Định nghĩa 1.3.1.Cho tập X. Một họ 𝜏 các tập con của X gọi là một tôpô trên X
(𝜏1).X và ∅thuộc 𝜏,
(𝜏2). Hợp của tùy ý các tập thuộc 𝜏 là thuộc 𝜏, (𝜏3). Giao của hữu hạn các tập thuộc 𝜏 là thuộc 𝜏.
Một tập X cùng với tôpô trên X gọi là một không gian tôpô (X, 𝜏).
Mọi tập G∈𝜏 gọi là một tập mở của X.
Tập con F của X gọi là đóng nếu X\F là mở.
Cho hai tôpô𝜏 và 𝜎 trên X. Nếu 𝜏⊂𝜎 thì ta nói 𝜏yếu hơn𝜎và𝜎 𝑚ạ𝑛ℎℎơ𝑛𝜏.
Định nghĩa 1.3.2.(Cơ sở và tiền cơ sở). Cho 𝜏 là một tôpô trên X. Một họ con 𝛽
của 𝜏 gọi là một cơ sở của 𝜏 nếu mọi tập thuộc 𝜏đều bằng hợp của một họ các tập thuộc. Nói cách khác, họ con 𝛽 của 𝜏 là cơ sở của 𝜏nếu ∀G∈𝜏,∀x∈G, tồn tại
V∈𝛽 sao cho x∈V⊂G.
Một họ con 𝜎 của 𝜏 gọi là một tiền cơ sở của 𝜏 nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc 𝜎 là một cơ sở của 𝜏. Như vậy, họ con 𝜎 của 𝜏là tiền cơ sở của
𝜏nếu ∀G∈𝜏,∀x∈G, tồn tại W1,W2,…,Wn∈𝜎 sao cho x∈W1∩W2∩…∩Wn⊂G.
Định nghĩa 1.3.3.(Lân cận). Cho X là một không gian tôpô và x∈X. Tập con V
của X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x∈G⊂V. Nếu lân cận Vcủa x là tập mở thì ta gọi V là lân cận mở của x. Dễ dàng kiểm tra G là tập mở khi và chỉ khi G là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
Định nghĩa 1.3.4.Một họ Ux các lân cận của x gọi là một hệ nền tảng các lân cận(haycơ sở lân cận)của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux
sao cho U⊂V.
Định nghĩa 1.3.5.(Phần trong và bao đóng). Cho X là một không gian tôpô và tập con A của X.
Bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là:𝐴.
Định nghĩa 1.3.6.(Ánh xạ liên tục). Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạf:X→Y. Ánh xạf:X→Y được gọi là liên tục tại x∈X nếu mọi lân cận V củaf(x) trong Yđều tồn tại lân cận U của x sao cho f(U)⊂V. Hay một cách tương đương,f- 1
(V) là một lân cận của x. Ánh xạ fđược gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi
x∈X.
Định nghĩa 1.3.7.Một song ánh f: X→Y gọi là phép đồng phôi nếufvà f-1 đều là ánh xạ liên tục. Khi đó, ta nói X và Yđồng phôi với nhau.
Chương 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ
Chúng ta đã biết rằng mỗi vành phân số của một vành A có liên kết với một khái
niệm xoắn đối với một A-môđun.Điều này cũng đúng khi ta xét các vành các
thương tổng quát của A, nhưng ở đây ta sẽ xét chiều ngược lại.Chúng ta bắt đầu
bằng việc tiên đề hóa các khái niệm xoắn, và khi đó với mỗi lý thuyết xoắn ta sẽ
liên kết với một vành các thương. Kết quả cơ bản sẽ là một khái niệm xoắn đặc
biệt được dùng trong lý thuyết vành các thương, có thể được mô tả qua ba cách
tương đương:
1) bởi lớp những môđun xoắn;
2) bởi những ideal phải đóng vai trò như những linh hóa tử của những
phần tử xoắn;
3) bởi hàm tử tương ứng mỗi môđun với môđun con xoắn của nó.