Định nghĩa 2.3.1.Một lý thuyết xoắn (T,F) được gọi là di truyền nếu Tlà di truyền,
có nghĩa là Tđóng dưới những vật con.Từ mệnh đề 2.1.9 ta nhớ lại rằng, điều này
xảy ra khi và chỉ khi radical liên kết t là khớp trái. Kết hợp hệ quả 2.1.11 và mệnh đề 2.2.4, ta có:
Mệnh đề 2.3.2.Có một song ánh tương ứng giữa lý thuyết xoắn di truyền và
những radical khớp trái.
Mệnh đề 2.3.3.Một lý thuyết xoắn (T,F) là di truyền khi và chỉ khi F đóng dưới những bao nội xạ.
Chứng minh.Nếu t khớp trái và F∈F, thì t(E(F))∩F = t(F) = 0. Điều này chỉ ra
t(E(F)) =0(bởi vì F cốt yếu trong E(F)), nên E(F)∈F. Giả sử ngược lại Fđóng dưới những bao nội xạ. Nếu T∈Tvà C⊂T, thì có một đồng cấu 𝛽:T→E(C/t(C))
sao cho biểu đồ sau giao hoán:
CT
αβ
C/t(C)E(C/t(C))
Nhưng E(C/t(C)) là xoắn tự do, nên 𝛽 = 0. Điều này chỉ ra 𝛼 = 0, và do đó
C=t(C)∈T.
Mệnh đề 2.3.4.Lấy C là một lớp của những môđun đóng dưới những môđun con và môđun thương. Lý thuyết xoắn sinh bởiC là di truyền.
Chứng minh.Chúng ta sẽ chỉ ra rằng lớp của những môđun xoắn tự do là đóng
dưới những bao nội xạ. Giả sử F là một môđun xoắn tự do và tồn tại một đồng
cấu khác - không 𝛼 : C→E(F) với C∈C. Khi đó, Im 𝛼 ∈C , bởi vì
Im𝛼 ≅C/Ker𝛼∈C, và F∩Im 𝛼 là một môđun con của F thuộc C (mâu thuẫn).
Chứng minh.Trlà một lớp tiền xoắn di truyền, vì thế theo mệnh đề 2.3.4 và hệ quả 2.2.5 chỉ ra 𝑟 khớp trái.
Hệ quả 2.3.6.Nếu r là một preradical khớp trái và M là một môđun, thì r(M) là một môđun con cốt yếu của 𝑟(M).
Chứng minh.Giả sử L⊂ 𝑟(M) và L∩r(M) = 0. Khi đó, r(L) = 0, điều này chỉ ra rằng 𝑟(L) = 0(theo định nghĩa của 𝑟). Nhưng ta có 𝑟(L) = 𝑟(M)∩L = L, vì thế L = 0.
Mệnh đề 2.3.7.Một lý thuyết xoắn di truyền được sinh bởi họ những môđun
cyclic A/a, là những môđun xoắn.
Chứng minh.Một môđun M là môđun xoắn khi và chỉ khi mọi môđun con cyclic
là một môđun xoắn. Từ nhận xét này, phát biểu trên được suy ra dễ dàng.
Một lý thuyết xoắn di truyền do đó được xác định duy nhất bởi họ những
ideal phải a sao cho A/a là một môđun xoắn. Họ những ideal phải này sẽ
được tìm hiểu ở chương sau.
Một kiểu phát biểu đối ngẫu của mệnh đề 2.3.7 là:
Mệnh đề 2.3.8.Một lý thuyết xoắn là di truyền khi và chỉ khi nó được đối sinh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
bởi một môđun nội xạ.
Chứng minh.Lấy E là một môđun nội xạ và đặt T= {M | Hom(M,E) = 0}. Nếu
M∈Tvà L là một môđun con của M với một đồng cấu khác-không𝛼: L→E, thì có
thể mở rộng đến một đồng cấu M→E. Vì thế:L∈T,và do đó lý thuyết xoắn đối
sinh bởi E là di truyền.
Ngược lại, giả sử (T,F) là một lý thuyết xoắn di truyền. Đặt E = ∏ E(A/a) với tích lấy trên tất cả các ideal phải a của A sao cho A/a∈F. Khi đó, Elà môđun xoắn-tự do, vì thếHom(M,E) = 0 với mọi môđunM∈T. Mặt khác, nếu M không
thuộcT, thì tồn tại một môđun con cyclic C của M và một đồng cấu khác - không𝛼: C→F với F thuộc F. Ảnh của𝛼 là môđun cyclic xoắn tự do, vì thế cảm
sinh một đồng cấu C→E, đồng cấu này có thể mở rộng đến một đồng cấu khác-
không M→E. Do đó ta đã chỉ ra M thuộc Tkhi và chỉ khi Hom(M,E) = 0, và điều này có nghĩa là Eđối sinh ra một lý thuyết xoắn.
Khi áp dụng kết quả này vào một môđun nội xạ có dạng E(M), ta có sẵn điều sau:
Bổ đề 2.3.9.Nếu L và M là những môđunthì Hom(L,E(M))= 0 khi và chỉ khi Hom(C,M) = 0 với mọi môđun con cyclic C của L.
Mệnh đề 2.3.10.Xét một lý thuyết xoắn di truyền đối sinh bởi một môđun nội xạ
E. Một môđun M là xoắn-tự do khi và chỉ khi nó là một môđun con của tích trực tiếp của những bản sao của E.
Chứng minh.Mọi môđun con của tích trực tiếp EI dĩ nhiên là một môđun xoắn-tự
do. Ngược lại, nếu M là một môđun xoắn-tự do và 0≠x∈M, thìxA không là
môđun xoắn, vì thế Hom(xA,E) ≠0. Bởi vì E là một môđun nội xạ, điều này có
nghĩa là mọi phần tử 0 ≠x∈M tồn tại 𝜇: M→E sao cho 𝜇(x) ≠ 0. Nếu ta định nghĩa η: M→EI, trong đó I = Hom(M,E), bởi η(x) = (𝜇(x))μ∈I thì η là một đơn cấu.
Ví dụ :
1.Vật đối sinh nội xạ. Một vật đối sinh nội xạ đối với Mod-A giống như một môđun nội xạ đối sinh ra lý thuyết xoắn (0,F ) với Fchứa tất cả các A-môđun. Thật vậy, giả sử E là một vật đối sinh nội xạ đối với Mod-A, khi đó Hom(M, E) ≠ 0với mọi môđun M ≠ 0. Do đó, nếu đặt T = {M | Hom(M, E) = 0} thì T= 0. Khi đó, hiển nhiên F = {F | Hom(T, F) = 0,∀ T∈T } = {F | Hom(0, F) = 0} sẽ chứa tất
xoắn (0,F) với F chứa tất cả các A-môđun. Khi đó, nếu Hom(M, E) = 0 thì M = 0, nghĩa là Hom(M, E) ≠ 0với mọi môđun M ≠ 0.
2.S-xoắn. Nếu S là một tập mẫu số phải của vành A thì môđun S- xoắn và môđun S-xoắn tự do tạo thành một lý thuyết xoắn di truyền. Thật vậy, gọi Tlà lớp các môđun S- xoắn và F là lớp các môđun S-xoắn tự do, tức là:
T = {M | ∀x∈M, ∃s∈S, xs = 0} và F = {M|∀ 0 ≠x∈M, xs ≠ 0,∀s∈S} Ta có :
o Hom(T, F) = 0,∀T∈T,F∈F. Thật vậy, giả sử0 ≠ 𝛼 : T→F, suy ra
𝛼(T)⊂Fnên 𝛼(T) cũng thuộc F. Với mọi x∈T,∃s∈S, xs = 0⇒𝛼(x). s = 0, suy ra𝛼(T) = 0(do 𝛼(T)∈F) (mâu thuẫn).Do đó, 𝛼 = 0.
o Nếu Hom(C, F) = 0,∀F∈Fthì C∈T, bởi vì nếu C∉Tthì ∃0 ≠ x∈C,xs ≠
0,∀s∈S, suy ra xA∈Fvà do đó, tồn tại một đồng cấu 0 ≠ 𝛼 : xA→F , với
F∈F, đồng cấu này có thể mở rộng đến một đồng cấu khác - không
C→F,nên Hom(C, F) ≠ 0 (mâu thuẫn). Vậy C∈T.
o Tương tự như vậy ta có được nếu Hom(T,C) = 0,∀T∈T, thì C∈F.Bởi vì, nếu C∉Fthì tồn tại 0 ≠ x∈C sao cho xA∈T và do đó, tồn tại một đồng cấu 0
≠𝛼 : T→xA, với T∈T đồng cấu này sinh ra một đồng cấukhác - không (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
T→C, nênHom(T,C) ≠ 0 (mâu thuẫn). Vậy C∈F.
o Hiển nhiên, Tđóng với các vật con.
3.Giao hoán địa phương (Commutative localization). Lấy A là một vành giao hoán và p là một ideal nguyên tố của A. Nếu S = {a∈A | a∉p}, thì lý
thuyết S-xoắn được đối sinh bởi E(A/p). Ta cần chứng minh M là môđun S- xoắn khi và chỉ khi Hom(M,E(A/p)) = 0.
o Thật vậy, 0 ≠x∈A/pchỉ ra Ann(x) =p, vì thế A/p là môđun S- xoắn tự do, và khi đó E(A/p) cũng là môđun S- xoắn tự do ( vì lý thuyết S- xoắn là di
truyền nên lớp S- xoắn tự do đóng dưới bao nội xạ). Do đó,
Hom(M,E(A/p)) = 0 với Mlà một môđun S- xoắn.
o Mặt khác, nếu Hom(M, E(A/p)) = 0, thì Ann(x)⊄p với mọi phần tử khác - khôngx∈M, nghĩa là ∀x∈M, ∃s∈S, xs = 0vì thế Mlà môđun S-xoắn.
Chương 3 - Mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn tổng quát và
tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel
và một số ví dụ
Chúng ta chú ý rằng một lý thuyết xoắn di truyền được đặc trưng bởi họ những
ideal phải a sao cho A/a là một môđun xoắn. Điều này sẽ dẫn đến họ những
ideal phải như vậy là một họ của những lân cận của 0đối với một tôpô nhất định
trên A. Bởi vì lí do này, ta sẽ bắt đầu một thảo luận về những vành tôpô. Chú ý
rằng những khía cạnh tôpô này không phải là thiết yếu đối với sự phát triển của
Chương này cho ta những hình ảnh cụ thể hơn về khả năng áp dụng cũng như mối quan hệ của lý thuyết xoắn tổng quát mà ta đã xét ở chương trước với các tôpô tuyến tính trên vành A và tôpô Gabriel trên vành A.