Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh xạ chuẩn tắc vào không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN MINH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀO KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN MINH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀO KHÔNG GIAN PHỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ TÀI THU HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu Thầy trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Nguyễn Văn Minh ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Lê Tài Thu Trong trình hoàn thành luận văn, kế thừa thành khoa học nhà toán học với trân trọng biết ơn sâu sắc Luận văn không trùng lặp với luận văn, luận án khác Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Nguyễn Văn Minh iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian topo 1.2.1 Một số khái niệm 1.2.2 Tập bị chặn tập compact 1.3 Không gian hyperbolic 10 1.3.1 Không gian phức 10 1.3.2 Không gian hyperbolic 11 1.3.3 k-metric Kobayashi không gian phức 15 1.3.4 Không gian phức nhúng hyperbolic 17 Chương Định lý thác triển hội tụ họ ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức 19 2.1 Một số khái niệm 21 2.2 Định lý thác triển hội tụ 25 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết không gian phức hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỷ 20 hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Một số kết sâu sắc đẹp đẽ lý thuyết chứng minh Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly, Những công trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ hình thành nên chuyên ngành giải tích toán học, giải tích phức hyperbolic Trong năm gần đây, lý thuyết tìm thấy mối liên hệ bất ngờ sâu sắc với lĩnh vực khác toán học, đặc biệt toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức toán tính hữu hạn tập tất ánh xạ phân hình hai lớp không gian phức Theo quan điểm A Weil, S Lang P Vojta, toán sau có liên quan mật thiết với hình học đại số hình học số học Có thể nói giải tích phức hyperbolic lĩnh vực nghiên cứu nằm chỗ giao nhiều môn lớn toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức, Hình học đại số Lý thuyết số Một ứng dụng quan trọng giải tích phức hyperbolic toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Việc mở rộng định lý Picard lớn, định lý thác triển hội tụ Noguchi nhiều nhà toán học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu việc mở rộng định lý Picard lớn, định lý thác triển hội tụ Noguchi, hướng dẫn TS Lê Tài Thu em lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý thác triển hội tụ họ ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu việc mở rộng định lý Picard lớn tổng quát định lý thác triển hội tụ Noguchi Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức không gian mêtric, không gian tô pô không gian hyperbolic Nghiên cứu việc mở rộng định lý Picard lớn tổng quát định lý thác triển hội tụ Noguchi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn vấn sau: Mở rộng định lý Picard lớn cho họ đa tạp phức có divisors với giao chuẩn tắc Tổng quát định lý thác triển hội tụ Noguchi Phạm vi nghiên cứu luận văn không gian phức nhiều chiều Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp hệ thống lại kiến thức có liên quan Giả thuyết khoa học Trình bày cách tổng quan việc mở rộng định lý Picard lớn tổng quát định lý thác triển hội tụ Noguchi Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức không gian mêtric, không gian tô pô không gian hyperbolic nhằm phục vụ cho chương sau luận văn Nội dung trình bày chương chủ yếu đưa vào từ tài liệu (xem [1,2]) 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Một metric X ánh xạ d:X ×X →R tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d (x, y) = ⇔ x = y; 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X; 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Tập hợp X với d không gian metric, ánh xạ d hàm khoảng cách (hay metric) X Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian ấy, số d (x, y) gọi khoảng cách điểm x y Ví dụ 1.1.1 C [a, b] không gian metric với khoảng cách d (x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b Định nghĩa 1.2 Một dãy điểm (xn ) , n = 1, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d (xn , a) = Khi đó, ta ký hiệu n→∞ limxn = a xn → a, n → ∞ n→∞ Nếu dãy {xn } hội tụ tới x dãy {xnk } hội tụ tới x, đồng thời ta có tính chất sau: 1) Nếu xn → x xn → x x = x , nghĩa giới hạn dãy điểm có 2) Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) nghĩa khoảng cách d(x, y) hàm số liên tục x y Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) , n = 1, gọi dãy (hay dãy Cauchy) không gian metric X với ε > cho trước, tồn số n0 cho với n ≥ n0 m ≥ n0 ta có d (xn , xm ) < ε Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Định nghĩa 1.4 Một không gian metric X gọi đầy đủ với dãy X hội tụ đến phần tử X Định nghĩa 1.5 Cho X Y hai không gian metric tùy ý Ánh xạ A : X → Y gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) < δ d (A (x) , A (x0 )) < ε Định lý 1.1 Đối với ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y ba mệnh đề sau tương đương: (i) f liên tục; (ii) Nghịch ảnh tập đóng (trong Y ) tập đóng (trong X); (iii)Nghịch ảnh tập mở (trong Y ) tập mở (trong X) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho F tập đóng Y , f −1 (F ) nghịch ảnh f Nếu xn ∈ f −1 (F ), xn → x0 f (xn ) ∈ F f (xn ) → f (x0 ) giả thiết f liên tục Nhưng F đóng Y nên f (x0 ) ∈ F , x0 ∈ f −1 (F ) chứng tỏ f −1 (F ) đóng X (ii) ⇒ (iii) Cho G tập mở Y , f −1 (G) nghịch ảnh f Vì G mở nên Y \ G đóng Y Vậy có (ii) f −1 (Y \ G) đóng X Nhưng f −1 (Y \ G) = X \ f −1 (G), f −1 (G) mở (iii) ⇒ (i) Cho điểm x0 ∈ X Do (iii) nên nghịch ảnh ε−lân cận f (x0 ) tập W mở X Dĩ nhiên, x0 ∈ W nên theo tính chất tập mở, phải có δ−lân cận x0 nằm trọn W Ảnh δ− lân cận nằm trọn ε−lân cận nói f (x0 ), với x ∈ X : dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε Vì ε tùy ý, điều có nghĩa f liên tục Một tập M không gian metric X gọi bị chặn (giới nội) nằm trọn hình cầu đó, nghĩa có điểm a ∈ X số C > cho ρ(x, a) ≤ C với x ∈ M Định nghĩa 1.6 Một tập M không gian metric X gọi compact dãy {xn } ⊂ M có chứa dãy {xnk } hội tụ tới điểm thuộc M Một tập mà có bao đóng compact gọi tập compact tương đối Định lý 1.2 (Hausdorff) Một tập compact đóng hoàn toàn bị chặn Ngược lại tập đóng hoàn toàn bị chặn không gian metric đủ compact 20 Nếu X0 , Y0 không gian không gian tôpô X, Y F ∈ C(X0 , Y0 ), kí hiệu C[X, Y, F] tập hợp g ∈ C(X, Y ) thác triển tới phần tử F Trong luận văn X0 trù mật X, Y Hausdorff thác triển f ∈ C(X0 , Y0 ) kí hiệu f˜ Nếu X0 , Y0 không gian phức không gian phức X, Y ta viết: H[X, Y + , F] = C[X, Y + , F] Y + không gian phức với Y không gian phức Ngoài ra, H[X, Y + , F] = C[x, y + , F] ∩ H(X, Y ) Cho D∗ = D − {0}, đĩa thủng Kí hiệu A bao đóng tập A không gian tôpô Trong chương đưa nội dung sau: Giả sử M đa tạp phức, A divisor M với giao chuẩn tắc, F ⊂ H(M − A, Y ) chuẩn tắc cho F bao đóng C(M − A, Y + ) Khi (1) Mỗi f ∈ F thác triển tới f ∈ C(M, Y + ) (2) C[M, Y + , F] compact C(M − A, Y + ) (3) Nếu {fn } dãy F fn → f , f˜n → f˜ (4) Nếu M = Dm M − A = (D∗ )m , H[M, Y + , F] chuẩn tắc (5) Với không gian phức X, Y, họ F ⊂ H(X, Y ) chuẩn tắc F ◦ H(D∗ , X) chuẩn tắc (6) Không gian phức X không gian phức Y nhúng hypebol Y tồn hàm khoảng cách d Y cho f ∈ H(D∗ , X) giảm khoảng cách kD∗ d (nghĩa d(f (x), f (y)) ≤ kD∗ (x, y) với f (x, y) ∈ D∗ ) 21 2.1 Một số khái niệm Giả sử X đa tạp phức Giả metric vi phân Kobayashi-Royden X dạng vi phân giả khoảng cách Kobayashi kX kí hiệu KX , KX (p, v) = inf {r > : ϕ(0) = p, (dϕ)0 (re) = v , ϕ ∈ H(D, X)} p ∈ X, v ∈ Tp (X), e vectơ đơn vị ∈ D dϕ ánh xạ tiếp xúc cảm sinh ϕ không gian tiếp xúc D X Gần Kobayashi định nghĩa giả khoảng cách bất biến khác kX,Y X dạng vi phân KX,Y , X đa tạp phức đa tạp phức Y Hàm kX,Y KX,Y xác định giống cách kX KX sử dụng họ FX,Y = f ∈ H(D, Y ) : f −1 (Y − X) hầu hết singleton Nếu không tồn f ∈ FX,Y thỏa mãn f (0) = p (df )0 (re) = v, KX,Y (p, v) xác định ∞ Kobayashi kD∗ ,D = kD chứng minh k(D∗ )m ,Dm = kDm với số nguyên dương m Hàm độ dài đa tạp phức X hàm liên tục với giá trị thực không âm E xác định phân thớ tiếp xúc T (X) thỏa mãn: (1) E(v) = v = 0; (2) E(av) = |a|E(v) với a ∈ C v ∈ T (X) Nếu X đa tạp phức E hàm độ dài X, ta kí hiệu dE hàm khoảng cách tổng quát X E Hàm khoảng cách dE biết để tạo topo X Nếu X đa tạp hypebolic phức Y đa tạp phức với hàm độ dài E, chuẩn |df |E ánh xạ tiếp xúc với f ∈ H(X, Y ) tương ứng E xác định |df |E = sup {|(df )p |E : p ∈ X} 22 |(df )p |E = sup {E((df )p (v)) : KX (p, v) = 1, v ∈ Tp (X)} Chúng ta kí hiệu đơn giản |df | |(df )p | nhầm lẫn nảy sinh) Ánh xạ kéo lùi hàm độ dài E f xác định: f ∗ E(v) = E(df (v)) với v ∈ T (X) Họ F ⊂ C(X, Y ) gọi đồng liên tục với p ∈ X tới q ∈ Y với tập U mở Y quanh q, tồn V, W mở X, Y lân lượt quanh p, q cho: {f ∈ F : f (p) ∈ W } ⊂ {f ∈ F : f (V ) ⊂ U } Nếu F đồng liên tục với p ∈ X tới q ∈ Y , ta nói F đồng liên tục từ X tới Y lưu ý F (x) = {f (x) : f ∈ F } Mệnh đề 2.1 Giả sử X không gian compact địa phương Y không gian quy Khi F ⊂ C(X, Y ) compact tương đối C(X, Y ) (a) F đồng liên tục; (b) F(x) compact tương đối Y với x ∈ X Điều có họ chuẩn tắc ánh xạ chuẩn tắc, nhiên điều ngược lại không Mệnh đề 2.2 Giả sử X, Y không gian phức, F ⊂ H(X, Y ) chuẩn tắc F ◦ H(D, X) compact tương đối C(D, Y + ) Chứng minh Điều kiện cần Được suy từ định nghĩa Điều kiện đủ Nếu F không chuẩn tắc đều, tồn đa tạp phức M cho F ◦ H(M, X) không compact tương đối C(M, Y + ) đó, theo Mệnh đề 2.1 không đồng liên tục, từ tính đồng liên tục tính chất 23 địa phương, ta giả thiết M = {p ∈ C m : ||p|| < 1} với m họ F ◦ H(M, X) không đồng liên tục từ ∈ M tới q ∈ Y + Chọn dãy {fn } F , {pn } M − {0} {ϕn } H(M, X) cho ||pn || → 0, fn ◦ ϕn (0) → q fn ◦ ϕn (pn ) q Lấy λn ∈ H(D, X) xác định λn (z) = ϕn (zpn /||pn ||) Chúng ta thu fn ◦ λn (0) → q fn ◦ λn (||pn ||) q Từ Mệnh đề 2.1, F ◦ H(D, X) không compact tương đối C(D, Y + ), F ◦ H(D, X) không chuẩn tắc Mệnh đề 2.3 Giả sử (Y, σ) không gian metric compact địa phương Giả sử X không gian tôpô ρ giả metric X liên tục X × X Nếu f ∈ F ⊂ C(X, Y ) giảm khoảng cách tương ứng với ρ σ F compact tương đối C(X, Y + ) Không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y với p, q ∈ X, p = q tồn tập V, W mở Y tương ứng p, q cho kX (V ∩ X, W ∩ X) > Ví dụ 2.1.1 Royden đa tạp phức M hypebolic H(D, M ) đồng liên tục Abate M hypebolic H(D, M ) compact tương đối C(D, Y + ) Do H(D, M ) họ chuẩn tắc M hypebolic Ví dụ 2.1.2 Không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y H(D, X) compact tương đối C(D, Y + ), nghĩa H(D, X) họ chuẩn tắc H(D, Y ) Định lý sau tổng quát hóa kết Kiernan trường hợp X compact tương đối Y Với r > 0, kí hiệu Dr = {z ∈ C : |z| < r} Dr∗ = Dr − {0} 24 Định lý 2.1 Giả sử M đa tạp hypebolic Y không gian phức Khi F ⊂ H(M, Y ) chuẩn tắc tồn hàm độ dài E Y cho |df |E ≤ 1, với f ∈ F Chứng minh Điều kiện cần Rõ ràng F ◦H(D, M ) tập đồng liên tục H(D, Y ) Đầu tiên ta với hàm độ dài E Y compact Q ⊂ Y tồn c > cho |df | ≤ c f −1 (Q) với f ∈ F Nếu Q ⊂ Y compact điền kiện ban đầu hàm độ dài E sai, ta chọn dãy {pn } , {fn } , {vn } q ∈ Q cho pn ∈ M , fn ∈ F, ∈ Tpn (M ), fn (pn ) ∈ Q, KM (pn , ) = 1, fn (pn ) → q E((dfn )pn (vn )) > n Ta suy |(dfn )pn | → ∞ ta chọn dãy {ϕn } H(D, M ) thỏa mãn ϕn (0) = pn |(dfn ◦ ϕn )0 | → ∞ Cho V lân cận compact tương đối q nhúng hypebolic Y Từ F ◦ H(D, M ) tập đồng liên tục H(D, Y ), ta chọn < r < cho fn ◦ ϕn (Dr ) ⊂ V ; dãy hạn chế {fn ◦ ϕn } tới Dr , ta gọi {fn ◦ ϕn } chuẩn tắc compact tương đối H(Dr , Y ) Một dãy {fn ◦ ϕn } hội tụ tới h ∈ H(Dr , Y ) điều mâu thuẫn với |(dfn ◦ ϕn )0 | → ∞ Chọn dãy {Vn }, {cn } cho Vn mở compact tương đối ∞ Y, Vn ⊂ Vn+1 , Vn = Y, cn > |df |E ≤ cn f −1 (Vn ) với n=1 f ∈ F Chọn hàm liên tục dương µ Y cho µ(q)cn ≤ Vn Hàm độ dài H Y xác định H(v) = µ(q)E(v) với v ∈ Tq (Y ) thỏa mãn |df |H ≤ với f ∈ F Điều kiện đủ Với f ∈ F ◦ H(D, M ) giảm khoảng cách tương ứng với kD dE suy từ Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.3 Ví dụ 2.1.3 Nếu f ∈ H(D, P1 (C)) ∆ ⊂ D đĩa đóng ∂∆ biên ∆, cho J(f (∆)) L(f (∆)) tương ứng diện tích f (∆) độ dài 25 f (∂∆) Cho h > F(h) = f ∈ H(D, P1 (C)) : J(f (∆)) ≤ hL(f (∆)) với đĩa đóng∆ ⊂ D Hayman F(h) bất biến tương đối so với A(D), nhóm tự đẳng D chuẩn tắc theo nghĩa Montel Họ F(h) chuẩn tắc Ví dụ 2.1.4 Giả sử M đa tạp phức, r > F ⊂ H(M, P1 (C)) họ ánh xạ cho với f ∈ F ba điểm af , bf , cf ∈ P1 (C) − f (M ) thỏa mãn χ(af , bf )χ(bf , cf )χ(cf , af ) ≥ r với χ biểu diễn metric cầu Carathéodory trường hợp F ◦ H(D, M ) chuẩn tắc theo nghĩa Montel Vì F chuẩn tắc 2.2 Định lý thác triển hội tụ Định lý 2.2 Giả sử N đa tạp phức nhúng hypebolic đa tạp phức M Y không gian phức Với F ⊂ H(N, Y ) điều kiện sau tương đương (1) F chuẩn tắc (2) Nếu p ∈ Y {gn } , {zn } dãy F ◦ H(D∗ , N ), D∗ cho zn → gn (zn ) → p với lân cận U p tồn r, < r < 1, thỏa mãn gn (Dr∗ ) ⊂ U (3) Tồn hàm độ dài E Y cho f ∗ E ≤ KN,M với f ∈ F Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ Định lý 2.1 N hypebolic, tồn hàm độ dài E Y cho với f ∈ F ◦ H(D∗ , N ) giảm khoảng cách tương ứng với kD∗ dE Chứng minh (2) lập luận tương tự [5] (1)⇒(2) Định lý [4] (2) ⇒ (3) Ta với compact Q ⊂ Y hàm độ dài E Y , tồn c > cho cE((df )p (v)) ≤ f ∈ F, f (p) ∈ Q, v ∈ Tp (N ) KN,M (p, v) = 26 Giả sử Q ⊂ Y compact điều kiện hàm độ dài E sai Ta chọn q ∈ Q dãy {fn } , {pn } , {vn } cho fn ∈ F, fn (pn ) ∈ Q, ∈ Tpn (N ), E((dfn )pn (vn )) > n, KN,M (pn , ) = fn (pn ) → q Ta chọn dãy {ϕn } FN,M , {rn } thỏa mãn ϕn (0) = pn , (dϕn )0 (rn e) = E((dfn ◦ ϕn )0 (rn e)) > n Giả sử tồn r, < r < 1, cho dãy dãy hạn chế {fn ◦ ϕn } Dr , kí hiệu {fn ◦ ϕn }, thỏa mãn fn ◦ ϕn ∈ F ◦ H(Dr , N ), với r ta suy từ (2) F ◦ H(Dr , N ) đồng liên tục từ fn ◦ ϕn (0) → q ta thấy mâu thuẫn giống chứng minh điều kiện cần Định lý 2.1 Sau cùng, ta chọn dãy {zn } ∈ D∗ cho zn → ϕn (zn ) ∈ M − N dãy {αn } A(D) cho αn (0) = zn , cho hn = ϕn ◦ αn D∗ Khi hn ∈ H(D∗ , N ), fn ◦ hn (αn−1 (0)) → q αn−1 (0) → Cho gn = fn ◦ hn V lân cận q compact tương đối nhúng hypebolic Y Tồn r, < r < 1, cho gn (Dn∗ ) ⊂ V , gn thác triển tới g˜n ∈ H(D, Y ) Theo Định lý [4] tồn dãy {g˜n }, ta kí hiệu {g˜n }, thỏa mãn g˜n → g ∈ H(D, Y ), điều mẫu thuẫn với |(dg˜n )a−1 | = E((dfn ◦ ϕn )0 (e)) n (0) (3)⇒ (1) Điều dễ dàng suy từ Định lý 2.1 từ KN,M ≤ KN N Chúng ta gọi divisor A đa tạp phức M có giao chuẩn tắc điểm A tồn hệ tọa độ phức z1 , z2 , , zm M cho địa phương, M − A = (D∗ )r × Ds với r + s = m Bổ đề 2.1 Giả sử F ⊂ H((D∗ )m , Y ) chuẩn tắc Nếu {wn } , {fn } dãy (D∗ )m , F cho wn → w0 ∈ Dm fn (wn ) → p ∈ Y Khi với lân cận U p, tồn lân cận W w0 Dm cho giới hạn fn (W ∩ (D∗ )m ) ⊂ U Chứng minh Ta chứng minh phép quy nạp m Với m = điều suy từ (2) Định lý 2.2 27 Giả sử điều với số nguyên k không với sô nguyên k + Cho F ⊂ H((D∗ )k+1 , Y ) chuẩn tắc đều, cho {wn } , {wn } dãy (D∗ )k+1 cho cho wn → w0 ∈ Dk+1 , wn → w0 {fn } dãy F cho fn (wn ) → p fn (wn ) p Cho U, V lận cận compact tương đối mở p cho V ⊂ U giả sử fn (wn ) ∈ Y − U Cho wn = (sn , tn ), wn = (sn , tn ) w0 = (s0 , t0 ) sn , sn , s0 ∈ (D∗ )k tn , tn , t0 ∈ D∗ Cho F1 = ϕt ∈ H((D∗ )k , (D∗ )k+1 ) : t ∈ D∗ , ϕt (s) = (s, t) F2 = ψs ∈ H(D∗ , (D∗ )k+1 ) : s ∈ (D∗ )k , ψs (t) = (s, t) Khi F ◦ F1 ⊂ H((D∗ )k , Y ) F ◦ F2 ⊂ H(D∗ , Y ) hai họ chuẩn tắc đều, {fn ◦ ϕtn } dãy F ◦ F1 , sn → s0 fn ◦ ϕtn (sn ) → p Bởi giả thiết quy nạp ta chọn lân cận N1 s0 cho fn ◦ ϕtn (N1 ∩ (D∗ )k ) ⊂ V fn ◦ ϕtn (sn ) ∈ V Tồn dãy {fn ◦ ϕtn (sn )}, gọi {fn ◦ ϕtn (sn )}, cho fn ◦ ϕtn (sn ) → q ∈ V ; fn ◦ ϕtn (sn ) = fn ◦ ψsn (tn ); tn → t0 ta chọn lân cận N2 t0 D cho fn ◦ ψsn (N2 ∩ D∗ ) ⊂ U Cuối fn ◦ ψsn (tn ) ∈ U , điều mâu thuẫn Nếu {An } dãy tập không gian tôpô, ta định nghĩa giới hạn dãy An tập hợp phần từ x không gian có tính chất lân cận x giao với An với n đủ lớn, ta kí hiệu lim sup An Định lý 2.3 Giả sử M đa tạp phức, A divisor M với giao chuẩn tắc, cho F ⊂ H(M − A, Y ) chuẩn tắc cho F đóng C(M − A, Y + ) Khi đó: (1) Mỗi f ∈ F mở rộng tới f˜ ∈ C(M, Y + ) (2) C[M, Y + , F] compact C(M, Y + ) (3) Nếu {fn } dãy F fn → f f˜n → f˜ 28 (4) Với dãy {fn } F tồn dãy {fnk } {fn } cho lim sup fn−1 (P ) ∩ lim sup fn−1 (Q) = ∅ topo M với cặp P, Q k k tập rời Y với P compact Y Q đóng Y (5) Nếu M hypebol KM −A,M = KM H[M, Y + , F] chuẩn tắc Chứng minh Để chứng minh (1) (2), trước hết ta f ∈ F mở rộng tới f˜ ∈ C(M, Y + ) C[M, Y + , F] compact tương đối C(M, Y + ) Từ tính địa phương, ta giả sử M = Dm , F ⊂ H((D∗ )m , Y ), ta f ∈ F mở rộng tới f˜ ∈ C(Dm , Y + ) C[(D)m ), Y + , F] đồng liên tục từ Dm tới Y + Từ Bổ đề 2.1 dẫn đến kết luận (1) ⇒ (2) Định lý Hệ [4] Để kết thúc chứng minh (1), f ∈ F, tồn dãy {fn } F cho fn → f Tồn dãy {fnk } {fn } cho f˜nk → g ∈ C(M, Y + ); g = f˜ nên (1) chứng minh Để chứng minh (2) ta C[M, Y + , F]=C [M, Y + , F] Nếu g ∈ F chọn dãy {fn } F cho fn → g Ta suy f˜n → g˜ với dãy {fn } k k {fn } Mặt khác {fn } dãy F f˜n → g, fn → g M − A Để chứng minh (3) thỏa mãn ta thấy từ (2), dãy f˜n có dãy hội tụ, {f˜nk } dãy hội tụ f˜nk → f˜ Với chứng minh (4) ta thấy từ (2) tồn dãy {fnk } {fn } cho f˜n → g ∈ C(M, Y + ) Nếu P, Q tương ứng compact tương đối k tập đóng Y x ∈ lim sup fn−1 (P ) ∩ lim sup fn−1 (Q), k k f˜nk (x) → g(x) V mở quanh x, fnk (V − A) ∩ P = ∅ fnk (V − A) ∩ Q = ∅ Do g(x) ∈ P ∩ Q Y + Từ P compact Y Q đóng Y , g(x) ∈ P ∩ Q Cuối ta chứng minh (5) Từ Định lý 2.2 (3), cho E hàm độ 29 dài Y cho f ∗ E ≤ KM −A,M với f ∈ F Cho f˜ ∈ H[M, Y + , F] Tồn dãy {fn } F cho fn → f Điều kéo theo f ∗ E ≤ KM −A,M = KM Chú ý 2.2.1 Định lý 2.3 (1), (2) (3) mở rộng kết J.E Joseph and M.H Kwack tới họ chuẩn tắc từ đa tạp phức có divisor với giao chuẩn tắc tới không gian phức Kết [4] tổng quát hóa kết J¨ arvi, Kobayashi, Kwach Kiernan Noguchi Cụ thể ta có hệ sau Hệ 2.1 Giả sử Y không gian phức M , M − A đa tạp hypebolic định nghĩa bốn trường hợp sau: (1)M − A = (D∗ )n−k × Dk M = Dn (2) M − A = (D∗ )n M = Dn (3) A tập giải tích đóng M với chiều nhỏ (4) M n chiều A tập đóng M với độ đo Hausdorff (2n−2) chiều Cho F ⊂ H(M − A, Y + ) chuẩn tắc cho F đóng C(M − A, Y + ) Khi H[M, Y + , F] chuẩn tắc Định lý 2.4 Các phát biểu sau tương đương với không gian phức X, Y ←−−−−−−−−− F ⊂ H(X, Y ), F ◦ H(D∗ , X) đóng C(D∗ , Y + ) (1) F chuẩn tắc (2) F ◦ H(D∗ , Y + ) chuẩn tắc (3) C[D, Y + , F ◦ H(D∗ , X)] compact tương đối C(D, Y + ) (4) Với dãy {fn } F ◦ H(D∗ , X) tồn dãy {fnk } {fn } cho lim sup fn−1 (P )∩lim sup fn−1 (Q) = ∅ topo D với k k cặp tập rời P, Q Y với P compact Y Q đóng Y (5) F thỏa mãn ba điều kiện sau: (a) F ◦ H(D∗ , X) compact tương đối C[D∗ , Y + ] 30 (b) Mỗi f ∈ F ◦ H(D∗ , X) mở rộng tới f˜ ∈ C(D, Y + ) (c) Nếu {fn } dãy F ◦ H(D∗ , X) cho fn → f f˜n → f˜ Chứng minh (1)⇒(2) Suy từ Định lý 2.1(2) (2)⇒(3) Từ (2) Định lý 2.3 H[D, Y + ; F ◦ H(D∗ , X)]∪C[D, Y + , F◦ H(D∗ , X)] ⊂ C[D, Y + ; F ◦ H(D∗ , X)] (3)⇒(1) Từ F ◦ H(D, X) tập đóng tập hợp thác triển (3) (2)⇒(4) Từ (2) (4) Định lý 2.3 (4)⇒(3) Ta C[D, Y + , F ◦H(D∗ , X)] đồng liên tục Nếu điều không ta chọn dãy {fn } F ◦ H(D∗ , X), {vn } , {xn } D∗ , x ∈ D, y ∈ Y tập mở W1 , W2 Y quanh y cho W1 ⊂ W2 , W1 compact, → x, xn → x, fn (vn ) → y fn (xn ) ∈ Y − W2 Với dãy {fnk } {fn } ta có x ∈ lim sup fn−1 (W ) ∩ lim sup fn−1 (Y − W2 ) mặc k k dù W1 ∩ (Y − W2 ) = ∅, nên (4) không thỏa mãn (2)⇒(5) Điều kiện (a) suy từ định nghĩa, điều kiện (b) từ (1) Định lý 2.3 điều kiện (c) từ (3) Định lý 2.3 (5)⇒(3) Cho {fn } dãy F ◦ H(D∗ , X) Bởi điều kiện (a) tồn dãy {fn } {fn } cho fn → f ∈ C(D∗ , Y + ); f˜n , f˜ tồn k k k với k điều kiện (b) f˜nk → f˜ điều kiện (c) Kiernan mở rộng khái niệm nhúng hypebolic cách không gian phức compact tương đối X không gian phức Y nhúng hypebolic Y tồn hàm độ dài E Y cho f ∗ E ≤ KD với f ∈ H(D, X) Định lý 2.5 Giả sử X không gian phức Y Các phát biểu sau tương đương: (1) X nhúng hypebolic Y 31 (2) H(D∗ , X) họ chuẩn tắc H(D∗ , Y ) (3) Tồn hàm độ dài E Y cho f ∈ H(D∗ , X) thỏa mãn f ∗ E ≤ kD (4) Tồn hàm khoảng cách d Y cho với f ∈ H(D∗ , H) giảm khoảng cách tương ứng với kD∗ d Chứng minh (1)⇒ (2) Điều rõ ràng suy từ H(D∗ , X) ◦ H(D, D∗ ) ⊂ H(D, X) H(D∗ , X) họ chuẩn tắc H(D∗ , Y ) (2)⇒(3) Từ D∗ nhúng hypebol D, Định lý 2.2 (3) tồn hàm độ dài E Y thỏa mãn f ∗ E ≤ KD∗ ,D = KD ≤ KD∗ với f ∈ H(D∗ , X) (3)⇒(4) Hàm khoảng cách sinh Y hàm dộ dài E (3) thỏa mãn đòi hỏi (4) (4)⇒(1) Điều suy từ Mệnh đề 2.3, H(D∗ , X) compact tương đối C(D∗ , Y + ) Cho {fn } dãy H(D, X) cho fn → f ∈ C(D∗ , Y + ) D∗ Ta f mở rộng tới f˜ ∈ C(D, Y + ) fn → f˜ D Điều hoàn thành việc chứng minh (4)⇒(1) rõ ràng kết tương ứng Ví dụ 2.1.2 Nếu compact Q ⊂ Y tồn lân cận V D thỏa mãn fn (V ) ∩ Q = ∅, f mở rộng tới f˜ ∈ C(D, Y + ) với f˜(0) = ∞ fn → f˜ D Ngoài ra, chọn dãy {fn }, ta gọi {fn }, dãy {zn } D∗ p ∈ Y cho |zn | ↓ 0, fn (zn ) → p Nếu rn ↓ 0, độ dài hyperbolic σrn = {z ∈ D : |z| = rn } D∗ hội tụ tới 0; kéo theo từ (4) lập luận Grauert Reckziegel tìm [4], fn (0) → p, fn (zn ) → p với dãy {zn } mà zn → Do f mở rộng tới f˜ ∈ C(D, Y + ) f˜(0) = p, fn → f˜ D Chú ý 2.2.2 Giả sử X không gian phức không gian phức Y Kwack’s tổng quát hóa định lý Picard lớn thiết lập f ∈ H(D∗ , X) 32 thác triển tới f˜ ∈ H(D, Y ) (1) tồn hàm khoảng cách d Y cho f giảm khoảng cách tương ứng với kD∗ d, (2) tồn dãy {zn } D∗ p ∈ Y cho zn → f (zn ) → p Ta thu từ (1)⇔ (3) Định lý 2.5 giả thiết tổng quát hóa Kobayashi định lý Kwack’s, với f ∈ H(D∗ , X) thỏa mãn điều kiện (1) (2) Chú ý 2.2.3 (1)⇔(2) Định lý 2.5 thiết lập từ không gian phức X hypebolic H(D∗ , X) họ chuẩn tắc H(D∗ , X) (so sánh với tiêu chuẩn đặc trưng Abate ví dụ 2.1.1) 33 Kết Luận Luận văn trình bày về: Hệ thống kiến thức không gian metric, không gian topo không gian hyperbolic Trình bày cách tổng quan việc mở rộng định lý Picard lớn tổng quát định lý thác triển hội tụ Noguchi Tuy cố gắng thời gian trình độ hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết, tác giả mong nhận góp ý quý báu Quý Thầy Cô bạn để thân tác luận văn hoàn thiện hơn! 34 Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức Hyperbolic, NXB Đại học sư phạm [2] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh [3] J.E Joseph, M.H Kwack (1997), Extension and convergence theorems for families of normal maps in several complex variables, Vol 125, No6, June 1997, p 1675-1684 [4] J.E Joseph, M.H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, Jour Ggeom Analysis 4, p361378 [5] J.E Joseph, M.H Kwack (1972), Extensions of holomorphic maps, Trans Amer Math Soc 172 p347-355