M ục lục
3.1. Tính chất khai triển
Định nghĩa 3.1. Khơng gian X được gọi là cĩ tính chất khai triển (cĩ tính chất khai triển rời rạc) nếu với mọi họ hữu hạn địa phương (rời rạc) {Fξ |ξ∈Ξ} các tập con của X , tồn tại một họ hữu hạn địa phương {Gξ |ξ∈Ξ} các tập con mở của X thỏa Fξ ⊂Gξ với mọi ξ∈Ξ.
Năm 1958, M. M. Katĕtov [13] đã đưa ra đặc trưng của khơng gian chuẩn tắc cĩ tính chất khai triển cũng như khơng gian chuẩn tắc cĩ tính chất khai triển rời rạc.
Định lý 3.1. Khơng gian chuẩn tắc X cĩ tính chất khai triển khi và chỉ khi X cĩ tính chất C.N 5và paracompact đếm được.
Định lý 3.2. Khơng gian chuẩn tắc X cĩ tính chất khai triển rời rạc khi và chỉ khi X cĩ tính chất C.N.
Bên cạnh đĩ, K. Morita [22] năm 1964 đã đưa ra thuật ngữ P-khơng gian và chứng minh được
5
Khơng gian X được gọi là cĩ tính chất C.N (collectionwise normal) nếu với mọi họ rời rạc {Fξ |ξ∈ Ξ}
Định lý 3.3. Giả sử X là một P-khơng gian chuẩn tắc và Y là một khơng gian metric hĩa. Nếu X cĩ tính chất C.N thì X×Y cũng cĩ tính chất C.N và paracompact đếm được.
Vì mỗi P-khơng gian chuẩn tắc là một khơng gian paracompact đếm được theo Định lý 1.18 nên chúng ta cĩ định lý sau:
Định lý 3.4. Giả sử X là một P-khơng gian chuẩn tắc và Y là một khơng gian metric hĩa. Nếu X cĩ tính chất khai triển thì X×Y cũng cĩ tính chất khai triển.
Mặt khác, nếu kết hợp Định lý 3.3 với Định lý 3.2 thì chúng ta cũng cĩ định lý tương tự Định lý 3.4.
Định lý 3.5. Giả sử X là một P-khơng gian chuẩn tắc và Y là một khơng gian metric hĩa. Nếu X cĩ tính chất khai triển rời rạc thì X×Y cũng cĩ tính chất khai triển rời rạc.
Như vậy, xuất phát từ đặc trưng của khơng gian chuẩn tắc cĩ tính chất khai triển (cĩ tính chất khai triển rời rạc) kết hợp với các tính chất của P-khơng gian, chúng ta cĩ điều kiện để khơng gian tơpơ tích kế thừa được tính chất khai triển (tính chất khai triển rời rạc) từ khơng gian thành phần.
Một vấn đề được quan tâm chính là đối với các tính chất σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ-khai triển, θ-khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con, cĩ thể đưa ra các định lý tương tự như Định lý 3.4 và Định lý 3.5 được hay khơng. Nội dung Chương 3 của luận văn sẽ nghiên cứu vần đề này và đồng thời giải quyết
Bài tốn 2. Tìm điều kiện cho khơng gian Y để tích tơpơ của một P-khơng gian chuẩn tắc
X với Y kế thừa được tính khai triển từ P-khơng gian chuẩn tắc X .
Ở đây, tính khai triển được đề cập đến bao gồm khai triển, khai triển rời rạc, σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ-khai triển, θ-khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con.
Nhận xét rằng, họ bao đĩng của một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) là một họ hữu hạn địa phương (rời rạc) theo Định lý 1.7. Do đĩ, trong các định nghĩa của σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ-khai triển, θ-khai triển rời rạc, khai triển con rời rạc và khai triển con; chúng ta cĩ thể thay thế cụm từ ‘‘… với mọi họ {Fξ |ξ∈Ξ} các tập con của X …’’ bằng cụm từ ‘‘… với mọi họ {Fξ |ξ∈Ξ} các tập con đĩng của X …’’.