L là lớp các khơng gian metric compact

Một phần của tài liệu tính chuẩn tác và tính khai triển của không gian tôpô tích (Trang 30 - 33)

M ục lục

2.2. L là lớp các khơng gian metric compact

Định lý 2.2. Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được.

Trước hết, chúng ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 2.3. Tích tơpơ của khơng gian chuẩn tắc m-paracompact X và khơng gian Hausdorff compact Y cĩ trọng số ≤m là một khơng gian chuẩn tắc.

Chứng minh. Lấy bất kỳ một cặp tập con đĩng F, G rời nhau của khơng gian tơpơ tích

X ×Y. Gọi {Vξ |ξ∈Ξ} là cơ sở của Y thỏa Ξ ≤m và Γlà họ gồm tất cả tập con hữu hạn của Ξ.

Với mỗi γ ∈Γ, đặt Hγ ={Vλ |λ γ∈ }. Với mỗi xX , chúng ta định nghĩa ( ) { |( ), }

F x = yY x yFG x( )={yY|( )x y, ∈G}.

Khi đĩ, Uγ ={xX F x| ( )⊂ Hγ ⊂Hγ ⊂Y G x\ ( )} là một tập con mở của X . Thật vậy, lấy bất kỳ x0∈Uγ và gọi {Wδ |δ ∈ ∆} là tập tất cả các lân cận của x0 trongX , trong đĩ ∆

được xem như tập định hướng với quan hệ thứ tự > được xác định bởiδ δ> ′⇔Wδ ⊂Wδ′. Giả sử x0 khơng là điểm trong của Uγ, tức là Wδ ⊂/Uγ với mọiδ∈ ∆. Với mỗiδ ∈ ∆, chọn

( ) Wδ \Uγ

ϕ δ ∈ . Từ định nghĩa của Uγ, chúng ta cĩ hai trường hợp cĩ thể xảy ra:

1. Nếu F(ϕ δ( ))⊂/Hγ với mọiδ∈ ∆′, trong đĩ ∆′ là một tập con cùng gốc của ∆ thì với mỗi δ∈ ∆′ chọnψ δ( )∈F(ϕ δ( ))\Hγ.

Y là khơng gian compact nên lưới ψ(∆ >′| ) cĩ một điểm tụ y0∈Y H\ γ . Nếu

(x y0, 0)∈F thì y0∈F x( )0 ⊂ Hγ. Điều này khơng thể xảy ra, do đĩ (x y0, 0)∉F. Mặt khác, từ ψ δ( )∈F(ϕ δ( )) suy ra θ δ( )=(ϕ δ ψ δ( ) ( ), )∈F với mọiδ∈ ∆′. Vì

0

y là điểm tụ của ψ(∆ >′| ) và lưới ϕ(∆ >′| ) hội tụ về x0 nên (x y0, 0) là một điểm tụ

của θ(∆ >′| ). Ngồi ra, do F là một tập con đĩng của X nên (x y0, 0)∈F (mâu

thuẫn với chứng minh trên).

2. Nếu Hγ ∩G x( )δ ≠ ∅ với mọi δ∈ ∆′, trong đĩ ∆′ là một tập con cùng gốc của ∆

thì với mỗi δ∈ ∆′, chọn ψ δ( )∈Hγ ∩G x( )δ .

Gọi y0 là điểm tụ của lưới ψ (∆ >′| ). Khi đĩ, vì y0∈Hγ ⊂ X G x\ ( )0 nên

(x y0, 0)∉G. Mặt khác, từ ψ δ( )∈G(ϕ δ( )) suy ra θ δ( )=(ϕ δ ψ δ( ) ( ), )∈G với mọi δ∈ ∆′. Vì y0 là điểm tụ của ψ (∆ >′| ) và lưới ϕ(∆ >′| ) hội tụ về x0 nên (x y0, 0)

là một điểm tụ củaθ(∆ >′| ). Ngồi ra, doG là một tập con đĩng của X nên

Lưu ý rằng {Uγ |γ∈Γ =} X do {Vξ |ξ∈Ξ} là một cơ sở của khơng gian Hausdorff compact Y . Vì thế, với mọi xX , tồn tại γ ∈Γ sao choF x( )⊂Hγ ⊂Hγ ⊂Y G x\ ( ). Vì

Γ ≤m và X là khơng gian chuẩn tắc m-paracompact nên tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương {Pγ |γ ∈Γ} thỏa Pγ ⊂Uγ với mọi γ ∈Γ. Đặt P={Pγ ×Hγ |γ ∈Γ}. Khi đĩ,

{ | }

P = Pγ ×Hγ γ ∈Γ vì {Pγ ×Hγ |γ ∈Γ} là một phủ mở hữu hạn địa phương. Do đĩ, ( )\

⊂ ⊂ ⊂ ×

F P P X Y G (2.4)

Thật vậy, lấy bất kỳ (x y, )∈FxPγ. Khi đĩ, x U∈ γ , vì thếyF x( )⊂Hγ . Do đĩ,

( )x y, ∈ ×Pγ Hγ ⊂P với mọi γ ∈Γ. Mặt khác, lấy bất kỳ (x y, )∈GxPγ . Khi đĩ,

x U∈ γ và vì thế yHγ do Hγ ∩G x( )= ∅ theo định nghĩa của Hγ . Do đĩ, ( )x y, ∉ ×Pγ Hγ ⊂P với mọi γ ∈Γ. Điều này suy ra ( )x y, ∈P theo cách định nghĩa của P.

Theo Định lý 1.1, vì P mở và thỏa (2.4) nên X ×Y là khơng gian chuẩn tắc. 

Bổ đề 2.4. Các mệnh đề sau tương đương nhau:

(a) X là một khơng gian chuẩn tắc m-paracompact. (b) X ×Dm

là một khơng gian chuẩn tắc, trong đĩ Dm là tích tơpơ của m bản sao các khơng gian rời rạc D={ }0,1 .

(c) X×Im

là một khơng gian chuẩn tắc, trong đĩ Im là tích tơpơ của m bản sao các khoảng đơn vị đĩng [ ]0,1 .

Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chứng minh ( ) ( )bc vì các chiều ( ) ( )ab và ( ) ( )ca

lần lượt suy ra từ Bổ đề 2.3 và Bổ đề 2.2. Chiều ( )b ⇒( )c được suy ra từ Hệ quả 1.6 và mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1. Giả sử ϕ:YZ là một tồn ánh hồn chỉnh 2 từ khơng gian Y vào khơng gianZ. Khi đĩ, với mọi khơng gian X nếu X×Y là một khơng gian chuẩn tắc thì X×Z

cũng là khơng gian chuẩn tắc.

2Ánh xạ liên tục đĩng :f XY từ khơng gian X vào khơng gian Y được gọi là ánh xạ hồn chỉnh nếu

( )

1

Chứng minh. Xét ánh xạ ψ :X Y× → ×X Z xác định bởi ψ(x y, )=(x,ϕ( )x ) với mọi

(x y, )∈ ×X Y. Khơng khĩ để thấy rằng ψ là một tồn ánh liên tục. Hơn nữa, ψ cịn là một

ánh xạ đĩng.

Thật vậy, giả sử F là một tập con đĩng của X×Y và lấy bất kỳ ( ) (x z, ∈ X×Z) ( )\ψ F . Khi đĩ, 1( ) { } 1( )

,

x z x z

ψ− = ×ϕ− và F rời nhau. Vì 1( )

z

ϕ− compact nên tồn tại một lân cận U

của x trong X và một tập mở V của Y sao cho 1( )

,

z V U V F

ϕ− ⊂ × ∩ = ∅. Do ϕ là ánh xạ đĩng nên U×(Z\ϕ(Y V\ )) là một lân cận của ( )x z, và rời với ψ( )F . Do đĩ, ( )x z, ∉ψ( )F . Điều này suy ra ψ( )F là một tập con đĩng hay ψ là một ánh xạ đĩng. Vì ảnh của khơng gian chuẩn tắc qua một ánh xạ liên tục đĩng là một khơng gian chuẩn tắc theo Tơpơ đại

cương nên X×Z là khơng gian chuẩn tắc. 

 Chúng ta đi đến chứng minh của Định lý 2.2.

Chứng minh. Giả sử X là khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được. Theo Bổ đề 2.4,

X×Iω là khơng gian chuẩn tắc với Iω là bội Hilbert. Nếu xem khơng gian metric Y như một tập con đĩng của Iω thì X×Y là một tập con đĩng của X×Iω. Theo Định lý 1.4, X×Y

là khơng gian chuẩn tắc.

Ngược lại, do tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y là một khơng gian chuẩn tắc nên X×[ ]0,1 là khơng gian chuẩn tắc. Vì Dℵ0 là một tập con đĩng của [ ]0,1 nên X×Dℵ0 là một tập con đĩng của X×[ ]0,1 . Do đĩ, X×Dℵ0 là khơng gian chuẩn tắc

X là khơng gian chuẩn tắc paracompact đếm được theo Bổ đề 2.4. Từ chứng minh trên, chúng ta suy ra

Định lý 2.3. Tích tơpơ của khơng gian X với mọi khơng gian metric compact Y cĩ trọng số

≤m là một khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi X là một khơng gian chuẩn tắc m- paracompact.

Một phần của tài liệu tính chuẩn tác và tính khai triển của không gian tôpô tích (Trang 30 - 33)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(67 trang)