Luận văn Thạc sĩ Toán học Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình

Header Page of 89 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————– NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức Cấu trúc phức 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Cấu trúc hầu phức 1.1.5 Đa tạp hầu phức 1.1.1 6 8 1.2 Không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm Định nghĩa 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Định lý (Newlander - Nirenberg) 1.2.4 Nhận xét 1.2.1 1.3 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.3.2 Định nghĩa 1.3.3 Mệnh đề 1.3.1 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức Định nghĩa 1.4.2 Bổ đề 1.4.3 Bổ đề 1.4.4 Định nghĩa 1.4.5 Tính chất 1.4.6 Hệ 1.4.1 Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa 11 11 11 11 11 11 11 12 12 13 13 13 14 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 Mệnh đề 1.4.8 Định nghĩa 1.4.9 Mệnh đề 1.4.10 Định nghĩa 1.4.11 Định nghĩa 1.4.12 Định lý 1.4.13 Định nghĩa 1.4.14 Định nghĩa 1.4.15 Họ đồng liên tục 1.4.16 Định lý Ascoli họ đồng liên tục 1.4.7 15 15 15 15 15 16 16 16 16 17 1.5 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi đa tạp hầu phức 17 Mệnh đề 1.5.2 Định nghĩa 1.5.3 Mệnh đề 1.5.4 Ví dụ 1.5.5 Định nghĩa 1.5.6 Nhận xét 1.5.1 1.6 Định lý tham số hoá Brody 17 18 18 18 19 19 19 Chương Một số định lý thác triển hội tụ ánh xạ giả chỉnh hình 2.1 Tổng quát hoá định lý Picard lớn Quỹ tích suy biến giả khoảng cách Kobayashi 2.1.2 Thác triển đường cong J-chỉnh hình 2.1.3 Sự thác triển đa tạp số chiều cao 2.1.1 2.2 Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4 Bổ đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.1 Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa 22 22 22 26 30 32 32 34 36 37 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 Hệ 2.2.7 Định lý 2.2.6 39 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 Mở đầu Một ứng dụng quan trọng không gian phức hyperbolic toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức Việc mở rộng định lý Picard lớn nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trường hợp đa tạp phức đa tạp hầu phức Mục đích luận văn trình bày số kết gần F Haggui A Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày kết luận văn chương Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức, giả metric vi phân Royden-Kobayashi đa tạp hầu phức Chương 2: Là nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày số kết thác triển đường cong giả chỉnh hình tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic đa tạp hầu phức Phần số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi ánh xạ giả chỉnh hình đa tạp hầu phức Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy mình, người bảo hướng dẫn suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giảng dạy động viên suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp đặc biệt người thân gia đình động viên, ủng hộ mặt để hoàn thành khóa học Trong trình làm luận văn tránh khỏi sai sót, mong độc giả đóng góp ý kiến Tôi xin trân trọng cảm ơn Thái nguyên, tháng năm 2011 TÁC GIẢ Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức 1.1.1 Cấu trúc phức Giả sử V R-không gian vectơ J : V −→ V R-đẳng cấu J gọi cấu trúc phức V J := J ◦ J = −Id Giả sử J cấu trúc phức R-không gian vectơ V , ta xây dựng V thành C-không gian vectơ cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv Giả sử V C-không gian vectơ có sở {v1 , v2 , , } Xem V R-không gian vectơ VR , xét J : VR −→ VR v −→ Jv = iv Khi J cấu trúc phức VR không gian phức mà cảm sinh trùng với không gian vectơ phức V ban đầu 1.1.2 Nhận xét VR có R-cơ sở {v1 , v2 , , , Jv1 , Jv2 , , Jvn } Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 1.1.3 Ví dụ a) Cn = {(z1 , , zn ) : zj = xj + iyj ∈ C} ∼ = R2n = {(x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn )} J : R2n → R2n cho bởi: J((x1 , y1 , , xn , yn )) = (−y1 , x1 , , −yn , xn ) Khi J cấu trúc phức R2n b) Giả sử M đa tạp phức m chiều Khi cảm sinh M0 đa tạp thực nhẵn 2m chiều Gọi Tx (M0 ) không gian tiếp xúc thực M0 x gọi Tx (M ) không gian tiếp xúc phức M x Giả sử (U, h) đồ địa phương M quanh x Ta có h : U −→ U ⊂ Cm h = (h1 , h2 , , hn ), cảm sinh h : U −→ R2m cho h(x) = (Reh1 (x), Imh1 (x), , Rehm (x), Imhm (x)) Ta có (U, h) đồ địa phương M0 quanh x Gọi ∂ ∂ , , ∂z1 x ∂zn C-cơ sở Tx (M ) x Nó cảm sinh ∂ ∂ , ∂xj x ∂yj n R-cơ sở Tx (M0 ) x j=1 Xét J : Tx (M0 ) −→ Tx (M0 ) Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 cho v = α1 ∂ ∂x1 + β1 x ∂ ∂y1 + + αn x ∂ ∂xn + βn x ∂ ∂yn ∈ Tx (M0 ) x Jv = (−β1 ) ∂ ∂x1 + α1 x ∂ ∂y1 + + (−βn ) x ∂ ∂xn + αn x ∂ ∂yn x Khi J cấu trúc phức Tx (M0 ) 1.1.4 Cấu trúc hầu phức Giả sử M đa tạp vi phân 2n chiều Gọi π : T M → M phân thớ tiếp xúc thực Giả sử J : T (M ) → T (M ) tự đẳng cấu T (M ) liên kết với ánh xạ đồng M thỏa mãn ∀x ∈ M : Jx = J : Tx (M ) → Tx (M ) Tx (M ) cấu trúc phức R-không gian vectơ Tx (M ) Khi J gọi cấu trúc hầu phức M 1.1.5 Đa tạp hầu phức (M, J) gọi đa tạp hầu phức M đa tạp vi phân chẵn 2n chiều trang bị cấu trúc hầu phức J 1.2 Không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M đa tạp vi phân m chiều Đặt T (M )C = T (M ) ⊗R C Footer Page ofbởi 89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 89 Tương tự ta định nghĩa T ∗ (M )C = T ∗ (M ) ⊗R C Từ ta định nghĩa tích ΛT ∗ (M )C εr (M )C = ε(M, Λr T ∗ (M )C ) Gọi εr (M ) không gian dạng vi phân bậc r với giá trị phức Tức với ϕ ∈ εr (M ), ta có ϕ(x) = ϕI (x)dxI |I|=r ϕI hàm giá trị phức = 1≤i1 n0 ∈ N cho fn (∆∗r ) ⊂ U ∩ M Ta có |fn (z)|G ≤ K∆∗ (z) , với z ∈ ∆∗r c Do đó, E(fn∆∗r ) = ∆∗r |fn (z)|2G ≤ 2c2 ∆∗r K∆ ∗ (z) < ∞ r Ta kí hiệu fn thác triển fn lên ∆ Theo (5) ta có fn (∆r ) ⊂ V ∩ M , ∀n ≥ n0 Footer Page 34 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 35 of 89 34 Chọn V đủ nhỏ, tồn số dương α cho |fn (z)| ≤ α ∆r Do tính compact, tồn dãy (fϕ(n) ) mà hội tụ tới đường cong J -chỉnh hình g Vì fn −→ f tập compact ∆∗ nên g thác triển f Cuối cùng, ta chứng minh dãy (fn ) hội tụ tới g lân cận Giả sử ngược lại, tồn dãy (xn ) ⊂ ∆∗r hội tụ tới cho |fn (xn ) − g(xn )|euc 0, |.|euc chuẩn Euclide Rm Theo Định lý 2.1.2.1, ta có fn (xn ) −→ p f (xn ) −→ g(0) = p, điều mâu thuẫn Suy điều phải chứng minh Tiếp theo ta chứng minh dạng khác định lý thác triển hội tụ Noguchi ánh xạ giả chỉnh hình xác định S\C tới đa tạp nhúng hyperbolic, C đường cong trơn, giả chỉnh hình đa tạp hầu phức S có số chiều thực 2.2.2 Định lý Giả sử C đường cong trơn, giả chỉnh hình đa tạp hầu phức (S, J ) có số chiều thực (M, J) đa tạp hầu phức compact tương đối, nhúng hyperbolic đa tạp hầu phức (N, J) Giả sử fn : (S\C, J ) −→ (M, J) f : (S\C, J ) −→ (M, J) ánh xạ (J, J )-chỉnh hình Nếu dãy (fn ) hội tụ tới f tập compact S\C , dãy (fn ) hội tụ tới f tập compact S , fn f thác triển (J , J)-chỉnh hình lên S fn f tương ứng Chứng minh Footer Page 35 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 36 of 89 35 Theo Định lý 2.1.3.1, fn f thác triển thành ánh xạ (J , J)-chỉnh hình fn : X −→ N f : X −→ N tương ứng Ta cần xét tính hội tụ lân cận điểm p ∈ C Chọn phép chia lớp địa phương h : ∆ × ∆ −→ X thỏa mãn điều kiện sau: (a) h vi phôi lên lân cận p h(0, 0) = p (b) h(., z ) : ∆ −→ X phép nhúng giả chỉnh hình với z ∈ ∆ (c) Với z ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆ : h(w, z ) ∈ C} = {0} Kí hiệu ϕn := fn ◦ h : ∆∗ × ∆ −→ (M, J) ϕn := fn ◦ h : ∆ × ∆ −→ (M, J) Với r ∈ (0, 1), đặt Sr = {z ∈ ∆; |z| = r} Giả sử f ◦ h(0) = p, giả sử dãy (ϕn ) không hội tụ lân cận 0, ta chọn lân cận compact tương đối W p, vi phôi với B(1) hình cầu đơn vị Cm , cho với số nguyên dương k r ∈ (0, 1) có hữu hạn n thỏa mãn ϕn (∆1/k × ∆r ) ⊂ W Tồn k0 r0 cho ϕ(∆1/k0 ) × ∆r ) ⊂ B( ) Vì dãy (ϕn ) hội tụ S1/k ×∆r0 , nên tồn dãy (ϕnk ) (ϕn ) dãy (zk ) ∆r0 hội tụ tới cho ϕnk (S1/k , zk ) ⊂ B( ) ϕnk (∆1/k , zk ) ⊂ B(1) Do đó, với k ≥ k0 , có điểm zk ∈ ∆1/k cho gnk (zk ) := ϕnk (zk , zk ) ∈ S1/2 , Footer Page 36 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 37 of 89 36 gnk đường cong giả chỉnh hình xác định gnk = ϕnk (., zk ) Theo Bổ đề tính đơn điệu Gromov, tồn số dương ε0 α cho với ε ∈ (0, inf(ε0 , 81 )) ta có AreaG (gnk (∆1/k )) ≥ AreaG (gnk (∆1/k ) ∩ B(gnk (zk ), ε)) ≥ αε2 , G hàm độ dài N Mặt khác, (M, J) nhúng hyperbolic (N, J) nên tồn số dương c cho KJM ≥ c.G Hạn chế gnk ∆∗ đường cong giả chỉnh hình, 1 J gn∗ k (G) ≤ gn∗ k (KM ) ≤ K∆ ∗ c c Từ đó, AreaG (gnk (∆1/k )) = AreaG (gnk (∆∗1/k )) ≤ Area∆∗ (∆∗1/k ) → c Do ta nhận mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh Khi M hyperbolic compact, ta làm mạnh định lý định lý sau 2.2.3 Định lý Giả sử A tập mỏng đa tạp hầu phức (X, J ), (M, J) đa tạp hầu phức, hyperbolic compact (Jn ) dãy cấu trúc hầu phức M hội tụ tới J tôpô C ∞ Giả sử fn : (X\A, J ) −→ (M, Jn ) f : (X\A, J ) −→ (M, J) Footer Page 37 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 38 of 89 37 ánh xạ giả chỉnh hình Nếu (fn ) hội tụ tới f tập compact X\A, (fn ) hội tụ tới f tập compact X , fn : (X, J ) −→ (M, Jn ) f : (X, J ) −→ (M, J) thác triển tới X fn f tương ứng Việc chứng minh định lý dựa vào hai bổ đề sau: 2.2.4 Bổ đề Giả sử (M, J) đa tạp hầu phức, hyperbolic compact G hàm độ dài M Khi đó, tồn lân cận mở U J số dương c cho J KM ≥ c.G, với J ∈ U Chứng minh Ta giả sử không tồn số c lân cận U Khi tồn dãy vectơ tiếp xúc (ξk ) T M dãy cấu trúc hầu phức (Jk ) hội tụ tới J cho Jk |ξk |G = KM (ξk ) → Jk Bằng cách lấy dãy con, ta giả sử dãy (KM (ξk )) đơn điệu giảm Do đó, tồn dãy đơn điệu tăng (rk ) gồm số dương dần đến +∞ họ đường cong giả chỉnh hình fk : ∆rk −→ (M, Jk ) cho fk (0) = ξk Áp dụng định lý tham số hóa Brody Chương ta có, với fk ta thu dãy đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆rk −→ (M, Jk ) cho |ϕk (z)|G ≤ rk2 /(rk2 − |z|2 ) ∆rk Footer Page 38 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 39 of 89 38 dấu xảy Theo định lý tính compact, ta trích dãy (ϕk ) mà hội tụ tập compact tới đường cong giả chỉnh hình ϕ : C −→ (M, J) Ánh xạ ϕ không |ϕ (0)|G = lim |ϕk (0)|G = |ϕ (z)|G ≤ 1, ∀z ∈ C Điều mẫu thuẫn với tính hyperbolic M Bổ đề chứng minh Bổ đề sau Gaussier - Sukhov [G-S]: 2.2.5 Bổ đề Giả sử (M, J) (tương ứng (M , J )) đa tạp hầu phức nhẵn Giả sử (Jn ) (tương ứng (Jn )) dãy cấu trúc hầu phức M (tương ứng M ) hội tụ tôpô C ∞ (M ) (tương ứng C ∞ (M )) tới J (tương ứng J ) Với n, giả sử fn ∈ O(Jn ,Jn ) (M , M ) Giả sử (fn ) hội tụ tập compact M tới ánh xạ f Khi f ∈ O(J ,J) (M , M ) Chứng minh Định lý 2.2.3 Với ánh xạ chỉnh hình g : X\A −→ M thác triển tới ánh xạ chỉnh hình g : X −→ M (xem [Jo]) Do đó, fn thác triển tới ánh xạ giả chỉnh hình fn : (X, J ) −→ (M, Jn ) Giả sử G hàm độ dài M Theo Bổ đề 2.2.4, tồn số Jn dương c số nguyên dương n0 cho KM ≥ c.G, ∀n ≥ n0 Do dc.G (fn (z), fn (w)) ≤ dJMn (fn (z), fn (w)) với z, w ∈ X Giả sử (fϕ(n) ) dãy (fn ) Vì fϕ(n) ánh xạ (J , Jϕ(n) )-giả chỉnh hình từ X vào M , nên ta có với n ≥ n0 dc.G (fϕ(n) (z), fϕ(n) (w)) ≤ dJX (z, w) với z, w ∈ X Theo Ascoli, ta có họ (fϕ(n) ) đồng liên tục ta trích dãy fϕ◦ψ(n) hội tụ tới ánh xạ g Theo Bổ đề 2.2.5, ta có ánh xạ Footer Page 39 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 40 of 89 39 g (J , J)-chỉnh hình trùng với f X\A Do đó, f = g cuối ta có dãy (fn ) hội tụ tập compact X tới f Định lý chứng minh Đặc biệt, A đương cong nhúng mặt cầu hầu phức, ta có 2.2.6 Hệ Giả sử C đường cong trơn giả chỉnh hình đa tạp hầu phức (S, J ) có số chiều thực 4, giả sử (M, J) đa tạp hầu phức, hyperbolic compact (Jn ) dãy cấu trúc hầu phức M hội tụ tới J tôpô C ∞ Giả sử fn : (S\C, J ) −→ (M, Jn ) ánh xạ giả chỉnh hình Nếu (fn ) hội tụ tới f tập compact S\C , (fn ) hội tụ tới f tập compact S , fn : (S, J ) −→ (M, Jn ) f : (S, J ) −→ (M, J) thác triển lên S fn f tương ứng Cuối cùng, ta chứng minh dạng khác định lý thác triển hội tụ Noguchi đường cong J -chỉnh hình 2.2.7 Định lý Giả sử (M, J) đa tạp hầu phức, hyperbolic, compact tương đối đa tạp hầu phức (N, J) Giả sử có lân cận U ∂M , biên M N , cho U ∩ M siêu lồi Khi đó, đường cong giả chỉnh hình f : ∆∗ −→ M thác triển tới đường cong giả chỉnh hình f : ∆ −→ M Hơn nữa, (fn : ∆∗ −→ (M, J)) dãy đường cong giả chỉnh hình hội tụ tập compact ∆∗ tới đường cong giả Footer Page 40 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 41 of 89 40 chỉnh hình f : ∆∗ −→ (M, J), dãy (fn ) hội tụ tập compact ∆ tới f , fn f thác triển lên ∆ fn f tương ứng Chứng minh Theo Hệ 2.1.2.4, ta cần tồn dãy (zn ) ∆∗ , hội tụ tới cho dãy (f (zn )) hội tụ tới điểm M Giả sử ngược lại, tồn r ∈ (0, 1) cho f (∆∗r ) ⊂ U Giả sử ϕ hàm đa điều hòa U ∩ M Khi hàm g = ϕ ◦ f hàm điều hòa ∆∗r Theo giả thiết g thác triển liên tục tới hàm g mà điều hòa ∆r Ta có g(z) < với z ∈ ∆∗r g(0) = Do g đạt giá trị lớn gốc Điều mẫu thuẫn với nguyên lý cực đại Đối với điều khẳng định thứ hai, giả sử (fϕ(n) ) dãy tùy ý (fn ) Vì fϕ(n) đường cong giả chỉnh hình từ ∆ tới M , ta có dJM (fϕ(n) (z), fϕ(n) (w)) ≤ d∆ (z, w) với z, w ∈ ∆ Do đó, họ (fϕ(n) ) đồng liên tục, theo Ascoli, ta trích dãy fϕ◦ψ(n) hội tụ tới ánh xạ chỉnh hình g Nhưng ánh xạ g trùng với f ∆∗ , f = g ta có dãy (fn ) hội tụ tới f tập compact ∆ Định lý chứng minh Footer Page 41 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 42 of 89 41 Kết luận Với mục đích tìm hiểu số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi ánh xạ giả chỉnh hình đa tạp hầu phức, luận văn trình bày số kết sau: Mở rộng Định lý Picard lớn đa tạp hầu phức Cụ thể số định lý thác triển ánh xạ giả chỉnh hình (Hệ 2.1.2.3, Hệ 2.1.2.4, Định lý 2.1.3.1) Trình bày tiêu chuẩn tính nhúng hyperbolic đa tạp hầu phức tương tự tiêu chuẩn Kiernan cho tính nhúng hyperbolic đa tạp phức (Định lý 2.1.2.6) Trình bày số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi ánh xạ giả chỉnh hình (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3) Footer Page 42 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 43 of 89 42 Tài liệu tham khảo [Ad] Y.Adachi, A generalization of the big Picard Theorem, Kodai Math J 18 (1995), 408-424 [A-S] Y.Adachi and M.SuZuki, Degeneracy points of the Kobayashi pseudodistance on complex manifolds, Proc Symp Pure Math Amer Math Soc 52 (1991), 41-51 [D] R Dabalme, Kobayashi hyperbolicity of almost complex manifolds, Pul Irma, Lille, 1999 [G-S] H Gaussier and A Sukhov, Wong- Rosay theorem in almost complex manifolds, ar Xiv: math CV/0307335 V1 [H-K] F Haggui and A Khalfallah, Extension and convergence theorems of pseudoholomorphic maps, Osaka J Math 46 (2009), 821844 [Jo] J.-C Joo, Generalized big Picard theorem for pseudoholomorphic maps, J Math Anal Appl 323(2006), 1333-1347 [J-K] J E Joseph and M H Kwack, Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J Geom Anal 4(1994), 361-378 [Ko] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Springer, Berlin, 1998 Footer Page 43 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 44 of 89 43 [Mu] M.-P Muller, Gromov’s Schwarz lemma as an estimate of the gradient for holomorphic curves, in Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, Prog Math 117, Birkhauser, Basel, 1994, 217-231 [No] J Noguchi, Moduli spaces of holomorphic mappings into hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent Math 93(1988), 15-34 [Ro] H L Royden, Remarks on the Kobayashi metric, in Serveral complex Variables, II, Lecture Notes in Math 185, Springer, Berlin, 1971, 125-137 [Si] J.-C Sikorav, Some properties of holomorphic curves in almost complex manifolds, in Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, Birkhauser, Basel, 1994, 165-189 Footer Page 44 of Số hóa bởi89 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... f thác triển thành đường cong giả chỉnh hình f : ∆ → (N, J) Chứng minh Giả sử f : ∆∗ → M ánh xạ giả chỉnh hình Theo Định lý 2.1.2.1, f thác triển liên tục từ ∆ vào N f liên tục, khả vi giả chỉnh. .. số kết thác triển đường cong giả chỉnh hình tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic đa tạp hầu phức Phần số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi ánh xạ giả chỉnh hình đa tạp hầu phức Luận văn hoàn... không gian phức hyperbolic toán thác triển ánh xạ chỉnh hình giải tích phức Việc mở rộng định lý Picard lớn nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu