Ánh xạ chuẩn tắc và tính Hyperbolic

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM DNG TH NH TUYT NH X CHUN TC V TNH HYPERBOLIC LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM DNG TH NH TUYT NH X CHUN TC V TNH HYPERBOLIC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS PHM VIT C THI NGUYấN - 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LI CAM OAN Lun ny l s nghiờn cu c lp ca tụi di s hng dn ca PGS.TS Phm Vit c, cỏc ti liu tham kho lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Dng Th nh Tuyt S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii MC LC Li cam oan .i Mc lc ii Li núi u Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Hm di 1.2 H liờn tc ng u 1.3 Metric vi phõn Roden-Kobayashi 1.4 Ph chnh hỡnh 1.5 Khụng gian phõn th 1.6 Gi khong cỏch Kobayashi 1.7 Khụng gian phc hyperbolic 1.8 Mt s tiờu chun nhn bit tớnh hyperbolic ca khụng gian phc 10 Chng nh x chun tc v tớnh hyperbolic 20 2.1 nh x chun tc 20 2.2 nh x chun tc v tớnh hyperbolic 25 Kt lun 37 Ti liu tham kho 38 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn M U Vo u nhng nm 70, S Kobayashi ó a lớ thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic v tr thnh mt nhng hng nghiờn cu quan trng ca gii tớch phc Trong nhng nm gn õy, lớ thuyt ny ó thu hỳt s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii Vi cỏc kt qu ca S Kobayashi, Zaidenberg, Kwack nhiu ng dng ca h chun tc u ó c s dng nghiờn cu tớnh hyperbolic ca cỏc khụng gian phc c bit vo nhng nm 90 ca th k trc, mt lot cỏc cụng trỡnh ca Joseph v M Kwack ó s dng cỏc cụng c thun tỳy tụ pụ v h chun tc u chng minh v m rng cỏc kt qu quan trng ca gii tớch hyperbolic Mc ớch ca lun ny l trỡnh by chi tit kt qu nm 2003 ca hai tỏc gi trờn v ỏnh x chun tc v ng dng vo nghiờn cu tớnh hyperbolic ca khụng gian phc B cc lun chia lm hai chng Chng Mt s kin thc chun b Ni dung ca chng ny l trỡnh by mt s kin thc c bn ca gii tớch phc hyperbolic ng thi trỡnh by mt s kt qu ca Eastwood, Kobayashi, Eastman v tiờu chun cho tớnh hyperbolic thụng qua cỏc ỏnh x chnh hỡnh Chng nh x chun tc v tớnh hyperbolic õy l ni dung chớnh ca lun Phn u chng trỡnh by v ỏnh x chun tc v mt s tớnh cht ca nú Phn tip theo l m rng, khỏi quỏt cỏc kt qu ca Eastwood, Kobayashi, Eastman, Zaidenberg v Abate ú ly ỏnh x chun tc nghiờn cu tớnh hyperbolic ca cỏc khụng gian phc Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Vit c Em xin by t lũng bit n sõu sc ti thy, ngi ó ch bo v giỳp em rt nhiu quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Nhõn dp ny em cng xin c by t lũng bit n ti cỏc thy, cụ giỏo trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc Vit Nam ó ging dy v giỳp em hon thnh khúa hc ng thi, em xin chõn thnh cm n S Giỏo dc v o to tnh Thỏi Nguyờn, trng THPT Trn Phỳ, gia ỡnh v cỏc bn bố ng nghip ó to iu kin giỳp v mi mt sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2015 Tỏc gi S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn CHNG MT S KIN THC CHUN B 1.1 Hm di [1] Hm na di trờn khụng gian phc X l hm na liờn tc trờn, khụng õm H trờn nún tip xỳc T( X) cho : H(av) = a H(v) , vi aẻ Ê , v, av ẻ T( X) Mt hm di l hm na di m liờn tc v H(v) > vi mi v 0, v ẻ T( X) Ta kớ hiu dH l khong cỏch sinh trờn X bi H Khi ú b dH ( x, y) = inf ũ H ( g '(t ))dt , g a ú g : [a ,b ]đ X l ng cong lp C1 ni x v y Khong cỏch dH sinh mt tụpụ trờn X Nu H, E ln lt l cỏc hm di trờn cỏc khụng gian phc X, Y v f ẻ H( X,Y) Khi ú chun df H ,E ng vi cỏc hm di H, E c nh ngha bi df H ,E = df = sup{df p : p ẻ X}, ú df p H ,E = df p = sup{E(df p (v)) : v ẻ T( X) p , H(v) = 1} 1.2 H liờn tc ng u [1] Gi s F l mt h no ú cỏc ỏnh x t khụng gian tụ pụ X vo khụng gian tụ pụ Y H F c gi l liờn tc ng u t x ẻ X ti y ẻ Y nu vi S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn mi lõn cn U ca im y u tỡm c mt lõn cn V ca x v lõn cn W ca im y cho nu f ( x) ẻ W thỡ f ( V) é U vi mi f ẻ F Nu F l liờn tc ng u vi mi x ẻ X v mi y ẻ Y thỡ F c gi l liờn tc ng u t X n Y 1.3 Metric vi phõn Royden-Kobayashi [1] Gi s X l mt khụng gian phc, D = {z ẻ Ê : z < 1} l a n v %x X gm cỏc vộc t m Ê Gi x l mt im X Nún tip xỳc T cú dng f* (u) , ú u ẻ TD v f ẻ H( D, X) % Khi ú K X : T X đ Ă c nh ngha bi : x % K X (v) = inf { u , u ẻ TD f* (u) = v}, v ẻ T X, x ú u l di ca vộc t tip xỳc u c o bi metric Poincarộ dsD2 = 4dzdz 2 (1- z ) , " z ẻ D ca a n v D v infimum ly vi mi f ẻ H( D, X) v u ẻ TD cho f* (u) = v Nu x l im chớnh quy, thỡ vi mi v ẻ Tx X luụn tn ti vộc t u ẻ TD cho f* (u) = v , ú K X (v) < Ơ Nu x l im kỡ d v nu khụng tn ti u nh trờn thỡ ta t K X (v) = Ơ % X đ Ă xỏc nh nh trờn l mt metric vi phõn Ta gi nh x K X : T x K X l metric vi phõn Royden-Kobayashi trờn khụng gian phc X 1.4 Ph chnh hỡnh [1] nh x chnh hỡnh p : X ' đ X c gi l ph chnh hỡnh nu vi mi x ẻ X , cú lõn cn m U cha x m p - 1(U ) l hp ri rc nhng m Ua S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ca X ' (tc l p - (U ) = UU a , Ua l cỏc m X ' v Ua ầ Ub = ặ aẻ I nu a , b ẻ I ,a b ) tha p Ua : Ua đ U l song chnh hỡnh Khi ú X ' l khụng gian ph, X gi l ỏy ca ph v vi mi x ẻ X , p - 1( x) gi th trờn x ca ph p 1.5 Khụng gian phõn th [1] nh x liờn tc p : E đ X gia cỏc khụng gian Hausdorff c gi l phõn th K -vộc t bc r nu cỏc iu kin sau c tha i Vi mi p ẻ X, Ep := p - 1( p) l K -khụng gian vộc t r chiu ( Ep c gi l th trờn p ) ; ii Vi mi p ẻ X tn ti lõn cn U ca p ẻ X v mt ng phụi h : p - 1(U ) đ U K r thỏa mãn h( Ep ) {p} K r , v h p xỏc nh bi phộp hp thnh hp : Ep ắ hắ đ {p} K r ắ proj ắ đ Kr , l mt ng cu K -khụng gian vộc t (cp (U, h) c gi l mt tm thng húa a phng) i vi mt K -phõn th vộc t p : E đ X , E c gi l khụng gian ton th, X c gi l khụng gian ỏy, v ta thng núi E l mt phõn th vộc t trờn X Ta cũn kớ hiu phõn th vộc t trờn l ( E, p , X) Nu E, X l cỏc khụng gian phc v p l ỏnh x chnh hỡnh, ton ỏnh, v phộp ng phụi h l ỏnh x song chnh hỡnh thỡ phõn th vộc t gi l phõn th chnh hỡnh 1.6 Gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc [1] Vi < r < Ơ ta t Dr = {z ẻ Ê : z < r }, Dr gi l a bỏn kớnh r S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.6.1 Khong cỏch Bergman Poincarộ trờn a n v Xột ỏnh x r D : D D đ Ă + xỏc nh bi: a- b 1- ba r D (a, b) = ln ; " a, b ẻ D a- b 11- ba 1+ Ta cú r D l mt khong cỏch trờn D v gi ú l khong cỏch Bergman Poincarộ trờn a n v 1.6.2 Gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc 1.6.2.1 nh ngha Gi s X l mt khụng gian phc, x v y l hai im tựy ý ca X H( D, X) l tt c cỏc ỏnh x chnh hỡnh t a n v D vo khụng gian phc X c trang b tụpụ compact m Xột dóy cỏc im p0 = x, p1, , pk = y ca X , dóy cỏc im a1, a2 , , ak ca D v dóy cỏc ỏnh x f1, f2 , , fk H( D, X) tha fi (0) = pi- 1, fi (ai ) = pi , " i = 1,2, , k Ta gi mt dõy chuyn chnh hỡnh g ni x vi y l hp : g = {p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk } tha cỏc iu kin trờn n Ta t Lg = r D (0, ) v nh ngha dX ( x, y) = inf Lg ú infimum i= ly theo tt c cỏc dõy chuyn chnh hỡnh g ni x vi y D thy dX tha cỏc tiờn v gi khong cỏch, tc l: i dX ( x, y) 0, " x, y ẻ X ii dX ( x, y) = dX ( y, x), " x, y ẻ X iii dX ( x, z) Ê dX ( x, y) + dX ( y, z), " x, y, z ẻ X S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 25 Mnh sau c chng minh [7] 2.1.9 Mnh Cho X l khụng gian phc v H l hm na di trờn X cho f * ( H ) Ê K D vi mi f ẻ H( D, X) Cho Y l khụng gian phc v F é H( X,Y) Khi ú cỏc phỏt biu sau l tng ng : (1) F l chun tc u (2) F o H( D, X) l liờn tc ng u ca H( D, Y) (3) Tn ti hm di E trờn Y cho df H ,E Ê vi mi f ẻ F Mnh sau c chng minh bi Brody (xem [9], h qu 3.6.8) 2.1.10 Mnh Cho Y l khụng gian phc compact ca khụng gian phc Z Nu Y l hyperbolic thỡ tn ti lõn cn compact tng i U ca Y m l nhỳng hyperbolic Z 2.1.11 nh lớ Cho f : X đ Z l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc vi nh compact tng i Khi ú cỏc phỏt biu sau l tng ng (1) f l chun tc (2) Gi F l hm di trờn Z , ú tn ti c> cho ( f o j )* (c2 F ) Ê dsD2 vớ i " j ẻ H( D, X) Chng minh t df o dj = sup F(df (dj (v))) , v= ú supremum ly trờn tt c cỏc vộc t tip xỳc n v v ẻ TD i vi dsD2 (1) ị (2) Gi s (2) khụng xy ú cú dóy {j S húa bi Trung tõm Hc liu HTN n }é H( D, X) cho http://www.lrc.tnu.edu.vn 26 df o dj Khi ú n > n {f o j n } khụng l compact tng i H( D, Z) v ú f khụng l chun tc iu ny mõu thun vi (1) Vy (2) ỳng (2) ị (1) Xột h Ff = {f o j ; j ẻ H( D, X)} Vỡ f o j l ỏnh x gim khong cỏch t D n Z v vi mi a ẻ D v hp {f (j (a)); j ẻ H( D, X)} l compact tng i ca f ( X) Vy nờn h Ff = {f o j ; j ẻ H( D, X)} l compact tng i H( D, Z) Hay f l chun tc nh lớ c chng minh 2.1.12 H qu Cho f : X đ Z l ỏnh x chun tc, chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc Gi dZ l hm khong cỏch trờn Z sinh bi hm di cF nh lớ 2.1.11 Khi ú f l gim khong cỏch i vi dX v dZ 2.2 nh x chun tc v tớnh hyperbolic Cỏc kt qu sau l tng t cỏc kt qu cỏc nh lớ 1.8.11, 1.8.15 chng ú s dng ỏnh x chun tc nh sau : 2.2.1 nh lớ Cho f : X đ Z l ỏnh x chun tc gia cỏc khụng gian phc vi nh l compact tng i Khi ú X l hyperbolic nu tn ti mt ph m {Va }ca Z cho f - 1(Va ) l hyperbolic Chng minh Gi dZ l hm khong cỏch nh ngha h qu 2.1.12 Ly p ẻ X v f ( p) ẻ Va Chn e > cho e -lõn cn V( f ( p), e) ca f ( p) i vi dZ nm Va Ly U ( p, e) l e -lõn cn ca p i vi dX Theo h qu 2.1.12 ta cú : S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 U ( p, e) é f - 1(V( f ( p), e)) é f - 1( Va ) Vỡ f - 1( Va ) l hyperbolic nờn suy U ( p, e) l hyperbolic Theo mnh 1.8.7 thỡ X l hyperbolic nh lớ c chng minh nh lớ sau c chng minh [9] (xem h qu 5.1.26 trang 250) 2.2.2 nh lớ Cho f : X đ Z l ỏnh x chun tc gia cỏc khụng gian phc vi nh l compact tng i Khi ú X l hyperbolic y nu f l ỏnh x riờng v vi mi z ẻ Z , mi thnh phn liờn thụng ca f - ( z) l hyperbolic nh lớ sau c Zaidenberg chng minh [10] 2.2.3 nh lớ Nu X l khụng gian phc, compact tng i ca khụng gian phc Y , thỡ X l nhỳng hyperbolic Y nu ỏnh x bao hm i : X đ Y l ỏnh x chun tc nh lớ sau m rng kt qu trờn ca Zaidenberg v ch tớnh compact tng i ca X l khụng cn thit ng thi cng l m rng mt kt qu ca Abate [3]: Khụng gian phc X l hyperbolic nu ỏnh x ng nht i : X đ X l ỏnh x chun tc 2.2.4 nh lớ Cho X l khụng gian phc ca khụng gian phc Y Khi ú X l nhỳng hyperbolic Y nu mt hai iu kin sau c tha món: (1) nh x bao hm i ẻ H( X,Y) l ỏnh x chun tc (2) Tn ti ỏnh x chun tc f ẻ H( Z,Y) t khụng gian phc Z cho f ( Z) é X v f : Z đ X l ỏnh x ph Chng minh (1) Theo mnh 2.1.9, ta chn hm di E trờn Y cho dE ( f ( p), f (q)) Ê dX ( p, q) vi p, q ẻ X S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 (2) Ly E l hm di trờn Y cho dE ( f (a), f (b)) Ê dZ (a, b) vi a, b ẻ Z Vi p, q ẻ X v % p ẻ f - 1( p) ta cú: %% dX ( p, q) = inf dZ ( p , q) dE ( p, q) - %ẻ f q ( q) nh lớ c chng minh nh lớ sau l m rng ca nh lớ 1.8.10 i vi ỏnh x chun tc 2.2.5 nh lớ Cho f ẻ H( X,Y) l ỏnh x chun tc gia cỏc khụng gian phc Khi ú X l hyperbolic nu mt cỏc iu kin sau c tha : (1) Vi x, x ' ẻ X, x x ' v f ( x) = f ( x ') , thỡ tn ti lõn cn V ca f ( x) Y cho x v x ' nm cỏc thnh phn khỏc ca f - 1( V) (2) Vi mi x ẻ X cú mt lõn cn U cho f l ng phụi t U lờn m f (U ) (3) Vi mi y ẻ Y thỡ f - ( y) l hu hn Chng minh Theo mnh 2.1.9, ta chn hm di E trờn Y cho dE ( f ( p), f (q)) Ê dX ( p, q) vi p, q ẻ X Vỡ dX l gi khong cỏch v dE l khong cỏch nờn nh lớ c suy t kt qu ca Kobayashi [9] Cỏc h qu sau m rng nh lớ 1.8.9 v cỏc kt qu khỏc ca Kobayashi [9] 2.2.6 H qu Cho p ẻ H( X, Z) l mt spread gia cỏc khụng gian phc Nu p l ỏnh x chun tc thỡ X l hyperbolic 2.2.7 H qu S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 Cho p ẻ H( X, Z) l mt ỏnh x ph gia cỏc khụng gian phc Nu p l chun tc thỡ X l hyperbolic Vi mi im a trờn khụng gian tụpụ ta kớ hiu N (a) l cỏc lõn cn m ca a nh lớ sau l m rng ca cỏc nh lớ 1.8.10, 1.8.11, 1.8.12 chng v nh lớ 2.2.1 2.2.8 nh lớ Cho f ẻ H( X, Z) l ỏnh x chun tc gia cỏc khụng gian phc X v Z Khi ú X l hyperbolic nu mt hai iu kin sau c tha : (1) Tn ti mt ph m {Va } ca Z cho mi thnh phn liờn thụng ca f - 1( Va ) l hyperbolic (2) Vi mi z ẻ Z , mi thnh phn liờn thụng ca f - ( z) l compact hyperbolic Chng minh Ly {f n } l dóy H( D, X) v gi D = D - {a ẻ D : f n (an ) đ Ơ ẻ XƠ vớ i dãy an đ a} Nu D = ặ, dóy f n đ Ơ Ta s ch rng nu aẻ D v mt hai iu kin (1) hoc (2) tha thỡ tn ti W(a) ẻ N (a) v dóy {f nk W( a) } l dóy hn ch ca dóy {f } trờn W(a) m {f n nk W( a) } l compact tng i H(W(a), X) , tc l D l m Gi s aẻ D , ta chn {mn } l dóy ca dóy {f n } cho mn (an ) đ x ẻ X vi mi dóy an đ a Vỡ f o H( D, X) l compact tng i C( D, ZƠ ) , nờn ta cú th gi s f o mn đ h ẻ C( D, ZƠ ) Gi s (1) tha món, ta cú V l mt phn t ph m cho trc, W(a) ẻ N (a) v dóy {f nk W( a ) } l dóy hn ch ca dóy {f } trờn W(a) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN n http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Ta cú th chn cho f o f nk (W(a)) é V Khi ú f nk (W'(a)) é M , ú M l thnh phn liờn thụng ca f - 1( V) tha f nk (ak ) đ x ẻ M Vỡ M l { hyperbolic, nờn dóy f nk ú ta suy {f nk W( a) W( a ) } } l compact tng i C(W(a), M Ơ ) T l compact tng i H(W(a), X) vi W(a) ẻ N (a) no ú Gi s (2) tha món, ly A l thnh phn liờn thụng ca f - 1(h(a)) cha x Theo mnh 2.1.10 ta chn U l lõn cn compact tng i ca A m U l nhỳng hyperbolic X Theo tớnh cht ca gi khong cỏch Kobayashi thỡ dU xỏc nh tụpụ trờn U , ta chn lõn cn compact tng i K é U ca A cho ả K ầ f - 1(h(a)) = ặ Gi s vi mi W(a) ẻ N (a) liminf f nk (Wa ) ầ ( X - K ) ặ Chn mt dóy {f (1) nk }é {f } cho dóy f nk (1) nk (bk ) ẽ K vi mi dóy bk đ a Ly g k l on thng ak bk Khi ú f nk ( g k ) ầả K ặ Ta chn xnk ẻ f (1) nk ( g k ) ầả K Khi ú mt dóy ca dóy {x } hi t n nk im x ' ẻ ả K v f ( x ') f ( x) Chn lõn cn V ca f ( x) cho f ( x ') ẽ V Cui cựng ta c : f o f nk (W'(a)) é V vi W'(a) ẻ N (a) vỡ f o f nk đ h ẻ C( D, ZƠ ) iu ny mõu thun vi lim f ( xnk ) = f ( x ') Suy tn ti W(a) ẻ N (a) cho f nk (Wa ) é K v dóy {f nk W( a) } hi t H(W(a), X) vỡ K l compact tng i v nhỳng hyperbolic X Ta hon thin vic chng minh nh lớ bng cỏch ly { m= Wa : a ẻ D , Wa ẻ N (a),f n Wa } có dãy hội tụ H(Wa , X) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Vỡ D l m D , nờn tn ti mt ph m c {Wi }é m ca D Trc tiờn chn dóy {f (1) n } ca dóy {f n } hi t H (W1, X) Sau ú (1) chn dóy {f (2) n } ca dóy {f n } hi t H (W2 , X) C tip tc nh vy, cỏc dóy m ta thu c l {f (nk ) } l dóy ca dóy {f (nk+ 1) } cho k {f } hi t ( k) n H (UWi , X) Dóy ng chộo {f (kk ) } hi t n ỏnh x i= f ẻ H(D , X) Gi f%ẻ C( D,YƠ ) xỏc nh bi f%(a) = f (a) vi a ẻ D v f%(a) = Ơ nu a ẻ D - D Khi ú {f (kk ) } hi t n f%, tc l H( D, X) l compact tng i C( D, XƠ ) nh lớ c chng minh nh lớ sau a cỏc iu kin cn mt khụng gian phc l taut hay hyperbolic compact 2.2.9 nh lớ Cho f ẻ H( X, Z) l ỏnh x riờng gia cỏc khụng gian phc X v Z cho f o H( D, X) l compact tng i H( D, Z) ẩ {Ơ } ( H( D, Z)) Khi ú X l taut ( hyperbolic compact) nu mt hai iu kin sau tha : (1) Tn ti mt ph m {Va } ca Z cho mi thnh phn liờn thụng ca f - 1( Va ) l hyperbolic (2) Vi mi z ẻ Z thỡ f - ( z) l hyperbolic Chng minh Ly {f n } l dóy H( D, X) v D = D - {a ẻ D : f n (an ) đ Ơ ẻ XƠ vớ i dãy an đ a} Nu D = ặ thỡ dóy f n đ Ơ v nh lớ c chng minh S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Nu D ặ, ta cú th gi s f o f n đ h ẻ H (D, Z) Ta s ch rng D = D Tht vy, ly a ẻ D v L l lõn cn compact tng i ca h(a) Khi ú tn ti W(a) ẻ N (a) cho f o f n (W(a)) é L , t ú suy { } cho {f f n (W(a)) é f - 1( L) Tn ti mt dóy f nj nj } (a) hi t ti im x ẻ f - 1( L) vỡ f - ( L) l compact Do vy aẻ D Vy D é D , hay D= D Gi s aẻ D , ta chn {mn } l dóy ca dóy {f n } cho mn (an ) đ x ẻ X vi mi dóy an đ a Vỡ f o H( D, X) l compact tng i C( D, ZƠ ) , nờn ta cú th gi s f o mn đ h ẻ C( D, ZƠ ) Gi s (1) tha món, ta cú V l mt phn t ph m cho trc, W(a) ẻ N (a) v dóy {f nk W( a ) } l dóy hn ch ca dóy {f n } trờn W(a) Ta cú th chn cho f o f nk (W(a)) é V Khi ú f nk (W'(a)) é M , ú M l thnh phn liờn thụng ca f - 1( V) tha f nk (ak ) đ x ẻ M Vỡ M l { hyperbolic, nờn dóy f nk ú ta suy {f nk W( a) W( a ) } } l compact tng i C(W(a), M Ơ ) T l compact tng i H(W(a), X) vi W(a) ẻ N (a) no ú Gi s (2) tha món, ly A l thnh phn liờn thụng ca f - 1(h(a)) cha x Theo mnh 2.1.10 ta chn U l lõn cn compact tng i ca A m U l nhỳng hyperbolic X Theo tớnh cht ca gi khong cỏch Kobayashi thỡ dU xỏc nh tụpụ trờn U , ta chn lõn cn compact tng i K é U ca A cho ả K ầ f - 1(h(a)) = ặ Gi s vi mi W(a) ẻ N (a) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 liminf f nk (Wa ) ầ ( X - K ) ặ Chn mt dóy {f (1) nk }é {f } cho dóy f nk (1) nk (bk ) ẽ K vi mi dóy bk đ a Ly g k l on thng ak bk Khi ú f nk ( g k ) ầả K ặ Ta chn xnk ẻ f (1) nk ( g k ) ầả K Khi ú mt dóy ca dóy {x } hi t n nk im x ' ẻ ả K v f ( x ') f ( x) Chn lõn cn V ca f ( x) cho f ( x ') ẽ V Cui cựng ta c f o f nk (W'(a)) é V vi W'(a) ẻ N (a) vỡ f o f nk đ h ẻ C( D, ZƠ ) iu ny mõu thun vi lim f ( xnk ) = f ( x ') Suy { tn ti W(a) ẻ N (a) cho f nk (Wa ) é K v dóy f nk W( a ) } hi t H(W(a), X) vỡ K l compact tng i v nhỳng hyperbolic X Ta t : { m= Wa : a ẻ D , Wa ẻ N (a),f n Wa } có dãy hội tụ H(Wa , X) Vỡ D l m D , nờn tn ti mt ph m c {Wi }é m ca D Trc tiờn chn dóy {f (1) n } ca dóy {f n } hi t H (W1, X) Sau ú (1) chn dóy {f (2) n } ca dóy {f n } hi t H (W2 , X) C tip tc nh vy, cỏc dóy m ta thu c l {f (nk ) } l dóy ca dóy {f (nk+ 1) } cho k {f } hi t ( k) n H (UWi , X) Dóy ng chộo {f (kk ) } hi t n ỏnh x i= f ẻ H(D , X) Gi f%ẻ C( D,YƠ ) xỏc nh bi f%(a) = f (a) vi a ẻ D v f%(a) = Ơ nu a ẻ D - D Khi ú {f (kk ) } hi t n f%, tc l H( D, X) l compact tng i C( D, XƠ ) Ta ch X l compact f o H( D, X) l compact tng i H( D, Z) Ly {xn } l mt dóy X v f n ẻ H( D, X) xỏc nh bi S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 f n ( x) = xn Vỡ f o f n l compact tng i H( D, Z) nờn theo tớnh cht { } hi t ti mt im x ẻ ca f ta suy cú dóy xnj X nh lớ c chng minh H qu sau õy l tng quỏt húa ca nh lớ 1.8.14, 1.8.15 chng 2.2.10 H qu Cho f ẻ H( X, Z) l ỏnh x riờng t khụng gian phc X vo khụng gian phc Z m l hyperbolic y (hoc taut) Khi ú X l hyperbolic y (hoc taut) nu mt hai iu kin sau c tha món: (1) Tn ti mt ph m {Va } ca Z cho mi thnh phn liờn thụng ca f - 1( Va ) l hyperbolic (2) Vi mi z ẻ Z thỡ mi thnh phn liờn thụng ca f - ( z) l hyperbolic Chng minh Ta ch cn kim tra iu kin cn Ly {xn } l dóy Cauchy i vi gi khong cỏch dX Vỡ f cú tớnh cht gim khong cỏch vi dX v dZ , nờn dóy {f ( xn )} l dóy Cauchy v hi t ti im p ẻ Z Gi K l lõn cn compact ca p ẻ Z Vi xn ẻ f - 1( K ) Vỡ f - 1( K ) l compact m dóy xn l dóy Cauchy nờn hi t T ú ta cú iu phi chng minh H qu sau l m rng ca nh lớ 2.2.2 2.2.11 H qu Cho f ẻ H( X, Z) l ỏnh x riờng chun tc gia cỏc khụng gian phc X v Z , vi nh l compact tng i Khi ú X l compact v hyperbolic nu mt hai iu kin sau c tha : S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 (1) Tn ti mt ph m {Va } ca Z cho mi thnh phn liờn thụng ca f - 1( Va ) l hyperbolic (2) Vi mi z ẻ Z , mi thnh phn liờn thụng ca f - ( z) l hyperbolic 2.2.12 nh ngha Mt khụng gian phc, compact tng i X ca khụng gian phc Y gi l nhỳng taut Y nu H( D, X) l compact tng i H( D,Y) , tc l vi mi dóy {fn }é H( D, X) cú mt dóy hi t H( D,Y) nh lớ sau tng t nh lớ 2.2.1 nhng i vi cỏc khụng gian phc nhỳng hyperbolic v nhỳng taut 2.2.13 nh lớ Cho X l khụng gian phc ca khụng gian phc Y v f ẻ H( X, Z) l ỏnh x chun tc t X vo khụng gian phc Z vi nh l compact tng i Khi ú X l nhỳng hyperbolic (nhỳng taut) Y nu tn ti mt ph m {Va } ca Z cho f - 1( Va ) l nhỳng hyperbolic (nhỳng taut) Y Chng minh Ly {f n } l dóy H( D, X) é C( D,YƠ ) Khụng mt tớnh tng quỏt gi s f o f n hi t n h ẻ H( D, Z) Ly E = D - {a ẻ D : f n (an ) đ Ơ ẻ YƠ vớ i dãy an đ a} Nu E = ặ thỡ dóy f n đ Ơ Nu E ặ ly a ẻ E v gi V ẻ N (h(a)) cho f - ( V) l nhỳng hyperbolic Y Tn ti dóy {f nk } cho f nk (ak ) đ y ẻ Y vi mi dóy an đ a Tn ti W'(a) ẻ N (a) ca a cho f o f n (W'(a)) é V v S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 ú f n (W '(a)) é f - (V) T ú suy dóy {f nk W '( a) } compact tng i C(W'(a),YƠ ) Vỡ f nk (ak ) đ y ẻ Y , nờn ta cú dóy {f nk W( a) } l compact tng i H(W(a), Y) vi W(a) ẻ N (a) , tc l a ẻ E nu v ch nu mt dóy ca dóy {f n W( a ) } hi t H(W(a), Y) vi W(a) ẻ N (a) Tip theo ta chng minh H( D, X) l compact tng i C( D,YƠ ) bng cỏch t { m= Wa : a ẻ E, Wa ẻ N (a),f n Wa } có dãy hội tụ H(Wa , X) Vỡ E l m D , nờn tn ti mt ph m c {Wi }é m ca E Trc tiờn chn dóy {f (1) n } ca dóy {f n } hi t H (W1, X) Sau ú (1) chn dóy {f (2) n } ca dóy {f n } hi t H (W2 , X) C tip tc nh vy, cỏc dóy m ta thu c l {f (nk ) } l dóy ca dóy {f (nk+ 1) } cho k {f } hi t ( k) n H (UWi , X) Dóy ng chộo {f (kk ) } hi t n ỏnh x i= f ẻ H( E, X) Gi f%ẻ C( D,YƠ ) xỏc nh bi f%(a) = f (a) vi a ẻ D v f%(a) = Ơ nu a ẻ D - E Khi ú {f (kk ) } hi t n f%, tc l H( D, X) l compact tng i C( D, YƠ ) Bõy gi ta s ch rng E = D E ặ v vic chng minh X l nhỳng hyperbolic taut Y c lp lun tng t nh trờn Hin nhiờn E é D Ly a ẻ D v U ẻ N (h(a)) cho f - 1(U ) l nhỳng taut Y Ta chn W(a) ẻ N (a) cho S húa bi Trung tõm Hc liu HTN f o f n (W(a)) é U v http://www.lrc.tnu.edu.vn ú 37 f n (W(a)) é f - 1(U ) T ú suy tn ti W(a) ẻ N (a) cho f n W( a ) cú dóy hi t H(W(a), Y) Vy a ẻ E hay E ẫ D nh lớ c chng minh KT LUN Lun ny nghiờn cu v ỏnh x chun tc v tớnh hyperbolic ca cỏc khụng gian phc qua cỏc ỏnh x chun tc Lun ó t c mt s kt qu chớnh sau : Trỡnh by mt cỏch h thng mt s kin thc c s ca gii tớch phc hyperbolic nh : Hm di, khụng gian phõn th, ph chnh hỡnh, gi khong cỏch Kobayashi, khụng gian phc hyperbolic, khụng gian phc nhỳng hyperbolic, Trỡnh by c mt s kt qu ca Eastwood, Kobayashi, Eastman v tiờu chun cho tớnh hyperbolic i vi ỏnh x chnh hỡnh Trỡnh by c nh ngha v mt s tớnh cht ca ỏnh x chun tc Trỡnh by c mt s kt qu ca Zaidenberg, Kobayashi v tiờu chun cho tớnh hyperbolic i vi ỏnh x chun tc Trỡnh by c mt s ng dng ca ỏnh x chun tc vo tiờu chun cho tớnh hyperbolic ng thi m rng cỏc kt qu núi trờn S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Phm Vit c (2005), M u v lớ thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic Nh xut bn i hc s phm H Ni Ting Anh [2] Abate M (1989), Iteration theory of holomorphic map on Taut Manifolds, Mediterranae Press, Cosenza [3] Abate M (1993), A characterization of hyperbolic Manifolds, Proc Amer Math Soc 177, 789-793 [4] Hayman.W.K (1955), Lectures on functions of a complex valiable, ed by Kaplan, Univ of Mich Press, 199-212 [5] Jarvi P (1988), An extension theorem for normal function in several Variables, Proc A.M.S 103, 1171-1174 [6] Joseph J E and Kwack M H (2003), Normal maps and hyperbolic, Scientiae Mathematicae Japonicae Online, Vol 9, 245-251 [7] Joseph J E and Kwack.M H (2000), A generalization of the Schwars lemma to normal selfmaps of complex spaces, Austral Math Soc (Series A) 68, 10-18 [8] Joseph J E and Kwack M H (1997), Extension and convergence theorems for families of normal maps in several complex variables, Proc A.M.S 125, no 6, 1675-1684 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 [9] Kobayashi S (1998), Hyperbolic complex spaces, Springer, New York Verlag, New York [10] Zaidenberg M G (1992), Shottky-Landau growth estimates for snormal families of holomorphic mappings, Math Ann 293, 123-141 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [...]... hyperbolic y nu X l hyperbolic v y i vi khong cỏch Kobayashi dX , tc l mi dóy c bn i vi khong cỏch dX u hi t 1.7.5.3 Nhn xột i Cỏc a v a a l hyperbolic y ii Tớch hu hn cỏc khụng gian hyperbolic y l mt khụng gian hyperbolic y iii Mt khụng gian con úng ca khụng gian hyperbolic y l khụng gian hyperbolic y iv Tớnh hyperbolic y l mt bt bin song chnh hỡnh v Nu X l hyperbolic v compact thỡ X l hyperbolic y 1.7.6... x, y) = 0 Vy Ê n khụng l hyperbolic 1.7.3 Mt s tớnh cht ca khụng gian phc hyperbolic i Nu X, Y l cỏc khụng gian phc thỡ X Y l khụng gian hyperbolic khi v ch khi c X v Y u l cỏc khụng gian hyperbolic ii Khụng gian con phc ca mt khụng gian hyperbolic l khụng gian hyperbolic iii Gi s X l khụng gian phc, Y l khụng gian hyperbolic v f : X đ Y l ỏnh x chnh hỡnh v l n ỏnh thỡ X cng l hyperbolic 1.7.4 nh lớ... gian con ca khụng gian hyperbolic p - 1 (U ) Theo b 1.8.1 ta suy ra dX ( x, x ') > 0 Vy X l hyperbolic 1.8.3 Tiờu chun Eastwood cho tớnh hyperbolic y Gi s p : X đ Y l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc Gi s Y l hyperbolic y v vi mi im y ẻ Y cú lõn cn U ca y sao cho p - 1(U ) l hyperbolic y thỡ X l hyperbolic y Chng minh Theo tiờu chun Eastwood cho tớnh hyperbolic ta thy X l hyperbolic Ta ch cn... Gi s Y l hyperbolic v vi mi im y ẻ Y cú lõn cn U ca y sao cho p - 1(U ) l hyperbolic thỡ X l hyperbolic Chng minh Ly x, x ' ẻ X, x ạ x ' + Nu p ( x) ạ p ( x ') thỡ t gi thit p l gim khong cỏch ta cú dX ( x, x ') > 0 , do ú X l hyperbolic + Nu p ( x) = p ( x ') = y Theo gi thit cú lõn cn m U ca y m p - 1(U ) l hyperbolic T ú tn ti s> 0 sao cho dY' -cu B( y,2s) é U Mt khỏc, p - 1B( y,2s) l hyperbolic. .. http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 ii Nu X1 l nhỳng hyperbolic trong Y1 v X2 l nhỳng hyperbolic trong Y2 thỡ X1 X2 l nhỳng hyperbolic trong Y1 Y2 iii Nu cú hm khong cỏch r trờn X tha món dX ( x, y) r ( x, y) vi mi x, y ẻ X thỡ X l nhỳng hyperbolic trong Y 1.7.6.3 nh lớ Gi s X l khụng gian con phc ca khụng gian phc Y Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng HI1 X l nhỳng hyperbolic trong Y HI2 X l hyperbolic v {xn },{yn } l cỏc... l hyperbolic v {Ua } l mt ph m ca X , thỡ X l hyperbolic c bit, nu vi mi p ẻ X , tn ti mt s dng d sao cho d -lõn cn U ( p;d) = {q ẻ X; dX ( p, q) < d} l hyperbolic thỡ X l hyperbolic 1.8.8 nh ngha %đ X c gi l spread nu vi mi im nh x chnh hỡnh f : X %, cú lõn cn U% sao cho f % pẻ X % U %đ f (U%) l song chnh hỡnh :U 1.8.9 nh lớ Cho f : X đ Z l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc X v Z Khi ú X l hyperbolic. .. gian phc X v Z Khi ú X l hyperbolic nu Z l hyperbolic v f : X đ Z l ỏnh x hu hn Chng minh Vỡ f : X đ Z l ỏnh x hu hn nờn vi mi z ẻ Z thỡ f - 1 ( z) l tp hu hn Theo (3) trong mnh 1.8.5 ta cú dX ( x, x ') > 0 vi mi x, x ' ẻ X; x ạ x ' Vy X l hyperbolic nh lớ c chng minh 1.8.11 nh lớ Cho f : X đ Z l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc X v Z Khi ú X l hyperbolic nu Z l hyperbolic v cú mt ph m {Va... ph m {Va } ca Z sao cho mi tp f - 1( Va ) l hyperbolic Chng minh Vi mi z ẻ Z , ly d> 0 sao cho V( z, d) é Va vi Va no ú Khi ú theo gi thit f - 1( V( z, d)) l hyperbolic Vi mi p ẻ X ta cú d -lõn cn {q ẻ X; dX ( p, q) < d}é f - 1(V( f ( p); d)) Vỡ f - 1( V( f ( p); d)) l hyperbolic nờn d -lõn cn {q ẻ X; dX ( p, q) < d} hyperbolic Theo mnh 1.8.7 ta suy ra X l hyperbolic nh lớ c chng minh S húa bi Trung... f : X đ Z l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc X v Z Khi ú X l hyperbolic nu Z l hyperbolic v f : X đ Z l mt khụng gian th phc vi th compact hyperbolic Chng minh Gi s ( X, f , Z) l phõn th chnh hỡnh vi th F Theo gi thit ta cú Z v F l hyperbolic Ly p, q ẻ X Nu f ( p) ạ f (q) , thỡ dX ( p, q) dZ ( f ( p), f (q)) > 0, do ú X l hyperbolic Nu f ( p) = f (q) Chn lõn cn U ca f ( p) trong Z sao cho... f - 1( Va ) Vỡ f - 1( Va ) l hyperbolic nờn suy ra U ( p, e) l hyperbolic Theo mnh 1.8.7 thỡ X l hyperbolic nh lớ c chng minh nh lớ sau c chng minh trong [9] (xem h qu 5.1.26 trang 250) 2.2.2 nh lớ Cho f : X đ Z l ỏnh x chun tc gia cỏc khụng gian phc vi nh l compact tng i Khi ú X l hyperbolic y nu f l ỏnh x riờng v vi mi z ẻ Z , mi thnh phn liờn thụng ca f - 1 ( z) l hyperbolic nh lớ sau c Zaidenberg