sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN Chuyên ngành: Hình Học – TôPô Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS: NGUYỄN THÁI SƠN Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Tôi vô biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN THÁI SƠN định hướng việc nghiên cứu luận văn này, vấn đề quan tâm ứng dụng nhiều lĩnh vức Toán học; thầy người trực tiếp hướng dẫn việc thực luận văn Tôi gửi lời tri ân đến thầy cô giáo khoa Toán- Tin hướng dẫn nghiên cứu Toán học năm học trường Đại Học Sư Phạm TPHCM Đồng thời gởi lời tri ân đến gia đình bạn bè hiểu, chia sẻ động viên trình thực đề tài Nguyễn Minh Trí MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU i Lý chọn đề tài: i Mục đích nghiên cứu: i Đối tượng phạm vi nghiên cứu: i Phương pháp nghiên cứu: ii Cấu trúc luận văn: chương: ii Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH HÀM 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.1.1 Định nghĩa .1 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Mệnh đề 1.1.4 Hệ 1.1.5 Tập bị chặn hoàn toàn bị chặn 1.2 Không gian lồi địa phương 1.2.1 Định nghĩa .3 1.2.2 Bổ đề .3 1.2.3 Bổ đề 1.2.4 Hệ lân cận nửa chuẩn 1.2.5 Định lý 1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục 1.3 Đối ngẫu không gian lồi địa phương 1.3.1 Không gian đối ngẫu 1.3.2 Hệ đối ngẫu 1.3.3 Ánh xạ đối ngẫu .7 1.3.4 Không gian phản xạ không gian thùng .8 1.4 Tôpô xạ ảnh tôpô quy nạp 1.4.1 Tôpô xạ ảnh .9 1.4.2 Tôpô qui nạp Giới hạn quy nạp 1.4.3 Không gian chặn nội siêu chặn nội 10 1.5 Không gian Fretchet DF- không gian .10 1.5.1 Hệ tăng nửa chuẩn 10 1.5.2 Không gian Frechet .11 1.5.3 DF- Không gian 11 1.6 Định lý Baire .11 Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH 12 2.1 Hàm chỉnh hình 12 2.1.1 Hình cầu đa dĩa .12 2.1.2 Chuỗi hội tụ hàm chỉnh hình 13 2.1.3 Các tính chất hàm chỉnh hình 14 2.1.4 Hàm chỉnh hình theo biến 17 2.1.5 Hàm đa điều hòa 19 2.1.6 Thác triển chỉnh hình 20 2.1.7 Miền chỉnh hình lồi chỉnh hình .21 2.1.8 Hàm vét cạn miền giả lồi 22 2.2 Tập giải tích: .22 2.2.1 Tập giải tích 22 2.2.2 Thành phần bất khả quy .23 2.2.3 Quỹ tích kì dị 24 2.3 Các khái niệm đa tạp phức 25 2.3.1 Hàm chỉnh hình 25 2.3.2 Vành mầm hàm 25 2.3.3 Mặt Riemann 25 2.3.4 Tập giải tích siêu mặt giải tích 25 2.4 Phủ giải tích nhánh 26 2.4.1 Ánh xạ riêng 26 2.4.2 Ánh xạ hữu hạn 26 2.4.3 Phủ giải tích nhánh 26 2.5 Lý thuyết Stein 26 2.5.1 Đa tạp Stein .27 2.5.2 Mệnh đề 27 2.5.3 Mệnh đề 28 2.5.4 Tập đa cực 28 2.5.5 Bó giải tích coherent đa tạp Stein 29 2.5.6 Nhóm đối đồng điều với giá trị bó 31 2.6 Không gian giải tích 32 2.6.1 Không gian vành 32 2.6.2 Không gian giải tích 32 2.7 Điểm chuẩn tắc không gian giải tích không gian chuẩn tắc 32 2.8 Chuẩn tắc hóa 32 Chương 3: CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH 34 3.1 Không gian chuỗi lũy thừa 34 3.2 Không gian có tính chất ( DN ) 35 3.2.1 Định nghĩa 35 3.2.2 Bổ đề: 36 3.2.3 Bổ đề 37 3.3 Không gian có tính chất ( Ω ) 38 3.3.1 Định nghĩa 38 3.3.2 Bổ đề 38 3.4 Một số bất biến tôpô tuyến tính khác 39 Chương 4: CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN 40 4.1 Định lý 41 4.2 Bổ đề .41 4.3 Bổ đề .44 4.4 Bổ đề .45 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 DANH MỤC KÍ HIỆU U : sở lân cận ∈ E E ' : Không gian đối ngẫu không gian vectơ E ( z z ) n : tích vô hướng chuẩn tắc  n Dw f ( zo ) : đạo hàm có hướng phức f zo theo hướng w D v f ( zo ) : đạo hàm riêng cấp cao f zo rk z ( f1 , , f q ) : hạng ma trận Jacobi J ( f f ) 1, , q Cop (  n ) : không gian hàm lớp C p  n với giá compact  G : bao lồi chỉnh hình K G K N ( f1 , , f q ) : tập không chung f1 , , f q H (G ) : không gian hàm chỉnh hình G R ( A) : tập điểm quy A S ( A ) : tập điểm kì dị A R ( f1 , , f q ) : bó quan hệ f1 , , f q H Y : bó cấu trúc Y H p (U , J ) : nhóm p - đối đồng điều U với giá trị J Γ ( Ω, J ) : tập tất nhát cắt J U J x : thớ J x LỜI NÓI ĐẦU Vào năm 80 kỉ trước, D.Vogt đưa có nhiều kết nghiên cứu bất biến tôpô tuyến tính Các bất biến mở nhiếu ứng dụng cho giải tích phức Một ứng dụng chúng nghiên cứu tính chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình theo biến, toán tiếng đặt vào năm 1906 Hartogs Bài toán nghiên cứu từ lâu có nhiều kết quan trọng Lý chọn đề tài: Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học có nhiều nội dung đề cập đến hình học giải tích phức chủ yếu nói đa tạp phức Ta biết hàm chỉnh hình đa tạp phức X × Y →  chỉnh hình theo biến Tuy nhiên, điều ngược lại có không? Khi xét thêm tập K ⊂ X , K ≠ ∅ hàm chỉnh hình theo biến chưa hàm chỉnh hình Và với điều kiện hàm chỉnh hình theo biến f : K × Y →  thác triển chỉnh hình? Việc tìm hiểu điều kiện cần đủ không gian để hàm chỉnh hình theo biến chỉnh hình, thác triển chỉnh hình vấn đề mang tính chất thời Công cụ để nghiên cứu kết kiến thức tôpô đại cương giải tích hàm có liên hệ mật thiết với hình học giải tích phức Do chọn đề tài để củng cố kiến thức bước đầu tìm hiểu hình học giải tích phức đại hình học hyperbolic Theo đề tài có tính đại, thời thiết thực phát triển giải tích phức Mục đích nghiên cứu: Tương tự lý chọn đề tài tức tìm hiểu điều kiện cần đủ không gian để hàm chỉnh hình theo biến chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Định nghĩa không gian có tính chất DN , Ω, LB ∞ Nghiên cứu tính chất không gian Ứng dụng tính chất không gian DN để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Phương pháp nghiên cứu: Tiếp cận kiến thức đại tôpô, giải tích hàm, giải tích phức để nghiên cứu không gian DN , Ω, Cấu trúc luận văn: chương: Chương 1: Kiến thức tôpô giải tích hàm Chương 2: Các kiến thức hàm chỉnh hình Chương 3: Các bất biến tôpô tuyến tính Chương 4: Các kết tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH HÀM Nội dung luận văn sử dụng kiến thức bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Các kiến thức bất biến tôpô tuyến tính kiến thức đại phát triển nhiều nhà khoa học nước quốc tế Do để tiếp cận khái niệm này, kiến thức tảng để xây dựng định nghĩa, tính chất bất biến tôpô tuyến tính Các kiến thức liên hệ mật thiết với kiến thức tôpô giải tích hàm Do để thuận tiện cho việc theo dõi chương giới thiệu khái niệm tôpô giải tích hàm: Không gian vectơ tôpô Không gian lồi địa phương Đối ngẫu không gian lồi địa phương Tôpô xạ ảnh tôpô quy nạp Không gian Fretchet DF-không gian Định lý Baire 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian vectơ trường K Một tôpô τ E gọi tương thích (với phép toán đại số E ) phép cộng +: E × E → E phép nhân vô hướng : K × E → E liên tục Ta gọi không gian vectơ tôpô tương thích không gian vectơ tôpô 1.1.2 Tính chất Cho E không gian vectơ tôpô Khi đó: a) Với a ∈ E , phép tịnh tiến x  x + a phép đồng phôi E lên E Đặc biệt, U sở lân cận ∈ E a + U = { a + U : U ∈ U } sở lân cận a∈E b) Với λ ∈ K , λ ≠ , ánh xạ x  λ x phép đồng phôi E lên E Đặc biệt U lân cận ∈ E λU , λ ≠ lân cận 3.2.2 Bổ đề: (1) Tính chất ( DN ) bất biến tôpô tuyến tính Nghĩa E ≅ F , E có tính chất ( DN ) F có tính chất ( DN ) (2) Tính chất ( DN ) thừa hưởng tất không gian đóng (3) Mỗi không gian Λ ∞ (α ) có tính chất ( DN ) Chứng minh: (1) Kí hiệu {qα }α∈ hệ nửa chuẩn E {p } β β ∈ hệ nửa chuẩn F Do E ∈ ( DN ) suy tồn p ∈  , với k ∈  , tồn n ∈  C1 > cho qk2 ( x ) ≤ C1q p ( x ) qn ( x ) ∀x ∈ E Vì E ≅ F nên tồn đẳng cấu A : E → F Với p ∈  , A−1 liên tục nên tồn β1 ∈  C2 > : q p ( x ) ≤ C2 pβ1 (= y ) với y A ) ( x) A( x) (= −1 −1 Với β ∈  A liên tục nên tồn α ∈  C3 > cho: pβ2 ( y ) ≤ C3qα ( x ) Suy với y = A ( x ) pβ ( y ) ≤ qα ( x ) C3 Do E ∈ ( DN ) với p ∈  , lấy α = α tồn α ∈  C4 > cho: qα22 ( x ) ≤ C4 q p ( x ) qα ( x ) Suy pβ ( y ) ≤ C4 q p ( x ) qα ( x ) ≤ C4C2 pβ1 ( y ) qα ( x ) C32 Do A−1 liên tục, với α ∈  tồn β ∈  C5 > cho: qα ( x ) ≤ C5 pβ3 ( y ) pβ22 ( y ) ≤ C32C4C2C5 pβ1 ( y ) pβ3 ( y ) Suy Đặt D = C32C4C2C5 Suy pβ22 ( y ) ≤ Dpβ1 ( y ) pβ3 ( y ) Vậy F ∈ ( DN ) (2) F không gian đóng E , E ∈ ( DN ) suy với x ∈ F ⊂ E , tồn p ∈  , với k ∈  , tồn n ∈  C1 > cho: qk2 ( x ) ≤ C1q p ( x ) qn ( x ) F ∈ ( DN ) Nên (3) Ta sử dụng bất đẳng thức Holder [15]: Với t1 < t2 < t3 : t3 −t2 t2 −t1 t −t x t2 ≤ x tt3 −t1 x t3 1 ∀x ∈ Λαt x k ≤ x 02 x 22k ∀x ∈ Λ ∞ (α ) Vì ∀k ∈  3.2.3 Bổ đề Cho khộng gian Frechet E với hệ nửa chuẩn tăng có tính chất ( DN ) điều sau đúng: Tồn p ∈  cho với k ∈  < τ < tồn n ∈  C > : x k ≤C x 1−τ p x τ ∀x ∈ E n Chứng minh: (⇐) Với τ = ( ⇒ ) Chọn , điều kiện cho rõ ràng suy E có tính chất ( DN ) p ∈  cho p chuẩn trội Nếu k ∈ , k > p cho ta định nghĩa= no : p= , n1 : k áp dụng ( DN ) cách lặp lại để tìm nµ +1 > nµ Cµ > cho x nµ Vì ≤ Cµ x p p x ∀x ∈ E nµ +1 chuẩn, ta có với m ∈  ∀x ∈ E , x ≠ : m m m xn xn  x   m  x nµ +1 µ µ +1  k  ≤∏ ≤ ∏ Cµ ≤  ∏ Cµ   x=  x p µ1 x= x p µ 1= µ   p n   µ Đặt Dm := (∏ m µ =1 x k ≤ Dm x Cµ 1− p m ) m x , suy m nµ +1 ∀x ∈ E Nếu < τ < cho ta chọn m ∈  với với k ≤ p , n := p < τ có điều kiện cho m 3.3 Không gian có tính chất ( Ω ) 3.3.1 Định nghĩa Không gian Frechet E với hệ nửa chuẩn ( ) n n∈ có tính chất ( Ω ) điều sau đúng: Với p ∈  tồn q ∈  cho với k ∈  tồn < θ < C > : y q ≤C y * { *1−θ p y *θ ∀y ∈ E ' k } Ở y k : sup y ( x ) : x k ≤ ∈  ∪ {+∞} Với U k = = {x ∈ E : x k ≤ 1} * 3.3.2 Bổ đề (1) Tính chất ( Ω ) bất biến tôpô tuyến tính (2) Tính chất ( Ω ) thừa hưởng tất không gian thương (3) Λ r (α ) có tính chất ( Ω ) ∀r ∈  ∪ {+∞} Chứng minh: (1) Áp dụng định lý 1.2.4 ta dễ dàng suy điều phải chứng minh (2) Để chứng minh (2) ta cần kết sau [15]: Cho E G không gian lồi địa phương, F không gian đóng E q : E → E / F ánh xạ thương + Khi với A ∈ L ( E , G ) với F ⊂ Ker ( A ) , tồn A ∈ L ( E / F , G ) với A = A q + p nửa chuẩn liên tục E Khi với y ∈ F ' tồn Y ∈ E ' với Y F = y Nếu F không gian đóng E , áp dụng kết ta có không gian vectơ ( E / F ) ' F o đồng với Gọi ( ) α α ∈ ( ) ' ∗ = ( ) ' α α ∈ hệ nửa chuẩn ( E / F ) ' hệ nửa chuẩn E Khi ta có : ∗ Fo với nửa chuẩn E (2) suy từ {y ∈ K (3) Ta có: Λ 'r (α = ) : ∃t < r , y − t < ∞}  * t = −t với t < r Nếu t < r cho, t < τ < r chọn τ < σ < r đươc cho định nghĩa θ := τ −t Áp dụng bất đẳng thức σ −t Holder [15] với −σ < −τ < −t suy ra: = yτ * σ −τ τ −t *1−θ σ −t y −τ ≤ y −σt−t y = −σ yt *θ yσ ∀y ∈ Λ 'r (α ) 3.4 Một số bất biến tôpô tuyến tính khác Cho E không gian Frechet với hệ nửa chuẩn ( ) n n∈ a) E nói có tính chất ( DN ) nếu: Tồn p ∈  cho với k ∈  tồn n ∈  , < τ < C > cho: x k ≤C x 1−τ p τ x ∀x ∈ E n b) E có tính chất ( Ω ) nếu: Với p ∈  tồn q ∈  cho với n ∈  tồn C > cho: y *2 q ≤C y * p y ∀y ∈ E ' * n c) E có tính chất ( LB ∞ ) nếu: ∀ { pn } ↑ +∞, ∀p ∃q ∀no ∃N o ≥ no ∃C > ∀u ∈ E ' ∃no ≤ k ≤ N o : u 1+ ρ k q ≤C u * k u * ρk p Chương 4: CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN Sự tổng quát hóa định lý năm 1906 Hartogs hàm chỉnh hình theo biến nghiên cứu nhiều tác giả Năm 1967, Terada chứng tỏ f ( z , w ) hàm lấy giá trị phức xác định với z ∈ U ⊂  M , w ∈ V ⊂  N hàm chỉnh hình theo biến w với z cố định thuộc U chỉnh hình theo biến z với w cố định thuộc tập không đa cực A V f ánh xạ chỉnh hình Nếu ta giả sử A không chứa siêu mặt giải tích V kết không giả sử thêm f bị chặn, trường hợp kết suy dễ dàng từ công thức tích phân Cauchy Shiffman chứng tỏ f chỉnh hình (hoặc phân hình) theo z với w cố định chỉnh hình theo w với z cố định f chỉnh hình (hoặc phân hình) Bernstein, Siciak,Zaharjuta, Nguyễn Thanh Vân Zeriahi cho kết tính thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến xác định tập có dạng (U × F ) ∪ ( E × V ) Vào năm 1989, Shiffman mở rộng kết cách giảm nhẹ điều kiện cho tập E , F miền giá trị ánh xạ cần thác triển, ông giả sử E F không đa cực Như phương hướng nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình cách dùng lý thuyết vị phức vấn đề có tính đại Ngoài vào đầu thập niên 80, Vogt đưa nghiên cứu bất biến tôpô tuyến tính Một số kết gần giải tích phức có liên quan đến khái niệm Chẳng hạn thông qua công trình nghiên cứu Vogt, ta có kết đặc biệt quan trọng mà nhờ tác giả Lê Mậu Hải, Nguyễn Thái Sơn, Nguyễn Văn Đông,….đã nghiên cứu tính thác triển yếu hàm chỉnh hình lấy giá trị Frechet Do sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình theo biến công việc thật hữu ích Trong chương đạt kết tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến trường hợp hữu hạn chiều Các kết mà nghiên cứu nhằm giải toán sau đây: Cho Z không gian Stein K tập compact không gian Stein X Thế với điều kiện Z K ánh xạ chỉnh hình theo biến K × Z thác triển chỉnh hình lên lân cận có dạng W × Z K × Z X ×Z Các kết phát biểu theo thuật ngữ bất biến tôpô tuyến tính nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình theo biến tập compact không gian Stein bất khả quy địa phương 4.1 Định lý Cho Z không gian Stein Các điều kiện sau tương đương: (i) Mọi hàm chỉnh hình theo biến K × Z , K tập compact không gian Stein bất khả quy địa phương X mà không đa cực nhánh bất khả quy lân cận K thác triển chỉnh hình lên lân cận W × Z K × Z X × Z (ii) Không gian H ( Z ) hàm chỉnh hình Z trang bị tôpô mở compact có tính chất ( DN ) Để chứng minh định lý ta cần ba bổ đề sau đây: 4.2 Bổ đề Cho θ : X → Y toàn ánh chỉnh hình riêng hữu hạn không gian Stein Khi H ( X ) ∈ ( DN ) H (Y ) ∈ ( DN ) Chứng minh: Giả sử H (Y ) ∈ ( DN ) (i) Trước tiên xét trường hợp Y không gian chuẩn tắc Thì theo bổ đề nguyên [13] θ ánh xạ phủ nhánh Hơn tồn số tự nhiên p cho với f ∈ H ( X ) , ta tìm đa thức Pf ( λ ) cấp p với hệ số H (Y ) : Pf ( λ ) = λ p + a p −1 ( f ) λ p −1 + + ao ( f ) Sao cho Pf ( f ) = a p −1 , , ao đa thức đối xứng liên tục H ( X ) với giá trị H (Y ) Để chứng minh H ( X ) ∈ ( DN ) , theo Vogt [20] cần kiểm tra ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Λ1 (α ) đến H ( X ) bị chặn lân cận ∈ Λ1 (α ) với dãy mũ α = (α n ) ,   Λ1= (α ) (ξ j ) ⊂  : ∑ ξ j r α j < ∞, < r < 1 j ≥1   Giả sử T ánh xạ Vì a j ( ≤ j ≤ p − 1) đa thức liên tục H ( X ) với giá trị H (Y ) theo giả thiết H (Y ) ∈ ( DN ) Một lần theo Vogt [14], ta tìm lân cận U ∈ Λ1 (α ) cho a j (T ) bị chặn U Từ quan hệ: (T ξ ) p + a p −1 (T ξ )(T ξ ) p −1 + + ao (T ξ ) = với ξ ∈ U , Từ suy T bị chặn U Do H ( X ) ∈ ( DN ) ii) Trường hợp Y không chuẩn tắc, xét chuẩn tắc hóa γ :Y → Y Y Đặt J kí hiệu bó coherent Y cho : { } Jy = f ∈ H Y , y : f ( γ * H Y ) y ⊆ H Y , y Trong H Y H Y bó cấu trúc Y Y γ * H Y ảnh trực tiếp H Y γ Khi J y ≠ với y ∈ Y Theo định lý Cartan A ta có H (Y , J ) ≠ Hơn nữa, tồn f ∈ H (Y , J ) cho f ≠ nhánh bất khả quy Y Thật vậy, viết Y =  Yi , i ≥1 Yi nhánh bất khả quy Y Với i ≥ , đặt: { Gi = f ∈ H (Y , J ) : f { Yi } ≠0 =H (Y , J ) \ f ∈ H (Y , J ) : f Yi } =0 Vì Gi mở Ta chứng minh Gi trù mật H (Y , J ) với i ≥ Với i ≥ , lấy yi ∈ R (Yi ) , quỹ tích quy Yi Vì 1yi ∈ J y , theo định lý Cartan A, tồn g1 , , g m ∈ H (Y , J ) δ1 , , δ m ∈ H Y , yi cho ∑ 1≤ j ≤ m g j , yi δ j , yi = 1yi Điều dẫn đến tồn jo cho g j ∈ Gi Vì Gi ≠ với i ≥ , Gi o trù mật H (Y , J ) với i ≥ Theo định lý Baire tồn f ∈  Gi Thật giả sử không i ≥1 tồn f ∈  Gi Suy i ≥1 =  Fi i ≥1 X \G = i i ≥1 G i = ∅ Đặt Fi = X \ Gi Suy Fi đóng i ≥1 X= \  Gi X Theo định lý Baire tồn io : IntFio ≠ ∅ i ≥1 ( ) = IntFio Int X= \ Gio X \= IntGio X= \ Gio Fio Suy Fio mở Nên ∅ Mâu thuẫn với Gio trù mật ∀x ∈ Fio =X \ Gio , ∃B ( x, δ ) ⊂ X \ Gio Suy B ( x, δ ) ∩ Gio = Vậy tồn f ∈  Gi i ≥1 Vì H (Y ) ≅ fH (Y ) Vì ( ) fH Y ⊂ H (Y ) ∈ ( DN ) , suy ( ) fH Y ∈ ( DN ) ( ) H Y ∈ ( DN ) (iii) Cuối xét biểu đồ giao hoán toàn ánh riêng hữu hạn không gian Stein θ Z Y γ γ θ X Y Trong Z= X × Y thớ tích X Y , θ, γ phép chiếu tắc Theo (ii) H (Y ) ∈ ( DN ) theo (i) H ( Z ) ∈ ( DN ) Vì H ( X ) không gian H ( Z ) , ta có H ( X ) ∈ ( DN ) Hoàn thành chứng minh cho điều kiện đủ Vì H (Y ) không gian H ( X ) nên điều kiện cần tầm thường 4.2.1 Hệ Cho X không gian Stein Khi H ( X ) ∈ ( DN ) H ( Z ) ∈ ( DN ) với nhánh bất khả quy Z X X có hữu hạn nhánh bất khả quy Chứng minh: Cho H ( X ) ∈ ( DN ) Theo bổ đề 4.2 H ( X ) ∈ ( DN ) , γ : X → X chuẩn tắc hóa X Vì nhánh bất khả quy Z X đóng mở X , suy H ( Z ) ∈ ( DN ) Cho Z nhánh bất khả quy X Khi tồn nhánh bất khả quy Z X cho γ ( Z ) = Z Áp dụng bổ đề 4.2 với γ Z : Z → Z ta H ( Z ) ∈ ( DN ) Mặt khác, theo định nghĩa tính chất ( DN ) , H ( X ) có chuẩn liên tục Điều có nghĩa tồn tập compact K X cho f K = với f ∈ H ( X ) suy f = Do theo định lý Cartan B , X có hữu hạn nhánh bất khả quy Ngược lại, giả sử X có hữu hạn nhánh bất khả quy Z1 , , Z m H ( Z i ) ∈ ( DN ) với ( ) i = 1, , m Với i , lấy nhánh bất khả quy Zi X cho γ Zi = Z i Vì Zi đóng- mở X Từ mối quan hệ H ( Z i ) ∈ ( DN ) từ bổ đề 4.2 suy ( ) ∏ H ( Z ) ∈ ( DN ) Một lần theo bổ đề 4.2 ta có H ( X ) ∈ ( DN ) = H X 1≤i ≤ m i 4.3 Bổ đề Cho X không gian Stein bất khả quy địa phương Khi H ( X ) ∈ ( DN ) hàm đa điều hòa ϕ X mà bị chặn hàm nhánh bất khả quy X X có hữu hạn nhánh bất khả quy Chứng minh: Để chứng minh bổ đề ta cần kết sau [10]: Cho X không gian Stein bất khả quy địa phương Khi H ( X ) ∈ ( DN ) tồn tập compact K X cho : ω ( X , K , x ) = với x ∈ X Ở ω ( X , K ,.) hàm X xác định sau: = ω ( X , K , x ) lim sup {sup ϕ ( y ) : ϕ y→x K ≤ 0, ϕ ≤ 1} với ϕ hàm đa điều hòa X Bây ta chứng minh bổ đề: Cho H ( X ) ∈ ( DN ) Theo hệ 4.2.1, X có hữu hạn nhánh bất khả quy Cho ϕ hàm đa điều hòa X cho supϕ= M < ∞ X Cho Z nhánh bất khả quy X Theo hệ 4.2.1, H ( Z ) ∈ ( DN ) theo kết trên, tồn tập compact K ⊂ Z cho : ω ( Z , K , x ) = với x ∈ Z Đặt m = supϕ Áp dụng hai định lý số chứng minh trường hợp K không kì dị [13], ta có với x ∈ Z : ϕ ( x ) ≤ M ω ( Z , K , x ) − m (ω ( Z , K , x ) − 1) = m Theo tính liên thông Z nguyên lý cực đại suy ϕ số Z Ngược lại, cho X có hữu hạn nhánh bất khả quy Chọn tập compact K X cho Int ( K  Z ) ≠ ∅ với nhánh bất khả quy Z X Theo giả thiết ω ( Z, K, x) Z = với x ∈ Z Và ω ( Z , K , x ) = với x ∈ X Theo kết ta có H ( X ) ∈ ( DN ) 4.4 Bổ đề Cho X không gian Stein Khi H ( X ) ∈ ( DN ) H ( X \ P ) ∈ ( DN ) với siêu mặt P ⊂ X chứa quỹ tích kì dị S ( X ) X Chứng minh: Ta thấy với siêu mặt P X H ( X ) không gian H ( X \ P ) [16] nên điều kiện đủ hiển nhiên Ngược lại giả sử H ( X ) ∈ ( DN ) P siêu mặt X chứa S ( X ) Vì X \ P đa tạp Stein nên cần chứng minh hàm đa điều hòa ϕ X \ P bị chặn hàm Ta xét chuẩn tắc hóa θ : X → X X Vì ϕθ hàm đa điều hòa X \ θ −1 ( P ) bị chặn địa phương X nên theo tính chuẩn tắc X , ta suy ϕθ xem hàm đa điều hòa X Theo bổ đề 4.2 ( ) H X ∈ ( DN ) Theo bổ đề 4.3 ta suy ϕθ hàm ϕ hàm Lại áp dụng bổ đề 4.3 ta suy H ( X \ P ) ∈ ( DN ) Bây ta bắt đầu chứng minh định lý 4.1 (ii) ⇒ (i) Cho f : K × Z →  hàm chỉnh hình theo biến, K tập compact không gian Stein bất khả quy địa phương X mà không đa cực nhánh bất khả quy lân cận K Lấy {Wn } sở lân cận K T , P siêu mặt X , Z tương ứng với S ( X ) ⊂ T , S ( Z ) ⊂ P Với n ≥ ta đặt : { Zn = z ∈ Z \ P : f z ∈ H (Wn ) , f z f z Wn Wn } ≤n , chuẩn sup f z Wn Từ tính chỉnh hình theo biến f ta có Z \ P =  Zn n ≥1 Mặt khác theo tính Montel H (Wn ) , ta suy Z n tập đóng Z \ P Theo định lý Baire, tồn no cho IntZ n ≠ ∅ o Chú ý IntZ n gặp nhánh bất khả quy Z Bằng cách viết K ∩ (Wn \ T ) o o hợp đếm tập compact Wn \ T ta tìm tập compact E ⊂ K ∩ (Wn \ T ) o o không đa cực thành phần liên thông Wn \ T Bây ta xét f hàm o chỉnh hình theo biến ( E × ( Z \ P ) ) ∪ (Wn \ T × IntZ n o o ) ( theo nghĩa Siciak [17]) Vì H ( Z \ P ) ∈ ( DN ) từ tính không đa cực E thành phần liên thông Wno \ T , theo Zahariuta [21], ta suy f thác triển tới hàm chỉnh hình fˆ Wno ∩ ( X \ T ) × ( Z \ P ) Xét hàm chỉnh hình từ W vào H ( Z \ P ) cho bởi: x  fˆx , x ∈ W W = Wn ∩ ( X \ T ) o Vì E không đa cực H ( Z ) không gian H ( Z \ P ) với { fˆ : x ∈ E} ⊂ H ( Z ) x Nên fˆ xem hàm chỉnh hình Wn ∩ ( X \ T ) × Z o Tương tự, cách xét hàm chỉnh hình ( ) z  fˆ z ∈ H Wno ∩ ( X \ T ) , z ∈ Z Chúng ta xem fˆ hàm chỉnh hình Wn × Z o (i) ⇒ (ii) Theo Vogt [20], cần kiểm chứng ánh xạ tuyến tính liên tục T từ H ( ∆ ) vào H ( Z ) compact, ∆= cảm sinh hàm f : ∆ × Z →  : {λ ∈  : λ < 1} Vì  H ( ∆ )  ≅ H ( ∆ ) nên ánh xạ T ' f ( λ , z ) = (T ∗δ z ) ( λ ) với ( λ , z ) ∈ ∆ × Z , δ z (ϕ ) = ϕ ( z ) với ϕ ∈ H ( Z ) Hiển nhiên, f hàm chỉnh hình theo biến Theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình đến hàm chỉnh hình fˆ W × Z , lân cận ∆ × Z Điều suy T ∗ ánh xạ liên tục từ  H ( Z )  vào H ∞ (V ) , V lân cận compact tương đối ∆ W ' H ∞ (V ) không gian Banach hàm chỉnh hình bị chặn V Vậy T toán tử compact Như định lý 4.1 cho ta điều kiện cần đủ Z để giải toán nói với giả thiết hẹp K Cũng cần nhấn mạnh trình chứng minh định lý 4.1 dùng định lý Zaharjuta mà giả thiết định lý đòi hỏi K phải tập không đa cực thành phần liên thông lân cận K Cho nên đặt giả thiết cho K tập compact không gian bất khả quy địa phương mà tập không đa cực nhánh bất khả quy lân cận K việc tự nhiên KẾT LUẬN Trong luận văn, sử dụng bất biến tôpô tuyến tính đưa nghiên cứu D.Vogt vào đầu năm 80 để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến trường hợp hữu hạn chiều Chúng sử dụng cách hiệu lý thuyết bó coherent để hoàn thiện kết nghiên cứu nhằm đơn giản hóa giả thiết không gian Stein bất khả quy địa phương Các kết mà nghiên cứu tìm điều kiện cần đủ cho K Z K tập compact không gian Stein Z không gian Stein cho hàm chỉnh hình theo biến K × Z thác triển chỉnh hình lên lân cận W × Z K × Z Như nghiên cứu vấn đề quan tâm từ lâu nhiều tác giả nhờ công cụ bất biến tôpô tuyến tính Tuy nhiên việc nghiên cứu trình bày luận văn có giới hạn nên không sâu nghiên cứu trường hợp sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến vô hạn chiều Đây toán quan trọng giải tích phức Do có điều kiện nghiên cứu tiếp theo, mở rộng nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến vô hạn chiều sử dụng công cụ bất biến tôpô tuyến tính Các kết nghiên cứu học từ công trình có sẵn D.Vogt, Nguyễn Văn Khuê, Nguyễn Thanh Vân, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thái Sơn, Đinh Huy Hoàng, Thái Thuận Quang,….Nhờ mà trang bị kiến thức cho giải tích hàm việc nghiên cứu bất biến tôpô tuyến tính kiến thức thật hữu ích để nghiên cứu Hình học- tôpô TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2008), Không gian vectơ tôpô, Đại Học Sư Phạm TPHCM [2] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2006), Hàm Biến Phức, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Shreeram Shankar Abhyankar (2001), Local Analytic Geometry, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [4] E Bedford (1981), “The operator (ddc)n on complex spaces, seminaire d’Analyse LeLong-Skoda”, Lecture Notes in Math 919, 294-324 [5] Jean- Pierre Demailly (1997), Complex analytic and Differential Geometry, Universite de Grenoble I, Institut Fourier, France [6] Sean Dineen (1999), Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, SpringerVerlag London Limited [7] Klaus Fritzsche and Hans Grauert (2002), From Holomorphic Functions to Complex Manifolds Springer-Verlag [8] J E Fornaess and R Narasimhan (1980), “The Levi problem on complex spaces with singularities”, Math Ann 248, 47-72 [9] Lars Hormander (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North – Holland Amsterdam- New York- Oxford Tokyo, Volume [10] Dinh Huy Hoang and Thai Thuan Quang (1996), “The inheritance of the linear topological invariant ( DN )”, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 21, Number 1, pp 4558 [11] B Josefson (1978), “On the equivalence between locally polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on  n ”, Ark Mat 16, 109-115 [12] Marek Jarnicki and Peter Pflug, “Directional Regularity vs Joint Regularity”, Notices of the AMS, Volume 58, Number 7, 896-904 [13] M.Klimek (1991), Pluripotential Theory, Oxford [14] Stanislaw Lojasiewiczc (1991), Introduction to complex analytic Geometry, Birkhauser Verlag, Basel Boston Berlin [15] R.Meise, D.Vogt (1997), Introduction to functional analysis, CalarendonPress- Oxford [16] R Narasimhan (1966), Introduction to the theory of analytic spaces Springer Verlag [17] J Siciak (1981), “Extremal Plurisubharmonic functions in   ”, Ann Pol Math 39, 175-211 [18] Bernard Shiffman (1989), Separate Analyticity and Hartogs Theorems, Indiana University Mathematics Journal, Volume 38, No [19] Nguyen Thai Son (1998), “Separately Holomorphic Functions on compact sets”, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 23, Number 2, pp 207-216 [20] D.Vogt (1983), Frechetraume zwischen deren jede stetige linear Abbildung beschrankt ist J.rein angew Math 345, 182-200 [21] V.P Zahariuta (1976), “Separately analytic functions, generalizations of Hartogs’ theorem and envolopes of holomorphy”, Math.Sb 101 (143), 1(9), 57-76 (Russian) [22] A Zeriahi (1991), “Fonction de Green pluricomplexe a po6le l’infini sur un espace de Stein parabolique”, Math Scand 69, 89-126 [...]... tôi trình bày về lý thuyết các hàm chỉnh hình, các hàm chỉnh hình theo từng biến để làm nền tảng cho các chương sau: 1 Định nghĩa của hàm chỉnh hình 2 Các tính chất của hàm chỉnh hình 3 Định nghĩa hàm chỉnh hình theo từng biến 4 Hàm điều hòa, hàm đa điều hòa, hàm đa điều hòa dưới, hàm vét cạn 5 Miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, miền giả lồi 6 Tập giải tích, thành phần bất khả quy, quỹ tích kì dị 7... Fn ) ≠ ∅ Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH Như chương 1 chúng tôi đã trình bày, nội dung của luận văn là nghiên cứu tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến Các kiến thức về hàm chỉnh hình đã được học trong chương trình giải tích phức Tuy nhiên khi phối hợp với các kiến thức về giải tích hàm để sử dụng các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính cần thêm nhiều kiến thức cơ bản... hàm f : D × G →  là chỉnh hình theo từng biến nếu f ( a,.) chỉnh hình trên G với mỗi a ∈ D và f (., b ) chỉnh hình trên D với mỗi b ∈ G Rõ ràng một hàm chỉnh hình thì chỉnh hình theo từng biến, nhưng điều ngược lại có đúng không? Vào cuối thế kỷ 19, sử dụng công thức tích phân Cauchy, ta đã biết rằng mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến liên tục thì chỉnh hình Tiếp đến, sử dụng phương pháp cổ điển, W.F.Osgood... , ( z , w ) ∈ D × G chỉnh hình theo từng biến trên X nhưng ϕ:D→, = không chỉnh hình M Hukuhara chứng minh tương tự kết quả của Osgood đã chỉ ra rằng nếu B là tập đồng nhất tại một điểm bo ∈ G (nghĩa là với bất kì lân cận liên thông mở U của bo và f chỉnh hình trên U , nếu f = 0 trên B ∩ U thì f ≡ 0 ), khi đó mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến trên X bị chặn địa phương thì chỉnh hình trên D × G Trong... yếu nghiên cứu hàm chỉnh hình theo từng biến theo nghĩa như sau: Cho K là một tập hợp compact trong không gian phức X và Z là một không gian phức Với một hàm f : K × Z →  ta đặt: f x ( z ) = f ( x, z ) với z ∈ Z Và f z ( x ) = f ( x, z ) với x ∈ K Hàm f được gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu f x : Z →  và f z : K →  chỉnh hình với mọi x ∈ K và z ∈ Z tương ứng Ở đây, một hàm trên K được gọi là chỉnh. .. một hàm chỉnh hình theo từng biến, bị chặn địa phương thì nó sẽ liên tục và do đó là chỉnh hình Hơn nữa ông ta cũng quan sát và muốn chứng minh mọi hàm chỉnh hình trên D × G thì chỉnh hình theo từng biến và điều ngược lại cũng đúng với p, q, D, G bất kì Để giải quyết vấn đề này Hartogs đã đưa ra bổ đề sau đây: Bổ đề ( Bổ đề Hartogs 1906): f Cho  p ×  q ⊃ B ( r ) × B ( s )  →  , ( B ( a, r ) là hình. .. 0 bất kì Khi đó f  ϕw là hàm chỉnh hình môt biến phức, xác định gần ζ = 0 Vì f  ϕ w đạt cực đại tại gốc, hàm này phải là hằng số trong một lân cận của gốc Nhưng hướng w được chọn tùy ý vì vậy f cũng là hằng số trong một lân cận của 0 ∈  n Theo định lý duy nhất suy ra rằng f là hằng số trên G 2.1.4 Hàm chỉnh hình theo từng biến Cho D ⊂  p , G ⊂  q là các miền, một hàm f : D × G →  là chỉnh hình. .. 1 f chỉnh hình 2 f khả vi phức 3 f chỉnh hình yếu Chứng minh: Ta đã biết rằng một hàm chỉnh hình f là khả vi phức và do đó f chỉnh hình yếu Ngược lại cho f : B →  chỉnh hình yếu và zo ∈ B là điểm bất kì Có một đa đĩa nhỏ P quanh zo mà nó compact tương đối trong B Nếu T là biên đánh dấu của nó, thì f P = Cf T và Công thức Cauchy là giới hạn của một chuỗi lũy thừa Vì vậy f chỉnh hình Hơn nữa f chỉnh. .. một hàm f : D × G →  là chỉnh hình theo từng biến theo nghĩa: f ( a,.) chỉnh hình trên G với mỗi a ∈ D và f (., b ) chỉnh hình trên D với mỗi b ∈ B Khi đó f có chỉnh hình trên D × G không? Đặt X = ( D × G ) ∪ ( D × B ) Quan sát ta thấy rằng câu trả lời sẽ là không nếu B quá nửa xác định Ví dụ: B := g −1 ( 0 ) , trong đó g chỉnh hình trên G , g ≠ 0 , khi đó với một hàm bất kì hàm f ( z , w ) : ϕ (... tập con mở B ⊂ X được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi p ∈ B có một hệ tọa độ (U , ϕ ) tại p sao cho f  ϕ −1 : ϕ (U ∩ B ) →  là chỉnh hình Định nghĩa chỉnh hình không phụ thuộc vào hệ tọa độ Ta kí hiệu tập hợp của những hàm chỉnh hình trên B là H ( B) Một ánh xạ song chỉnh hình F : X → Y là một ánh xạ ( tôpô) sao cho F và F −1 là chỉnh hình Nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình giữa X và Y thì những ... PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN Chuyên ngành: Hình Học – TôPô Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ... kiến thức bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Các kiến thức bất biến tôpô tuyến tính kiến thức đại phát triển nhiều nhà khoa học nước quốc tế Do để tiếp... với tính chất Y1 Chương 3: CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH Có nhiều cách để giải toán tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến từ cổ điển đến đại luận văn này, sử dụng khái niệm bất biến tôpô tuyến