Định nghĩa 2.2.1.Một lý thuyết xoắn đối với C là một cặp (T,F) của những lớp của những vật của C sao cho:
(i).Hom(T,F) = 0,∀T∈T, F∈F;
(ii).NếuHom(C,F) = 0,∀F∈F, thì C∈T; (iii).NếuHom(T,C) = 0,∀T∈T,thì C∈F.
Tđược gọi là một lớp xoắn và nó chứa những vật xoắn.
Fđược gọi là một lớp xoắn-tự do và nó chứa những vật xoắn-tự do.
Cho trước lớp C của những vật, C sẽ sinh ra lý thuyết xoắn theo cách sau:
T={T | Hom(T,F) = 0,∀F∈F}.
Rõ ràng, cặp (T,F) là một lý thuyết xoắn và Tlà lớp xoắn nhỏ nhất chứa C . Đối ngẫu, lớp C đối sinh ra lý thuyết xoắn (T,F) sao cho F là lớp xoắn tự do nhỏ nhất chứaC.
Mệnh đề 2.2.2.Những tính chất sau của một lớpTcủa những vật là tương đương:(a).T là một lớp xoắn đối với một lý thuyết xoắn.
(b).Tđóng dưới những vật thương,đối tích trực tiếp và mở rộng.
Chứng minh.Một lớp C được gọi là đóng dưới những mở rộng nếu đối với mỗi
dãy khớp0→C’→C→C’’→0, với C’ và C’’trong C thì C∈C .
Giả sử (T,F) là một lý thuyết xoắn.T dĩ nhiên đóng dưới những vật thương, và nó đóng dưới đối tích trực tiếp bởi vì Hom(⊕RITi,F)≅∏IHom(Ti,F).
Lấy 0→C’→C→C’’→0 là một dãy khớp với C’ và C’’ trong T , ta cần chứng minh C∈T .Nếu F là một môđun xoắn tự do và có một đồng cấu : C→F, thì 𝛼 = 0
trên C’, vì thế 𝛼được xác định trên C’’. Nhưng ta cũng có Hom(C’’,F) = 0, vì thế 𝛼 = 0. Do đó,C∈T.
Ngược lại, giả sử rằngTđóng dưới những vật thương, đối tích trực tiếp và
mở rộng. Lấy (T’,F) là một lý thuyết xoắn được sinh bởi lớp xoắn T. Chúng ta sẽchỉ ra rằng T= T’. Giả sử Hom(C,F) = 0,∀F∈F, ta phải chứng minh C∈T. Bởi vì Tlà một lớp tiền xoắn, nên có một vật con lớn nhất T của C sao cho T∈T . Ta sẽ
chứng minh rằng C = T, điều này sẽ có được nếu ta chứng minh được
C/T∈F(vìgiả sử C ≠ Tsuy raC/T ≠ 0mà C/Thiển nhiên thuộc T’ do T’đóng dưới những vật thương và nếu có thêm C/T∈Fthì rõ ràng có T’ = C/T∈T’, F=
C/T∈Fmà 1C/T∈Hom(T’,F)≠0(mâu thuẫn) , do đó C = T). Bây giờ ta chứng minh C/T∈F. Giả sử ta có : T’’→C/T, với T’’∈T. Ảnh của 𝛼 cũng thuộcT, bởi vì Im𝛼 ≅ T’’/Ker 𝛼, và nếu 𝛼 ≠0 thì ta có một vật con C’của C chứa nghiêm ngặt
T và thuộc T, bởi vì Tđóng dưới mở rộng (C’/T và T đều thuộc Tnên C’ cũng thuộc T ). Điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của T, vì thế ta phải có 𝛼 = 0, suy raC/T∈F.
Dựa vào tính đối ngẫu ta cũng có:
Mệnh đề 2.2.3.Những tính chất sau của một lớpFcủa những vật là tương đương:(a).Flà một lớp xoắn tự do đối với một lý thuyết xoắn.
(b).Fđóng dưới những vật con, tích trực tiếp và mở rộng.
Nếu (T,F) là một lý thuyết xoắn, thì Ttrong trường hợp này là một lớp tiền xoắn đặc biệt, vì thế mọi vật C chứa một vật con lớn nhất t(C) thuộcT, được gọi là vật con xoắn của C.
Một vật C được gọi là vật xoắn-tự do khi và chỉ khi t(C) = 0, bởi vì C∈Fkhi và chỉ khi Hom(T,C) = 0,∀T∈T.
Preradical lũy đẳng t thật sự là một radical, điều này dễ dàng thấy được từ sự kiện Tđóng dưới mở rộng. Thật vậy, giả sử t(C/t(C)) ≠ 0, tức là tồn tại vật con
C’ của C sao cho C’ chứa thật sự t(C) và C’/t(C)∈T.Khi đó, C’∈T(vì
C’/t(C)∈T và t(C)∈T) (mâu thuẫn với tính lớn nhất của t(C)).
Ngược lại, nếu t là một radical lũy đẳng của C thì ta có một lý thuyết xoắn (Tt
,Ft ) với : Tt= {C | t(C) = C} và Ft= {C | t(C) = 0}.
Mệnh đề 2.2.4.Có một song ánh tương ứng giữa những lý thuyết xoắn và những
radical lũy đẳng.
Hệ quả 2.2.5.Nếu r là một preradical lũy đẳng, thì 𝑟 là một radical lũy đẳng tương ứng với lớp xoắn nhỏ nhất chứa Tr .
Chứng minh.Bởi vì𝑟 là một radical lũy đẳng nhỏ nhất chứa r, nó phải tương ứng với lớp xoắn nhỏ nhất chứa Tr .
Mệnh đề 2.2.6.Lấy C là một lớp của những vật đóng dưới những vật thương. Lớp xoắn sinh ra bởiC chứa tất cả những vật C sao cho mỗi vật thương khác 0 của C có một vật con khác 0 trong C .
Chứng minh.Lấy (T,F) là một lý thuyết xoắn sinh ra bởi C . Bởi vì C đóng
dưới những vật thương, một vật thuộc Fkhi và chỉ khi nó không có vật con khác 0
trongC .Thật vậy, một vật thuộc Fthì dĩ nhiên là không có vật con khác 0 trong
C , bây giờ ta giả sử một vật F không có vật con khác 0 trong C , ta sẽ chứng minh rằng F thuộc F. Giả sử ngược lại F không thuộc Fkhi đó, tồn tại 0 ≠
𝛼 :T→F, với Tthuộc C , hiển nhiên 0 ≠ 𝛼(T) là một vật con của F và ta cũng
có 𝛼(T) ≅T/Ker𝛼∈C (do C đóng dưới những vật thương) (mâu thuẫn). Do đó,
khẳng định trên tương đương với điều sau: một vật C thuộc T khi và chỉ khi C
không có vật thương khác 0 trongF, và đây là một tính chất hiển nhiên của một lý thuyết xoắn (T,F).
Ví dụ :
Một lý thuyết xoắn là chẻ nếu vật con xoắn của C là một hạng tử trực tiếp của C, đối với mọi vật C. Chẳng hạn, nếu e là một lũy đẳng tâm của một vành A, ta đặt
t(M) = M.e , đối với mọi môđun M, thì ta có một lý thuyết xoắn chẻ (T,F) đối với
Mod-A với T= {M | M.e = M} và F= {M | M.e = 0}. Một lý thuyết xoắn có được
bằng cách này từ một lũy đẳngtâm ecủa một vành được gọi là tâm hóa chẻ.
Giả sử t(M) = Me.Đặt Tt={M | t(M) = M},Ft= {M | t(M) = 0}. Khi đó, (Tt ,Ft ) lập thành một lý thuyết xoắn. Thật vậy,t là một radical lũy đẳng.
o t là một preradical. Bởi vì, giả sử α: C→D là một đồng cấu thì α(t(C))⊂
t(D). Thật vậy, ta có: ∀x∈t(C),∃y∈C sao cho x = ye, suy ra: α(x) = α(y)e. Do đó, α(x)∈ t(D).
o t là một lũy đẳng, vì t(t(C)) = {x∈t(C) | x = y.e, vớiy∈t(C)} = t(C).
o t là một radical, vì t(C/t(C)) = {𝑥∈C/t(C) | 𝑥 = 𝑦.e, với 𝑦∈C/t(C)} ={x + t(C)∈ C/t(C) | x = y.e, với y∈C} = 0.
2.Những vật chia.
Lấy K là một vật của C. Lý thuyết xoắn (D,R) được sinh bởi K có thể được mô tả theo nghĩa của mệnh đề 2.2.6 như sau:
D={C | Hom (K,C’)≠ 0 với mọi vật thương khác-không C’ của C} R={C | Hom (K,C) = 0}.
Những vật trong Dđược gọi là K- chia được.
Những vật trong Rđược gọi là K- rút gọn.
Mỗi vật C chứa một vật con K-chia được lớn nhấtd (C).Ta cũng có thể xác định một preradical qbởi q(C)= ∑ Im𝛼,𝛼 chạy khắp Hom(K,C). Rõ ràng, qlũy đẳng và d= 𝑞.Trường hợp đặc biệt thú vị ta chọn K = E(A) trong Mod-A. Mọi môđun
nội xạ là E(A)-chia được. Thật vậy, những môđun E(A)-chia được chính là lớp
xoắn được sinh bởi lớp những môđun nội xạ.
Bây giờ ta sẽ chứng minh (D,R)đượcmô tả ở trênlà một lý thuyết xoắn. o Hom(D,R) = 0, ∀D∈D , R∈R .
Giả sử α:D→R,α≠0 ⇒ 0 ≠ α(D)⊂R ⇒Hom(K,α(D)) = 0. Mặt khác, α(D)≅D/Kerα⇒ Hom(K,α(D))≠ 0(mâu thuẫn).
o Giả sử Hom(D,C) = 0 với D∈D , chứng minh C∈R. Thật vậy, giả sử C∉R, tức là Hom(K,C) ≠ 0 ⇒∃α : K→C,α≠0.
Ta có: α(K)≅K/Ker α∈D , vì Hom(K,K’ )≠0 với K’là vật thương khác -không củaK/Kerα. Do đó,Hom(α(K),C) = 0. Điều này chứng tỏα=0(mâu thuẫn ).
o Giả sử Hom(C,R) = 0 với R∈R , chứng minh C∈D .
Thật vậy, giả sử C∉D .Khi đó, Hom(K,C’) = 0, với C’ là vật thương khác - không của C, nói riêng Hom(K,C) = 0. Do đó, C∈Rvì thế nên Hom(C,R) ≠ 0, với
R∈R(mâu thuẫn).