sáng kiến kinh nghiệm bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian

Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ I PHẦN MỞ ĐẦU 1/Lý chọn đề tài: Bài tập hình học khơng gian nói chung tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song nói riêng nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn THPT, kiến thức liên quan dạng toán thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT đề thi vào trường Đại học, cao đẳng nước Đường thẳng mặt phẳng khái niệm quen thuộc đời sống hàng ngày, chúng đối tượng bản, mở đầu hình học khơng gian, học sinh nghiên cứu chúng Chương II hình học lớp 11 Do tính trừu tượng hình học khơng gian bỡ ngỡ tiếp xúc nên học sinh thường lúng túng, định hướng thiếu tự tin vào thân làm tập phần ,về phần giáo viên củng gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Việc phân loại toán, đưa phương pháp giải phù hợp trường hợp hệ thống ví dụ phong phú giúp học sinh định hướng phương pháp trình giải tập Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận với tập hình học khơng gian, với tích luỹ kinh nghiệm có thân qua nhiều năm giảng dạy; Kết hợp với kiến thức mà tơi lĩnh hội chương trình Đại học Toán đặc biệt động viên, đóng góp ý kiến tận tình đồng nghiệp Tôi mạnh dạn chọn đề tài “Phân dạng hệ thống tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian” Qua đề tài, tơi mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại số dạng tập thường gặp, nêu lên số phương pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc giải tập phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả tư sáng tạo học tập Hy vọng đề tài tài liệu có ích cho đồng nghiệp, học sinh trình giảng dạy học tập 2/Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống kiến thức đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian, trình bày kết qua trình nghiên cứu Giúp em học sinh nắm vững kiến thức vận dụng linh hoạt vào việc giải tập, đồng thời định hướng cho em học sinh suy nghĩ sáng tạo toán Hệ thống ví dụ theo dạng giúp củng cố lý thuyết rèn luyện kỹ giải tập thơng qua nâng cao khả phân tích, định hướng cách giải tập ========================================================== Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ 3/Nhiệm vụ nghiên cứu: Thực đổi phương pháp giảng dạy Toán làm cho học sinh sáng tạo tìm hướng giải cho tốn đưa Lựa chọn ví dụ phù hợp, sau dạy dạng có tập tương tự cho học sinh tự luyện tập nhà Hệ thộng tập đưa xếp từ dễ đến khó 4/Các phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý luận chung • Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học • Nghiên cứu tài liệu, tổng hợp lựa chọn phương pháp giải ví dụ phù hợp • Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm • Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên mơn • Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy 5/Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: • Đường thẳng mặt phẳng khơng gian • Quan hệ song song không gian • Các kiến thức hình học phẳng 6/Đối tượng khảo sát thời gian thực đề tài: Đề tài áp dụng học sinh lớp 11A3, 11A4,11A10 – Trường THPT nơi công tác với đối tượng học sinh học lực trung bình, trung bình Thực học kỳ I năm học 2013-2014 vào luyện tập, tự chọn tăng buổi sau học sinh học xong chương II hình học 11 tương ứng ========================================================== Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ II PHẦN NỘI DUNG 1/ Cơ sở lý khoa học đề tài 1.a) Cơ sở lý luận đề tài 1.a.1 Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất 4: Tồn bốn điểm không thuộc mặt phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Tính chất 6: Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng 1.a.2 Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung b) Các tính chất: Định lý 1: Trong khơng gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Định lý 2(về giao tuyến ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có)cũng song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với 1.a.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng a) Định nghĩa: Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung b) Các tính chất: Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng ( α ) d song song với đường thẳng d ' nằm ( α ) d song song với ( α ) Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( α ) Nếu mặt phẳng ( β ) chứa a cắt ( α ) theo giao tuyến b b song song với a Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chúa đường thẳng song song với đường thẳng 1.a.4 Hai mặt phẳng song song ========================================================== Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung b) Các tính chất: Định lý 1: Nếu mặt phẳng ( α ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a,b song song với mặt phẳng ( β ) ( α ) song song với ( β ) Định lý 2: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) qua d có mặt phẳng song song với ( α ) Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba chúng song song với Hệ 3: Cho điểm A không nằm mặt phẳng ( α ) Mọi đường thẳng qua A song song với ( α ) nằm mặt phẳng qua A song song với ( α ) Định lý 3: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với 1.b) Cơ sở thực tiễn đề tài Trong q trình giảng dạy mình, tơi nhận thấy học sinh thường lúng túng, e ngại học hình học, đặc biệt hình học khơng gian Học sinh khơng vẽ hình biễu diễn vẽ khơng đúng, không tưởng tượng không gian mặt phẳng, không xác định cắt đường thẳng , đường thẳng với mặt phẳng; từ dẫn đến tâm lý buông xuôi, bỏ qua không học 2/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu Sau dạy xong “Bài 1: Đại cương đường thẳng mặt phẳng” chương IIHình học 11 Ban bản, trước dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho học sinh lớp 11A3, 11A4, 11A10 tập nhà cho học sinh với thời gian chuẩn bị tuần Nội dung tập sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M,N,P trung điểm SB,SD,OC a) Tìm giao tuyến (MNP) (SAC) b) Tìm giao điểm SA (MNP) c) Xác định thiết diện hình chóp cắt (MNP) Kết thu sau: Lớp 11A3 11A4 11A10 Tổng số 45 45 44 Điểm trở lên Điểm từ đến Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ 4,5% 2,2 % 0% 10 10 22,2% 17,8% 22,7% Điểm Số Tỷ lệ lượng 33 73,3% 36 80% 34 77,3% ========================================================== Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ Từ kết thu ta thấy tập tương đối dễ, dạng toán thời gian chuẩn bị thoải mái học sinh chưa nắm kỹ giải nên việc thực đề tài cần thiết 3/Nội dung nghiên cứu: 3.1 Dạng 1: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng 3.1.a) Lý thuyết - Tìm điểm chung mặt phẳng - Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến hai mặt phẳng Chú ý : Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng nằm hai mặt phẳng Giao điểm , có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng 3.1.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ : Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S ∉ (α ) a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Giải: a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α), gọi O = AC ∩ BD O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD) ⇒ O điểm chung (SAC) (SBD) Vậy: SO giao tuyến (SAC) (SBD) b.Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α) , AB không song song với CD, Gọi I = AB ∩ CD I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) Nên I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD , M điểm thuộc miền tam giác ABD , N điểm thuộc miền tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC) ========================================================== Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ Giải: a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) A Trong (ABD ) , gọi E = AM ∩ BD • E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN) ⇒ E∈ ( AMN) P M • E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ E∈ ( BCD) Nên E điểm chung mp (AMN) N Q B D (BCD ) E Trong (ACD ) , gọi F = AN ∩ CD • F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN) F ⇒ F∈ ( AMN) • F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD) C ⇒ F∈ ( BCD) Nên F điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Vậy: EF giao tuyến mp( AMN) (BCD ) b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM ∩ AB • P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN) ⇒ P∈ (DMN ) • P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ P∈ (ABC) ⇒ P điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN ∩ AC • Q ∈ DN mà DN ⊂ ( DMN) ⇒ Q∈ ( DMN) • Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC) ⇒ Q∈ ( ABCA) Nên Q điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) (ABC ) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a đường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a mp (A’,a) (SAB) b mp (A’,a) (SAC) Giải: ========================================================== Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian ============================================================ a • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAB) ⇒ A’∈ ( SAB) •A’∈(A’,a) ⇒ A’ điểm chung (A’,a) (SAB ) Trong ( P), ta có a khơng song song với AB, Gọi E = a ∩ AB • E ∈ AB mà AB ⊂ (SAB ) ⇒ E ∈ (SAB ) • E ∈ ( A’,a) ⇒ E điểm chung ( A’,a) (SAB ) Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB) b Xác định giao tuyến mp (A’,a) (SAC) • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAC) ⇒ A’∈ ( SAC) • A’ ∈ ( A’,a) ⇒ A’ điểm chung ( A’,a) (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC, Gọi F = a ∩ AC • F∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ F ∈ (SAC ) • F ∈ ( A’,a) ⇒ F điểm chung ( A’,a) (SAC ) Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) 3.1c) Bài tập tương tự : Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M,N trung điểm SB,SD; P điểm thuộc cạnh Sc cho PCCD) Lấy điểm I,M,K nằm cạnh SA,CD,BC a) Tìm giao tuyến (IMK) với mặt phẳng (SAB) b) Tìm giao tuyến (IMK) với mặt phẳng (SAC) c) Tìm giao tuyến (IMK) với mặt phẳng (SAD) d) Tìm giao điểm SB (IMK) e) Tìm giao điểm IC (SMK) 3.3) Dạng 3: Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 3.3.a) Lý thuyết Thiết diện( hay mặt cắt) hình H cắt mặt phẳng ( α ) phần chung H ( α ) Để xác định thiết diện hình H cắt mặt phẳng ( α ) ta tìm giao tuyến ( α ) với mặt hình chóp từ tìm đoạn giao tuyến kết luận Chú ý: Nếu giao tuyến ( α ) với mặt H nằm hồn tồn phía ngồi hình H ta khơng cần tìm( khơng cần thiết) ========================================================== 10 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian ============================================================ Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q điểm nằm cạnh BC, SC, SD,AD cho MN // BS, NP//CD, MQ // CD a Chứng minh : PQ // SA b Gọi K = MN ∩ PQ , Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC Giải: a Chứng minh : PQ // SA Xét tam giác SCD : S t K Ta có : NP // CD ⇒ NP CN = DS CS Tương tự : ⇒ Tương tự : ⇒ (1) P MN // SB CN CM = (2) CS CB N A D Q MQ // CD CM DQ = (3) CB DA Từ (1) , (2) (3), suy ra: B C M DP DQ = Vậy : PQ // SA DS DA b Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC  BC // AD  BC ⊂ ( SBC )  Ta có :   AD ⊂ ( SAD) S ∈ ( SBC ) ∩ ( SAD) ⇒ giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD) đường thẳng St qua S song song BC AD Mà K ∈ (SBC) ∩ (SAD) ⇒ K ∈ St (cố định ) Vậy : K ∈ St cố định M di động cạnh BC Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’,B’,C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải: a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình S hành : Trong tam giác SAB, ta có : D' A’B’= AB, A’B’//AB Trong tam giác SCD, ta có : C’D’= CD , C’D’//CD A' C' B' D C N ========================================================== M A 19 B Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ Mặt khác AB =CD AB=CD ⇒ A’B’ // C’D’, A’B’ =C’D’ Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện hình thang A’B’MN 3.5.c) Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, có M,N,P,Q trung điểm BC,CD,SB,SD a) CMR: PQ//MN b) Gọi I trọng tâm tam giác ABC, K điểm thuộc cạnh SA cho KS = KA CMR: IK//SM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB, Gọi M,N trung điểm SA,SB a) Chứng minh MN//CD b) Tìm giao điểm P SD (AND) c) AN cắt DP I CMR: SI//AB//CD Tứ giác SABI hình gì? Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SC, N trung điểm OB a) Tìm giao điểm I SD (AMN) b) Tính tỉ số SI ID Bài 4: Cho hình chóp S.ABC Gọi M,N,P trung điểm AB,BC,SC, SB=AC a) Tìm giao điểm E SA (MNP) b) CMR: NP//ME//SB Tứ giác MNPE hình gì? c) Tìm giao tuyến (ANP) (SMC) 3.6) Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 3.6.a) Lý thuyết Bài toán: Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng ( α ) : Phương pháp : Vận dụng định lý: d ⊄ (α )  d // a a ⊂ (α )  ⇒ d //(α ) 3.6.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) ========================================================== 20 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ∆ABC ∆SBC Chứng minh rằng: G1G2 // (SAB) Giải: a Chứng minh MN // (SBC): S Ta có : MN ⊄ ( SBC )  MN // BC  BC ⊂ ( SBC )  ⇒ MN //( SBC ) Q P Tương tự : MN ⊄ ( SAD)  MN // AD  AD ⊂ ( SAD)  A ⇒ MN //( SAD) ⇒ N M b Chứng minh SB // (MNP): Ta có : SB ⊄ ( MNP )  SB // MP MP ⊂ ( MNP )  D B C SB //( MNP ) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD), MN // AD Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN, cắt SD Q ⇒ PQ = (MNP) ∩ (SAD) Xét ∆ SAD , Ta có : PQ // AD P trung điểm SA ⇒ Q trung điểm SD Xét ∆ SCD , Ta có : QN // SC SC ⊄ ( MNP)  SC // NQ  NQ ⊂ ( MNP)  ⇒ SC //( MNP ) S c Chứng minh G1G2 // (SAB) : IG IG Xét ∆ SAI , ta có : = = IA IS G G ⇒ // SA Q P Do : G 1G ⊄ ( SAB)   G 1G // SA SA ⊂ ( SAB)  ⇒ D N G2 G 1G //( SAB) A I G1 M C B ========================================================== 21 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian ============================================================ Ví dụ 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho: AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M′, N′ a) Chứng minh: b) Chứng minh: M’N’//(DEF) c) Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M, N di động Giải: a) Ta có : AD // BC; AF // BE mà AF ∩ AD = A BC ∩ BE = B nên (CBE) // (ADF) b) Vì MM' // AB nên MM' // DC AM AM ' BN AN ' = = ; MC M ' D NF N ' F AM BN = mà ( AC = BF) MC NF AM ' AN ' = ⇒ M ' N '/ / DF nên M 'D N 'F Mà: DF ⊂ (DEF ) nên M’N’//(DEF) ⇒ c) Phần thuận: * Gọi P; Q trung điểm AB; CF Nếu M ≡ A ⇒ N ≡ B nên I ≡ P Nếu M ≡ C ⇒ N ≡ F nên I ≡ Q Vậy quỹ tích I đoạn thẳng PQ Phần đảo: Gọi I ∈ PQ Chứng minh t tồn điểm M; N: M ∈ AC ; N ∈ BF : AM = BN v MN nhận I làm trung điểm Thật vậy: Trong mặt phẳng (CPF) Qua I, dựng đường thẳng song song với FC, cắt PC; PF M1; N1 Qua M1; N1 dựng đường thẳng song song với AB cắt AC; BF M N PN PM PM AM 1 Áp dụng đlí Ta let, ta có : N F = M C M C = MC ; 1 PN1 BN = N1 F NF AM BN AM BN = ⇒ = ⇒ AM = BN (1) MC NF AC BF + Suy : ∆CMM = ∆FNN1 (c-g-c) ⇒ MM = NN1 IM MM Định lí Talet Ta có : IN = NN hay IM = IN (2) Suy : Vậy điểm I thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J trung điểm AB CD Giả sử AB ⊥ CD , mặt phẳng (α) qua điểm M nằm đoạn IJ song song với AB CD ========================================================== 22 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian ============================================================ a Tìm giao tuyến (α) với ( ICD ) (JAB) b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (α) Chứng minh thiết diện hình chữ nhật IJ c Tính diện tích thiết diện hình chữ nhật biết IM = Giải: a Tìm giao tuyến (α) với mặt phẳng ( ICD ): A (α ) // CD  Ta có : CD ⊂ ( ICD) M ∈ (α ) ∩ ( ICD)  G I F ⇒ giao tuyến (α) ( ICD ) đường thẳng qua M song song vớiB CD cắt IC L ID N Tương tự : P (α ) // AB   AB ⊂ ( JAB) M ∈ (α ) ∩ ( JAB)  N M L D H Q E J C ⇒ giao tuyến (α) ( JAB ) đường thẳng qua M song song với AB cắt JA P JB Q b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (α): (α ) // AB  Ta có :  AB ⊂ ( ABC ) ⇒  L ∈ (α ) ∩ ( ABC )  Tương tự : Từ (1) (α ) // AB   AB ⊂ ( ABD) ⇒ HG // AB  N ∈ (α ) ∩ ( ABD)  (2) (1) (2) , suy EF // HG // AB (α ) // CD  Ta có : CD ⊂ ( ACD ) ⇒  P ∈ (α ) ∩ ( ACD)  Tương tự : Từ Từ Mà Từ EF // AB FG // CD (α ) // CD  CD ⊂ ( BCD) ⇒ Q ∈ (α ) ∩ ( BCD)  (3) (4) EH // CD (5) (4) (5) , suy FG // EH // CD (3) (6) , suy EFGH hình bình hành AB ⊥ CD (3) , (6) (*), suy EFGH hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện hình chữ nhật biết IM = (6) (*) IJ ========================================================== 23 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian ============================================================ Ta có : S EFGH = EF FG = PQ.LN Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD Xét tam giác IJD : Ta có : MN // JD Từ (7) (8), suy PQ JM = = AB JI 2ab = Tương tự : Vậy : S EFGH LN IM = = CD IJ ⇒ LN IN = CD ID IN IM = ⇒ ID IJ ⇒ ⇒ LN = (7) (8) CD b = 3 2 PQ = AB = a 3 3.6.c Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Gọi M,N, P trung điểm SB,SO,OD a) CMR: MN//(ABCD); MO//(SCD) b) CMR: NP//(SAD); Tứ giác NPOM hình gì? c) Gọi I điểm thuộc SD cho SD=4ID CMR: PI//(SBC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng (α) qua MN, song song với SA a Tìm giao tuyến (α) với (SAB) (SAC) b Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) c Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Bài 3: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M , cạnh BC lấy điểm N Gọi ( α ) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi I,M trung điểm BC,SC a) CMR: OM//(SAD) b) CMR: OI//(SCD); IM//(SBD) 3.7) Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song 3.7.a) Lý thuyết Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song: a ⊂ (α ), b ⊂ (α )  +) a ∩ b = M a //( β ), b //( β )  ⇒ (α ) //( β ) Thơng thường tính chất áp dụng dạng sau: α a M b β ========================================================== 24 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ a ⊂ (α ), b ⊂ (α ) a ∩ b = M  +) c ⊂ ( β ), d ⊂ ( β ) c ∩ d = N  a // c, b // d a α ⇒ M b (α ) //( β ) c N β d α (α ) //(γ ) ( β ) //(γ ) +)  ⇒ (α ) //( β ) β γ 3.7.b) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải: a Chứng minh : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC SDB : S OM // SC ⇒ (OMN ) //( SBC ) ON // SB Ta có :  b Chứng minh : PQ // (SBC) OP // AD Ta có :   AD // MN ⇒ N OP // MN  PQ ⊂ ( MNO) ⇒ PQ //( SBC )  ( MNO) // (SBC) P A B Q ⇒ M, N, P, O đồng phẳng ⇒ PQ ⊂ (MNO) Mà R M O D C Vậy : PQ // (SBC) b) Chứng minh: PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) MR // AB ⇒ MR // DC  AB // DC Ta có :  Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (1) (2) ========================================================== 25 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ MR // DC OR // SD  Từ (1) (2) , ta MR ⊂ ( MOR) OR ⊂ ( MOR) ⇒ ( MOR) //( SCD )   DC ⊂ ( SCD) SD ⊂ ( SCD ) Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M,N cho: MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M , N Chứng minh : a MN // DE b M N //( DEF ) c ( MNM N1 ) //( DEF ) Giải: a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét ∆ NIB ∼ ∆ NEF Ta có : IB NB = = EF NF ⇒ I trung điểm AB IN = (1) NE Tương tự : Xét ∆ MAI ∼ ∆ MCD Ta có : MA MI = = MC MD IM = (2) MD IM IN = MD NE ⇒ I trung điểm AB Từ (1) (2) , suy Vậy : b ⇒ MN // DE MN // DE M N //( DEF ) : AN IN 1 Ta có : NN1 // AI ⇒ N F = NE = (3) AM IM (3) 1 Tương tự : MM // AI ⇒ M D = MD = (4) AN AM 1 Từ (3) (4) , suy N F = M D = 1 M N // DF   DF ⊂ ( DEF ) Vậy : M N //( DEF ) c ( MNM N1 ) //( DEF ) : Ta : MN // DE Ta có :  M N // DF ⇒ ⇒ M N // DF M N //( DEF ) ⇒ ( MNN M ) //( DEF ) ========================================================== 26 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ Vậy : ( MNM N1 ) //( DEF ) Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB a Chứng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD) b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD Giải: (G1G2 G3 ) //( BCD) a Chứng minh : A Gọi M , N , L trung điểm cạnh BC , CD BD AG1 AG2 AG3 = = = AM AN AL G1G2 // MN ; G2 G3 // NL Ta có : ⇒ ; G3 G1 // LM G1G2 // MN  ⇒ (G1G2 G3 ) //( BCD) G2 G3 // NL  B MN ⊂ ( BCD) , NL ⊂ ( BCD) G3 E G G1 F G2 D L N M Vậy : (G1G2 G3 ) //( BCD) C b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) :  BC //(G1G2 G3 )  Ta có :  BC ⊂ ( BCD) G ∈ (G G G ) ∩ ( ABC )  ⇒ Giao tuyến (G1G2G3) (ABC) đường thẳng qua G1 song song với BC cắt AB AC E F (G1G2 G3 ) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD Tương tự : (G1G2 G3 ) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC Ta có : G1 F // MC EF // BC ⇒ ⇒ Từ (1) (2), ta AG1 AF = = AM AC EF AF = BC AC AG1 EF = = AM BC (1) (2) FG = CD ⇒ EF = BC GE = BD 2 2 ⇒ EF + FG + GE = BC + CD + GE = ( BC + CD + GE ) 3 3 Tương tự : Diện tích thiết diện: S EFG = ( EF + FG + GE ).( EF + FG − GE ).( EF + GE − FG ).( FG + GE − EF ) ========================================================== 27 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ = 4 ( BC + CD + DB).( BC + CD − DB ).( BC + DB − CD ).(CD + DB − BC ) = S BCD 9 S EFG = S BCD Vậy : Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự trung điểm AB , BC I , J , K theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) Giải: Xét tam giác MFC : C (1) D MI MJ = = Ta có : MF MC IJ // FC ⇒ J M N Xét hình bình hành MNEF : Ta có : (2) ⇒ B A E F Từ (1) (2) , ta có:  IJ // FC   IK // FE K I MI NK = = MF NE IK // FE ⇒ ( IJK ) //(CEF ) Vậy : ( IJK ) //(CEF ) 3.7.c) Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi I,M,G,P,Q trung điểm DC,AB,SB,BG,BI a) CMR : (IMG)//(SAD) b) CMR : PQ //(SAD) c) Tìm giao tuyến (SAC) (IMG) d) Tìm giao tuyến (ACG) (SAD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi M trung điểm cạnh bên SA, N trung điểm cạnh bên SC a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( α ) qua M song song với (SBD), mặt phẳng ( β ) qua N song song với (SBD) b) Gọi I,J giao điểm hai mặt phẳng nói với AC CMR : IJ = AC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N,P trung điểm SA,CD,AD a) CMR : (OMN)//(SBC) b) Gọi I điểm MP CMR : OI//(SCD) CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP ========================================================== 28 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song khơng gian ============================================================ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AD, M điểm thuộc cạnh CD, N điểm thuộc cạnh SB a) Kí hiệu (α) mặt phẳng qua MN song song với AB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) b) Ký hiệu ( β ) mặt phẳng qua M song song với BD,SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( β ) Giải: a) Do AB// ( α ) , qua M kẻ đường thẳng song song với Ab cắt AD, Bc K,L Trong (SBC) LN cắt SC P Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA P Thiết diện ngũ giác MPNQK b) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, AD R,I Trong mặt phẳng (SBC) qua R kẻ đường thẳng song song với SC cắt SB T Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng qua M song song với SC cắt SD V Trong mặt phẳng (SAD) IV cắt SA U Ta có : ngũ giác MRTUV thiết diện cần tìm Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I trung điểm cạnh B’C’ a) Chứng minh AB’//(A’IC) b) M điểm thuộc cạnh A’C’, AM cắt A’C P, B’M cắt A’I Q Chứng minh PQ//AB’ Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác A’PQ diện tích tam giác A’CI c) J điểm thuộc cạnh AC : JA=3JC Kí hiệu ( α ) mặt phẳng qua J song song với AB’,IC Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (α) Giải: ========================================================== 29 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ a) Gọi O trung điểm A’C ta có: AB’//IO mà IO ⊂ (A’IC) Do AB’//(A’IC) b) Ta có PQ giao tuyến hai mặt phẳng (AB’M) (A’IC) nên PQ//A’B//IO S ∆A'PQ = A' Q S ∆A'OI ⇔ = A' I Vậy Q trọng tâm tam giác A’B’C’ suy M trung điểm A’C’ c) Do AB’//(A’IC) nên ( α ) mặt phẳng qua J song song với (A’IC) Trong mặt phẳng (ACC’A’) kẻ đường thẳng qua J song song với A’C cắt AA’, A’C’, C’C N,R,S Trong mặt phẳng (BCC’B’), kẻ đường thẳng qua S song song với IC cắt BC,B’C’ K,H Ngũ giác JKHLN thiết diện cần tìm Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’B’ M điểm thay đổi đoạn B’C ( không trùng với hai đầu mút) a) Chứng minh rằng: D’M//(A’BD) b) Xác định giao điểm K AM với (A’B’C’D’) Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định c) N điểm thuộc đoạn AC: AN=2CN Kí hiệu ( α ) mặt phẳng qua N song song với DA’,D’M Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (α) Giải: ========================================================== 30 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng quan hệ song song không gian ============================================================ a) Ta có: (CB’D’)//(A’BD) mà D’M ⊂ (CB’D’) nên D’M//(A’BD) b) Trong mặt phẳng (BCC’B’) kẻ đường thẳng qua M song song với BB’ cắt BC,B’C’ E,H Trong mặt phẳng (AA’HE), AM cắt A’H K Ta có K = AM ∩ ( A' B' C ' D') K điểm chung hai mặt phẳng (ACB’) (A’B’C’D’) nên K thuộc giao tuyến d =(ACB’) ∩ (A’B’C’D’) đường thẳng qua B’ song song với A’C’ c) Ta có : (α ) song song với (CB’D’) (A’BD), qua D vẽ đường thẳng song song với BD mặt phẳng (ABCD) cắt BC,CD,AB,AD P,Q, R,L PQ đoạn giao tuyến ( α ) với (ABCD) Trong mặt phẳng (ABB’A’) đường thẳng qua R song song với BA’ cắt A’B’, BB’ U,V Trong mặt phẳng (ADD’A’) đường thẳng qua L song song với DA’ cắt DD’, D’A’ S,T Ta có lục giác PQSTUV thiết diện cần tìm Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a Trên AB lấy điểm M cho AM = x(0