Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ KIM THÚY TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 07 - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ KIM THÚY TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Văn Tấn HÀ NỘI, 07 - 2017 Mục lục Phần mở đầu Lời cảm ơn 1 Lời giới thiệu 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Một số định lí tính chất Tâp điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh 2.1 Định lí không gian Schmidt 2.2 Trọng số Nochka 11 2.3 Định lí thứ hai với trọng số 19 2.4 Định lí mở rộng 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Năm 1991, Miu Ru Pit-Mann Wong[Ivent.Math.(106)1991] chứng minh rằng: Cho K trường số H1 , , Hq họ siêu phẳng vị trí tổng quát không gian xạ ảnh P n (K) Đặt D hợp siêu phẳng nói Giả sử k số nguyên dương thỏa mãn q > 2n − k + Khi tập điểm D- nguyên P n (K)D chứa hợp hữu hạn không gian với số chiều không k − Đặc biệt với k = q > 2n tập điểm D - nguyên P n (K)D hữu hạn Luận văn nghiên cứu kết nói Miu Ru Pit-Mann Wong " Tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh" Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu kết nghiên cứu Ru Wong " Tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh" Phương pháp nghiên cứu Đọc dịch tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp nghiên cứu lý thuyết để giải vấn đề đặt luận văn, sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết phân bố giá trị, hình học phức Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương Lời giới thiệu, kiến thức tảng phục vụ cho chương Chương Tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh , trình bày định nghĩa định lí để xây dựng tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh Lời cảm ơn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô môn Hình học tô pô nói riêng dạy bảo dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Trần Văn Tấn, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Học viên Hoàng Thị Kim Thúy Chương Lời giới thiệu 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Giả sử K trường số Một định giá K hàm giá trị thực |.| : K → R+ thỏa mãn ba tính chất sau (1) x = x = (Không suy biến) (2) xy = x y (Tính nhân) (3) x + y ≤ x + y (Bất đẳng thức tam giác) Định giá gọi định giá không archimedean thỏa mãn x + y ≤ max( x , y ) Hai định giá , λ thỏa mãn gọi tương đương tồn số dương = λ Tập định giá tắc Q kí hiệu MQ bao gồm định giá archimedean p với p số nguyên tố ∞ định giá p - adic 1.1.2 Cho K trường số, với định giá υ K ta kí hiệu Kυ bao đóng đầy K với υ nυ = [Kυ : Qυ ] gọi bậc địa phương Định nghĩa chuẩn với định giá archimedean x υ = |x| Kυ = R x υ = |x|2 Kυ = C Nếu υ không archimedean υ mở rộng định giá p - Cadic Q với p số nguyên tố, chuẩn định nghĩa x υ = |x|np υ x ∈ Q∗ Với quy ước này, tồn tập đầy đủ giá trị không tương đương MK K cho có công thức x υ =1 (1.1) υ∈MK với x ∈ K∗ Khai triển υ bao đóng đại số Kυ Kυ 1.1.3 Kí hiệu OK vành phần tử nguyên K, tức OK tập hợp phần tử α ∈ K thỏa mãn đa thức cực tiểu P (X) Z có dạng P (X) = X h + a1 X h−1 + + ah , h = degQ α, ∈ Z Ta có tập tắc MK định giá K bao gồm định giá tương ứng với ideal nguyên tố p OK , định giá tương ứng với phép nhúng thực σ : K → R, định giá tương ứng với cặp phép nhúng σ, σ : K → C Ta kí hiệu MK∞ tập định giá archimedean K, MK0 tập định giá không archimedean K Một cách tự nhiên, ta có MK = MK∞ ∪ MK0 Với υ ∈ MK , kí hiệu Kυ bao đầy textbf K tương ứng với υ Ta chuẩn tắc định giá cho p ideal p p ∩ Z = (p), x υ υ = p−[Kυ :Qp ]/[K:Q] υ tương ứng với = σ(x) [Kυ :R]/[K:Q] υ tương ứng với phép nhúng σ Nếu υ định giá K ω định giá mở rộng trường L K, ta nói ω nằm υ (hoặc υ nằm ω), kí hiệu ω|υ, ω υ xác định tô pô K 1.1.4 Cho S tập hữu hạn MK , chứa tất định giá archimedean K Kí hiệu OS gọi giá trị S - nguyên K, nghĩa giá trị x ∈ K cho x υ ≤1 (1.2) với υ ∈ / S Điểm x = (x1 , , xn ) ∈ Kn gọi điểm S-nguyên xi ∈ OS với i n Cho D tập divisor ample hiệu đa tạp xạ ảnh V đặt = x0 , x1 , , xN sở không gian véc tơ: L(D) = {f |f hàm hữu đa tạp V cho f = (f ) + D ≥ 0} Khi P → (x1 (P ), , xN (P )) xác định phép nhúng V(K) − D vào không gian afin KN Điểm P V(K) − D gọi điểm D - nguyên xi ∈ OS với 1.2 i N Một số định lí tính chất Định lý 1.1 (Định lí chính) Cho K môt trường số H1 , H2 , , Hq môt họ hữu hạn siêu phẳng Pn (K), vị trí tổng quát.Cho D= Hj , với số nguyên k n thỏa mãn q > 2n − k + 1, j q tập điểm D - nguyên Pn (K) − D chứa hợp hữu hạn không gian xạ ảnh Pn (K) số chiều k − Đăc biệt, tập điểm D - nguyên Pn (K) − {2n + siêu phẳng vị trí tổng quát } hữu hạn Nhắc lại siêu phẳng H Pn (K) đại diện véc tơ α Kn+1 − {0} Một họ siêu phẳng H1 , H2 , , Hq gọi vị trí tổng quát tập véc tơ đại diện {α1 , , αq } thỏa mãn điều kiện tập không vượt n + phần tử độc lập tuyến tính K Tổng quát hơn, cho V đa tạp xạ ảnh, D divisor ample V tập {φ0 , , φN } sở L(D) cho Φ = [φ0 , , φN ] : V → PN phép nhúng V vào PN với V − D bị nhúng KN Chúng ta đồng hóa V với ảnh Φ(V ) Chúng ta có hệ trưc tiếp định lí Hệ 1.2 Cho V đa tạp xa ảnh, D divisor ample V Cho D1 , , Dq divisor hệ tuyến tính |D| cho E = D1 + +Dq đơn giản Nếu q > 2N − k + N = dim L(D) − k n, tập điểm E - nguyên V − E chứa phần giao số hữu hạn không gian xạ ảnh, số chiều k − PN với V Đặc biệt, q 2N + tập điểm E - nguyên V − E hữu hạn Khi tổng trọng số Nochka đánh giá dễ dàng sau: σi #(B ∩ Bi+1 ) − #(B ∩ Bi ) ω(a) = a∈B i s d(B ∩ Bi+1 ) − d(B ∩ Bi ) i s = d(B ∩ Bs+1 ) = d(B) Nhận xét 2.9 Nếu n = k (cụ thể, vị trí tổng quát) σs = ω(a) = với a 2.3 Định lí thứ hai với trọng số Cho K, S MK định nghĩa lời giới thiệu Sử dụng số Nochka, kết mở rộng từ trường hợp vị trí tổng quát sang trường hợp vị trí tổng quát Trước tiên ta cần bổ đề kĩ thuật hệ tính chất trọng số Nochka (định lí 2.8) Bổ đề 2.10 Cho V không gian véc tơ F (trường có đặc số 0) có số chiều k + 1, ta kí hiêu V ∗ đối ngẫu V cho A = {υ1 , , υq } môt hệ siêu phẳng Pk vị trí n - tổng quát với điều kiện k n < q Cho E1 , , Eq dãy số thực với Ej j Khi tập B A với < #B với n + 1, tồn tập C B cho {υj |υj ∈ C} sở không gian xạ ảnh sinh {υi |υi ∈ B} ω υj ∈B Ej j Ei υj ∈C 19 {ωj = ω(υj )|1 j q} trọng số Nochka liên kết với A Chứng minh Để không làm tính tổng quát, ta giả sử Eq Eq−1 E1 Xác định dãy tăng tập B sau Đặt i1 = {i|υi ∈ B} I1 = {υi ∈ B|υi bội υi1 } Nếu B − I1 = ∅, chọn υi2 ∈ B − I1 cho i2 = {i|υi ∈ B − I1 } xác định I2 = {υi ∈ không gian xạ ảnh sinh υi1 υi2 } Theo quy nạp, Ij−1 xác định B − Ij−1 = ∅, chọn υij ∈ B − Ij−1 cho ij = {i|υi ∈ B − Ij−1 } xác định Ij = {υi ∈ B|υi ∈ không gian xạ ảnh sinh υi1 , , υij−1 } Quá trình dừng tai Ip p = số chiều không giạn xạ ảnh sinh B Rõ ràng Ip ⊇ Ip−1 ⊇ ⊇ I1 ip ip−1 i1 Tập C = υi1 , , υip B Tập I0 = ∅, B = có xây dựng sở (Ij − Ij−1 ) hợp rời Từ Eq E1 , ta j p có xây dựng Eij = υi ∈B max υi ∈Ij −Ij−1 Eiωi = αj = Ei Như j p υi ∈Ij −Ij−1 α Eiωi j p Eij j ωi Từ tập Ij tăng, với r p, υi ∈Ij −Ij−1 phần (iv) định lí 2.2 dẫn đến αj = j r ωi = j r υi ∈Ij −Ij−1 ωi d(Ir ) = dimspanIr = r (2.18) υi ∈Ir Tiếp tục thấy α j p Eij j Eij j p Đến dễ dàng kiểm tra quy nạp p Với p = 1, α1 (i) (ii) định lí 2.8) từ E1 1, ta có E1α1 sử bất đẳng thức với p = k Do αk+1 (bởi phần E1 tầm thường Giả k +1− αj j k (2.18), ta có 20 k +1 α j k+1 Từ ip Eij j i1 , ta có ( ( j k Eij αj k+1 ) )Eik+1 Eik+1 Eij /Eik+1 với j k, phương pháp quy nạp dẫn đến ( ( k Eij αj k+1 ) )Eik+1 Eik+1 Eij )Eik+1 = k+1 k Eik+1 ( j Eij j k+1 Tổ hợp hai bất đẳng thức cuối hoàn thành chứng minh bổ đề 2.10 Sử dụng trọng số Nochka, ta chứng minh số biến thể đinh lí nhỏ (định lí 1.1) giả thiết dạng tuyến tính vị trí tổng quát Ý chứng minh rút gọn vấn đề, dùng bổ đề 2.10, tình trạng định lí 1.1 thích hợp Định lý 2.11 Cho {Lυ,i |υ ∈ S, i q} dạng tuyến tính (k + 1) - biến số với hệ số đại số Giả sử cố định υ ∈ S, q dạng tuyến tính Lυ,1 , , Lυ,q vị trí n - tổng quát (1 k n, q > 2n − k + 1) Cho ωυ;1 , , ωυ;q trọng số Nochka liên kết với Lυ,1 , , Lυ,q Khi với ε > tồn tập hữu hạn J siêu phẳng Kk+1 cho bất đẳng thức υ∈S i q Lυ,i (x) ωυ;i υ {size(x)}ε với điểm S - nguyên x = (x0 , , xk ) ∈ OSk+1 − L∈J L Chứng minh Điều kiện vị trí n - tổng quát dẫn đến rằng, điểm x với υ ∈ S, có nhiều n dạng tuyến tính Lυ,i cho Lυ,i = Như tồn số c0 > (chỉ phụ thuộc vào S) cho #Iυ,x = #{i Lυ,x (x) υ (n + 1) Lυ,x υ max { xj j k 21 υ} c0 } n với x với υ ∈ S Bởi (2.4) (n + 1) Lυ,i Eυ,i = υ max { xj j k Lυ,i (x) υ} (2.19) υ c−1 Như tồn số c1 (chỉ phụ thuộc Nếu i ∈ / Iυ,x Eυ,i (x) vào S) cho ω Eυ,iυ;i (x) ω Eυ,iυ;i (x) c1 υ∈S i q υ∈S i∈Iυ,x với υ ∈ S x ∈ Pk Từ #Iυ,x n Eυ,i 1, bổ đề 3.1 dẫn đến ω Eυ,iυ;i (x) Eυ,i (x), υ∈S i∈Iυ,x υ∈S i∈Jυ,x Jυ,x tập Iυ,x với #Jυ,x k + tập siêu phẳng (các dạng tuyến tính) Jυ,x vị trí tổng quát (độc lập tuyến tính) Do Eυ,i nên Eυ,i (x) max Iυ i∈Jυ,x Eυ,i (x) i∈Iυ Iυ có phạm vi tập Jυ tất tập {1, , q} với tính chất #Iυ = k + tập dạng tuyến tính {Lυ,i |i ∈ Iυ } độc lập tuyến tính Tập tất Iυ , υ ∈ S, hữu hạn Do định lí 1.1 định nghĩa (3.2) Eυ,i với ε > 0, tồn tập hữu hạn J siêu phẳng Kk+1 cho bất đẳng thức Eυ,i (x) c2 {size(x)}ε υ∈S i∈Iυ với x ∈ OSk+1 − ( max ( xj υ∈S j k (k+1) υ) L với Iυ ∈ Jυ , υ ∈ S Ở L∈J c2 = max υ∈S Iυ ∈Jυ (n + 1) Lυ,i i∈Iυ 22 υ số độc lập với x Cho c3 = c1 c2 , ω c3 {size(x)}ε Eυ,iυ;i (x) υ∈S i q υ∈S với x ∈ OSk+1 − (k+1) υ) ( max xj j k (2.20) L Từ định nghĩa ta có L∈J ω Eυ,iυ;i (x) υ∈S i q ωυ;i ( max { xj = c4 ( υ∈S j k υ }) i q ) υ∈S i q Lυ,i (x) ωυ;i υ {(n + 1) Lυ,i υ }ωυ,i c4 = υ∈S i q Bởi định lí 2.8 (iii), trọng số Nochka thỏa mãn ωυ;i k + 1, i q từ max xj j k υ với υ ∈ S x ∈ OSk+1 , ta có ωυ;i max xj j k i q υ Do c4 ( υ∈S ( max { xj j k (k+1) ) υ }) υ∈S i q Lυ,i (x) ω ωυ;i υ Eυ,iυ;i (x) υ∈S i q Bất đẳng thức với (2.20) suy υ∈S i q với x ∈ OSk+1 − Lυ,i (x) ωυ;i υ c5 {size(x)} L Từ size(x) không bị chặn số L∈J c5 = c3 /c4 độc lập với x bị hấp thụ tổng số hữu hạn siêu phẳng ngoại lệ 23 Định lí 1.3 suy rộng đến trường hợp vị trí tổng quát Đến đạt sử dụng đối số tương tự với chứng minh định lí 2.11, đưa trường hợp định lí 1.3 áp dụng Loại trừ kết luận thẳng thắn từ định lí 2.11 cách định lí 1.3 suy diễn từ định lí 1.1 Định lý 2.12 Cho {Lυ,i |υ ∈ S, i q} dạng tuyến tính (hoặc siêu phẳng Pk ) (n + 1) - biến số với hệ số đại số Giả sử cố định υ ∈ S, dạng tuyến tính Lυ,1 , , Lυ,q vị trí n - tổng quát (1 k n < q) liên kết với trọng số Nochka ωυ,1 , , ωυ,q Khi với ε > tồn tập hữu hạn J siêu phẳng Pn (K) cho bất đẳng thức ωυ,i λυ,Lυ,i (x) (k + + )h(x) i q υ∈S với điểm x ∈ Pn (K) − L L∈J Chứng minh Cho Eυ,i xác định (2.19) Bởi (2.20), tồn số c tập J siêu phẳng Pn (K) cho ω Eυ,iυ;i (x) ( max { xj c{size(x)} υ∈S i q υ∈S với x = (x0 , , xn ) ∈ OSk+1 − j k (k+1) υ }) L Lại nói hàm Weil L∈J định nghĩa λυ,Lυ,i = log Eυ,i [K : Q] Lấy logarit bất đẳng thức trước dùng (1.9), ta nhận ωυ,i λυ,Lυ,i υ∈S j q ε log size(x) + (k + 1)h(x) + c1 [K : Q] 24 với x = [x0 , , xn ] ∈ Pn (K) − L Ở c2 số độc lập L∈O với x không bị chặn tổng số hữu hạn siêu phẳng ngoại lệ Trong điều kiện hàm xấp xỉ (theo (2.5)) ta có: Hệ 2.13 Cho {L1 , , Lq } dạng tuyến tính (có (k + 1)- biến số) n q > 2n − k + 1) Khi k với hệ số đại số, vị trí tổng quát (1 với ε > tồn tập hữu hạn J siêu phẳng Pk (K) cho ωi m(x, Li ) (k + + ε)h(x) i q với điểm x ∈ Pn (K) − L∈℘ L Chứng minh Thay Lυ,i (x) υ (k + 1) Lυ,i υ max xj j k υ Lj (x) υ (k + 1) Lj υ max xi i k υ chứng minh định lí 2.11 Định lý 2.14 Cho L1 , , Lq dạng tuyến tính (có (k + 1) - biến số) với hệ số đại số, vị trí tổng quát (1 k n Cho ε > tồn tập hữu hạn J siêu phẳng Pk (K) cho m(x, Li ) (2n − k + + ε)h(x) i q với điểm x ∈ Pn (K) − L L∈J 25 2n − k + định lí 2.13 hệ định lí Chứng minh Nếu q thứ h(x) không bị chặn Lúc ta giả sử q > 2n − k + Cho θ = σs−1 số xác định phần (iii) định lí 2.8, cụ thể q − 2n + k − ωj − k − θ= i q Bởi (i) định lí 2.8, θ 2n + Cho ε > bất kì, hệ 2.12 định lí 2.8 dẫn đến tồn tập hữu hạn J siêu phẳng cho (1 − θωi m(x, Li ) + θ m(x, Li ) = i q i q ωi m(x, Li ) i q (1 − θωi )m(x, Li ) + θ(k + + ε )h(x) i q q − θ( ωi − k − − ε )h(x) i q = (q − q + 2n − k + + θε )h(x) (2n − k + + ε)h(x), với x nằm siêu phẳng J Bước cuối rút từ việc chọn ε = ε/(2n + 1) Đến hoàn thành chứng minh định lí 2.13 Chú thích Hiển nhiên kết luận định lí 2.13 phát biểu lại sau: Với ε > tập điểm thỏa mãn m(x, Li ) (2n − k + + ε)h(x) i q bị chứa hợp hữu hạn siêu phẳng 26 2.4 Định lí mở rộng Định lí bên lặp lại thích hợp định lí 2.13 Định lý 2.15 Cho L1 , , Lq siêu phẳng Pn (K), vị trí tổng quát Khi với ε > n, tập điểm Pn (K) thỏa k mãn m(x, Li ) (2n − k + + ε)h(x) i q bị chứa hợp hữu hạn không gian tuyến tính, , có số L∈J chiều k − Đặc biệt, tập điểm Pn (K) − Li cho i q m(x, Li ) (2n + ε)h(x) i q tập hữu hạn điểm Chứng minh Nếu k = n, định lí 2.13 (thực hệ 2.8 thỏa mãn) dẫn đến tập điểm   x ∈ Pn (K)|  m(x, Li ) i q   (n + + ε)h(x)  bị chứa hợp hữu hạn không gian tuyến tính có số chiều n − Định lí kiểm nghiệm trường hợp Nếu k = n − 1, từ q 2n − k + = n + > n + 1, trường hợp trước dẫn đến tập điểm:   x ∈ Pn (K)|  m(x, Li ) i q   (n + + )h(x)  bị chứa hợp không gian tuyến tính T1 , , Tm có số chiều n − Với i (1 i m) siêu phẳng L1 ∩ Ti , , Lq ∩ Ti 27 Ti ∼ = Pn−1 vị trí n - tổng quát Với x ∈ Ti , hàm xấp xỉ m(x, Lj ∩Ti ) (chiều cao hTi (x)) khác từ hàm xấp xỉ m(x, Lj ) (chiều cao h(x)) số phụ thuộc vào x Ti Điều dễ dàng kiểm nghiệm, nhận xét hTi (x) = h(x) m(x, Lj ∩ Ti ) = m(x, Lj ) Ti hệ tọa độ siêu phẳng Mọi siêu phẳng đồ lên hệ tọa độ siêu phẳng không phép biến đổi tuyến tính φ bật tồn số C cho h(φ(x)) − h(x) C với x Nó với hàm xấp xỉ Như vậy, tồn số C cho tập     x ∈ Ti | m(x, Lj ) (n + + ε)h(x)   j q bị chứa tập m(x, Lj ∩ Ti ) + C {x ∈ Ti | (n + + ε)h(x)} (2.21) j q Từ h(x) không bị chặn, chọn ε đủ bé, lấy ε , tập nhỏ chứa m(x, Lj ∩ Ti ) {x ∈ Ti | (n + + )h(x)} (2.22) j q điều kiện h(x) C Mặt khác điểm tập với giới hạn chiều cao chắn bị chứa hợp hữu hạn siêu phẳng Bởi định lí 2.14 với k = n − 1, tập (2.22) chứa hợp số hữu hạn siêu phẳng Như tập (2.21) chứa số hữu hạn siêu phẳng: Ti,1 , , Ti,mi Ti Từ rút   Ti,j ⊃ x ∈ Pn |  i m j mi m(x, Li ) i q 28   (n + + ε)h(x)  Ti,j không gian tuyến tính có số chiều n − Pn Như định lí kiểm nghiệm với k = n − Trường hợp tổng quát k dễ dàng xác minh quy nạp Bổ đề 2.16 Cho D divisor ample đa tạp xạ ảnh V R tập V − D Nếu R tập điểm D - nguyên hàm đếm N (D, x) không bị chặn với x ∈ R Chiều cao, hàm Weil, hàm xấp xỉ hàm đếm xác định với không gian xạ ảnh (tương ứng với siêu phẳng) Các hàm xác định đa tạp xạ ảnh (tương ứng với divisor ample) có hiệu lực nhúng xạ ảnh (theo phần giới thiệu) định lí 2.2 lại có hiệu lực Nếu xj dãy vô hạn điểm nguyên chiều cao h(xj ) không bị chặn j −→ ∞ Bổ đề 2.16 dẫn đến lim sup j−→∞ N (xj ; D) , h(xj ) = điều kiện xj ∈ / S với j Số khuyết dãy xác định δ{xj } (D) = lim inf j−→∞ m(xj ; D) h(xj ) Hệ 2.17 (Vojta) Nếu xj dãy vô hạn điểm nguyên cho xj không bị chứa D với j, số khuyết thỏa mãn δ{xj } (D) = lim inf j−→∞ m(xj ; D) = h(xj ) Định lý 2.18 (Định lí mở rộng) Cho K trường số L1 , , Lq tập hữu hạn siêu phẳng, vị trí tổng quát Pn (K) Li , tập điểm D - nguyên Pn (K) − D bị chứa Cho D = j q hợp hữu hạn không gian xạ ảnh Pn (K) có số chiều k − 29 điều kiện q > 2n − k + 1(1 k n) Đặc biệt, tập điểm D - nguyên Pn (K) - {2n + siêu phẳng vị trí tổng quát } hữu hạn Chứng minh Giả sử ngược lại, tập I điểm D - nguyên không bị chứa hợp hữu hạn không gian xạ ảnh (k − 1) chiều Pn (K) Bởi định lí 2.15, với < ε < 1, tập điểm     x| m(xj , Li ) (2n − k + + )h(x)   i q bị chứa hợp hữu hạn không gian xạ ảnh (k − 1) chiều, L Pn (K) Như tồn dãy hữu hạn điểm nguyên L∈J {xj |1 j < ∞} nằm bên tập L ngoại lệ cho L∈J m(xj , Li ) < (2n − k + + ε)h(xj ) i q với xj Tổng số khuyết dãy vô hạn điểm nguyên đánh giá bới lim inf δ{xj } (Li ) = i q j−→∞ i q m(xj ; Lj ) h(xj ) 2n − k + + ε < 2n − k + 2(∗) Mặt khác, hệ 2.17 dẫn đến δ{xj } (Li ) = q, i q mâu thuẫn với đánh giá (*), q 2n − k + giả thiết Như tập điểm nguyên Pn (K) phải bị chứa hợp hữu hạn (k − 1) không gian xạ ảnh Pn (K) Cuối phát biểu định lí trường hợp đặc biệt k = 30 Tổng quát hơn, xét đa tạp xạ ảnh V với divisor ample D, xác định K, cho L(D) phép nhúng V PN (K) Cụ thể, với sở φ0 , , φN L(D), ánh xạ Φ = [φ0 , , φN ] : V → PN phép nhúng Cho D1 , , Dq divisor trong hệ tuyến tính |D| cho có divisor E = D1 + + Dq đơn giản Với kí hiệu đơn giản, ta đồng V divisor với ảnh PN φ Khi ta có, Hệ 2.19 Cho V đa tạp xạ ảnh, D divisor ample V D1 , , Dq divisor hệ tuyến tính |D| thỏa mãn điều kiện Nếu q > 2N − k + (1 k N N = dimL(D) − 1, tập điểm E - nguyên V − E, E = D1 + + Dq , bị chứa hợp hữu hạn phần giao không gian tuyến tính, số chiều k − P N với V Đặc biệt, q 2N + tập điểm E - nguyên V − E hữu hạn Chứng minh Từ có divisor E = D1 + + Dq đơn giản nhất, nghĩa phép nhúng V PN xác định trên, tồn siêu phẳng H1 , , Hq P N vị trí tổng quát cho Hi ∩ V = Di với i q Ở ta đồng V với ảnh PN phép nhúng Φ Với q 2N − k + định lí rút từ định lí V − E chứa PN − {q siêu phẳng vị trí tổng quát } 31 Kết luận Đặt vấn đề tìm hiểu tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh, luận văn đạt kết sau: • Trình bày số kiến thức sở khái niệm điểm nguyên không gian xạ ảnh • Trình bày địnhị lí không gian Schmidt • Trình bày định nghĩa, số tính chất trọng số Nochka • Trình bày định lí thứ hai với trọng số Nochka • Trình bày tính chấttập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh Những kết đạt luận văn khiêm tốn giúp tác giả có hội tìm hiểu sâu tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh 32 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Lê Giang (2015, Những khía cạnh số học lí thuyết phân bố giá trị, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] Ru and Wong (1991), Integral points of Pn − {2n + hyperplanes in general position }, Ivent Math 106, 195-216 [3] Lang, S (Springer 1983),Fundamentals of Diophantine Geometry, Belin Heidelberg New York 33 ... Ru Pit-Mann Wong " Tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh" Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu kết nghiên cứu Ru Wong " Tập điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh" Phương pháp... hạn không gian xạ ảnh, số chiều k − PN với V Đặc biệt, q 2N + tập điểm E - nguyên V − E hữu hạn Chương Tâp điểm nguyên phần bù siêu phẳng không gian xạ ảnh 2.1 Định lí không gian Schmidt Cho... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ KIM THÚY TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC