lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabriel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Mục lục Lời mở đầu Bảng ký hiệu Chương - Các vấn đề lý thuyết vành, môđun không gian tôpô 1.1 Vành 1.2 Môđun 1.3 Không gian tôpô 22 Chương - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền ví dụ 25 2.1 Preradicals 26 2.2 Lý thuyết xoắn 34 2.3 Lý thuyết xoắn di truyền .39 Chương - Mối quan hệ lý thuyết xoắn tổng quát tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel số ví dụ 45 3.1 Tôpô tuyến tính 46 3.2 Tôpô Gabriel 51 3.3 Một số ví dụ 54 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 63 Lời mở đầu Trước tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.Tiến sĩ Bùi Tường Trí, Người giảng dạy, trực tiếp đề tài hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình học tập như: PGS TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy Triết học, Ngoại ngữ thầy cô Phòng Khoa học – Công nghệ sau đại học tạo điều kiện học viên khóa cao học K.19 hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Luận văn đưa khái niệm lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải C,tôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A, minh họa ví dụ cụ thể cho khái niệm Đồng thời, luận văn trình bày mối quan hệ lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải Cvớitôpô tuyến tính, tôpô Gabriel vành A Nội dung luận văn trình bày chương: Chương Chương nhắc lại kiến thức Vành, Môđun, Không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc trình bày chương luận văn Chương Chương giới thiệu khái niệm Preradical, Preradical lũy đẳng, Radical phạm trù A-môđun phải C, khái niệm lớp tiền xoắn, lớptiền xoắn tự do, lớp tiền xoắn di truyền, lớp xoắn, lớp xoắn tự do, lớp xoắn di truyền vật phạm trù A-môđun phải C, trình bày định nghĩa tính chất Lý thuyết xoắn Lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải C, đồng thời đưa số ví dụ minh họa Chương Chương trình bày tôpô tuyến tính vành A tôpô Gabriel vành A, đồng thời trình bày mối quan hệ tôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A vớiLý thuyết xoắn, Lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải C Cuối số ví dụ minh họa Mặc dù cố gắng kiến thức nhiều hạn chế thời gian không nhiều nên khó tránh khỏi có nhiều sai sót.Tác giả mong nhận bảo, góp ý chân tình thầy cô bạn bè để luận văn hoàn chỉnh Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỉ Mod- A Phạm trù A-môđun phải MA Môđun phải M vành A AM Môđun trái M vành A M(n,Z) Tập hợp ma trận cấp n có hệ số số nguyên M(n,2Z) Tập hợp ma trận cấp n có hệ số số nguyên chẵn M(n,Q) Tập hợp ma trận cấp ncó hệ số Q Ideal sinh S A[S-1] Vành phân số phải vành Adựa vào S Qrcl (A) Vành thương cổ điển phải vành A C :C→C Đồng cấu đồng C,tức C (x) = x,∀x∈C Ker𝛼 Hạt nhân đồng cấu 𝛼,tức làKer𝛼 = {x∈M | 𝛼(x) = 0},(với Im 𝛼 Ann(x) 𝛼: M→N đồng cấu A-môđun) Ảnh đồng cấu𝛼, tức làIm 𝛼= {y∈N |∃x∈M, 𝛼(x) =y},(với 𝛼: M→N đồng cấu A-môđun) Linh hóa tử (phải) phần tử x, tức Ann(x) = {a∈A | x.a = 0} Vành thương vành A ideal a A A/a HomA (M,N) Tập hợp đồng cấu A-môđun phải từ M đến N Môđun S-xoắn M, tứclà t(M) t(M)={x∈M|∃s∈S,x.s= 0} Tập hợp tất phần tử quy vành A( tức S reg lànhững phần tử ước 0)  Phần tử a∈A gọi ước tồn ≠ b∈A cho a.b = Tập hợp tất vật phạm trù C Ob(C) Mor C (C,C’) Tập hợp tất cấu xạ từ vật C đến C’ phạm trù C Cop Phạm trù đối ngẫu phạm trù C ∑𝐼 𝑀𝑖 Tổng họ môđun {M i } i∈I π i :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i i i :C i→⊕ I C i R Đồng cấu chiếu tắc, tức π i ((x i ) i ) = x i ,∀(x i ) I ∈∏𝐼 𝐶𝑖 Đơn cấu nhúng tắc, tức i i (x i ) = (x j ) j , 𝑥𝑗 = 𝑥𝑖 𝑛ế 𝑢𝑗 = 𝑖 � 𝑥𝑗 = 𝑛ế 𝑢𝑗 ≠ 𝑖 Spec(A) Tập hợp tất ideal nguyên tố vành A (a:a) Ideal phải A, xác định (a:a) = {b∈A|a.b∈a} E(M) Bao nội xạ môđun M Top(A) Tập hợp tất tôpô vành A Sets Phạm trù tập hợp Ab Phạm trù nhóm aben Chương -Các vấn đề lý thuyết vành, môđun không gian tôpô Chương nhắc lại khái niệm kết lý thuyết vành, môđun không gian tôpô, việc chứng minh chúng tìm thấy sách tham khảo trang cuối luận văn 1.1 Vành Trong luận văn này, vành hiểu vành không giao hoán, có đơn vị Định nghĩa 1.1.1.Vành tập hợp R với hai phép toán cộng nhân thỏa mãn tính chất sau: (R1) (R,+) nhóm Abel; (R2) (R,.)là nửa nhóm; (R3) Phép nhân phân phối với phép cộng, tức là:∀x,y,z∈R, ta có: x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx +zx  Phần tử trung hòa phép cộng gọi phần tử-không, kí hiệu  Phần tử đối xứng x∈R gọi phần tử đối x, kí hiệu -x  Nếu phép nhân có phần tử đơn vị ta nói vành R vành có đơn vị Phần tử đơn vị kí hiệu e hay  Nếu phép nhân giao hoán ta nói vành R giao hoán  Cho vành R có đơn vị Phần tử x gọi khả nghịch x khả đối xứngđối với phép nhân, nghĩa tồn y∈R cho xy = yx = Kí hiệu R*={x∈R | x khả nghịch} Khi đó,R* nhóm phép nhân, gọi nhóm phần tử khả nghịch R Định nghĩa 1.1.2.Cho (R,+,.) vành, tập A khác rỗng R gọi vành R A ổn định hai phép toán vành R A với hai phép toán cảm sinh vành Định nghĩa 1.1.3.Vành I R gọi idealphải (tương ứng ideal trái) R với r∈R, x∈I, ta có: xr∈I (tương ứng rx∈I) Ta nói I ideal R vừa ideal trái vừa ideal phải R Ví dụ : • {0}, R hai ideal tầm thường R • Giả sử R chứa đơn vị, I ideal R Khi đó: I = R⇔Ichứa phần tử khả nghịch ⇔I chứa phần tử đơn vị • I ideal Z⇔I có dạng nZ, n∈Z • M(n,Z) vành M(n,Q) không ideal M(n,Q) • M(n,2Z) ideal M(n,Z) Định nghĩa 1.1.4.Cho S tập khác rỗng vành R Ta định nghĩa giao tất vành R có chứa S vành sinh S  Giao tất ideal R có chứa S ideal sinh S Kí hiệu là:  Giả sử I = Nếu S hữu hạn ta nói I hữu hạn sinh Đặc biệt, S = {a} ta viết I = , gọi ideal sinh a Xét vành (R,+,.) I ideal tùy ý R Vì phép cộng giao hoán nên nhóm (I,+) chuẩn tắc (R,+) ta lập nhóm thương (R/I,+) Định lý 1.1.5.Giả sử I ideal (R,+,.).Trên nhóm thương (R/I,+), ta định nghĩa phép toán nhân sau:(x+I).(y+I) = x.y + I Khi đó:(R/I,+,.) vành gọi vành thương R ideal I Ví dụ : ������� • Vành thươngZ/nZ = Z n = { 0� , 1� , 2� ,…,𝑛 − } Định nghĩa 1.1.6.(Các vành đặc biệt)  Miền nguyên vành giao hoán có đơn vị, nhiều phần tử ước  Trường miền nguyên mà phần tử khác có nghịch đảo  Vành vành ước mà ideal ideal  Vành quy (theo nghĩa Von Neumann)là vành R mà : Với a∈R, tồn x∈R cho a = axa  Vành đơn vành có hai ideal R  Ideal a A gọi ideal lũy linh ∃n∈N* cho an =  Ideal a A gọi ideal cốt yếu A nếua∩b≠ 0, với ideal b ≠ 0của A  Ideal p A gọi ideal nguyên tố với a, b∈A mà a.b∈p thìa∈p b∈p  Vành A gọi vành không đơn có ideal đơn ta đặtF họ ideal phải a cho A/a∈C C Họ F thỏa mãn (T1) đóng môđun thương, thỏa mãn (T2) A/(a∩b) môđun A/a ⊕A/b,và thỏa mãn (T3) a∈F a∈A, nhân bên trái bởiata dãy khớp: 0→(a:a)→A→A/a.Điều A/(a:a)⊂A/a Do đó, F xác định tôpô tuyến tính phải A Bây ta thiết lập song ánh (1)↔(2).Bắt đầu với tôpô tuyến tính với tập F ideal phải mở, ta có C ta có {a | A/a∈C ={M | Ann(x)∈F,∀x∈M} } = {a | (a:a)∈F,∀a∈A}= F (T1) Mặt khác, ta bắt đầu với lớp tiền xoắnC , trước tiên ta có F= {a | A/a∈C } ta có {M | Ann(x)∈F,∀x∈M} = {M | môđun cyclic M thuộc C C }=C , đóng tổng trực tiếp  Nếu A vành tùy ý F tập ideal phải A thỏa mãn (T1), (T2), (T3) ta lạm dụng ngôn ngữ gọi Flà tôpô(phải) Tôpô tuyến tính tương ứng A gọi F - tôpô A, nói phần  Một sở tôpôF ta hiểu tập B F cho ideal phải F chứa ideal b∈B Ví dụ : • Tôpôa-adic Lấy a ideal hai phía vành A Những lũy thừa an tạo thành sở tôpô tuyến tính vành A, mà thường gọi “tôpôa-adic” 3.2 Tôpô Gabriel Một lý thuyết xoắn di truyền tương ứng với tôpô tuyến tính cho lớp môđun biệt lập đóng mở rộng Để đặc trưng cho tôpô ta đưa thêm tính chất nữa: (T4).Nếu a ideal phải tồn b∈Fsao cho (a:b)∈F,∀b∈b, a∈F Định nghĩa 3.2.1.Một họ F ideal phải A thỏa mãn tính chất (T1), (T2), (T3), (T4) tôpô Gabriel(phải) A Bây ta phát biểu kết chương này: Định lí 3.2.2.Có song ánh tương ứng giữa: (1).Tôpô Gabriel phải A (2).Những lý thuyết xoắn di truyền Mod-A (3).Những radical khớp trái Mod-A Chứng minh.Ta thiết lập song ánh tương ứng (2)↔(3) mệnh đề 2.3.2 Giả sử Flà tôpô Gabriel, lấy 0→L→M→N→0 dãy khớp môđun cho L N F -biệt lập, ta cần chứng minh M môđun F -biệt lập Thật vậy, với x∈M, ta đặt b = Ann(𝑥̅ ), 𝑥̅ ảnh x N Khi đó, b∈F b∈b ta có xb∈L, Ann(xb)∈F Bởi vì,Ann(xb) = (Ann(x) : b) nên theo tính chất (T4) Ann(x)∈F, suy M môđun F-biệt lập Do đó, lớp môđun F-biệt lập đóng mở rộng, lớp xoắn di truyền Mặt khác, Tlà lớp xoắn di truyền tôpô tương ứng F = {a| A/a∈T} thỏa mãn (T4) Bởi vì, a ideal phải cho (a:b)∈F,∀b∈b,b∈F, ta xét dãy khớp sau:0→b/a∩b→A/a→A/a+b→0 Trong đó, A/a+b∈T môđun thương A/b∈T ta có b/a∩b∈T Thật vậy, b∈b ((a∩b):b) = (a:b)∈F.Nhân bên trái b ta dãy khớp sau : 0→((a∩b):b)→A→/(a∩b)→0, = b.A môđun cyclic b.Do đó, A/((a∩b):b)≅/(a∩b)∈T, suy b/a∩b∈T(do b tổng trực tiếp môđun cyclic Tlà đóng tổng trực tiếp) Bởi T đóng mở rộng nên suy A/a∈Tvà a∈F  Do đó, F tôpô Gabriel A lớp xoắn di truyền tương ứng chứa tất môđun biệt lập F - tôpô chúng, cách tương đương, cho tất phần tử linh hóa ideal phải F Những môđun gọi môđun F - xoắn Công việc kiểm tra tính chất (T1), (T2), (T3), (T4) thực đơn giản (T1), (T2) thật suy từ (T3), (T4) Bổ đề 3.2.3.Nếu Flà tập khác rỗng ideal phải A thỏa mãn (T3) (T4) F thỏa mãn (T1) (T2) Chứng minh.(T1) Chúng ta ý (T3) với kiện Fkhác rỗng A∈F Khi đó, giả sử a∈Fvà b ⊃a, a∈a, ta có (b:a) = A∈F, b∈F, (T4) (T2) Giả sử a b thuộc F Nếu b∈b ((a∩b):b) = (a:b)∩(b:b) = (a:b)∈F, (T3), a∩b∈F, (T4) Ta ý tôpô Gabriel đóng tích Bổ đề 3.2.4.Lấy Flà tôpô Gabriel.Nếu a b thuộc Fthì a.b thuộc F Chứng minh.Đối với a∈a ta có: (a.b :a) ⊃b, a.b∈F, (T1) (T4)  Nếu F F tôpô A, ta nói F yếu F (hay F mạnh F ) F ⊂F Bởi rõ ràng giao tôpô tuyến tính tôpô, nên tôpô tuyến tính A tạo thành dàn đầy đủ Top(A) Cũng vậy, giao tôpô Gabriel tôpô Gabriel nên có phép toán đóng J Top(A) cho tôpôE liên kết với tôpôGabriel yếu J(E) mạnh E Mệnh đề 3.1.8 thiết lập nên đẳng cấu dàn Top(A) dàn lớp tiền xoắn A- môđun Nó E tôpô J(E) tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn di truyền sinh lớp môđun E- biệt lập Mệnh đề 3.2.5.Nếu E tôpô J(E) = {a | với b ⊃a, b≠ A, tồn a∉b cho (b:a)∈E} Chứng minh.Áp dụng mệnh đề 2.2.6 với C = {A/a | a∈E}, lớp tiền xoắn di truyền Chú ý lý thuyết xoắn sinh C di truyền theo mệnh đề 2.3.4 Do đó, tôpôJ(E)sẽ tương ứng với lý thuyết xoắn sinh C Lớp xoắn di truyền sinhbởi C chứa tất vật A/a cho với vật thương khác - khôngA/b (tức b ⊃a, b≠ A) có vật khác không A/(b:a) C (tức có a∉b cho (b:a)∈E) Chúng ta nhớ lại lý thuyết xoắn di truyền đối sinh môđun nội xạ (mệnh đề 2.3.8) Nếu môđun nội xạ cho bao nội xạ môđun M, tôpô Gabriel tương ứng mô tả sau: Mệnh đề 3.2.6.Lấy Flà tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh E(M) Khi đó,a∈Fkhi x.(a:a) ≠ 0, với a∈A ≠ x∈M Chứng minh.Theo bổ đề 2.3.9 ta có a∈Fkhi Hom(C,M) = với môđun cyclic C A/a Nhưng môđun cyclic A/acó dạngA/(a:a), ∀a∈A, suy kết mệnh đề 3.2.6 Ta dễ dàng mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.7.Tôpô Gabriel E tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh E(M) tôpô Gabriel mạnh tôpô Gabriel Ftương ứng với lý thuyết xoắn có M môđun xoắn tự Chứng minh Thật vậy, giả sử a∈Fsuy Hom(A/a,M) = (do M môđun xoắn tự do) Vì A/(a:a)là môđun cyclic A/a nên Hom(A/(a:a),M) = 0,∀a∈A Do đó, ta có a∈E 3.3 Một số ví dụ 1.1-tôpô Một 1- tôpô A tôpô Gabriel với sở chứa ideal (phải) Một 1- tôpôFđược sinh tập ∑(F) = {s∈A | s A∈F} Mệnh đề 3.3.1.Ánh xạ F →∑(F) xác định song ánh tương ứng 1tôpôFtrên A tập đóng nhân S A cho: (S0).Nếu ab∈S, a∈S; (S1).Nếu s∈S a∈A, tồn t∈S b∈A cho sb = at Chứng minh.Giả sử Flà 1-tôpô Khi đó, ∑(F) tập đóng nhân, nếus t thuộc ∑(F), (stA: sa) ⊃ (tA: a),∀a∈A, (tA: a)∈Fdo (T3), stA∈F, (T4) Tính chất (S0) ∑(F) có từ (T1) (S1) rõ ràng, (T3) (sA:a) ⊃tA, ∀tA∈F Ngược lại, lấy S tập đóng nhân thỏa mãn (S1), ta đặtF = {a | a∩S≠∅} Khi đó, dễ dàng tính chất (T3) (T4) F.Thật vậy, (T3) : Lấy a∈F⇒a∩S≠∅⇒∃s ∈S s ∈a Do ( S1), ta có với a∈A, s ∈S tồn t∈S, b∈A cho at = s b∈a⇒t∈(a: a) ⇒ (a: a)∩S≠∅⇒ (a: a)∈F (T4) : Nếu a ideal phải tồn b∈Fsao cho (a:b)∈F,∀b∈b ta có (a: b)∩S≠∅ , nói riêng (a: b )∩S≠∅ (với b ∈b∩S) ⇒∃s ∈S s ∈(a: b ) ⇒ ∃s ∈S b s ∈a⇒a∩S≠∅ (vì b s ∈S, tập đóng nhân)⇒a∈F Do đó,F 1-tôpô (S0) tính chất kèm theo làm cho tương ứng F↔ S song ánh Đối với 1-tôpôF, môđun F-xoắn M đặc trưng tính chất:∀x∈M, tồn s∈∑(F) chox s = 2.Lý thuyết xoắn Goldie Họ E ideal phải cốt yếu A tôpô, thỏa mãn (T4) Preradical khớp trái tương ứng thường kí hiệu là: Z, ta gọi Z(M) môđun đơn M Tôpô Gabriel J(E) gọi tôpôGoldie A Radical xoắn tương ứng G radical nhỏ chứa Z Tiến trình biến đổi từ Z đến G (Mệnh đề 2.1.7) kết thúc sớm Thật ta có (sử dụng lại kí hiệu Mệnh đề 2.1.7) : Mệnh đề 3.3.2.G = Z Chứng minh.Trước tiên ta nhận xét Z(M) môđun cốt yếu G(M), với môđun M Bởi vì, L⊂G(M) L∩Z(M) = 0, Z(L) = L∩Z(M) = L môđun xoắn tự do, điều L = Bây giờ, ta có:Z (M)/Z(M) = Z(M/Z(M)) ⊃G(M)/Z(M),vì Z (M) = G(M) Mệnh đề 3.3.3.NếuElà họ ideal phải cốt yếu, thìJ(E) = {a | tồn b∈Esao cho a⊂b (a:b)∈E,∀b∈b} Chứng minh.Nếu a thỏa mãn điều kiện a∈J(E) (T4).Nếu a∈J(E), A/a môđun xoắn Goldie, A/a = Z (A/a) Ta viết Z(A/a) = b/a Công thức xác định Z cho ta A/b = Z(A/b) b∈E Chúng ta có: Z(b/a) = Z2(A/a) = Z(A/a) = b/a, (a:b)∈E,∀b∈b Một mô tả khác J(E) có mệnh đề 3.2.5 Chú ý môđun Goldie xoắn tự không đơn, nghĩa môđun đơn Tôpô dày đặc Một lý thuyết xoắn di truyền đối sinh môđun nội xạ phải E(A) trường hợp đặc biệt quan trọng Những ideal phải thuộc tôpô Gabriel tương ứng D gọi dày đặc Theo mệnh đề 3.2.6 chúng mô tả sau: Mệnh đề 3.3.4.Một ideal phải a dày đặc (a:a) linh hóa tử trái khác a∈A Hệ 3.3.5.Mỗi ideal phải dày đặc cốt yếu A Chứng minh.Thật vậy, a ideal không cốt yếu A A/a môđun không đơn Do đó, A/a có môđun khác - không A/(a: a) (với a∈A), suy (a: a) có linh hóa tử trái khác a∈A (mâu thuẫn) Hệ 3.3.6.Một ideal phải hai phía alà dày đặc ideal phải akhông có linh hóa tử trái khác Chứng minh.Bởi a ideal hai phía nên (a:a) ⊃a,∀a∈A, hiển nhiênnếu a linh hóa tử trái khác a ideal dày đặc.Ngược lại, adày đặc ta chứng minh a linh hóa tử trái khác 0.Thật vậy, giả sử tồn x ≠ mà x linh hóa a, ta chứng minh tồn phần tử khác - không linh hóa (a: a) Với b∈(a: a), ta có a.b∈a, suy tồn x ≠ chox.(a.b) = 0⇒ (x.a).b = Vậy (a: a) bị linh hóa phần tử khác - không y = x.a D tôpô Gabriel mạnh cho A môđun xoắn tự (mệnh đề 3.2.7) Trong trường hợp tổng quát yếu tôpô Goldie, thông thường hai tôpô trùng Mệnh đề 3.3.7.Vành A không đơn ideal phải cốt yếu dày đặc Chứng minh.Nếu a ideal phải cốt yếu, (a:a) cốt yếu, với a∈A Do đó, tính không đơn (a:a) có lũy linh trái Chiều ngươc lại hiển nhiên Hệ 3.3.8.Khi A vành không đơn phải, tôpô Goldie tôpô dày đặc trùng Tôpô bị chặn Một tôpô gọi bị chặn có sở chứa ideal hai phía Mệnh đề 3.3.9.Giả sử B tập ideal hai phía, hữu hạn sinh ideal phải.Tập hợp tích hữu hạn ideal thuộc B sở tôpô Gabriel bị chặn Chứng minh.Lấy B’ tập tất tích hữu hạn ideal B Giả sử a ideal phải cho a ⊃b với b∈B’ Với a∈A ta có: ab ⊂b⊂a, (a:a) ⊃b, (T3) thỏa mãn, họ F ideal phải chứa ideal trongB’ Tiếp theo ta Fthỏa mãn (T4) Giả sử a ideal phải tồn b∈F cho (a:b)∈F,∀b∈b Ta giả sử b∈B’ (mà không tính tổng quát) Lấy b ,b ,…,b n phần tử sinh b ideal phải Khi đó, tồn b ,b ,…b n B’ cho b i b i ⊂a,∀i=1,2,…,n Điều b b …b n ⊂b(b ∩b ∩…∩b n )⊂a, a∈F Kết áp dụng trường hợp đặc biệt B chứa ideal hai phía b, ta có tôpôb-adic (ví dụ sau mệnh đề 3.1.8).Nếu b lũy đẳng, tức b2 = b, ta không cần phải giả thiết b phải hữu hạn sinh chứng minh Do đó: Mệnh đề 3.3.10.Nếu b ideal lũy đẳng hai phía, tập hợp ideal phải chứa b tôpô Gabriel Những tôpô bị chặn kiểu có đặc trưng sau: Mệnh đề 3.3.11.Những tính chất sau tôpôFlà tương đương: (a).Lớp môđun F-xoắn đóng tích trực tiếp (b).Có ideal hai phíab cho M môđun F-xoắn khiM.b=0 (c).F có sở chứa ideal phải b (d).Fcó sở chứa ideal hai phía lũy đẳngb Chứng minh.(a) ⇒(c): Xét đồng cấu tắc 𝛼: A→∏A/a với tích diễn với a∈F Ảnh 𝛼 theo giả thiết môđun F-xoắn Ker 𝛼 = ∩a⊂F Điều có nghĩa F có thành viên nhỏ b = ∩a (c) ⇒(d): Ideal phải nhỏ b phải ideal hai phía (T3) cho ta (b:a)⊃b,∀a∈A Tính lũy đẳng b bổ đề 3.2.4 Dãy (d) ⇒ (b) ⇒ (a) hiển nhiên Vành giao hoán Lấy A vành giao hoán Kí hiệu Spec(A) tập hợp tất ideal nguyên tố A Với ideal a, ta đặt V(a) = {p∈Spec(A) | a⊂p} Nếu p ideal nguyên tố, phần bù nó(xem tập A) tập đóng nhân S Đối với môđun M, kí hiệu môđun phân số M[S-1] Mp Cho p ideal nguyên tố, có tôpô Gabriel tương ứng F p = {a | p∉V(a)} Những môđun F p -xoắn M đặc trưng tính chất Mp = Tổng quát hơn, lấy Plà tập Spec(A) Đối với P ta liên kết tôpô Gabriel F P =∩ p∈P Fp={a | V(a)∩P = ∅ } Lớp xoắn tương ứng chứa tất môđun Msao cho Mp = 0, với p∈P Ngược lại, tôpô Gabriel Ftrên A ta liên kết D(F)= {p∈Spec(A) | p∉F}⊂Spec(A) Khi đó:F D(F) = {a | V(a)∩D(F) = ∅}={a | V(a)⊂F} Từ điều ta dễ dàng có: Mệnh đề 3.3.12.Những tính chất sau tôpô Gabriel Ftrên vành giao hoán A tương đương: (a).Fbằng với F P P⊂Spec(A) (b).F =F D(F ) (c).Đối với ideal phải a mà a∉F, tồn p∈V(a) cho p∉F Bổ đề 3.3.13.Lấy Flà tôpô Gabriel A Khi đó: (i) Nếu a ideal tối đại với a∉F, a ideal nguyên tố (ii) Nếu Fcó sở chứa ideal phải hữu hạn sinh a∉F, tồn p∈V(a) cho p∉F Chứng minh.(i) Giả sử a b phần tử Akhông thuộc a Khi đó: a+Aa a+Ab phải thuộc F, có (a+Aa)(a+Ab)∈F, theo bổ đề3.2.4 Nhưng (a+Aa)(a+Ab)⊂a+Aab, ab∉a (ii) Bởi a∉F,dùng bổ đề Zorn ta tìm thấy ideal b⊃a ideal tối đại với b∉F(điều cần đến giả thiết đề cập đến ideal hữu hạn sinh F),b ideal nguyên tố (i) Kết hợp 3.3.12(c) 3.3.13(ii), ta có: Hệ 3.3.14.Nếu Flà tôpô Gabriel có sở ideal hữu hạn sinh, F=F P với P⊂Spec(A) Vì vành Nơ-te giao hoán A, tất tôpô Gabriel có dạng F P với P⊂Spec(A) Kết luận Luận văn đãtrình bày khái niệm lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền phạm trù Mod - A,tôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A, mối quan hệ lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền phạm trùMod - Avớitôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A Đồng thời, luận văn đưa số ví dụ minh họa để làm rõ khái niệm mối quan hệ chúng Sau số kết luận văn: Kết thứ nhất:Những tính chất sau lớpTcủa vật tương đương : (a) T lớp xoắn lý thuyết xoắn (b) T đóng vật thương, đối tích trực tiếp mở rộng Kết thứ hai :Lấy C lớp môđun đóng môđun môđun thương Lý thuyết xoắn sinh bởiC di truyền Kết thứ ba :Một lý thuyết xoắn di truyền sinh họ môđun cyclic A/a, môđun xoắn Kết thứ tư:Một lý thuyết xoắn di truyền đối sinh môđun nội xạ Kết thứ năm:Có song ánh tương ứng : (1) Tôpô tuyến tính phải A ; (2) Lớp tiền xoắn di truyền A- môđun ; (3) Preradical khớp trái Mod - A Kết thứ sáu:Có song ánh tương ứng giữa: (1) Tôpô Gabriel phải A (2) Những lý thuyết xoắn di truyền Mod- A (3) Những radical khớp trái Mod- A Kết thứ bảy:Lấy F tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh E(M) Khi đó, a∈Fkhi x.(a: a) ≠ 0,∀a∈A,0 ≠ x∈M Kết thứ tám:Nếu b ideal lũy đẳng hai phía, tập hợp ideal phải chứa b tôpô Gabriel Kết thứ chín:Nếu Flà tôpô Gabriel có sở ideal hữu hạn sinh, F= F P = ∩ p∈P F p={a | V(a)∩P = ∅ }, đóV(a) = {p∈Spec(A) | a⊂p} với P⊂ Spec (A).Vì thế, vành Nơ-te giao hoán A, tất tôpô Gabriel có dạng F P với P ⊂ Spec (A) Tài liệu tham khảo Đậu Thế Cấp, Tôpô Đại Cương, NXB GD TP.Hồ Chí Minh (2008) Nguyễn Viết Đông-Trần Huyên, Đại số đồng điều, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh (2006) N Hersein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA Nathan Jacobson (1975), PI-Algebra an Introduction, Springerverlag, Berlin, Heidelberg, New York Bo Stenstrom,Rings of Quotients, An Introduction to Methods of Ring Thoery, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York (1975) [...]... 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ Chúng ta đã biết rằng mỗi vành phân số của một vành A có liên kết với một khái niệm xoắn đối với một A-môđun.Điều này cũng đúng khi ta xét các vành các thương tổng quát của A, nhưng ở đây ta sẽ xét chiều ngược lại.Chúng ta bắt đầu bằng việc tiên đề hóa các khái niệm xoắn, và khi đó với mỗi lý thuyết xoắn ta sẽ liên kết với một vành... là một vành và S là tập con đóng nhân của A, nghĩa là: Với mọi t, s∈S, ta có: ts∈S và 1∈S Vành các phân số (Rings of fractions)phải của A dựa vào S là vành A[S-1] cùng với đồng cấu vành 𝜑 : A →A[S-1] thỏa mãn: (F1).𝜑(s) khả nghịch với mọi s∈S, (F2).Mọi phần tử trong A[S-1] có dạng 𝜑(a).𝜑(s)- 1với s∈S, (F3).𝜑(a) = 0⇔∃s∈S,a.s = 0 Định lý 1.1.8.Khi A[S-1] tồn tại, nó có tính chất phổ dụng sau: Với mọi... con của M là cyclic Thật vậy, nó được sinh bởi một phần tử khác 0 bất kỳ của M Rõ ràng, M đơn khi và chỉ khi M ≅ A/a, trong đó a là ideal phải tối đại của A  Môđun M được gọi là môđun nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp của những môđun đơn Định nghĩa 1.2.31 Nếu M là một môđun, tổng của tất cả môđun con đơn của M được gọi làSocle của M và được kí hiệu làs(M) Nếu x∈s(M) thì xA là một tổng trực tiếp của. .. gian tôpô Định nghĩa 1.3.1.Cho tập X Một họ 𝜏 các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (𝜏1).X và ∅thuộc 𝜏, (𝜏2) Hợp của tùy ý các tập thuộc 𝜏 là thuộc 𝜏, (𝜏3) Giao của hữu hạn các tập thuộc 𝜏 là thuộc 𝜏  Một tập X cùng với tôpô trên X gọi là một không gian tôpô (X, 𝜏)  Mọi tập G∈𝜏 gọi là một tập mở của X  Tập con F của X gọi là đóng nếu X\F là mở  Cho hai tôpô 𝜏 và. .. niệm xoắn đặc biệt được dùng trong lý thuyết vành các thương, có thể được mô tả qua ba cách tương đương: 1) bởi lớp những môđun xoắn; 2) bởi những ideal phải đóng vai trò như những linh hóa tử của những phần tử xoắn; 3) bởi hàm tử tương ứng mỗi môđun với môđun con xoắn của nó Trong chương này, xét C là một phạm trù môđun phải trên vành A 2.1 Preradicals Một cách để giới thiệu khái niệm xoắn đối với. .. Ms, với mọi s∈S Định nghĩa 1.2.41.Nếu L là một môđun con của M thì L là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại một môđun con L’ của M sao cho M = L⊕L’  Môđun M là không phân tích được nếu nó không có hạng tử trực tiếp khác 0, M Chú ý rằng M là tổng trực tiếp của hai môđun con L và L’ khi và chỉ khi L+L’ = M và L∩L’ = 0 Mệnh đề 1.2.42.Những hạng tử trực tiếp của A A tương ứng với những phần tử lũyđẳng của. .. 1.2.18.NếuB và C là những phạm trù tiền cộng tính thì hàm tử T:B → C được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn: (F3).T(α+β ) = T(α)+ T(β ), với ,𝛽: B→C, với B, C∈Ob(B) Do đó, T là hàm tử cộng tính khi và chỉ khi ánh xạ (1) là một đồng cấu nhóm Ví dụ : 1 Những phạm trù con Nếu B và C là những phạm trù thì B là phạm trù con của C nếu Ob(B) là một lớp con của Ob(C), Mor B (B,B’)là một tập con của Mor C (B,B’) với. .. thì ta nói 𝜏yếu hơn và 𝑚ạ𝑛ℎ ℎơ𝑛𝜏 Định nghĩa 1.3.2.(Cơ sở và tiền cơ sở) Cho 𝜏 là một tôpô trên X Một họ con 𝛽 của 𝜏 gọi là một cơ sở của 𝜏 nếu mọi tập thuộc 𝜏 đều bằng hợp của một họ các tập thuộc Nói cách khác, họ con 𝛽 của 𝜏 là cơ sở của 𝜏 nếu ∀G∈𝜏,∀x∈G, tồn tại V∈𝛽 sao cho x∈V⊂G  Một họ con 𝜎 của 𝜏 gọi là một tiền cơ sở của 𝜏 nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc 𝜎 là một cơ sở của 𝜏 Như... 𝜑(x), và do đó 𝜑 = 𝛽 ∗ (𝜑�) Ngược lại, nếu 𝜑∈Im𝛽 ∗ , thì 𝜑 = 𝛾 𝛽 với 𝛾: M’’→N, và điều này chỉ rằng 𝜑 𝛼 = 𝛾 𝛽 𝛼 = 0 Do đó, Ker 𝛼 ∗ = Im𝛽 ∗ , và như vậy ta đã chứng minh được tính khớp trái của hàm tử Hom( ,N) Tính khớp trái của hàm tử Hom(N, ) được chứng minh tương tự Định nghĩa 1.2.20.Cho C là một phạm trù tiền cộng tính. Tích trực tiếp của họ (C i ) i∈I của những vật của C là một vật C cùng với cấu... 1.1.12.Một vành A được gọi là vành các thương(rings ofquotients) nếu mọi phần tử không phải là ước của 0 của A đều khả nghịch, nghĩa là A là vành các thương trái và phải của chính nó Chẳng hạn, mọi vành chính quy đều là vành các thương 1.2 Môđun Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm môđun được hiểu là môđun phải Định nghĩa 1.2.1.Lấy A là một vành có đơn vị 1 Một A-môđun phải là một nhóm aben M cùng với ... Chương Chương trình bày tôpô tuyến tính vành A tôpô Gabriel vành A, đồng thời trình bày mối quan hệ tôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A vớiLý thuyết xoắn, Lý thuyết xoắn di truyền phạm trù... 2.2 Lý thuyết xoắn 34 2.3 Lý thuyết xoắn di truyền .39 Chương - Mối quan hệ lý thuyết xoắn tổng quát tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel số ví dụ 45 3.1 Tôpô tuyến tính. .. áp dụng mối quan hệ lý thuyết xoắn tổng quát mà ta xét chương trước với tôpô tuyến tính vành A tôpô Gabriel vành A 3.1 Tôpô tuyến tính Định nghĩa 3.1.1.Một nhóm aben G nhóm tôpô trang bị tôpô cho