Một lý thuyết xoắn di truyền tương ứng với một tôpô tuyến tính sao cho lớp của
những môđun biệt lập là đóng dưới những mở rộng. Để đặc trưng cho những
tôpô này ta sẽ đưa thêm một tính chất nữa:
(T4).Nếu a là một ideal phải và tồn tại b∈Fsao cho (a:b)∈F,∀b∈b, thì a∈F.
Định nghĩa 3.2.1.Một họ F của những ideal phải của A thỏa mãn những tính chất (T1), (T2), (T3), (T4) là một tôpô Gabriel(phải) trên A.
Bây giờ ta có thể phát biểu kết quả chính của chương này:
Định lí 3.2.2.Có một song ánh tương ứng giữa: (1).Tôpô Gabriel phải trên A.
(2).Những lý thuyết xoắn di truyền đối với Mod-A. (3).Những radical khớp trái của Mod-A.
Chứng minh.Ta đã thiết lập song ánh tương ứng (2)↔(3) trong mệnh đề 2.3.2.
Giả sử Flà một tôpô Gabriel, lấy 0→L→M→N→0 là một dãy khớp của những
môđun sao cho L và N là F -biệt lập, ta cần chứng minh Mcũng là môđun
F -biệt lập. Thật vậy, với mỗi x∈M, ta đặt b = Ann(𝑥̅), trong đó 𝑥̅ là ảnh của x
trong N. Khi đó, b∈F và đối với mỗi b∈b ta có xb∈L, vì thế Ann(xb)∈F. Bởi vì,Ann(xb) = (Ann(x) : b) nên theo tính chất (T4) chỉ ra rằng Ann(x)∈F, suy ra M
là một môđun F-biệt lập. Do đó, lớp những môđun F-biệt lập là đóng dưới những mở rộng, vì thế nó là một lớp xoắn di truyền.
Mặt khác, nếu Tlà một lớp xoắn di truyền thì tôpô tương ứng F = {a| A/a∈T} thỏa mãn (T4). Bởi vì, nếu a là một ideal phải sao cho (a:b)∈F,∀b∈b,b∈F, thì ta xét dãy khớp sau:0→b/a∩b→A/a→A/a+b→0. Trong đó, A/a+b∈T bởi vì nó là
môđun thương của A/b∈T và ta cũng có b/a∩b∈T. Thật vậy, bởi vì b∈b chỉ ra rằng ((a∩b):b) = (a:b)∈F.Nhân bên trái bởi b ta được một dãy khớp sau :
0→((a∩b):b)→A→<b>/(a∩b)→0, trong đó <b> = b.Alà một môđun con cyclic của b.Do đó, A/((a∩b):b)≅<b>/(a∩b)∈T, suy ra b/a∩b∈T(do b là tổng trực tiếp của các môđun con cyclic <b> và Tlà đóng dưới tổng trực tiếp). Bởi vì T
đóng dưới những mở rộng nên suy ra A/a∈Tvà do đó a∈F.
Do đó, nếu F là một tôpô Gabriel trên A thì lớp xoắn di truyền tương ứng chứa
tất cả những môđun biệt lập trong F - tôpô của chúng, hoặc một cách tương
đương, sao cho tất cả những phần tử được linh hóa bởi những ideal phải trong
F. Những môđun này được gọi là những môđun F - xoắn.
Công việc kiểm tra các tính chất (T1), (T2), (T3), (T4) được thực hiện đơn giản
hơn do (T1), (T2) thật sự được suy ra từ (T3), (T4).
Bổ đề 3.2.3.Nếu Flà một tập khác rỗng của những ideal phải của A thỏa mãn (T3)
và (T4) thì Fcũng thỏa mãn (T1) và (T2).
Chứng minh.(T1). Chúng ta chú ý rằng (T3) cùng với sự kiện Fkhác rỗng chỉ ra
A∈F. Khi đó, giả sử a∈Fvà b ⊃a, đối với mỗi a∈a, ta có (b:a) = A∈F, vì thế b∈F, do (T4).
(T2). Giả sử a và b thuộc F. Nếu b∈b thì ((a∩b):b) = (a:b)∩(b:b) = (a:b)∈F, do (T3), vì thế a∩b∈F, do (T4).
Ta cũng chú ý rằng tôpô Gabriel đóng dưới tích.
Bổ đề 3.2.4.Lấy Flà một tôpô Gabriel.Nếu a và b thuộc Fthì a.b cũng thuộc F. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu F1 và F2là những tôpô trên A, thì ta nói F1 yếu hơn F2 (hay F2 mạnh hơn F1 ) nếu F1⊂F2 . Bởi vì rõ ràng giao của bất kỳ những tôpô tuyến tính là một tôpô, nên những tôpô tuyến tính trên A tạo thành một dàn đầy đủ Top(A). Cũng vậy,
bởi vì giao của những tôpô Gabriel là một tôpô Gabriel nên có một phép toán
đóng J trên Top(A) sao cho mỗi tôpôE liên kết với một tôpôGabriel yếu nhất
J(E) mạnh hơn E. Mệnh đề 3.1.8 thiết lập nên một đẳng cấu dàn giữa Top(A)
và dàn của những lớp tiền xoắn của những A- môđun. Nó chỉ ra rằng nếu E là
một tôpô thì J(E) là một tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn di truyền
được sinh ra bởi lớp những môđun E- biệt lập.
Mệnh đề 3.2.5.Nếu E là một tôpô thì J(E) = {a | với mỗi b ⊃a, b≠ A, thì tồn tại a∉b sao cho (b:a)∈E}.
Chứng minh.Áp dụng mệnh đề 2.2.6 với C = {A/a | a∈E}, là một lớp tiền
xoắn di truyền. Chú ý rằng lý thuyết xoắn được sinh bởi C là di truyền theo
mệnh đề 2.3.4. Do đó, tôpôJ(E)sẽ tương ứng với lý thuyết xoắn được sinh bởi
C . Lớp xoắn di truyền được sinhbởi C sẽ chứa tất cả các vật A/a sao cho
với mỗi vật thương khác - khôngA/b (tức là b ⊃a, b≠ A) có một vật con khác - không A/(b:a) trong C (tức là có a∉b sao cho (b:a)∈E).
Chúng ta nhớ lại rằng mỗi lý thuyết xoắn di truyền có thể được đối sinh
bởi một môđun nội xạ (mệnh đề 2.3.8). Nếu môđun nội xạ này được cho là bao
nội xạ của môđun M, thì tôpô Gabriel tương ứng có thể được mô tả như sau:
Mệnh đề 3.2.6.Lấy Flà một tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh bởi E(M).Khi đó,a∈Fkhi và chỉ khi x.(a:a)≠ 0, với mỗi a∈A và 0 ≠ x∈M.
Chứng minh.Theo bổ đề 2.3.9 ta có a∈Fkhi và chỉ khi Hom(C,M) = 0 với mọi môđun con cyclic C của A/a. Nhưng môđun con cyclic của A/acó dạngA/(a:a), ∀a∈A, vì thế suy ra kết quả của mệnh đề 3.2.6.
Ta cũng dễ dàng chỉ ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.2.7.Tôpô Gabriel E tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh bởi E(M)
là tôpô Gabriel mạnh nhất đối với các tôpô Gabriel Ftương ứng với lý thuyết xoắn có M là môđun xoắn tự do.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử a∈Fsuy ra Hom(A/a,M) = 0 (do Mlà môđun xoắn tự do). Vì A/(a:a)là môđun con cyclic của A/a nên Hom(A/(a:a),M) = 0,∀a∈A. Do đó, ta có a∈E.
3.3. Một số ví dụ
1.1-tôpô.
Một 1- tôpô trên A là một tôpô Gabriel với một cơ sở chứa những ideal chính (phải). Một 1- tôpôFđược sinh bởi tập ∑(F) = {s∈A | s A∈F}.
Mệnh đề 3.3.1.Ánh xạ F →∑(F) xác định một song ánh tương ứng giữa 1- tôpôFtrên A và những tập con đóng nhân S của A sao cho:
(S0).Nếu ab∈S, thì a∈S;
(S1).Nếu s∈S và a∈A, thì tồn tại t∈S và b∈A sao cho sb = at.
Chứng minh.Giả sử Flà 1-tôpô. Khi đó, ∑(F) là một tập đóng nhân, bởi vì nếus và
t thuộc ∑(F), thì (stA: sa) ⊃ (tA: a),∀a∈A, và (tA: a)∈Fdo (T3), vì thế stA∈F, do (T4). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tính chất (S0) của ∑(F) là lập tức có được từ (T1) và (S1) cũng rõ ràng, bởi vì (T3) chỉ ra rằng (sA:a) ⊃tA, ∀tA∈F.
Ngược lại, lấy S là một tập đóng nhân thỏa mãn (S1), và ta đặtF = {a |
a∩S≠∅}. Khi đó, dễ dàng chỉ ra tính chất (T3) và (T4) đối với F.Thật vậy, (T3) : Lấy a∈F⇒a∩S≠∅⇒∃s0∈S và s0∈a. Do ( S1), ta có với mọi a∈A, s0∈S thì tồn tại t∈S, b∈A sao cho at = s0 b∈a⇒t∈(a: a) ⇒ (a: a)∩S≠∅⇒ (a: a)∈F. (T4) : Nếu a là một ideal phải và tồn tại b∈Fsao cho (a:b)∈F,∀b∈b thì ta có (a:
b)∩S≠∅ , nói riêng (a: b0)∩S≠∅ (với b0∈b∩S) ⇒∃s0∈S và s0∈(a: b0) ⇒∃s0∈S
và b0s0∈a⇒a∩S≠∅ (vì b0 s0∈S, là một tập đóng nhân)⇒a∈F. Do đó,F là 1-tôpô.
(S0) là một tính chất kèm theo làm cho tương ứng F↔S là một song ánh.
Đối với một 1-tôpôF, những môđun F-xoắn M được đặc trưng bởi tính
chất:∀x∈M, tồn tại s∈∑(F) sao chox s = 0.
2.Lý thuyết xoắn Goldie.
Họ E của những ideal phải cốt yếu của A là một tôpô, nhưng nó không phải luôn
thỏa mãn (T4). Preradical khớp trái tương ứng thường được kí hiệu là: Z, và ta
gọi Z(M) là môđun con đơn của M. Tôpô Gabriel J(E) được gọi là tôpôGoldie
của A. Radical xoắn tương ứng G là radical nhỏ nhất chứa Z. Tiến trình biến đổi từ Z đến G (Mệnh đề 2.1.7) sẽ kết thúc sớm. Thật vậy ta có (sử dụng lại kí hiệu
của Mệnh đề 2.1.7) :
Mệnh đề 3.3.2.G = Z2.
Chứng minh.Trước tiên ta nhận xét rằng Z(M) là một môđun con cốt yếu của
L∩Z(M) = 0 và do đó L là môđun xoắn tự do, điều này chỉ ra L = 0. Bây giờ, ta có:Z2(M)/Z(M) = Z(M/Z(M)) ⊃G(M)/Z(M),vì thế Z2(M) = G(M).
Mệnh đề 3.3.3.NếuElà một họ những ideal phải cốt yếu, thìJ(E) = {a | tồn tại
b∈Esao cho a⊂b và (a:b)∈E,∀b∈b}.
Chứng minh.Nếu a thỏa mãn điều kiện trên thì a∈J(E) do (T4).Nếu a∈J(E), thì
A/a là một môđun xoắn Goldie, vì thế A/a = Z2(A/a). Ta viết Z(A/a) = b/a. Công thức xác định Z2 cho ta A/b = Z(A/b) và do đó b∈E. Chúng ta cũng có:
Z(b/a) = Z2(A/a) = Z(A/a) = b/a, vì thế (a:b)∈E,∀b∈b.
Một mô tả khác của J(E) có được trong mệnh đề 3.2.5. Chú ý rằng một
môđun là Goldie xoắn tự do khi và chỉ khi nó không đơn, nghĩa là môđun con đơn của nó là 0.
3. Tôpô dày đặc.
Một lý thuyết xoắn di truyền đối sinh bởi môđun nội xạ phải E(A) là một trường
hợp đặc biệt quan trọng. Những ideal phải thuộc tôpô Gabriel tương ứng D được
gọi là dày đặc. Theo mệnh đề 3.2.6 chúng có thể được mô tả như sau:
Mệnh đề 3.3.4.Một ideal phải a là dày đặc khi và chỉ khi (a:a) không có những linh hóa tử trái khác 0 đối với a∈A.
Hệ quả 3.3.5.Mỗi ideal phải dày đặc là cốt yếu trong A. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh.Thật vậy, nếu a là ideal không cốt yếu trong A thì A/a là một
môđun không đơn. Do đó, A/a có những môđun con khác - không A/(a: a) (với
a∈A), suy ra (a: a) có những linh hóa tử trái khác 0đối với a∈A (mâu thuẫn).
Hệ quả 3.3.6.Một ideal phải hai phía alà dày đặc như một ideal phải khi và chỉ khi akhông có những linh hóa tử trái khác 0.
Chứng minh.Bởi vì a là ideal hai phía nên (a:a) ⊃a,∀a∈A, và khi đó hiển nhiênnếu a không có những linh hóa tử trái khác 0 thì a là một ideal dày
đặc.Ngược lại, nếu adày đặc ta sẽ chứng minh rằng a không có những linh hóa
tử trái khác 0.Thật vậy, giả sử tồn tại x ≠ 0 mà x linh hóa được a, ta chứng minh tồn tại một phần tử khác - không linh hóa được (a: a). Với mọi b∈(a: a), ta có
a.b∈a, suy ra tồn tại x ≠ 0 sao chox.(a.b) = 0⇒ (x.a).b = 0. Vậy (a: a) bị linh hóa bởi một phần tử khác - không y = x.a.
D là một tôpô Gabriel mạnh nhất sao cho A là môđun xoắn tự do (mệnh đề
3.2.7). Trong trường hợp tổng quát nó yếu hơn tôpô Goldie, nhưng thông thường
hai tôpô này trùng nhau.
Mệnh đề 3.3.7.Vành A là không đơn khi và chỉ khi mọi ideal phải cốt yếu là dày
đặc.
Chứng minh.Nếu a là một ideal phải cốt yếu, thì (a:a) cũng cốt yếu, với mọi a∈A. Do đó, tính không đơn chỉ ra rằng (a:a) không thể có những lũy linh trái. Chiều ngươc lại là hiển nhiên.
Hệ quả 3.3.8.Khi A là một vành không đơn phải, thì tôpô Goldie và tôpô dày đặc là trùng nhau.
4. Tôpô bị chặn.
Một tôpô được gọi là bị chặn nếu nó có một cơ sở chứa những ideal hai phía.
Mệnh đề 3.3.9.Giả sử B là một tập của những ideal hai phía, hữu hạn sinh như những ideal phải.Tập hợp của tích hữu hạn của những ideal thuộc B là một cơ sở đối với một tôpô Gabriel bị chặn.
Chứng minh.Lấy B’ là tập của tất cả những tích hữu hạn của những ideal trong B. Giả sử a là một ideal phải sao cho a ⊃b với b∈B’. Với mỗi a∈A ta có: ab ⊂b⊂a,
vì thế (a:a) ⊃b, và do đó (T3) thỏa mãn, bởi họ F của những ideal phải chứa những ideal trongB’. Tiếp theo ta chỉ rằng Fthỏa mãn (T4). Giả sử a là một ideal phải và tồn tại b∈F sao cho (a:b)∈F,∀b∈b. Ta có thể giả sử b∈B’ (mà không mất tính tổng quát). Lấy b1,b2,…,bn là những phần tử sinh của bnhư một ideal phải. Khi đó, tồn tại b1,b2,…bn trong B’ sao cho bi.bi⊂a,∀i=1,2,…,n. Điều này chỉ ra rằng b1.b2…bn⊂b(b1∩b2∩…∩bn)⊂a, vì thế a∈F.
Kết quả này được áp dụng trong trường hợp đặc biệt B chỉ chứa một ideal
hai phía b, và khi đó ta có tôpôb-adic (ví dụ sau mệnh đề 3.1.8).Nếu b là một lũy đẳng, tức b2 = b, thì ta không cần phải giả thiết là b phải hữu hạn sinh trong
chứng minh trên. Do đó:
Mệnh đề 3.3.10.Nếu b là một ideal lũy đẳng hai phía, thì tập hợp những ideal phải chứa b là một tôpô Gabriel.
Những tôpô bị chặn kiểu này có những đặc trưng sau:
Mệnh đề 3.3.11.Những tính chất sau của một tôpôFlà tương đương: (a).Lớp của những môđun F-xoắn đóng dưới những tích trực tiếp.
(b).Có một ideal hai phíab sao cho M là một môđun F-xoắn khi và chỉ khiM.b=0.
(c).F có một cơ sở chứa một ideal phải b.
(d).Fcó một cơ sở chứa một ideal hai phía lũy đẳngb.
Chứng minh.(a) ⇒(c): Xét đồng cấu chính tắc 𝛼: A→∏A/a với tích diễn ra với mọi a∈F. Ảnh của 𝛼 theo giả thiết là một môđun F-xoắn vì thế Ker 𝛼= ∩a⊂F. Điều này có nghĩa là F có một thành viên nhỏ nhất là b= ∩a. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(c) ⇒(d): Ideal phải nhỏ nhất b phải là ideal hai phía bởi vì (T3) cho ta được (b:a)⊃b,∀a∈A. Tính lũy đẳng của b là do bổ đề 3.2.4.
Dãy (d) ⇒ (b) ⇒ (a) là hiển nhiên.
5. Vành giao hoán.
Lấy A là một vành giao hoán. Kí hiệu Spec(A) là tập hợp tất cả những ideal
nguyên tố của A. Với mỗi ideal a, ta đặt V(a) = {p∈Spec(A) | a⊂p}.
Nếu p là một ideal nguyên tố, phần bù của nó(xem như là một tập con của
A) là một tập đóng nhân S. Đối với một môđun M, kí hiệu môđun phân số M[S-1] là Mp.
Cho p là một ideal nguyên tố, có một tôpô Gabriel tương ứng Fp = {a |
p∉V(a)}. Những môđun Fp-xoắn Mđược đặc trưng bởi tính chất Mp = 0.
Tổng quát hơn, lấy Plà một tập con của Spec(A). Đối với P ta liên kết một tôpô Gabriel FP=∩p∈PFp={a | V(a)∩P = ∅ }. Lớp xoắn tương ứng chứa tất cả những môđun Msao cho Mp = 0, với mọi p∈P. Ngược lại, đối với mỗi tôpô Gabriel Ftrên A ta liên kết D(F)= {p∈Spec(A) | p∉F}⊂Spec(A). Khi đó:FD(F)= {a |
V(a)∩D(F) = ∅}={a | V(a)⊂F}. Từ điều này ta dễ dàng có:
Mệnh đề 3.3.12.Những tính chất sau của một tôpô Gabriel Ftrên một vành giao hoán A là tương đương:
(a).Fbằng với FP đối với P⊂Spec(A). (b).F =FD(F )
Bổ đề 3.3.13.Lấy Flà một tôpô Gabriel trên A. Khi đó:
(i). Nếu a là một ideal tối đại với a∉F, thì a là một ideal nguyên tố.
(ii). Nếu Fcó một cơ sở chứa những ideal phải hữu hạn sinh và a∉F, thì tồn tại p∈V(a) sao cho p∉F.
Chứng minh.(i). Giả sử a và b là những phần tử của Akhông thuộc về a. Khi đó:
a+Aa và a+Ab phải thuộc F, và cũng có (a+Aa)(a+Ab)∈F, theo bổ đề3.2.4. Nhưng (a+Aa)(a+Ab)⊂a+Aab, và do đó ab∉a.
(ii). Bởi vì a∉F,dùng bổ đề Zorn ta tìm thấy một ideal b⊃a là ideal tối đại với
b∉F(điều này cần đến giả thiết đề cập đến những ideal hữu hạn sinh trong F),b là ideal nguyên tố do (i).
Kết hợp 3.3.12(c) và 3.3.13(ii), ta có:
Hệ quả 3.3.14.Nếu Flà một tôpô Gabriel có một cơ sở là những ideal hữu hạn sinh, thì F=FPvới P⊂Spec(A).
Vì thế đối với một vành Nơ-te giao hoán A, tất cả những tôpô Gabriel có dạng
Kết luận
Luận văn đãtrình bày những khái niệm cơ bản về lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù Mod - A,tôpô tuyến tính trên một vành A, tôpô Gabriel trên một vành A, mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trùMod - Avớitôpô tuyến tính trên một vành A, tôpô
Gabriel trên một vành A. Đồng thời, luận văn cũng đã đưa ra một số ví dụ minh
họa để làm rõ hơn các khái niệm này cũng như các mối quan hệ giữa chúng. Sau đây là một số kết quả chính của luận văn:
Kết quả thứ nhất:Những tính chất sau của một lớpTcủa các vật là tương đương : (a). T là một lớp xoắn đối với một lý thuyết xoắn.
Kết quả thứ hai :Lấy C là một lớp của những môđun đóng dưới những môđun
con và môđun thương. Lý thuyết xoắn sinh bởiC là di truyền. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết quả thứ ba :Một lý thuyết xoắn di truyền được sinh bởi họ những môđun cyclic A/a, là những môđun xoắn.
Kết quả thứ tư:Một lý thuyết xoắn là di truyền khi và chỉ khi nó được đối sinh
bởi một môđun nội xạ.
Kết quả thứ năm:Có một song ánh tương ứng giữa : (1). Tôpô tuyến tính phải trên A ;
(2). Lớp tiền xoắn di truyền của những A- môđun ; (3). Preradical khớp trái của Mod - A.
Kết quả thứ sáu:Có một song ánh tương ứng giữa: (1). Tôpô Gabriel phải trên A.
(2). Những lý thuyết xoắn di truyền đối với Mod- A.
(3). Những radical khớp trái của Mod- A.
Kết quả thứ bảy:Lấy F là một tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh bởi E(M). Khi đó, a∈Fkhi và chỉ khi x.(a: a) ≠ 0,∀a∈A,0≠ x∈M.
Kết quả thứ tám:Nếu b là một ideal lũy đẳng hai phía, thì tập hợp những ideal phải chứa b là một tôpô Gabriel.
Kết quả thứ chín:Nếu Flà một tôpô Gabriel có một cơ sở là những ideal hữu hạn sinh, thì F= FP= ∩p∈PF p={a | V(a)∩P = ∅ }, trong đóV(a) = {p∈Spec(A) | a⊂p}
với P⊂ Spec (A).Vì thế, đối với một vành Nơ-te giao hoán A, tất cả những tôpô Gabriel có dạng FP với P ⊂ Spec (A).
Tài liệu tham khảo
1. Đậu Thế Cấp, Tôpô Đại Cương, NXB GD TP.Hồ Chí Minh (2008).
2. Nguyễn Viết Đông-Trần Huyên, Đại số đồng điều, NXB ĐHQG TP. Hồ Chí
Minh (2006).
3. N. Hersein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of
America, USA.
4. Nathan Jacobson (1975), PI-Algebra an Introduction, Springerverlag, Berlin,
Heidelberg, New York.
5. Bo Stenstrom,Rings of Quotients, An Introduction to Methods of Ring Thoery,