Định nghĩa 3.1.1.Một nhóm aben G là một nhóm tôpô nếu nó được trang bị một tôpô sao cho phép toán nhóm (a,b) → a + bvà a→ - a là những ánh xạ liên tục từ G×G → G và G → G.
Đối với một phần tử cố định a∈G, ánh xạ biến đổi x → a + x là một phép
đồng phôi, vì thế U là một lân cận của a khi và chỉ khi U - a là một lân cận của 0. Do đó, tôpô của G hoàn toàn được xác định bởi bộ lọc(filter) N của những lân cận của 0. Bộ lọc này thỏa mãn:
(N1). Đối với mỗi U∈N, tồn tại V∈Nsao cho V + V⊂U; (N2).U∈Nchỉ ra - U∈N .
Ngược lại, nếu G là một nhóm aben với bộ lọc Ncủa những tập con, tất cả đều
chứa 0, và nếu Nthỏa mãn (N1), (N2), thì có duy nhất một tôpô trên G sao cho
G là một nhóm tôpô và N là một hệ lân cận của 0.
Chú ý rằng, nếu H là một nhóm con của một nhóm tôpô aben G, thì H là mở
khi và chỉ khi nó chứa một điểm trong (khi đó, tất cả các điểm đều là điểm
trong do ánh xạ biến đổi). Vì thế những nhóm con mở tạo thành một bộ
Định nghĩa 3.1.2.Một vành tôpô là một vành A cùng với một tôpô làm thành một nhóm tôpô, sao cho phép nhân (a,b) → a.b là một ánh xạ liên tục từA×A → A.
Bởi vì ta có thể viết:ab - a0b0 = (a - a0)(b - b0) + (a - a0)b0+ a0(b - b0) nên tính
liên tục của phép nhân có được nếu chỉ cần:
1). Với mỗi a∈A, ánh xạx → axvà x → xaliên tục tại 0; 2). Ánh xạ (a,b) → a.b liên tục tại (0,0).
Dĩ nhiên, A phải là một nhóm tôpô. Do đó, nếu A là một vành tôpô, họ Ncủa
những lân cận của 0 thỏa mãn ngoài (N1),(N2) còn có:
(N3). Với mỗi a∈A và U∈N, thì tồn tại V∈Nsao cho aV⊂U và Va⊂U; (N4). Với mỗi U∈Nthì tồn tại V∈Nsao cho V.V⊂U.
Ngược lại, nếu A là một vành với một bộ lọc Ncủa những tập con tất cả đều chứa
0 và nếu Nthỏa mãn (N1), (N2), (N3), (N4) thì có duy nhất một tôpô trên A, biến
A thành một vành tôpô với Nlà một hệ lân cận của 0.
Định nghĩa 3.1.3.Giả sử A là một vành tôpô. Một A-môđun phải tôpôlà một A-
môđun phải M, được trang bị một tôpô sao cho M là một nhóm tôpô và ánh xạ
M×A → M, cho bởi (x,a) → x.a là liên tục. Việc xem xét đối với vành tôpô có
thể được lặp lại đối với môđun, vì thế họ Mcủa những lân cận của 0 được đặc
trưng bởi ngoài (N1), (N2) còn có những tính chất sau: (Lấy N kí hiệu cho họ lân
cận của 0 trong A)
(NM3). Đối với mỗi x∈M và U∈M, tồn tại V∈N sao cho xV⊂U; (NM4). Đối với mỗi U∈Mvà a∈A, tồn tại V∈M sao cho Va⊂U; (NM5). Đối với mỗi U∈M, tồn tại V∈Mvà W∈Nsao cho V.W⊂U.
Chú ý:Luận văn này chỉ đề cập đặc biệt đến những tôpô được xác định bởi
những ideal và những môđun con.
Định nghĩa 3.1.4.Một vành tôpôA là tôpô tuyến tính phải nếu nó có một hệ nềntảng những lân cận của 0 chứa những ideal phải. Tập Fcủa tất cả những ideal
phải mở khi đó thỏa mãn: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(T1). Nếu a∈F và a⊂b thì b∈F ; (T2). Nếu a và b thuộc F thì a∩b∈F ; (T3).Nếu a∈Fvà a∈A, thì (a : a)∈F.
Hai tính chất đầu tiên chỉ phát biểu rằng Flà một bộ lọc tôpô trong khi (T3) đến
từ (N3). Ngược lại, nếu Flà một tập của những ideal phải của A, thỏa mãn
(T1),(T2),(T3) thì có duy nhất một tôpô tuyến tính phải trên A với Flà một hệ nền
tảng nhữnglân cận của 0. Thật vậy, những tính chất (N1),(N2),(N4)cũng như một
nửa (N3) là tự động thỏa mãn khi F chứa những ideal phải,và nửa còn lại của (N3)
có được là do (T3).
Định nghĩa 3.1.5.Giả sử A là một vành tôpô tuyến tính phải với F là tập của tất
cả những ideal phải mở. Một A-môđun phảitôpôM được gọi là môđun tôpôtuyến
tính nếu nó có một hệ nền tảng những lân cận của 0 chứa những môđun con.
Những môđun con mở của M thỏa mãn:
(TM1). Nếu L⊂L’ là những môđun con của M và L mở thì L’ mở;
(TM2). Nếu Lvà L’ là những môđun con của M và L, L’mở thì L∩L’ mở; (TM3). Nếu L là một môđun con mở của M và x∈M thì (L:x)∈F.
Ngược lại những tính chất này xác định duy nhất một tôpô tuyến tính trên M,
Đặc biệt, đối với một A-môđun phải bất kỳ có một tôpô tuyến tính mạnh nhất trên M, kí hiệu cho tập những môđun con mở này là :F(M) = {L⊂M | (L:x)∈F,∀x∈M}.Thật vậy, F(M) thỏa mãn (TM1), (TM2) như trường hợp (T1), (T2) đối với F, trong khi (TM3) là hiển nhiên. Tôpô này được gọi là F -tôpô trên
M. (F-tôpô trên A chính là tôpô đã cho).
Định nghĩa 3.1.6.F -tôpô của M là biệt lậpkhi và chỉ khi những ideal linh hóa tử phải Ann(x)∈F với mọi x∈M. Ta sẽ gọi môđun M là F - biệt lập nếu F- tôpôcủa M
là biệt lập.
Bổ đề 3.1.7.Lớp của những môđun F-biệt lập là một lớp tiền xoắn di truyền.
Chứng minh.Bởi vì một môđun M là F -biệt lập khi và chỉ khi Ann(x)∈F,∀x∈M.
Rõ ràng, lớp môđun F-biệt lập là đóng dưới những môđun con. Tính đóng dưới
những môđun thương được suy ra từ (T1) và đóng dưới tổng trực tiếp là do (T2).
Do hệ quả 2.1.11 có sự tương ứng giữa Fvới một preradical khớp trái t và ta có t(M) = {x∈M|Ann(x)∈F}. Thật tiện lợi nếu gọi t(M) là một môđun con F -
tiền xoắn của M. Chúng ta cũng sẽ dùng luân phiên cụm từ “môđun F -biệt lập”
và “môđun F -tiền xoắn”. Hệ quả 2.1.11 bây giờ có thể hoàn chỉnh như sau:
Mệnh đề 3.1.8.Có một song ánh tương ứng giữa: (1).Tôpô tuyến tính phải trên A;
(2).Lớp tiền xoắn di truyền của những A-môđun; (3).Preradical khớp trái của Mod -A.
Chứng minh.Đối với mỗi tôpô tuyến tính Fchúng ta liên kết với một lớp tiền xoắn
ta đặtF là họ những ideal phải a sao cho A/a∈C . Họ F này thỏa mãn (T1) bởi
vì C đóng dưới những môđun thương, thỏa mãn (T2) bởi vì A/(a∩b) là môđun (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
con của A/a ⊕A/b,và thỏa mãn (T3) bởi vì nếu a∈F và a∈A, thì nhân bên trái bởiata được dãy khớp: 0→(a:a)→A→A/a.Điều này chỉ ra rằng A/(a:a)⊂A/a. Do đó, F xác định một tôpô tuyến tính phải trên A.
Bây giờ ta thiết lập một song ánh (1)↔(2).Bắt đầu với một tôpô tuyến tính
với tập F của những ideal phải mở, ta có C ={M | Ann(x)∈F,∀x∈M} và khi đó ta có {a | A/a∈C } = {a | (a:a)∈F,∀a∈A}= F bởi (T1). Mặt khác, nếu ta bắt đầu với một lớp tiền xoắnC , trước tiên ta có F= {a | A/a∈C } và khi đó ta có {M | Ann(x)∈F,∀x∈M} = {M | mỗi môđun con cyclic của M thuộc C } = C ,
bởi vì C đóng dưới tổng trực tiếp.
Nếu A là một vành tùy ý và F là một tập những ideal phải của A thỏa mãn (T1), (T2), (T3) thì ta sẽ lạm dụng ngôn ngữ gọi Flà một tôpô(phải). Tôpô tuyến tính tương ứng trên Ađược gọi là F - tôpô trên A, đã nói ở phần trên.
Một cơ sở đối với tôpôF ta hiểu là một tập con B của F sao cho mỗi ideal phải trong F chứa trong các ideal b∈B.
Ví dụ :
• Tôpôa-adic. Lấy a là một ideal hai phía trong vành A. Những lũy thừa
an tạo thành một cơ sở đối với một tôpô tuyến tính trên vành A, cái mà thường được gọi là “tôpôa-adic”.