Skkn Một số giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

MỤC LỤC THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng giảng dạy môn Toán nội dung Hình học không gian lớp 11cho đối tượng học sinh lớp 11 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 10 năm 2015 đến ngày 25 tháng 04 năm 2015 Tác giả: Họ tên : Lê Thị Hà Năm sinh: 1985 Nơi thường trú: Thôn Ba Trung-Yên Minh-Ý Yên- Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Chức vụ: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Lý Nhân Tông Điện thoại: 0979.054.196 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 100% Đồng tác giả: Không có Đơn vị áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Tên đơn vị: Trường THPT Lý Nhân Tông Địa chỉ: Xã Yên Lợi- Huyện Ý Yên – Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503 963 939 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Nội dung hình học không gian thường xoay quanh ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng Mở đầu nội dung hình học không gian chương II sách giáo khoa hình học lớp 11 ban trình bày “Đại cương đường thẳng mặt phẳng” Mặt khác hầu hết toán hình học không gian liên quan đến hai đối tượng Do học sinh thành thạo giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng không gian góp phần giải nhiều toán hình học không gian khác như: toán tìm giao tuyến, toán tìm thiết diện, toán liên quan đến khoảng khoảng cách, toán phân chia lắp ghép khối đa diện,… Như nội dung toán nội dung sở, nội dung mở đầu hình học không gian, nên đóng vai trò quan trọng hình học không gian Nếu học sinh không thành thạo toán dẫn đến lúng túng học nội dung (chẳng hạn không vẽ hình, không xác định giao tuyến, thiết diện, ) Bài toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng toán khó mảng hình học không gian, học sinh thành thạo toán Trong trình dạy học quan sát học sinh giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng tác giả thấy em mắc phải số khó khăn như: khả tưởng tượng hình không gian chưa tốt, chưa có đường rõ ràng để mặt phẳng phụ chứa đường thẳng cắt mặt phẳng theo giao tuyến đó, chưa biết cách quan sát kiểm tra đường thẳng có thuộc mặt phẳng hay không … Bên cạnh em có tâm lí tránh né câu hình kiểm tra đề thi tập trung Nguyên nhân thực trạng em kiến thức tảng vững hình học không gian, chưa có phương pháp tư phù hợp, khả tư trừu tượng tưởng tượng hình không gian em chưa tốt,… Thêm vào số giáo viên có quan niệm tập trung dạy phần Đại số giải tích mà coi nhẹ phần Hình học Với lí phần Đại số giải tích chiếm nhiều điểm phần Hình học đề thi, cho học sinh khó lấy điểm nội dung Hình học nội dung Đại số giải tích, dẫn đến việc em rèn luyện nội dung Từ điều kiện hoàn cảnh tác giả nảy sinh sáng kiến: “Một số giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng không gian” Với mong muốn giúp em giảm bớt khó khăn bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian Tác giả hy vọng sáng siến kinh nghiệm thân góp phần nhỏ để nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng cho em học sinh nói chung Từ góp phần nhỏ bé nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng tỉnh Nam Định nói chung Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông II Mô tả giải pháp Thực trạng trước tạo sáng kiến d Khi hướng dẫn học sinh giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng (α ) giáo viên thường hướng dẫn học sinh làm theo hai cách: (α ) d' d Cách 1: Tìm đường thẳng cắt I Khi điểm I (α ) d giao điểm Cách 2: Tìm mặt phẳng phụ (β ) chứa d' cắt (α ) theo giao tuyến (α ) d d ∆ Sau tìm giao điểm I Điểm I giao điểm ∆ Trong trình giảng dạy, bên cạnh việc nêu phương pháp giải việc nhận xét,dự đoán khó khăn, sai sót mà học sinh quy trình giải toán việc cần thiết Bản thân tác giả hướng dẫn học sinh giải toán theo hai cách trên, đồng thời tiến hành quan sát trình giải toán học sinh rút nhận xét sau: Ưu điểm giải pháp là: Học sinh dễ hiểu dễ ghi nhớ Cả hai cách quy tìm giao điểm hai đường thẳng mặt phẳng, điều quen thuộc em học hình học phẳng Nhược điểm giải pháp là: Trong cách 1: Học sinh gặp khó khăn tìm phát đường thẳng d' , ngộ nhận thực tế d' không cắt d' d ( tức học sinh đường thẳng d' cắt d ) Trong cách 2: Học sinh gặp khó khăn tìm phát mặt phẳng (β ) Như hướng dẫn học sinh khắc phục số khó khăn giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng cần thiết Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Mô tả giải pháp sau có sáng kiến: 2.1 Nêu vấn đề cần giải quyết: Trong báo cáo sáng kiến, tác giả xin trình bày giải pháp để khắc phục số khó khăn thường gặp học giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng 2.2 Chỉ tính mới: Báo cáo rõ hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục số khó khăn thường gặp giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng là: d' -Học sinh hiểu tìm đường thẳng , tránh ngộ nhận β -Học sinh hiểu tìm mặt phẳng ( ) cách d' cách 2.3 Sự khác biệt giải pháp so với giải pháp cũ: Trong giải pháp cũ học sinh không khó khăn cách khắc phục khó khăn trình giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Còn báo cáo tác giả đưa việc trọng làm rõ hướng dẫn học sinh giải số khó khăn quy trình giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, góp phần giúp em tự tin trình giải toán hình học không gian 2.4 Cách thức thực hiện, bước thực giải pháp cách cụ thể, rõ ràng, điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp 2.4.1: Chuẩn bị kiến thức liên quan *Một số tính chất thừa nhận: − Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt − Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng − Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng − Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có điểm chung khác Từ suy ra: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng Mọi điểm chung hai mặt phẳng nằm giao tuyến hai mặt phẳng *Một số cách xác định mặt phẳng: Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông − Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết qua ba điểm không thẳng hàng − Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết qua điểm chứa đường thẳng không qua điểm − Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết chứa hai đường thẳng cắt − Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết chứa hai đường thẳng song song *Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian: Cho hai đường thẳng trường hợp: a b không gian Khi xảy hai − Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa Ta nói b a song song, b a a b đồng phẳng, có ba khả xảy ra: trùng với b − Trường hợp 2: Không có mặt phẳng chứa a a b và b cắt nhau, Ta nói a a và b chéo *Một số định lí hệ quả: Định lí 1: Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Định lí ( giao tuyến ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lí 4: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng (α ) (α ) d' d với đường thẳng nằm song song với (α ) d song song Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông a (α ) Định lí 5: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng Nếu mặt phẳng (α ) (α ) a b b chứa cắt theo giao tuyến song song với (β ) Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng (α ) Định lí 6: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt (β ) (α ) (β ) song song với mặt phẳng song song với a b , a b , Định lí 7: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với 2.4.2 Nêu, phân tích giải pháp khắc phục số khó khăn mà học sinh thường gặp giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng không gian a) Khó khăn thứ nhất: Học sinh lúng túng với toán cụ thể nên dùng theo cách hay cách Sở dĩ em gặp khó khăn em chưa phân biệt nên làm theo cách nên làm theo cách Để khắc phục khó khăn (α ) giáo viên gợi ý cho em: Hãy quan sát mặt phẳng , có d' d' đường thẳng ta dùng cách ta chuyển sang cách Ở lại đặt vấn đề hướng dẫn em nên quan sát để d' tránh ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh đường thẳng chưa đúng? Tác giả xin nêu giải pháp cho khó khăn sau: Thứ : Giáo viên cần nhấn mạnh hai đặc điểm đường thẳng d’ : d’ nằm (α ) d' d mặt phẳng cắt Thứ hai : Nếu đường thẳng có hai điểm nằm mặt phẳng đường thẳng nằm mặt phẳng Từ HS cần nối hai điểm sẵn có (α ) điểm đặc biêt trung điểm đoạn thẳng ,… mặt phẳng có (α ) số đường thẳng nằm mặt phẳng Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông d' d Thứ ba : cắt tức hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng VD1 : Cho tứ diện ABCD,gọi M,N điểm nằm cạnh AB,AC tứ diện cho MN không song song với BC Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD) Phân tích toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có điểm B,C,D Nối hai điểm ba điểm ta có số đường thẳng sẵn có mặt phẳng (BCD) là: BC,BD,CD Trong ba đường thẳng có BC thuộc mặt phẳng (ABC) với MN, mặt khác theo giả thiết BC MN không song song với nên BC cắt d' MN Vậy BC đường thẳng Lời giải: Trong (ABC) có: MN không song song với BC nên ta gọi MN cắt BC I  I ∈ MN  I ∈ MN ⇒ ⇒ ⇒ I = MN ∩ ( BCD)  I ∈ BC  I ∈ ( BCD) VD2: Cho tứ diện ABCD, gọi K trung điểm AD, G trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm GK mặt phẳng (BCD) A K B G D I M C Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Phân tích toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có điểm B, C, D Nối hai điểm ba điểm ta có số đường thẳng sẵn có mặt phẳng (BCD) là: BC, BD, CD Trong ba đường thẳng đường thẳng đồng phẳng với GK Nhưng theo giả thiết G trọng tâm tam giác ABC nên nghĩ đến điểm đặc biệt trung điểm M BC Nối M với D ta có thêm đường thẳng MD mặt phẳng (BCD) Nhận thấy MD GK thuộc mặt phẳng (AMD) AG AK ≠ d' GM KD GK MD cắt Vậy MD đường thẳng AG AK ≠ GM KD Lời giải: Gọi M trung điểm BC.Trong (AMD) có : nên ta gọi  I ∈ ( BCD)  I ∈ MD ⇒ ⇒ ⇒ I = GK ∩ ( BCD)  I ∈ GK  I ∈ GK MD cắt GK I *Khó khăn thứ hai là: Khi học sinh xác định làm theo cách học sinh lại (β ) gặp khó khăn tìm mặt phẳng , em thường mắc phải lỗi ngộ nhận hình vẽ Biện pháp khắc phục: Giáo viên gợi ý cho học sinh nhớ lại số cách xác định mặt phẳng: - Hai đường thẳng song song cắt xác định mặt phẳng - Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định mặt phẳng - Một điểm đường thẳng không qua xác định mặt phẳng (β ) Từ hướng dẫn học sinh tìm mặt phẳng cách sau: Cách 1: Chúng ta quan sát xem d cắt song song với đường (β ) d' d d' thẳng mặt phẳng chứa mặt phẳng Cách 2: Tìm cặp đường thẳng a b cắt song song (β ) chứa hai điểm đường thẳng d Khi mặt phẳng mặt phẳng chứa a b Cách 3: Chúng ta ý đến hai điểm nằm d chẳng hạn hai điểm A B Sau a quan sát tiếp hai điểm có nằm đường thẳng không (β ) a a (Ví dụ A thuộc ) Khi mặt phẳng mặt phẳng chứa B Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K trung điểm AD, G trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm GK mặt phẳng (BCD) A K P G N D B M I C Phân tích hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Trước hết cần quan tâm xem GK nằm mặt phẳng nào? Cách 1: Quan sát GK song song cắt đường thẳng nào? Dễ thấy GK cắt đường thẳng như: AD, BN,AM,CP -Nếu ta kết hợp GK với AM AD ta có mp (AMD) chứa GK cắt (BCD) theo giao tuyến DM Từ giao điểm MD với GK giao điểm đường thẳng GK với (BCD) -Nếu ta kết hợp GK với CP ta mặt phẳng (CPK) chứa GK chứa PK//BD nên ∆ ∆ cắt (BCD) theo giao tuyến qua C song song với BD cắt GK I I giao điểm GK với mp(BCD) A K P B G D M I C -Nếu ta kết hợp GK với BN ta A mặt phẳng (BNK) chứa GK, chứa ∆ ∆ NK//CD nên cắt (BCD) theo giao tuyến qua B song song với CD cắt GK I I giao điểm GK với mp(BCD) K B G N D M Giáo viên: LêIThị Hà – THPT Lý Nhân Tông 10 C Cách 2: Dựa vào hai đường thẳng song song cắt chứa hai điểm (β ) đường thẳng GK để xác định mặt phẳng Phân tích tìm lời giải: Ta có K trung điểm AD K thuộc đường thẳng AD, G trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc đường trung tuyến AM,BN,CP tam giác ABC Nhưng ba đường AM,BN,CP có đường thẳng AM cắt đường thẳng AD chúng xác định mặt phẳng mặt phẳng (AMD), hai đường thẳng lại không đồng phẳng với đường thẳng AK Vậy GK nằm mặt phẳng (AMD) Mặt phẳng (AMD) chứa đường thẳng DM mặt phẳng (BCD) Tiếp theo xét xem hai đường thẳng GK DM cắt AG AK = ≠1= GM DK không? Do tỉ số nên DM cắt GK I Vậy I giao điểm GK với (BCD) A K P G N D B M I C Lời giải: Gọi M trung điểm BC Xét tam giác AMD có: AG AK = ≠1= GM DK Suy GK không song song với DM 11 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông  I ∈ DM GK ∩ DM = I ⇒   I ∈ GK Gọi  I ∈ ( BCD) ⇒  I ∈ GK ⇒ GK ∩ ( BCD) = I Cách 3: Ta có K trung điểm AD K thuộc đường thẳng AD, G trọng tâm tam giác ABC nên A, G, D không thẳng hàng xác định mặt phẳng (AGD) hay (AMD) chứa GK cắt (BCD) theo giao tuyến MD Từ giao điểm I GK MD giao điểm GK với (BCD) Tương tự thêm mặt phẳng (CPK), (BNK) chứa GK cắt (BCD) theo giao tuyến cách Từ dễ dàng xác định giao điểm đường thẳng GK mặt phẳng (BCD) VD4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tìm giao điểm AC’ với mặt phẳng (BDD’B’) A B D C I A' B' C' D' Phân tích: Cách 1: Tìm mặt phẳng (BDD’B’) đường thẳng cắt đường thẳng AC’ Thật vậy: Trong mặt phẳng (BDD’B’) có BD’ thuộc mặt phẳng (ABC’D’) với đường thẳng AC’ Nên giao điểm I AC đường thẳng BD’ giao điểm AC với (BDD’B’) Lời giải: AC '∩ BD ' = I Trong mặt phẳng (ABC’D’) gọi  I ∈ ( BDD ' B ')  I ∈ BD ' ⇒ ⇒ ⇒ AC '∩ ( BDD ' B ') = I  I ∈ AC '  I ∈ AC ' Cách 2: 12 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Phân tích: Hai điểm A, C’ đường thẳng AC’ nằm hai đường thẳng song song AC A’C’ Do AC’ nằm mặt phẳng (ACC’A’) Mặt phẳng cắt theo giao tuyến OO’ Với O, O’ giao điểm AC với BD A’C’ với B’D’ Vậy giao điểm I AC’ với OO’ giao điểm AC’ mặt phẳng (BDD’B’) A B O D C I A' B' O' D' C' Lời giải: AC ∩ BD = O; A ' C '∩ B ' D ' = O ' ⇒ ( ACC ' A ') ∩ ( BDD ' B ') = OO ' Gọi  I ∈ (BDD ' B ')  I ∈ OO ' AC '∩ OO ' = I ⇒  ⇒ ⇒ AC '∩ ( BDD ' B ') = I  I ∈ AC '  I ∈ AC ' gọi *Chú ý: Nếu quan sát sẵn đường thẳng d' thỏa mãn chúng (α ) d' ta tạo cách kéo dài đường thẳng mặt phẳng (α ) kẻ thêm đường thẳng song song nằm mặt phẳng VD5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M,N,P trung điểm AB,AD,SC Tìm giao điểm mặt phẳng (MNP) với cạnh hình chóp Phân tích hướng học sinh tìm lời giải: Tìm giao điểm đường thẳng SB mp(MNP): 13 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Cách 1: Kéo dài đường thẳng MN mặt phẳng (MNP) MN nằm mặt phẳng (ABCD), MN không song song với BC CD nên MN cắt BC, CD hai điểm J, I Nối PJ, PI ta có thêm hai đường thẳng mặt phẳng (MNP) Đường thẳng PJ SB thuộc mp(SBC) cắt F Khi F giao điểm SB (MNP) Tương tự ta tìm giao điểm E (MNP) SD S P E I C F D N B J M A MN ∩ BC = J ; MN ∩ CD = I Lời giải: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi  J ∈ (MNP)  JP ⊂ (MNP)  J ∈ MN ⇒ ⇒ ⇒  J ∈ BC  J ∈ (SBC )  JP ⊂ ( SBC ) JP ∩ SB = F Trong mặt phẳng (SBC) gọi  F ∈ ( MNP)  F ∈ JP ⇒ ⇒ ⇒ F = SB ∩ (MNP)  F ∈ SB  F ∈ SB Tương tự ta có IP cắt SD I Điểm I giao điểm mặt phẳng (MNP) với SD Các cạnh SC, AB, AD cắt (MNP) điểm P, M, N Các cạnh BC, CD, SA hình chóp không cắt mặt phẳng (MNP) Cách (Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng): Giả sử SB cắt mặt phẳng (MNP) F Khi PF giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SBC) Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (ABCD) cắt theo baSgiao tuyến BC, MN, FP Mà MN BC không song song nên chúng cắt J Do PF qua J Vậy F giao điểm PJ với SB Hoàn toàn tương tự ta có giao điểm E PI với P SD giao điểm SD với mặt phẳng (MNP) E I C F D N J B M Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông A 14 Lời giải: Gọi E, F giao điểm SD,SB với mặt phẳng (MNP) Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (ABCD) có: ( MNP) ∩ ( ABCD) = MN ; ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB; ( MNP) ∩ (SAB) = PF MN ∩ AB = J ⇒ J ∈ PF ⇒ F = PJ ∩ SB Hoàn toàn tương tự ta có giao điểm E đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP) VD5: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N,P điểm nằm cạnh CB, DB, DA cho NP song song với AB Tìm giao điểm mặt phẳng (MNP) với đường thẳng AC Phân tích: Cách 1: Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB, điểm Q thuộc đoạn AC Có AB//NP nên NP//MQ Do M,N,P,Q đồng phẳng hay Q thuộc mặt phẳng (MNP) Vậy Q giao điểm AC với (MNP) D N P B A M Q C Lời giải: Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB,Q thuộc đoạn AC NP / / AB ⇒ NP / / MQ Lại có: 15 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông ⇒ M,N,P,Q đồng phẳng ⇒ Q ∈ ( MNP) ⇒ AC ∩ (MNP ) = Q Cách 2: (Sử dụng hệ định lí giao tuyến ba mặt phẳng): Giả sử AC cắt (MNP) điểm Q Khi MQ giao tuyến mặt phẳng (MNP) (ABC) Xét hai mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (ABC) chứa hai đường thẳng NP AB song song với nhau, giao tuyến MQ song song trùng với AB Mặt khác MQ không trùng với AB nên MQ song song với AB Vậy mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC Q Khi Q giao điểm (MNP) với AC D N P B A M Q C Lời giải: AC ∩ ( MNP) = Q ⇒ (MNP) ∩ ( ABC ) = MQ Gọi Xét ba mặt phẳng (MNP), (ABD),(ABC) có: ( MNP) ∩ ( ABC ) = MQ NP / / AB, NP ⊂ (MNP), AB ⊂ ( ABC ) ⇒ MQ / / AB Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AC Q BÀI TẬP HỌC SINH TỰ HỌC Bài 1: Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền tam giác ACD Gọi I J tương ứng hai điểm cạnh BC BD cho IJ không song song với CD a) Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) (ACD) b) Lấy N điểm thuộc miền tam giác ABD cho JN cắt đoạn AB L Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNJ) (ABC) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I lấy điểm J, K điểm thuộc miền tam giác BCD ACD Gọi L giao điểm JK với mặt phẳng (ABC) a) Hãy xác định điểm L b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IJK) với mặt tứ diện ABCD 16 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD M N tương ứng điểm thuộc cạnh SC BC Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, M’ trung điểm BC, B’C’, K điểm đoạn MM’ Tìm giao điểm đường thẳng A’K với mặt phẳng (ABC) α Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng ( ) có hai cạnh AB CD không α song song Gọi S điểm nằm mặt phẳng ( ) M trung điểm đoạn SC Tìm giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (MAB) Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD Tìm giao điểm CD mặt phẳng (MNP) Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD, cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD a) Tìm giao điểm E MP mặt phẳng (BCD) b) Tìm giao điểm BC với mặt phẳng (MNP) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d d qua A không song song với cạnh hình bình hành, cắt đoạn BC E Gọi C’ điểm cạnh SC Tìm giao điểm M CD mặt phẳng (C’AE) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có AB CD không song song Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mặt phẳng (SBM) b) Tìm giao điểm I đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC) c) Tìm giao điểm P SC với mặt phẳng (ABM) Bài 10: Cho tứ diện ABCD ba điểm P, Q, R lấy ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S AD mặt phẳng (PQR) hai trường hợp: a) PR song song với AC b) PR cắt AC Bài 11: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm đoạn MN Tìm giao điểm A’ đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD) α Bài 12: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Cho ( ) mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng AC BD Tìm giao điểm ( α ) với cạnh tứ diện Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định giao điểm cạnh hình chóp với α mặt phẳng ( ) qua O, song song với AB SC 17 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông α Bài 14: Trong mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD Qua A,B,C,D vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d α song song với không nằm ( ) Trên a, b, c d lấy ba điểm A’,B’,C’ tùy ý Xác định giao điểm D’ đường thẳng với mặt phẳng (A’B’C’) Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, M’ trung điểm cạnh BC B’C’, d giao tuyến hai mặt phẳng (AB’C’) d (BA’C’) Tìm giao điểm G đường thẳng với mặt phẳng (AM’M) chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’ Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Tìm giao điểm G1, G2 AC’ với mặt phẳng (BDA’) (B’D’C) b) Chứng minh G1 G2 chia đoạn AC’ thành ba phần Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M,N,P theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng SA, BC, CD a) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) b) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, tìm giao điểm đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP) Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC a) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) a Bài 19: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB= Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vuông góc với SA a) Tính thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vuông góc a b c với đáy AB= , AD= ,SA= Lấy điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB,SD cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ a Bài 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vuông cạnh , cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF * Điều kiện áp dụng giải pháp: -Về phía học sinh: Yêu cầu học sinh nắm kiến thức đại cương đường thẳng mặt phẳng, nắm cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng, nắm tiên đề tính chất hình học phẳng, nắm số định lí 18 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông quan hệ song song không gian, có niềm yêu thích môn Toán, yêu thích hình học không gian -Về phía giáo viên: Hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh thường xuyên nhắc lại kiến thức lí thuyết cũ có liên quan, kiến thức hình học phẳng mà em biết, đồng thời vừa giới thiệu kiến thức vừa mô hình hóa kiến thức thông qua hình ảnh thực tế phòng học để học sinh dễ dàng chiếm lĩnh trải nghiệm kiến thức Quá trình nghiên cứu đưa kết giải pháp sau: Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế lớp 11A 4, năm học 2014 – 2015 đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định giao điểm cạnh hình chóp với mặt α phẳng ( ) qua O, song song với AB SC Kết kiểm tra : Lớp 11A4 Tỉ lệ Số học sinh làm câu tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng 15/37 40,54% Số học sinh làm không làm câu tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng 22/37 59,46% Sở dĩ đạt kết do: - Thời gian làm quen luyện tập toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng chưa nhiều - Là phần kiến thức nên em chưa hình thành thao tác tư cho dạng toán - Học sinh lớp 11A4 chủ yếu có học lực trung bình - Khi tiếp cận toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng đòi hỏi em phải nắm kiến thức tương giao hình học phẳng, đòi hỏi khả phân tích, tưởng tượng khái quát hóa cao độ - Khả tưởng tượng hình không gian em Rút kinh nghiệm từ kết kiểm tra tập trung suy nghĩ, tìm tòi hoàn thiện sáng kiến : “Một số biện pháp khắc phục khó khăn giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng không gian” giảng dạy lớp 11A3 năm học 2015 – 2016 đạt kết thiết thực sau: Trong đề đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định giao điểm cạnh hình chóp với mặt α phẳng ( ) qua O, song song với AB SC Kết kiểm tra: Số học sinh làm câu Số học sinh làm không làm tìm giao điểm đường câu tìm giao điểm đường 19 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Lớp 11A3 Tỉ lệ thẳng mặt phẳng 24/29 82,75% thẳng mặt phẳng 5/29 17,25% Biểu đồ so sánh kết kiểm tra hai lớp 11A4 lớp 11A3 Như tỉ lệ phần trăm em học sinh làm toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng tăng, tỉ lệ em không làm giảm Hơn sau kì thi kiểm tra học sinh không tránh né với toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, toán hình học không gian nói chung Một số học sinh tỏ thích thú với toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Từ em hoàn toàn tự tin làm chủ toán liên quan tìm thiết diện, tính thể tích, toán có liên quan đến khoảng cách,… 2.5 Nêu rõ khả áp dụng vào thực tế giải pháp mang lại lợi ích thiết thực Từ kết cho thấy sáng kiến hoàn toàn có khả áp dụng vào việc giảng dạy học tập nội dung hình học không gian lớp 11 2.6 Giải pháp áp dụng cho đối tượng, quan, tổ chức không ? Sáng kiến hoàn toàn áp dụng vào việc giảng dạy học tập nội dung hình học không gian tất đối tượng học sinh lớp 11, lớp 12 tất trường THPT khác III Hiệu sáng kiến đem lại: Hiệu kinh tế: Không tính tiền Hiệu mặt xã hội: Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trường THPT, góp phần tạo hứng thú cho học sinh học toán, giúp em yêu thích môn học IV Cam kết không chép vi phạm quyền: ÁP DỤNG SÁNG TôiCƠ xinQUAN cam đoan sang kiến KIẾN suy nghĩ biên soạn, thực Trường THPT Lý Nhân Tông xác nhận nghiệm Tôi xin chịu trách nhiệm trước quan quản lý pháp luật nhà áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tác giả nước lời cam đoan này! Lê Thị Hà thuộc lĩnh vực môn Toán HIỆU TRƯỞNG TÁC GIẢ 20 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2006, Hình học 11, NXB Giáo Dục Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2006, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo Dục Nguyễn Phú Khánh, 2013, Trọng tâm kiến thức phương pháp giải hình học không gian, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Văn Nho,2011, Các dạng toán kì thi tuyển sinh vào đại học nay, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đỗ Thanh Sơn, 1999, Phương pháp giải Toán Hình học không gian 11 , NXB Thành Phố Hồ Chí Minh Nguyễn Bá Kim, 2007, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Trần Đình Thì, 2007, Phân dạng phương pháp giải Hình học 11, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Các diễn đàn Toán học internet: bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net, vnmath.vn, 21 Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông ... diện, ) Bài toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng toán khó mảng hình học không gian, học sinh thành thạo toán Trong trình dạy học quan sát học sinh giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng. .. “MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng giảng dạy môn Toán. .. hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục số khó khăn thường gặp giải toán tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng là: d' -Học sinh hiểu tìm đường thẳng , tránh ngộ nhận β -Học sinh hiểu tìm mặt phẳng (