2 /Q1 , , Qk+2 /Q1 ) = đồng V , giả sử hệ số T K m ci Ti /T0 = ci = T0 , Ti , ≤ i ≤ m Do có i=1 đơn thức {Q2 /Q1 , , Qk+2 /Q1 }, ký hiệu T0 (f ) = T0 (Q2 (f )/Q1 (f ), , Qk+2 (f )/Q1 (f )) Ti (f ) = Ti (Q2 (f )/Q1 (f ), , Qk+2 (f )/Q1 (f )), ≤ i ≤ m Khi Ti (f )/T0 (f ), ≤ i ≤ m hàm khơng triệt tiêu tồn Theo bổ đề Borel, f (C) chứa siêu phẳng HI = {x ∈ V | ci Ti (x)/T0 (x) = 0} i∈I I ⊂ {1, , m} tập thực có phần tử HI xác định đa tạp V Từ tính bất khả quy, phân biệt X1 , , Xk+2 kéo theo HI đa tạp thực V Bằng quy nạp kết luận f ánh xạ Từ định lý 3.1.1 ta dễ dàng suy Hệ 3.1.4 Pn (C) bỏ 2n + siêu mặt vị trí tổng quát hyperbolic Brody Bây xem xét trường hợp có siêu mặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 3.2 Trường hợp phần bù 2n siêu mặt Định lý 3.2.1 Cho D hợp q siêu mặt bất khả quy vị trí tổng qt hình học Pn (C) Cho f : C −→ Pn (C) − D ánh xạ chỉnh hình Khi ảnh f chứa đa tạp Pn (C) với 2n − q + chiều Đặc biệt, q = 2n Pn (C) − D hyperbolic Brody, ngoại trừ ba trường hợp: a) D hợp 2n siêu phẳng, n siêu phẳng giao điểm p n siêu phẳng khác giao với điểm q, f (C) chứa đường thẳng nối p q ; b) D gồm 2n − siêu phẳng mặt bậc hai nhẵn (Q) cho n siêu phẳng giao với p phần lại siêu phẳng giao với Q q ; f (C) chứa đường thẳng nối p q; c) D gồm 2n − siêu phẳng hai mặt bậc hai (Q1 , Q2 ) cho n − siêu phẳng giao với Q1 p, n − siêu phẳng lại giao với Q2 q, f (C) chứa đường thẳng nối p q hai tiếp tuyến tới hai mặt bậc hai Để chứng minh định lý ta cần định lý sau: Định lý 3.2.2 (Định lý Bezout) Cho hai đường cong phẳng đại số có bậc m n đồng thời khơng có thành phần chung nào, có m.n điểm giao Trong đó, kể giao điểm trùng giao điểm vô cực Bây ta chứng minh định lý 3.2.1 Chứng minh Cho f : C → Pn (C) ánh xạ chỉnh hình Theo phần bổ đề 3.1.3 suy f (C) chứa đa tạp Pn (C) với 2n − q + chiều Đặc biệt q = 2n f (C) chứa đường cong đại số C1 Pn (C) Chúng ta giả sử C1 bất khả quy cách đưa vào phần tử bất khả quy Nếu D bao gồm 2n siêu phẳng vị trí tổng qt C1 giao D điểm (ví dụ C1 đường thẳng nối điểm p giao D1 , , Dn điểm q giao Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Dn+1 , , D2n ) Trong trường hợp kết luận Pn (C) − D hyperbolic Brody Bây giả sử có thành phần D (gọi D2n ) bậc hai trơn Giả sử C1 giao D điểm phân biệt Khi đó, điểm phải điểm giao D, gọi p ∈ D1 ∩ ∩ Dn q ∈ Dn+1 ∩ ∩ D2n (Do C1 phải giao với thành phần D) Nếu C1 có tiếp tuyến phân biệt điểm p π −1 (p) bao gồm điểm phân biệt π : C1 → C1 chuẩn hóa C1 Do π −1 (p) ∪ π −1 (q) chứa điểm nên f : C → C1 − π −1 (p) ∪ π −1 (q) phải số, f số Như giả sử C1 khơng có tiếp tuyến phân biệt điểm p Do D vị trí tổng qt hình học tất thành phần trơn, C1 khơng thể tiếp tuyến tới hai số D1 , , Dn Giả sử C1 không tiếp tuyến tới D2 , , Dn p C1 phải giao với chúng điểm r khác p (do p, q, r ba điểm phân biệt đường cong bỏ ba điểm hyperbolic) trừ C1 đường thẳng D2 , , Dn siêu phẳng (theo định lý giao Bezout) Nếu D1 không siêu phẳng (mà bậc hai trơn) C1 phải tiếp tuyến tới D1 p, ngược lại C1 giao D1 điểm r khác p thu Do xét hai trường hợp: (b) D1 siêu phẳng (c) D1 đường bậc hai trơn C1 tiếp tuyến với D1 p Trong hai trường hợp áp dụng đối số tới điểm q ∈ Dn+1 ∩ ∩ D2n Do D2n bậc hai trơn, có vị trí Dn+1 , , D2n−1 siêu phẳng C1 tiếp tuyến tới D2n Do có hai trường hợp (b) D1 , , D2n−1 siêu phẳng D2n bậc hai trơn C1 (đường thẳng) giao D điểm p ∈ D1 ∩ ∩Dn điểm q ∈ Dn+1 ∩ ∩D2n C1 tiếp tuyến tới D2n q (c) D2 , , D2n−1 siêu phẳng D1 , D2n bậc hai trơn, C1 giao D điểm p ∈ D1 ∩ ∩ Dn điểm q ∈ Dn+1 ∩ ∩ D2n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 C1 tiếp tuyến tới D1 p D2n q Trong hai trường hợp C1 giao D điểm f (C) chứa C1 không lấy điểm nên phải số Định lý có kết tương ứng lý thuyết số, thể định lý sau Định lý 3.2.3 Cho K trường số, M (K) tập tất định giá K, S ⊂ M (K) tập hữu hạn chứa tất định giá Acsimet Giả sử D hợp q siêu mặt (bất khả quy) vị trí tổng qt hình học Pn (K) Khi tập (S, D)- điểm nguyên Pn (K)−D chứa hợp hữu hạn đa tạp Pn (K) số chiều (2n−q+1) Đặc biệt q = 2n Pn (K) − D có hữu hạn (S, D) - điểm nguyên ngoại trừ ba trường hợp sau: a) D hợp 2n siêu phẳng, n siêu phẳng giao điểm p n siêu phẳng khác giao điểm q ; b) D gồm 2n − siêu phẳng mặt bậc hai trơn (Q) thỏa mãn n siêu phẳng giao điểm p phần lại siêu phẳng giao với Q điểm q; c) D gồm 2n − siêu phẳng hai mặt bậc hai trơn (Q1 , Q2 ) thỏa mãn n − siêu phẳng giao với Q1 điểm p phần lại giao với Q2 điểm q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Kết luận Luận văn trình bày số kết điểm nguyên tính hyperbolic phần bù siêu mặt khơng gian xạ ảnh phức Các kết luận văn gồm có: • Trình bày số nghiệm nguyên phương trình Diophantine (Định lý 2.1.4, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.6) • Trình bày tính hyperbolic phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh phức (Định lý 3.1.1,Định lý 3.2,Định lý 3.2.3) Hướng nghiên cứu luận văn tiếp tục tìm hiểu xấp xỉ Diophantine lý thuyết Nevanlinna Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, NXB ĐHSP [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Tô pơ đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến đường cong chỉnh hình tính hyperbolic Brody P-adic, Luận án tiến sĩ toán học, Trường ĐHSP Vinh Tiếng Anh [5] V.A Babets (1984),Picard-typer theorems for holomorphic mappings, Siberian Math J 25, 195-200 [6] R Brody (1978), Compact manifolds and hyperbolicity, Trans Math Soc 235, 213-219 [7] J Carlson and P Griffiths (1972), A defect relation for equidimensional holomorphic mappings between algebraic varieties, Ann, Math 95, 557-584 [8] A E Eremenko and M L Sodin (1992),The value distribution of meromorphic functions and meromorphic curves from the point of view of potential theory, St Pertersburg Math J 3, No.1,109-136 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 [9] J H Evertse, K Gyăory (1988), Finiteness criteria for decomposable form equations, Acta Arith 50, 357-379 [10] J H Evertse, K Gyăory (1985), On unit equations and decomposable form equations, J reine angew Math 358, 6-19 [11] G Faltings (1991), Diophantine approximation on abelian varieties, Ann Math 133, 549-576 [12] M Green (1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer J Math 97, 43-75 [13] R Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Grad Texts Math 52, Berlin-Heidelberg-New York [14] S Lang (1987), Introduction to complex hyperbolic spaces, Berlin-Heidelberg-New York [15] S Lang (1983), Fundamentals of diophantine geometry, Berlin-Heidelberg-New York [16] C F Osgood (1985), Sometimes effective Thue-Siegel-Roth-Schmidt-Nevanlinna bound, or better, J Numb Th 21, 347-389 [17] M Ru (1993), Integral points and the hyperbolicity of the complement of hypersurfaces, J reine angew Math 442, 163-176 [18] M Ru ( 2001), Nevanlinna theory and its relation to Diophantine Approximation, world scientific Puclishing Co Plt Ltd [19] M Ru (1995), Geometric and arithmetic aspects of Pn minus hyperplanes, Amer Math 117, 307-201 [20] M Ru and P M Wong (1991), integral points of Pn – {2n + hyperplanes in general position}, Ivent, Math 106, 195-206 [21] H P Schlickewei (1990), S-unit equations over number field, Ivent, Math 102, 95-107 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 [22] W M Schmidt (1980), Diophantine approximations, Lect Notes Math 106, Berlin-Heidelberg-New York [23] W Stoll (1983), The Ahlfors-Weyl theory of meromorphic maps on parabolic manifolds, Lect Notes Math 981, 101-219 [24] P Vojta (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lect Notes Math 1239, Berlin-Heidelberg-New York [25] P Vojta (1991), Siegel’s theorem in compact case, Ann Math 133, 509-548 [26] M Zaidenberg (1986), On hyperbolic embedding of complements of divisors and the limiting behavior of the Kobayashi-Royden metric, Math USSR Sbornik 55 No 1, 55- 70 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... nghiệm nguyên phương trình Diophantine đa thức 12 2.2 Điểm nguyên phần bù siêu mặt 18 Tính hyperbolic phần bù siêu mặt không gian xạ ảnh phức n chiều 23 3.1 Tính hyperbolic phần bù 2n... nghiệm nguyên với ∀b = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 2.2 Điểm nguyên phần bù siêu mặt Định lý 2.1.4 tương ứng với tính hữu hạn điểm nguyên phần bù hợp... Brody phần bù siêu mặt vị trí tổng quát sử dụng bổ đề Borel 3.1 Tính hyperbolic phần bù 2n + siêu mặt Định lý 3.1.1 (Batets, Eremenko Sodin) Mọi ánh xạ chỉnh hình f từ C vào Pn (C) bỏ 2n + siêu mặt