Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)

Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Vilaisavanh LEUANGLITH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Vilaisavanh LEUANGLITH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Luận văn nghiên cứu độc lập hướng dẫn PGS.TS Phạm Việt Đức, tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Vilaisavanh LEUANGLITH ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Trong trình làm luận văn, em nhận hướng dẫn tận tình PGS TS Phạm Việt Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ln bảo tận tình, hướng dẫn giúp đỡ em để em hồn thành luận văn Đồng thời em xin phép gửi tới thầy cô giáo khoa Sau đại học khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn chân thành quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt luận văn Xin cảm ơn bạn học viên lớp cao học toán K21 ln động viên, chia sẻ khó khăn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Cuối cùng, xin cảm ơn tới người thân gia đình ln động viên, quan tâm giúp đỡ tơi q trình học tập Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy để luận văn hồn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Vilaisavanh LEUANGLITH iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi 1.3 Hàm độ dài khoảng cách sinh hàm độ dài 1.4 Metric vi phân Kobayashi 1.5 Không gian phức hyperbolic 1.6 Không gian phức nhúng hyperbolic 1.7 Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi ánh xạ chỉnh hình 10 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC 16 2.1 Ánh xạ chuẩn tắc số tính chất 16 2.2 Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi ánh xạ chuẩn tắc 20 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Một kết quan trọng giải tích phức hyperbolic định lý thác triển hội tụ Noguchi phát biểu sau: ‘‘Cho X không gian phức, compact tương đối nhúng hyperbolic không gian phức Y M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc M Giả sử fn : M \ A X dãy ánh xạ chỉnh hình, hội tụ tập compact M A tới ánh xạ chỉnh hình f :M \ A X Giả sử fn , f tương ứng thác triển chỉnh hình fn , f từ M vào Y Khi fn f H( M, Y ) ’’ Đã có nhiều nhà tốn học quan tâm, nghiên cứu mở rộng định lý thác triển hội tụ định lý Noguchi lên trường hợp khác Mục đích đề tài trình bày chi tiết kết J E Joseph M H Kwach năm 1997 mở rộng định lí thác triển hội tụ Noguchi họ ánh xạ chuẩn tắc Bố cục luận văn chia làm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức hyperbolic Đồng thời, trình bày số kết định lí thác triển hội tụ Noguchi ánh xạ chỉnh hình Chương 2: Định lí thác triển hội tụ họ ánh xạ chuẩn tắc Đây nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày ánh xạ chuẩn tắc số tính chất Phần số định lí thác triển hội tụ họ ánh xạ chuẩn tắc CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.1.1 Khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị Giả sử D Xét ánh xạ D z đĩa đơn vị mở ,z xác định bởi: : D D D (a, b) ln Ta có D a b ba ; a, b a b ba D khoảng cách D gọi khoảng cách Bergman – Poincaré đĩa đơn vị 1.1.2 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý X H( D, X ) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian phức X trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0 x, p1 , , pk y X , dãy điểm a1 , a2 , , ak D dãy ánh xạ f1 , f2 , , fk H( D, X ) thỏa mãn fi (0) pi , fi (ai ) Ta gọi dây chuyền chỉnh hình pi , i 1,2, , k nối x với y tập hợp : p0 , , pk , a1 , , ak , f1 , , fk thỏa mãn điều kiện n Ta đặt L D (0, ) định nghĩa dX ( x, y) inf L i infimum lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình nối x với y Dễ thấy d X thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách, tức là: i) dX ( x, y) 0, x, y X ii) dX ( x, y) dX ( y, x ), x, y iii) dX ( x, z) d X ( x, y) X dX ( y, z), x, y, z X Nói cách khác d X giả khoảng cách X Giả khoảng cách d X gọi giả khoảng cách Kobayashi khơng gian phức X 1.1.2.2 Tính chất Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau d X : i) dD D dDn (( zi ),(w j )) ii) Nếu f : X Y dX ( p, q) max ( zi , w j ) với ( zi ),(w j ) j 1,n Dn Y ánh xạ chỉnh hình không gian phức X dY ( f ( p), f (q)), p, q Từ suy f : X dX ( p, q) X Y song chỉnh hình thì: dY ( f ( p), f (q)), p, q X iii) Đối với không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách d X lien tục X X iv) Nếu X Y khơng gian phức với x1, x2 y1, y2 X Y ta có: max dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 ) dX Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) 1.2 Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi 1.2.1 Định nghĩa Giả sử Y không gian phức X không gian phức compact tương đối Y Đặt FX ,Y f H D, Y f (Y \ X ) gồm có nhiều điểm Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối d X ,Y X tương tự giả khoảng cách Kobayashi dY Y , dùng dây chuyền chỉnh hình thuộc FX ,Y Cụ thể, xét dãy điểm p0 p, p1, , pk q X , dãy điểm a1, a2 , , ak D dãy ánh xạ f1, , fk FX ,Y thỏa mãn fi (0) Tập hợp pi 1, fi (ai ) pi , i 1, , k p0 , , pk , a1, , ak , f1, , fk thỏa mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình nối p q X Ta định nghĩa k dX ,Y ( p, q) inf D (0, ), p ,q , i p ,q tập hợp tất chuyền chỉnh hình nối p q X Khi dX ,Y : X X R giả khoảng cách X gọi giả khoảng cách tương đối Kobayashi Nếu p q nằm biên X , dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm khơng tồn Trong trường hợp ta định nghĩa dX ,Y ( p, q) 1.2.2 Một số tính chất giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi 1.2.2.1 Giả khoảng cách tương đối Kobayashi d X ,Y mở rộng giả khoảng cách Kobayashi d X theo nghĩa dX 1.2.2.2 Vì H( D, X ) FX ,Y dX , X H( D, Y ) , ta có dY 1.2.2.3 dD , D dX ,Y dX dD Thật vậy, bất đẳng thức dD , D Dùng ánh xạ đồng IdD dD trường hợp đặc biệt tính chất FD ,D dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm D ta nhận bất đẳng thức ngược lại 1.2.2.4 Tính chất giảm khoảng cách Giả sử X , X ' tương ứng không gian phức compact tương đối không gian phức Y , Y ' Nếu f : Y mãn f ( X ) Y ' ánh xạ chỉnh hình thỏa X ' , dX ',Y ' ( f ( p), f (q)) dX ,Y ( p, q) X p, q Hơn nữa, d X ,Y khoảng cách lớn X giả khoảng cách có tính chất giảm qua ánh xạ chỉnh hình f FX ,Y Tức là, X giả khoảng cách X thỏa mãn X ( f (a), f (b)) dD (a, b) với a, b D f FX ,Y , X ( p, q) dX ,Y ( p, q) với p, q X 1.2.2.5 Định lí Giả sử X dX Y X ' X ',Y Y ' Y ' Khi với p, q X p ', q ' Y ' ta có max dX ,Y ( p, q), dX ',Y ' ( p ', q ') (( p, p '),(q, q ')) 1.2.2.6 Hệ dD k Dn k , Dn dDn 1.2.2.7 Mệnh đề Giả sử X Y Khi (i) d X ,Y liên tục X X nửa liên tục X X (ii) Nếu X phần bù tập giải tích đóng A Y d X ,Y liên tục Y Y 1.3 Hàm độ dài khoảng cách sinh hàm độ dài Giả sử X đa tạp phức, hàm độ dài E nón tiếp tuyến T ( X ) hàm thực, không âm, liên tục thỏa mãn: i E(v) ii E(av) v a E(v) với a , v T( X ) 21 K N ,M ( p, v)  Ta lập luận tương tự chứng minh định lý 2.1.7 Giả sử Q  Y compact không thỏa mãn kết luận định lý hàm độ dài E Ta chọn q  Q dãy  f n  ,  pn  , vn  cho f n  F , f n ( pn )  Q , Tp ( N ), E  (df n ) p (vn )   1, K N ,M ( pn , )  1, n n cho f n ( pn )  Q Ta chọn dãy n  FN ,M , rn  (1,2) thỏa mãn n (0)  pn , (dn )(rne)  E  (df n n )(rne)   n Giả sử tồn r ,0  r  , cho dãy dãy hạn chế  f  , n n f   n n đến Dr , gọi thỏa mãn f n n  F H ( Dr , N ) ; với r vậy, từ (2) ta có F H ( Dr , N ) liên tục đồng Vì f n n (0)  q ta nhận mâu thuẫn tương tự chứng minh điều kiện cần định lý 2.1.7 Ta chọn dãy  zn  D* cho zn  n ( zn )  M  N , dãy  n  A  D  cho  n (0)  zn ; Đặt hn  n  n xác định D Khi hn  H ( D , N ) , f n hn  n1 (0)   q  n1 (0)   Cho g n  f n hn cho V lân cận q compact tương đối nhúng hyperbolic Y Tồn r ,0  r  , cho   g n Dr  V ; g n thác triển thành g n  H  D, Y  Từ định lý [8], tồn dãy g n  , ký hiệu g n  , thỏa mãn g n  g n  H  D, Y  Điều mâu thuẫn với  d g n  1 n  0  E   df n n  e   (3)  (1) Dễ dàng suy từ định lý 2.1.7 K N ,M  K N N Định lý chứng minh 2.2.2 Bổ đề Cho F  H  ( D )m ,Y  họ chuẩn tắc Nếu n  , f  n dãy  D  , F tương ứng cho n  0  Dm f n n   p Y , m 22 với lân cận U p ,có lân cận W 0 D m cho  f n W   D  m  U Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m Theo (2) định lý 2.2.1 ta có bổ đề với m  Giả sử bổ đề số nguyên k không số nguyên k  Lấy F  H dãy  D  k 1  D   k 1  ,Y họ chuẩn tắc đều, n  , n'  cho n  0  Dk 1 , n  0 , cho  f n  dãy F cho f n n   p f n n'  p Cho U , V lân cận mở compact tương đối p cho V  U giả thiết f n n'   Y  U Đặt n   sn , tn  , n'   sn' , tn'  , 0   s0 , t0  sn , sn' , s0   D  k tn , tn' , t0  D Đặt   D  , D   : t  D ,  s    s, t  F    H  D ,  D   : s   D  ,  t    s, t  F1  t  H Khi F F1  H f n  t  k 1   k 1  k  k s s  D  ,Y  F  k F2  H  D ,Y  họ chuẩn tắc đều; tn  dãy F F1 , sn  s0 f n tn  sn   p Bởi giả thiết quy nạp   ta chọn lân cận N1 s0 cho f n tn N1   D   V f n tn  sn'  V k Khi tồn dãy  f n tn  sn'  , gọi  f n tn  sn'  , cho f n tn  sn'   q V ; f n tn  sn'   f n  sn  tn  ; tn'  t0 ta chọn lân cận N t0 D cho f n  s'  N  D   U Cuối f n  s'  tn'  U , n n điều mâu thuẫn Vậy định lý chứng minh Nếu  An  dãy tập không gian tô pô Ta định nghĩa giới hạn dãy An tập hợp phần tử x không gian mà lân cận x giao với vô hạn tập An Ta ký hiệu lim sup An 23 2.2.3 Định lý Giả sử M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc M Giả sử F  H  M \ A,Y  họ chuẩn tắc F bao đóng F C  M \ A,Y   Khi (1) Mỗi f  F thác triển thành f  C  M ,Y   (2) C  M ,Y  , F  compact C  M ,Y   (3) Nếu  f n   F f n  f f n  f (4) Với dãy  f n  F , có dãy  f nk   f n  cho lim sup f nk  P   lim f nk  Q    tô pô M , với cặp P , Q tập rời Y với P compact Y Q đóng Y (5) Nếu M hyperbolic K M\ A,M  K M , H  M ,Y  ;F  chuẩn tắc Chứng minh Để chứng minh (1) (2) trước hết ta chứng minh với f  F thác triển thành f  C  M ,Y   C  M ,Y  ,F  compact tương đối C  M ,Y   Vì tốn địa phương nên ta giả thiết M  Dm F  H  Dm ,Y  Do ta cần chứng minh với f  F có thác triển f  C  D m ,Y   C D m , Y , F compact tương đối C  Dm ,Y   Theo định lý Ascoli, ta cần chứng minh C  Dm ,Y  ,F  liên tục đồng C  M ,Y   Giả sử ngược lại, tồn w0  Dm , dãy wn  , w'n  Dm 24 hội tụ tới w0 có dãy f  F mà f n  wn   p f n  w'n   q  p Điều mâu thuẫn với bổ đề 2.2.2 Vậy ta có C  Dm ,Y  ,F  compact tương đối C  D m ,Y   Bây ta chứng minh tồn thác triển ánh xạ f Khi p xác định nhất, với w0 p ta định nghĩa f  w0   p Rõ rang f  f M \ A , ta chọn dãy wn  w  M \ A wn  w  M \ A với n , f  w  f  w với w  M \ A Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh f thác triển chỉnh hình f ta cần chứng minh f liên tục Nếu f  w0   p Y U lân cận mở p gọi V lân cận compact tương đối p cho V  U Theo bổ đề 2.2.2 tồn lân cận mở W w0 M cho f W  A  V Khi f W   V  U Nếu f  w0    , theo bổ đề 2.2.2 tồn lân cận mở W w0 M cho f W   V Từ ta có f liên tục Để kết thúc chứng minh (1) ta lấy f  F Khi tồn dãy  f  n F cho f n  f n   Do C  M ,Y  ,F  compact tương đối C  M ,Y   nên tồn dãy  f  f  nk n cho f nk  g  C  M ,Y   Rõ ràng g  f ( chúng M \ A ) Vậy (1) chứng minh Để chứng minh (2) ta chứng minh C  M ,Y  ,F   C  M ,Y  ,F  Với g  F ta chọn dãy  f n   F cho f n  g 25 Do tính compact tương đối C  M ,Y  ,F  C  M ,Y   tồn thác triển i), suy có dãy  f nk    f n  cho f nk  g , g  C  M ,Y  ,F  Do C  M ,Y  ,F   C  M ,Y  ,F  Ngược lại, với g  C  M ,Y  ,F  , tồn dãy  f   C M ,Y n  ,F  mà f n  g Suy f n  g M \ A với  f n   F Từ đó, g  F Vậy g C[ M, Y , F ] Hay ta có C[ M, Y , F ] C[ M, Y , F ] Vậy (2) chứng minh (3) Giả sử  f n   F f n  f Ta chứng minh f n  f n   Theo (1) f n f tồn  f   C M ,F ,F  compact C  M ,Y  , nên dãy  f   f  có dãy hội tụ tới f Do Theo (2), nk   n n f n  f n   Vậy (3) chứng minh Để chứng minh (4), từ (2) suy có dãy  f nk   f n  cho 26 f nk  g  C  M ,Y   Nếu P , Q tập compact, đóng tương ứng Y x  lim supf nk  P   lim supf nk  Q  , f nk  x   g  x  với lân cận mở V x , f nk V  A  P   f nk V  A  Q   Do g  x   P  Q Y  Vì P compact Y Q đóng Y , nên g  x   P  Q Cuối chứng minh (5) Từ (3) định lý 2.2.1, cho E hàm khoảng cách Y f  H  M ,Y  ;F  dãy f  nk f  E  K M\ A,M f F Cho F cho f n  f Từ kéo theo f  E  K M\ A,M  K M Định lí chứng minh 2.2.4 Nhận xét Các kết (1), (2) (3) định lý 2.2.3 mở rộng kết sau Joseph Kwack [8] họ chuẩn tắc 2.2.4.1 Định lí Cho X không gian phức, nhúng hyperbolic không gian phức Y M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc M Khi ta có : (a) Với f thành f A, X ) C( M A, Y ) thác triển C( M, Y ) (b) Nếu fn H( M fn dãy H( M A, X ) , fn f C( M A, Y ) f 2.2.4.2 Định lí Cho X khơng gian phức không gian phức Y , M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc M , X nhúng 27 hyperbolic Y C M, Y ; H( M A, X ) compact C M, Y 2.2.4.3 Định lí Cho X khơng gian phức,, nhúng hyperbolic không gian phức Y M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc M Khi fn fn f dãy H( M A, X ) fn f C( M A, Y ) Kết (5) định lý 2.2.3 mở rộng kết Javi [7] Đặc biệt ta có hệ sau: 2.2.5 Hệ Cho Y không gian phức cho M M \ A đa tạp hyperbolic mà xác định trường hợp sau: (1) M \ A   D  nk  D k M  Dn (2) M \ A   D  M  Dn n (3) A tập giải tích đóng M có đối chiều (4) M n chiều A tập đóng  2n   chiều M có độ đo Hausdorff Cho F  H  M \ A,Y  họ chuẩn tắc F bao đóng C  M \ A,Y   Khi H  M ,Y  ;F  chuẩn tắc Chứng minh Chứng minh suy từ (5) định lý 2.2.3 trường hợp K M  K M\ A,M (xem[3]) Hệ chứng minh 2.2.6 Định lý Cho X , Y không gian phức F  H  X ,Y  , F H  D ,X  28 bao đóng C  D ,Y   Khi điều kiện sau tương đương: (1) F chuẩn tắc (2) F H  D ,X  chuẩn tắc (3) C  D,Y  ;F H  D ,X  compact tương đối C  D ,Y   (4) Đối với dãy fn F H  D ,X  có dãy f  nk fn cho lim sup f nk  P   lim f nk  Q    tô pô D với cặp tập P , Q Y mà P compact Y Q đóng Y (5) F thỏa mãn điều kiện sau : (a) F H  D ,X  compact tương đối C  D ,Y   , (b) f (c) Nếu F H( D , X ) thác triển đến f  C  D ,Y   , fn dãy F H  D ,X  cho f n  f k , fn  f Chứng minh (1)  (2) Được suy từ mệnh đề 2.1.2 (2)  (3) Được suy từ (2) định lý 2.2.3 bao hàm tập hợp H  D ,Y  ;F H  D ,X   C  D ,Y  ;F H  D ,X    C D, Y ; F H( D , X ) (3)  (1) Vì F H  D ,X  tập tập hợp thác triển (3) nên ta suy điều phải chứng minh (2)  (4) Được suy từ (2) (4) định lý 2.2.3 29 (4)  (3) Ta chứng tỏ C  D ,Y  ;F H  D ,X  liên tục đồng Nếu trường hợp không xảy ta chọn dãy fn F H  D ,X  , vn  , xn D , x  D , y  Y , lân cận mở W1 ,W2 Y y cho W1  W2 , W1 compact,  x , xn  x , f n    y f n  xn  Y  W2 Đối với dãy  f nk  fn ta có   x  lim supf nk W1  lim supf nk Y  W2  W1  Y  W2    Vậy (4) không xảy Điều mẫu thuẫn với giả thiết nên (3) chứng minh (2)  (5) Điều kiện (a) suy từ định nghĩa, điều kiện (b) suy từ (1) định lý 2.2.3 điều kiện (c) suy từ (3) định lý 2.2.3 (5)  (3) Cho dãy  f  nk fn dãy F H  D ,X  Bởi điều kiện (a) tồn fn cho  f n   f  C  D ,Y   ; f nk , f tồn với k k suy từ điều kiện (b) f nk  f suy từ điều kiện (c) Định lý chứng minh Kiernan [9] đưa minh họa cho khái niệm nhúng hyperbolic cách chứng minh không gian phức compact tương đối X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y có hàm độ dài E Y cho f  E  K D f  H  D ,Y  Định lý 2.2.7 sau minh họa thêm vai trị tính nhúng hyperbolic việc khái quát Kobayashi định lý Picard lớn ([11], Định lý 6.1) Zaidenberg chứng minh số tiêu chuẩn khác cho tính nhúng hyperbolic tính hyperbolic khơng gian phức [14] 30 2.2.7 Định lý Cho X không gian phức không gian phức Y Các điều kiện sau tương đương: (1) X nhúng hyperbolic Y (2) H  D ,X  họ chuẩn tắc H  D ,Y  (3) Tồn hàm độ dài E Y cho f  H  D ,Y  thỏa mãn f  E  K D (4) Tồn hàm khoảng cách d Y cho ánh xạ H  D ,X  giảm khoảng cách ứng với dD* d Chứng minh (1)  (2) Hiển nhiên ta có H  D ,X  H  D, D   H  D,X  H  D ,X  họ chuẩn tắc H  D ,Y  (Xem mệnh đề 2.1.3) (2)  (3) Vì D nhúng hyperbolic D , nên theo (3) định lý 2.2.1 tồn hàm độ dài E Y thỏa mãn f  E  K D ,D  K D  K D f  H  D ,X  (3)  (4) Hàm khoảng cách Y sinh hàm độ dài (3) thỏa mãn yêu cầu (4) (4)  (1) Từ mệnh đề 2.1.6 ta suy H  D ,X  compact tương đối C  D ,Y   , lấy fn dãy H  D ,X  cho f n  f  C  D ,Y   D Ta chứng minh f thác triển đến f  C  D ,Y   f n  f D Từ theo mệnh đề 2.1.3 ta suy (4)  (1) Nếu với tập compact Q  Y tồn lân cận V D thỏa mãn f n V   Q   , 31 f thác triển đến f  C  D ,Y   cách định nghĩa f     f n  f D Nếu không chọn dãy fn , gọi fn , dãy zn D p  Y cho zn  , f n  zn   p Nếu rn  , độ dài hyperbolic  rn   z  D; z  rn  D hội tụ đến Từ (4) lập luận tương tự Grauert Reckziegel ([5], tr 120) ta suy f n    p , f n  zn'   p với dãy z  ' n mà z'n  Do f thác triển đến f  C  D ,Y   cách định nghĩa f (0) p , f n  f D Định lý chứng minh 2.2.8 Nhận xét Tương đương (1)  (3) định lý 2.2.7 cho thấy việc mở rộng kết Kiernan bỏ điều kiện compact tương đối X Y thay D kết Kiernan D 2.2.9 Nhận xét Cho X không gian phức không gian phức Y Kwack tổng quát định lý Picard lớn thiết lập f  H  D ,X  thác triển đến f  H  D ,Y  (1) tồn hàm khoảng cách d Y cho f giảm khoảng cách dD* d , (2) tồn dãy zn D p  Y cho zn  f  zn   p (Định lý [12]) Ta thấy từ(1)  (3) định lý 2.2.7 giả thiết Kobayashi [19] tổng quát kết Kwack, tất f  H  D ,X  thỏa mãn điều kiện (1) (2) 32 2.2.10 Nhận xét Tương đương (1)  (2) định lý 2.2.7 chứng tỏ không gian phức X hyperbolic H  D ,X  họ chuẩn tắc H  D ,X  Kết mở rộng kết Abate [2] thay D D (xem mệnh đề 2.1.4) 33 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu định lí thác triển hội tụ Noguchi họ ánh xạ chuẩn tắc Luận văn đạt số kết sau : Trình bày cách hệ thống số kiến thức sở giải tích phức hyperbolic : Giả khoảng cách Kobayashi, khơng gian phức hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi, không gian phức nhúng hyperbolic,… Trình bày số định lí thác triển hội tụ Noguchi kiểu Nugochi họ ánh xạ chỉnh hình Trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ chuẩn tắc Trình bày số định lí thác triển hội tụ Noguchi họ ánh xạ chuẩn tắc 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), “Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic”, Nhà xuất Đại học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] M Abate (1993), “A characterization of hyperbolic manifolds”, Proc Amer Math Soc 117, 789-793 [3] L A Campbell, A Howard and T Ochiai (1976), “Moving holomorphic disks off analytic subsets”, Proc Amer Math Soc 60, 106-108 [4] C Carathéodory (1954), “Theory of Functions”, Vol II, Chelsea, New York [5] H Grauert and H Reckziegel (1965), “Hermitesche Metriken und normale Familien hopomorpher Abbildunger”, Math Z 89, 108-125 [6] W K Hayman(1964), “Meromorphic Functions”, Oxford Univ Press, Oxford [7] P Jarvi (1988), “An Extension theorem for nomal functions in several variables”, Proc Amer Math Soc 103, 1171-1174 [8] J E Joseph and M H Kwack (1994), “Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extension of holomorphic maps”, Jour Geom Analysis 4, (3), 361-378 [9] P Kiernan(1973), “Hyperboliccally imbedded space ang the big picard theorem”, Math Ann 204, 203-209 [10] P Kiernan(1972), “Extension of holomorphic maps”, Trans Amer Math Soc 172, 347-355 [11] S Kobayashi (1970), “Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mapping”, Marcel Dekker, New York [12] M.H Kwack (1969), “Generalization of the big picard theorem”, Ann Of math 90(2), 9-22 35 [13] H Royden (1971), “Remarks on the Kobayashi metric”, Proc Maryland Conference on several complex variables, Lecture Notes, Vol 185, Springer-Verlag, Berlin, pp 125-137 [14] M G Zaidenberg (1983), “Picard’s theorem and hyperbolicity”, Siberian Math J 24, 858-867 ... 1.7 Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi ánh xạ chỉnh hình 10 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC 16 2.1 Ánh xạ chuẩn tắc số tính chất... ánh xạ chỉnh hình Chương 2: Định lí thác triển hội tụ họ ánh xạ chuẩn tắc Đây nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày ánh xạ chuẩn tắc số tính chất Phần số định lí thác triển hội tụ họ ánh xạ. .. bày số định lí thác triển hội tụ Noguchi kiểu Nugochi họ ánh xạ chỉnh hình Trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ chuẩn tắc Trình bày số định lí thác triển hội tụ Noguchi họ ánh xạ chuẩn tắc 34