Chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HUẾ - NĂM 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn Thiện HUẾ - NĂM 2019 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Trần Nam Sinh ii LỜI CÁM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm PGS.TS Phan Văn Thiện Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đưa hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cám tới GS TSKH Ngô Việt Trung với góp ý, hướng dẫn cho việc trình bày luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, - Bộ môn Khoa học bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Trần Nam Sinh iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Kiến thức sở 11 1.1 Chỉ số quy tập điểm béo 11 1.2 Một số kết cần dùng 15 1.3 Kết luận chương 18 Chỉ số quy tập s điểm béo không nằm (r − 1)phẳng với s ≤ r + 2.1 19 Chỉ số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng với s ≤ r + 20 2.2 Chỉ số quy s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + 23 2.3 Kết luận chương 38 Chặn Segre cho số quy tập s điểm kép Pn với 2n + ≤ s ≤ 2n + 3.1 39 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép cho khơng có n+1 điểm nằm (n−2)-phẳng Pn 40 3.2 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép khơng suy biến khơng có n + điểm nằm (n − 2)-phẳng Pn 54 3.3 Kết luận chương 65 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương [a] Phần nguyên số hữu tỷ a k Trường đóng đại số k Pn := Pnk Khơng gian xạ ảnh n-chiều trường k R := k[x0 , , xn ] Vành đa thức theo biến x0 , , xn trường k Z(T ) Tập không điểm tập T ⊂ R phần tử R I(Y ) Iđêan tập điểm Y ⊂ Pn ℘ Iđêan nguyên tố xác định điểm P ∈ Pn dim B Chiều (Krull) vành B Ann(M ) Annihitor môđun M Md Tổng trực tiếp nhóm Md HM (t) Hàm Hilbert môđun phân bậc M PM (t) Đa thức Hilbert môđun phân bậc M Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Tập điểm béo Z reg(Z) Chỉ số quy Z reg(A) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford vành tọa độ d A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k trường đóng đại số Gọi ℘1 , , ℘s iđêan nguyên tố vành đa thức R := k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dương Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược đồ chiều không xác định iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘sms gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Chú ý iđêan I tập điểm béo tập gồm hàm đại số nội suy tập điểm P1 , , Ps triệt tiêu với số bội m1 , , ms Đề tài tập điểm béo nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Ví dụ giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy đến chưa giải (xem [13]) Trong luận án này, quan tâm đến số quy Castelnuovo-Mumford vành R/I Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định iđêan I, vành tọa độ Z A := R/I Vành A = ⊕t≥0 At vành phân bậc s Cohen-Macaulay 1-chiều có bội e(A) := i=1 mi +n−1 n Hàm Hilbert Z xác định HA (t) := dimk At , tăng chặt đạt số bội e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người quan tâm có nhiều kết Năm 1961, Segre (xem [19]) chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps cho khơng có ba điểm chúng nằm đường thẳng P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, với m1 ≥ · · · ≥ ms m1 + · · · + ms , Cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps P2 Năm 1969, Fulton (xem [12]) đưa chặn cho số quy Z sau: reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − Chặn mở rộng cho tập điểm béo tùy ý Pn Davis Geramita (xem [9]) Họ chứng minh dấu xảy tập điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi vị trí tổng quát khơng có j + điểm P1 , , Ps nằm j -phẳng với j < n Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) mở rộng kết Segre cho tập điểm béo vị trí tổng quát P2 Vào năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) mở rộng kết cho tập điểm béo vị trí tổng quát Pn , họ chứng minh được: reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms + n − n , với m1 ≥ · · · ≥ ms Năm 1996, N.V Trung đưa giả thuyết sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil j +j−2 Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Hiện chặn gọi chặn Segre Giả thuyết có số người làm tốn quan tâm Chúng xin đề cập vài kết gần liên quan đến giả thuyết Chặn Segre chứng minh không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = (xem [22], [23]) cho tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2Ps P4 (xem [24]) Thiện; trường hợp n = 2, n = Fatabbi Lorenzini đưa chứng minh độc lập khác (xem [10], [11]) Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 Pn (xem [2]) Năm 2013, Tú Hùng chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm hầu đồng bội không suy biến Pn (xem [28]) Năm 2016, Ballico, Dumitrescu Postinghel chứng minh chặn Segre cho trường hợp n+3 điểm béo không suy biến Z = m1 P1 +· · ·+mn+3 Pn+3 Pn (xem [4]) Năm 2017, Calussi, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho trường hợp s điểm béo không suy biến Z = mP1 + · · · + mPs Pn với s ≤ 2n − (xem [5]) Cho tập điểm béo tùy ý Pn Năm 2018, Nagel Trok chứng minh giả thuyết N.V Trung chặn Segre (xem [18, Theorem 5.3]) Một vấn đề khác nhiều người quan tâm tính giá trị reg(Z) Tuy nhiên tốn khó hơn, việc tính giá trị reg(Z) đạt cho số tập điểm béo với điều kiện định Nhắc lại với điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps nằm đường thẳng Pn Davis Geramita (xem [9]) chứng minh reg(Z) = m1 + · · · + ms − Một đường cong hữu tỷ chuẩn Pn đường cong có phương trình tham số: x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn , với m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms Năm 1993, Catalisano, Trung Valla cơng thức tính reg(Z) hai trường hợp sau (xem [8]): Nếu s ≥ P1 , , Ps nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn (xem [8, Proposition 7]), s reg(Z) = max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n i=1 Nếu n ≥ 3, ≤ s ≤ n + 2, ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms P1 , , Ps nằm vị trí tổng quát Pn (xem[8, Corollary 8]), reg(Z) = m1 + m2 − Năm 2012, Thiện (xem [25, Theorem 3.4]) tính số quy reg(Z) cho tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil +j−2 j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Tại thời điểm bắt đầu thực đề tài vào năm 2013, tốn tính số quy chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tổng quát tốn mở Mục đích nghiên cứu Năm 2013 bắt đầu thực đề tài "chỉ số quy tập điểm béo khơng gian xạ ảnh" Mục đích chúng tơi nghiên cứu số quy tập điểm béo Chúng tơi cơng thức tính số quy chặn cho số trường hợp cụ thể Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập gồm s điểm béo ví trí tổng quát r-phẳng α Pn với s ≤ r + Chúng đưa công thức sau (xem Định lý 2.1.1): reg(Z) = max T1 , Tr , T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , m1 + · · · + ms + r − Tr = r Nếu m1 = · · · = ms = m, ta gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập s điểm béo đồng bội Trong trường hợp này, chúng tơi tính số quy cho tập s điểm béo đồng bội Z = mP1 + · · · + mPs cho P1 , , Ps không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + 3, m khác sau (xem Định lý 2.2.6): reg(Z) = max Tj j = 1, , n , ... - Tính số quy tập điểm béo khơng gian xạ ảnh Pn - Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ ảnh Pn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu thuộc lĩnh vực Đại số giao... tập điểm béo khơng gian xạ ảnh" Mục đích chúng tơi nghiên cứu số quy tập điểm béo Chúng tơi cơng thức tính số quy chặn cho số trường hợp cụ thể Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập gồm s điểm béo. .. 18 Chỉ số quy tập s điểm béo khơng nằm (r − 1)phẳng với s ≤ r + 2.1 19 Chỉ số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng với s ≤ r + 20 2.2 Chỉ số quy s điểm