tính chuẩn tác và tính khai triển của không gian tôpô tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -  - BÙI QUANG THỊNH TÍNH CHUẨN TÁC VÀ TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -  - BÙI QUANG THỊNH TÍNH CHUẨN TÁC VÀ TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ MÃ SỐ: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh; người thầy dẫn dắt tơi bước vào đường nghiên cứu khoa học Sự tận tình hướng dẫn lời động viên, bảo Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn: Ban lãnh đạo chun viên phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm khoa giảng viên khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh; giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học Tơpơ khóa 20 tạo điều kiện học tập thuận lợi cho tơi suốt khóa học Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể Tổ Tự nhiên thầy đồng nghiệp trường Đại học Tiền Giang ln sẵn sàng giúp đỡ, tạo điều kiện tơi học tập hồn thành tốt nhiệm vụ thời gian học Cao học Bạn Liễu Mỹ Chương (Singapore, email: lieumychuong@gmail.com) hỗ trợ tơi việc tìm kiếm tài liệu tham khảo Cơ Trương Thị Hồng Nhung (trường Trung học phổ thơng Chun Tiền Giang) thầy Hồ Cơng Xn Vũ Ý (trường Đại học Tiền Giang) nhiệt tình giúp đỡ tơi việc soạn thảo luận văn Các bạn lớp Cao học Hình học Tơpơ khóa 20 tơi chia sẻ khó khăn q trình học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn người thân u gia đình ln bên cạnh, động viên, hổ trợ mặt để tơi hồn thành thành tốt khóa học MỤC LỤC Trang phụ bìa ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Mở đầu Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Bội Hilbert 1.2 Phản continuum Cantor 1.3 Tơpơ thứ tự 1.4 Các tiên đề tách 1.5 Phủ 1.6 Khơng gian Baire 13 1.7 Khơng gian compact, khơng gian paracompact 14 1.8 P -khơng gian 16 1.9 Khơng gian metric hóa 18 1.10 Σ -khơng gian 19 Chương TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH 22 2.1 L lớp khơng gian Hausdorff compact 23 2.2 L lớp khơng gian metric compact 25 2.3 L lớp khơng gian metric hóa 28 Chương TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH 37 3.1 Tính chất khai triển 37 3.2 Tính chất σ -khai triển 38 3.3 Tính chất θ -khai triển 46 3.4 Tính chất khai triển 53 Kết luận kiến nghị 58 Tài liệu tham khảo 60 MỞ ĐẦU Theo Tơpơ đại cương, tơpơ tích Decartes hai khơng gian tơpơ xây dựng từ tơpơ khơng gian thành phần thơng qua khái niệm sở Vì vậy, tính chất khơng gian tơpơ tích kế thừa từ khơng gian thành phần Một ví dụ dễ thấy tích hai khơng gian Hausdorff khơng gian Hausdorff Một vấn đề đặt ra: ‘‘Có phải tính chất khơng gian tơpơ tích kế thừa từ khơng gian tơpơ thành phần hay khơng?’’ Câu trả lời khơng trường hợp tổng qt Một minh chứng tiếng tích tơpơ hai khơng gian chuẩn tắc nhìn chung khơng chuẩn tắc Bài tốn nhà Tốn học giới nghiên cứu từ thập niên 30 kỷ trước Cụ thể, J Dieudonné [10] năm 1939 xét tích tơpơ khơng gian chuẩn tắc với khơng gian compact; R H Sorgenfrey [30] năm 1947 xét tích hai khơng gian Linderlưf Hơn nữa, năm 1971 M E Rudin [29] chứng minh tồn khơng gian chuẩn tắc cho tích tơpơ với khoảng đơn vị đóng [ 0,1] khơng khơng gian chuẩn tắc Từ ví dụ cụ thể với cơng trình nghiên cứu gần đây, tính chuẩn tắc khơng gian tơpơ tích tốn thu hút quan tâm nhà Tốn học giới Họ mong muốn khơng gian tơpơ tích kế thừa tính chuẩn tắc từ khơng gian thành phần Do đó, vấn đề mở ra: ‘‘Để khơng gian tơpơ tích kế thừa tính chuẩn tắc từ khơng gian thành phần, cần phải bổ sung điều kiện gì?’’ Trong số nghiên cứu vấn đề này, kể đến cơng trình C H Dowker H Tamano Nghiên cứu C H Dowker [11] năm 1951 mơ tả tính paracompact đếm khơng gian tơpơ X thơng qua tính chuẩn tắc X × [ 0,1] Tương tự, năm 1960 H Tamano [34] mơ tả tính paracompact khơng gian hồn tồn quy X thơng qua tính chuẩn tắc khơng gian tơpơ tích X với compact hóa Čech-Stone Chính kết tạo động lực thúc đẩy nghiên cứu góp phần to lớn cho phát triển Tơpơ đại cương Nhiều kết đẹp quan trọng khơng gian tơpơ tích đời từ hướng nghiên cứu C H Dowker H Tamano Một số nhà Tơpơ học xuất sắc có nhiều cống hiến theo hướng khơng thể khơng nhắc tới K Morita Các vấn đề thú vị khác liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến cơng trình ơng nghiên cứu phát triển mong đợi Trong luận văn này, chúng tơi kế thừa nghiên cứu C H Dowker, H Tamano K Morita nhằm giải tốn hẹp tính chuẩn tắc khơng gian tơpơ tích: Bài tốn Gọi L lớp khơng gian chuẩn tắc thỏa mãn số tính chất Tìm điều kiện cần đủ khơng gian chuẩn tắc X để tích X với khơng gian Y thuộc vào L khơng gian chuẩn tắc Theo hướng nghiên cứu khác, năm 1971 L L Krajewski [16] định nghĩa tính chất khai triển khơng gian tơpơ nghiên cứu J C Smith [31] đưa số đặc trưng tính chất khai triển Sau đó, Y Katuta [15] năm 1975 định nghĩa số thuật ngữ tính khai triển: σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển rời rạc khai triển … Kế thừa ý tưởng Bài tốn kết hợp với kết nghiên cứu tính khai triển P -khơng gian, thuật ngữ đưa K Morita [22], chúng tơi nghiên cứu giải thêm Bài tốn Tìm điều kiện cho khơng gian tơpơ Y để tích tơpơ P -khơng gian chuẩn tắc X với Y kế thừa tính khai triển từ P -khơng gian chuẩn tắc X Xuất phát từ mục tiêu trên, nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Đặt vấn đề trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Phần nội dung: a Chương – KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày khái niệm cần thiết đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu Chương Chương b Chương – TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải Bài tốn ba trường hợp L : • L lớp khơng gian Hausdorff compact, • L lớp khơng gian metric compact, • L lớp khơng gian metric hóa c Chương – TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải Bài tốn bốn trường hợp tính khai triển: • tính chất khai triển, • tính chất σ -khai triển, • tính chất θ -khai triển, • tính chất khai triển Phần kết luận: Tổng kết lại kết nghiên cứu đưa nhận xét vấn đề mở cho hướng nghiên cứu tới Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ Nội dung chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau Nhiều định lý chương nêu lược bỏ chứng minh Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết tham khảo R Engelking [12] J Nagata [28] Trong suốt luận văn, khơng có nhầm lẫn thuật ngữ khơng gian hiểu khơng gian tơpơ, thuật ngữ khơng gian tơpơ tích tích tơpơ hai khơng gian tơpơ 1.1 Bội Hilbert  ∞   i =1  H ( x1 , x2 , …) xi ∈ = , i 1, 2, …, ∑ xi < +∞  với metric ρ Định nghĩa 1.1 Tập hợp = xác định bởi:  ∞ 2 , y )  ∑ ( xi − yi )  = ∀x ( x1 , x2 , …= ) , y ( y1 , y2 ,…) ∈ H : ρ ( x=  i =1  tạo thành khơng gian metric Vì thế, ( H , ρ ) khơng gian tơpơ gọi khơng gian Hilbert   i   Khơng gian I ω = ( x1 , x2 ,…) xi ∈ , ≤ xi ≤ , i = 1, 2, … khơng gian Hilbert gọi bội Hilbert Từ định nghĩa trên, thấy I ω đồng phơi với tích tơpơ đếm  1 khoảng đóng 0,  Do đó, I ω đồng phơi với tích tơpơ đếm khoảng đơn  i  1 vị đóng [ 0,1] 0,  [ 0,1] đồng phơi với  i 1.2 Phản continuum Cantor Đặt I = [ 0,1] ,  1 2  1 2 I1 = 0,  ∪  ,1 = [ 0,1] \  ,  ,  3   3 3  1  3 6  8   3k + 3k +  I = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,1 = [ 0,1] \   m , m ,   9 9 9 9  9  1m 2;0k < m  … I n = [ 0,1] \  3k + 3k +   m , m   1mn ,0k < m   Tổng qt, I n xây dựng cách chia khoảng đóng cấu tạo nên I n −1 thành ba phần bỏ khoảng ba phần ∞ Định nghĩa 1.2 C =  I i gọi phản continuum Cantor i =0 1.3 Tơpơ thứ tự Giả sử ωξ số thứ tự bé tương ứng với số ℵξ đặt W= ξ {α | ≤ α < ω } ξ Chúng ta định nghĩa họ  tập Wξ sau: { U ⊂ Wξ vớ i α ∈ U thỏ a α > 0, =  tồ n β < α cho ( β ,α= {γ | β < γ ≤ α } ⊂ U} ∪ {0} Khơng khó kiểm tra  tơpơ Wξ Định nghĩa 1.3 Tơpơ  xác định Wα gọi tơpơ thứ tự 1.4 Các tiên đề tách Tiên đề T0 Với cặp điểm phân biệt x , y khơng gian X ; tồn lân cận U x khơng chứa y tồn lân cận V y khơng chứa x Tiên đề T1 Với cặp điểm phân biệt x , y khơng gian X ; tồn lân cận U x khơng chứa y lân cận V y khơng chứa x Tiên đề T2 Với cặp điểm phân biệt x , y khơng gian X ; tồn lân cận U ∅ x lân cận V y cho U ∩ V = 48 Ωn Gọi Ω= ( n, k ) tập {(σ ,σ ,…,σ ) σ ∈ Ω ,i ≤ k,σ = Với m thứ n k i ( m , m ,…, m ) ∈ ω k k Nếu = đặt Λ ω ({n} × {k} × ω ) n i k quan hệ  đặt ,…,σ k ) ∈ Ω ( n, k ) , định nghĩa  ( Gξ σ , k,σ , m) H (ξ , n= {F (σ ′) σ ′ ∈ Ω \ {σ } trong= E (σ ) tốt  σ2  … σk ( σ ,σ = σ tự i ≤k , i ,mi )) ( × V (σ i ) \ E (σ ) , }} ∈ Ωn | i ≤ k Λ =ω n,k∈ ( n, k, m) ∈ Λ , đặt H (ξ , n;σ ) = H (ξ , n, k,σ , m) = λ Với = Hξ ,λ = λ Nếu gọi (7) {H ξ ,λ {H (ξ , n;σ ) σ ∈ Ω ( n, k )} ∪ ( X × Y \ M ) n } ξ ∈ Ξ λ tập mở X × Y thỏa tính chất sau: Aξ ⊂ Hξ ,λ với ξ ∈ Ξ với λ ∈ Λ , Chứng minh Rõ ràng Aξ ∩ ( X × Y \ M n ) ⊂ Hξ ,λ λ = ( n, k, m) ∈ Λ , = m ( m , m ,…, m ) ∈ ω k k với ξ ∈ Ξ với Do đó, cần chứng minh Aξ ∩ M n ⊂ Hξ ,λ Lấy ( x, y ) ∈ Aξ ∩ M n ⊂ X × Y Theo Tính chất (5), tồn Vì n σ ∈ Ω n cho ( x, y ) ∈ K (σ ) × F (σ )= {V (σ ) | σ ∈ Ω } phủ mở hữu n hạn địa phương Y nên tồn tập khơng q hữu hạn {σ i ∈ Ω n | i ≤ k} Ω n cho y ∈ V (σ ) ⇔ σ ∈ {σ i ∈ Ω n | i ≤ k} Mặt khác, F (σ ) ⊂ V (σ ) với σ ∈ Ω n nên y ∉ F (σ ) với σ ∈ Ω n \ {σ i ∈ Ω n | i ≤ k} Vì thế, khơng tổng qt, giả sử ( x, y ) ∈ K (σ ) × F (σ ) Khi đó, x ∈ W (σ ) theo Tính chất (3) nên ( )) ( x ∈ W (σ ) ∩ π σ Aξ ∩ U (σ ) × F (σ ) ⊂ L (ξ ,σ ) ⊂ Gξ ,σ = σ Đặt ( σ ,σ ,m0 với ξ ∈ Ξ ,…,σ k ) , có ( x, y ) ∈ G′ ξ ,σ ,m0 ( ) × V (σ ) \ E (σ ) ⊂ H (ξ , λ ; σ ) ⊂ Hξ ,λ , 49 ∪{F (σ ′) | σ ′ ∈ Ω \ {σ = E (σ ) n i }} ∈ Ωn | i ≤ k  (8) với ( x, y ) ∈ X × Y , tồn λ ∈ Λ cho λ hữu hạn điểm ( x, y ) Chứng minh Lấy ( x, y ) ∈ X × Y Theo Tính chất (5), tồn n ∈ ω cho ( x, y ) ∈ M tập Vì {F (σ ) | σ ∈ Ω n } phủ hữu hạn địa phương Y nên tồn n khơng q hữu { {σ ∈ Ω hạn n i } |i ≤ k Ωn cho } y ∈ F (σ ) ⇔ σ ∈ σ i ∈ Ω n | i ≤ k Giả sử σ  σ  …  σ k Khi đó, với i ≤ k , tồn mi ∈ ω cho σ ,m hữu hạn điểm x Đặt λ = ( n, k, m) với i m = ( m , m ,…, m ) ∈ ω k k i Chúng ta chứng minh λ hữu hạn điểm ( x, y ) , tức chứng minh ( x, y ) bị chứa khơng q hữu hạn phần tử Hξ ,λ ( x, y ) ∈ H Giả sử ξ ,λ σ′ Suy tồn một= ( x, y ) ∈ H (ξ , λ;σ ′) Ở đây, {σ i } {σ ′ ∈ Ω ∈ Ω n | i ≤ k= i (σ ′,σ ′ ,…,σ ′ ) ∈ Ω ( n, k ) n k cho } | i ≤ k Thật vậy, giả sử tồn σ i ∉ Ω n \ {σ i′ ∈ Ω n | i ≤ k} Vì y ∉ E (σ ′ ) nên y ∉ F (σ j ) (mâu thuẫn với cách xác định σ j ) Ngồi ra, σ  σ  …  σ k σ 1′  σ 2′  …  σ k′ nên σ i = σ i′ với Ξ=i i≤k hay nói {ξ ∈ Ξ | ( x, y) ∈ G ξ ,σ i ,mi với i ≤ k nên Ξ′= ξ ,λ khác σ =σ′ Với i ≤ k, đặt )} ( × V (σ i ) \ E (σ ) Khi đó, Ξ i tập hữu hạn Ξ Ξ i ≤k ( x, y ) ∈ H cách i tập hữu hạn Ξ Như vậy, ( x, y ) ∈ H (ξ , λ; σ ) Do đó, ξ ∈ Ξ′ Vì Λ =ω nên {λ | λ ∈ Λ} θ -khai triển    Định lý 3.9 Giả sử X P -khơng gian chuẩn tắc Y khơng gian metric hóa Nếu X có tính chất θ -khai triển rời rạc X × Y có tính chất θ -khai triển rời rạc Chứng minh Hồn tồn tương tự chứng minh Định lý 3.7 từ Tính chất (1) đến Tính chất (6) Gọi =  {A ξ } | ξ ∈ Ξ họ rời rạc tập đóng X × Y 50 Theo Định lý 1.20, Y khơng gian metric hóa nên với n ∈ ω , tồn phủ mở hữu hạn địa phương = n  {B (σ ) | σ ∈ Ω } {V (σ ) | σ ∈ Ω }= n n n Y thỏa mãn điều kiện: B (σ ) ⊂ V (σ ) , (i) = V (σ ) (ii) B (σ )  B (σ ∨ α )  V (σ ∨ α ) ,= α α ∈Ω với σ ∈ Ω n , ∈Ω với z ∈ Y , tồn σ ∈ Ωω thỏa mãn {V (σ  n) | n ∈ ω} {B (σ  n) | n ∈ ω} (iii) sở địa phương z Y Với σ ∈ Ω[...]... chúng ta suy ra Định lý 2.3 Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y có trọng số ≤ m là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian chuẩn tắc m - paracompact 2.3 L là lớp các khơng gian metric hóa Định lý 2.4 Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric hóa Y là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một P -khơng gian chuẩn tắc 29 Cụ thể hơn, chúng... bản số bất kỳ ≥ ℵ0 , tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric hóa Y có trọng số ≤ m là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một P ( m ) khơng gian chuẩn tắc Đặc biệt, khi m = ℵ0 , Định lý 2.5 được phát biểu mạnh hơn như sau: Định lý 2.6 Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric tách Y là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là P ( 2 ) -khơng gian chuẩn tắc Chúng ta... X × Y là một tập con đóng của X × I ω Theo Định lý 1.4, X × Y là khơng gian chuẩn tắc Ngược lại, do tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y là một khơng gian chuẩn tắc nên X × [ 0,1] là khơng gian chuẩn tắc Vì Dℵ là một tập con đóng của 0 [0,1] nên X × Dℵ0 là một tập con đóng của X × [ 0,1] Do đó, X × Dℵ0 là khơng gian chuẩn tắc và X là khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm... khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được Trước hết, chúng ta chứng minh các bổ đề sau: Bổ đề 2.3 Tích tơpơ của khơng gian chuẩn tắc m -paracompact X và khơng gian Hausdorff compact Y có trọng số ≤ m là một khơng gian chuẩn tắc 26 Chứng minh Lấy bất kỳ một cặp tập con đóng F , G rời nhau của khơng gian tơpơ tích { } X × Y Gọi Vξ | ξ ∈ Ξ là cơ sở của Y... Định lý 2.1 Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian Hausdorff compact Y là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian Hausdorff paracompact Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Tích tơpơ của khơng gian Hausdorff paracompact X và khơng gian Hausdorff compact Y là một khơng gian Hausdorff paracompact Chứng minh Khơng gian tơpơ tích X × Y là... khơng gian Kolmogoroff Các khái niệm T1 -khơng gian và T2 -khơng gian lần lượt được đưa ra bởi Riesz năm 1907 và Hausdorff năm 1914 Người ta còn gọi T1 -khơng gian là khơng gian Fréchet và T2 -khơng gian là khơng gian Hausdorff Định nghĩa 1.5 Khơng gian X được gọi là T 1 -khơng gian hay khơng gian hồn tồn 2 2 Hausdorff nếu với mọi cặp điểm phân biệt x , y của X ; tồn tại một lân cận U của x và một... cận V của y sao cho U ∩ V = ∅ Năm 1921, trong cơng trình nghiên cứu của mình Vietoris đưa ra khái niệm khơng gian chính quy và tính chuẩn tắc của một khơng gian Định nghĩa 1.6 Một khơng gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T3 được gọi là khơng gian chính quy Định nghĩa 1.7 Một khơng gian thỏa mãn đồng thời tiên đề T1 và tiên đề T4 được gọi là khơng gian chuẩn tắc Sau đó, Tietze năm 1923 và Alexandroff... khơng gian chuẩn tắc và một khơng gian compact Ví dụ 2.1 Khơng gian ω1 × ω1 khơng chuẩn tắc Một ví dụ khác được đưa ra năm 1947 bởi R H Sorgenfrey [30] khi xét tích giữa hai khơng gian Linderlưf Ví dụ 2.2 Bình phương của đường thẳng Sorgenfrey khơng là khơng gian chuẩn tắc Hơn nữa, năm 1971 M E Rudin [29] đã chứng minh được rằng Ví dụ 2.3 Tồn tại một khơng gian chuẩn tắc sao cho khơng gian tơpơ tích của. .. khơng chuẩn tắc Vì vậy, tìm điều kiện đối với các khơng gian thành phần để khơng gian tơpơ tích có thể kế thừa tính chuẩn tắc là một bài tốn được các nhà Tốn học trên thế giới quan tâm Trong khn khổ của luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu Bài tốn 1 Gọi L là lớp các khơng gian chuẩn tắc thỏa mãn một số tính chất nào đó Tìm điều kiện cần và đủ đối với khơng gian chuẩn tắc X để tích của X với mọi khơng gian. .. tích Từ kết quả của Chương 1, khơng gian tơpơ tích thỏa mãn tiên đề tách Ti 1 1   i = 0,1, 2, 2 ,3,3  khi và chỉ khi mọi khơng gian thành phần thỏa mãn tiên đề tách Ti 2 2  Tuy nhiên, khơng giống như những tiên đề tách được đề cập đến, tính chuẩn tắc của khơng gian tơpơ tích khơng được kế thừa từ các khơng gian thành phần Một phản ví dụ được J Dieudonné [10] đưa ra năm 1939 khi xét tích tơpơ giữa ... khơng gian Y để tích tơpơ P -khơng gian chuẩn tắc X với Y kế thừa tính khai triển từ P -khơng gian chuẩn tắc X Ở đây, tính khai triển đề cập đến bao gồm khai triển, khai triển rời rạc, σ -khai triển, ... Chương TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH 37 3.1 Tính chất khai triển 37 3.2 Tính chất σ -khai triển 38 3.3 Tính chất θ -khai triển 46 3.4 Tính chất khai. .. đưa đặc trưng khơng gian chuẩn tắc có tính chất khai triển khơng gian chuẩn tắc có tính chất khai triển rời rạc Định lý 3.1 Khơng gian chuẩn tắc X có tính chất khai triển X có tính chất C.N paracompact