M ục lục
2.2.L là lớp các khơng gian metric compact
Định lý 2.2. Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được.
Trước hết, chúng ta chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề 2.3. Tích tơpơ của khơng gian chuẩn tắc m-paracompact X và khơng gian Hausdorff compact Y cĩ trọng số ≤m là một khơng gian chuẩn tắc.
Chứng minh. Lấy bất kỳ một cặp tập con đĩng F, G rời nhau của khơng gian tơpơ tích
X ×Y. Gọi {Vξ |ξ∈Ξ} là cơ sở của Y thỏa Ξ ≤m và Γlà họ gồm tất cả tập con hữu hạn của Ξ.
Với mỗi γ ∈Γ, đặt Hγ ={Vλ |λ γ∈ }. Với mỗi x∈X , chúng ta định nghĩa ( ) { |( ), }
F x = y∈Y x y ∈F và G x( )={y∈Y|( )x y, ∈G}.
Khi đĩ, Uγ ={x∈X F x| ( )⊂ Hγ ⊂Hγ ⊂Y G x\ ( )} là một tập con mở của X . Thật vậy, lấy bất kỳ x0∈Uγ và gọi {Wδ |δ ∈ ∆} là tập tất cả các lân cận của x0 trongX , trong đĩ ∆
được xem như tập định hướng với quan hệ thứ tự > được xác định bởiδ δ> ′⇔Wδ ⊂Wδ′. Giả sử x0 khơng là điểm trong của Uγ, tức là Wδ ⊂/Uγ với mọiδ∈ ∆. Với mỗiδ ∈ ∆, chọn
( ) Wδ \Uγ
ϕ δ ∈ . Từ định nghĩa của Uγ, chúng ta cĩ hai trường hợp cĩ thể xảy ra:
1. Nếu F(ϕ δ( ))⊂/Hγ với mọiδ∈ ∆′, trong đĩ ∆′ là một tập con cùng gốc của ∆ thì với mỗi δ∈ ∆′ chọnψ δ( )∈F(ϕ δ( ))\Hγ.
Vì Y là khơng gian compact nên lưới ψ(∆ >′| ) cĩ một điểm tụ y0∈Y H\ γ . Nếu
(x y0, 0)∈F thì y0∈F x( )0 ⊂ Hγ. Điều này khơng thể xảy ra, do đĩ (x y0, 0)∉F. Mặt khác, từ ψ δ( )∈F(ϕ δ( )) suy ra θ δ( )=(ϕ δ ψ δ( ) ( ), )∈F với mọiδ∈ ∆′. Vì
0
y là điểm tụ của ψ(∆ >′| ) và lưới ϕ(∆ >′| ) hội tụ về x0 nên (x y0, 0) là một điểm tụ
của θ(∆ >′| ). Ngồi ra, do F là một tập con đĩng của X nên (x y0, 0)∈F (mâu
thuẫn với chứng minh trên).
2. Nếu Hγ ∩G x( )δ ≠ ∅ với mọi δ∈ ∆′, trong đĩ ∆′ là một tập con cùng gốc của ∆
thì với mỗi δ∈ ∆′, chọn ψ δ( )∈Hγ ∩G x( )δ .
Gọi y0 là điểm tụ của lưới ψ (∆ >′| ). Khi đĩ, vì y0∈Hγ ⊂ X G x\ ( )0 nên
(x y0, 0)∉G. Mặt khác, từ ψ δ( )∈G(ϕ δ( )) suy ra θ δ( )=(ϕ δ ψ δ( ) ( ), )∈G với mọi δ∈ ∆′. Vì y0 là điểm tụ của ψ (∆ >′| ) và lưới ϕ(∆ >′| ) hội tụ về x0 nên (x y0, 0)
là một điểm tụ củaθ(∆ >′| ). Ngồi ra, doG là một tập con đĩng của X nên
Lưu ý rằng {Uγ |γ∈Γ =} X do {Vξ |ξ∈Ξ} là một cơ sở của khơng gian Hausdorff compact Y . Vì thế, với mọi x∈X , tồn tại γ ∈Γ sao choF x( )⊂Hγ ⊂Hγ ⊂Y G x\ ( ). Vì
Γ ≤m và X là khơng gian chuẩn tắc m-paracompact nên tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương {Pγ |γ ∈Γ} thỏa Pγ ⊂Uγ với mọi γ ∈Γ. Đặt P={Pγ ×Hγ |γ ∈Γ}. Khi đĩ,
{ | }
P = Pγ ×Hγ γ ∈Γ vì {Pγ ×Hγ |γ ∈Γ} là một phủ mở hữu hạn địa phương. Do đĩ, ( )\
⊂ ⊂ ⊂ ×
F P P X Y G (2.4)
Thật vậy, lấy bất kỳ (x y, )∈F và x∈Pγ. Khi đĩ, x U∈ γ , vì thếy∈F x( )⊂Hγ . Do đĩ,
( )x y, ∈ ×Pγ Hγ ⊂P với mọi γ ∈Γ. Mặt khác, lấy bất kỳ (x y, )∈G và x∈Pγ . Khi đĩ,
x U∈ γ và vì thế y∉Hγ do Hγ ∩G x( )= ∅ theo định nghĩa của Hγ . Do đĩ, ( )x y, ∉ ×Pγ Hγ ⊂P với mọi γ ∈Γ. Điều này suy ra ( )x y, ∈P theo cách định nghĩa của P.
Theo Định lý 1.1, vì P mở và thỏa (2.4) nên X ×Y là khơng gian chuẩn tắc.
Bổ đề 2.4. Các mệnh đề sau tương đương nhau:
(a) X là một khơng gian chuẩn tắc m-paracompact. (b) X ×Dm
là một khơng gian chuẩn tắc, trong đĩ Dm là tích tơpơ của m bản sao các khơng gian rời rạc D={ }0,1 .
(c) X×Im
là một khơng gian chuẩn tắc, trong đĩ Im là tích tơpơ của m bản sao các khoảng đơn vị đĩng [ ]0,1 .
Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh ( ) ( )b ⇒ c vì các chiều ( ) ( )a ⇒ b và ( ) ( )c ⇒ a
lần lượt suy ra từ Bổ đề 2.3 và Bổ đề 2.2. Chiều ( )b ⇒( )c được suy ra từ Hệ quả 1.6 và mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1. Giả sử ϕ:Y →Z là một tồn ánh hồn chỉnh 2 từ khơng gian Y vào khơng gianZ. Khi đĩ, với mọi khơng gian X nếu X×Y là một khơng gian chuẩn tắc thì X×Z
cũng là khơng gian chuẩn tắc.
2Ánh xạ liên tục đĩng :f X →Y từ khơng gian X vào khơng gian Y được gọi là ánh xạ hồn chỉnh nếu
( )
1
Chứng minh. Xét ánh xạ ψ :X Y× → ×X Z xác định bởi ψ(x y, )=(x,ϕ( )x ) với mọi
(x y, )∈ ×X Y. Khơng khĩ để thấy rằng ψ là một tồn ánh liên tục. Hơn nữa, ψ cịn là một
ánh xạ đĩng.
Thật vậy, giả sử F là một tập con đĩng của X×Y và lấy bất kỳ ( ) (x z, ∈ X×Z) ( )\ψ F . Khi đĩ, 1( ) { } 1( )
,
x z x z
ψ− = ×ϕ− và F rời nhau. Vì 1( )
z
ϕ− compact nên tồn tại một lân cận U
của x trong X và một tập mở V của Y sao cho 1( )
,
z V U V F
ϕ− ⊂ × ∩ = ∅. Do ϕ là ánh xạ đĩng nên U×(Z\ϕ(Y V\ )) là một lân cận của ( )x z, và rời với ψ( )F . Do đĩ, ( )x z, ∉ψ( )F . Điều này suy ra ψ( )F là một tập con đĩng hay ψ là một ánh xạ đĩng. Vì ảnh của khơng gian chuẩn tắc qua một ánh xạ liên tục đĩng là một khơng gian chuẩn tắc theo Tơpơ đại
cương nên X×Z là khơng gian chuẩn tắc.
Chúng ta đi đến chứng minh của Định lý 2.2.
Chứng minh. Giả sử X là khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được. Theo Bổ đề 2.4,
X×Iω là khơng gian chuẩn tắc với Iω là bội Hilbert. Nếu xem khơng gian metric Y như một tập con đĩng của Iω thì X×Y là một tập con đĩng của X×Iω. Theo Định lý 1.4, X×Y
là khơng gian chuẩn tắc.
Ngược lại, do tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y là một khơng gian chuẩn tắc nên X×[ ]0,1 là khơng gian chuẩn tắc. Vì Dℵ0 là một tập con đĩng của [ ]0,1 nên X×Dℵ0 là một tập con đĩng của X×[ ]0,1 . Do đĩ, X×Dℵ0 là khơng gian chuẩn tắc
và X là khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được theo Bổ đề 2.4. Từ chứng minh trên, chúng ta suy ra
Định lý 2.3. Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y cĩ trọng số
≤m là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian chuẩn tắc m- paracompact.