5. Cấu trúc luận văn: 4 chương:
2.1.4Hàm chỉnh hình theo từng biến
Cho D⊂p,G⊂q là các miền, một hàm f D G: × → là chỉnh hình theo từng biến nếu
( ),.
f a chỉnh hình trên G với mỗi a∈D và f ( ).,b chỉnh hình trên D với mỗi b∈G.
Rõ ràng một hàm chỉnh hình thì chỉnh hình theo từng biến, nhưng điều ngược lại có đúng không?
Vào cuối thế kỷ 19, sử dụng công thức tích phân Cauchy, ta đã biết rằng mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến liên tục thì chỉnh hình. Tiếp đến, sử dụng phương pháp cổ điển,
W.F.Osgood đã chứng minh rằng nếu một hàm chỉnh hình theo từng biến, bị chặn địa
phương thì nó sẽ liên tục và do đó là chỉnh hình. Hơn nữa ông ta cũng quan sát và muốn
chứng minh mọi hàm chỉnh hình trên D G× thì chỉnh hình theo từng biến và điều ngược lại
cũng đúng với p q D G, , , bất kì.
Để giải quyết vấn đề này Hartogs đã đưa ra bổ đề sau đây:
Bổ đề ( Bổ đề Hartogs 1906):
Cho p q ( ) ( ) f
B r B s
× ⊃ × →
, (B a r( ), là hình cầu Euclide tâm a, bán kính r,
( ) : (0, )
B r =B r ) sao cho f a( ,.) là hàm chỉnh hình trên B s( ) với mỗi a∈B r( ) và f chỉnh hình trên B r( ) ( )×B δ với 0< <δ s. Khi đó f chỉnh hình trên B r( ) ( )×B s
Trong chứng minh Hartogs đã sử dụng phương pháp từ lý thuyết thế vị trong giải tích phức. Cuối cùng, bổ đề này cũng được kiểm tra lại bằng cuộc tranh luận trong giải tích phức thuần
túy. Hartogs cũng nhận thấy rằng bổ đề này không đúng nếu không có giả thiết f chỉnh
hình trên B r( ) ( )×B δ với 0< <δ s. Vì vậy chúng ta có kết quả cơ bản sau đây:
Định lý ( Định lý Hartogs 1906):
Cho D⊂p,G⊂q là các miền với p q D G, , , bất kì, một hàm f D G: × → là chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh hình và ngược lại.
Bổ đề Hartogs đã gợi lên bài toán sau đây gọi là bài toán Hukuhara:
Cho hai miền p, q
D⊂ G⊂ , một tập khác rỗng B⊂G, và một hàm f D G: × → là chỉnh
hình theo từng biến theo nghĩa: f a( ),. chỉnh hình trên G với mỗi a∈D và f ( ).,b chỉnh hình trên D với mỗi b∈B. Khi đó f có chỉnh hình trên D G× không?
Đặt X =(D G× ) (∪ D B× ). Quan sát ta thấy rằng câu trả lời sẽ là không nếu B quá nửa xác định.
Ví dụ: 1( )
: 0
B =g− , trong đó g chỉnh hình trên G, g≠0, khi đó với một hàm bất kì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
:D
ϕ →, hàm f z w( , ):=ϕ( ) ( ) (z g w , z w, )∈ ×D G chỉnh hình theo từng biến trên X nhưng không chỉnh hình.
M. Hukuhara chứng minh tương tự kết quả của Osgood đã chỉ ra rằng nếu B là tập đồng
nhất tại một điểm bo∈G (nghĩa là với bất kì lân cận liên thông mở U của bo và f chỉnh
hình trên U , nếu f =0 trên B∩U thì f ≡0), khi đó mỗi hàm chỉnh hình theo từng biến
trên X bị chặn địa phương thì chỉnh hình trên D G× .
Trong luận văn này chủ yếu nghiên cứu hàm chỉnh hình theo từng biến theo nghĩa như sau:
Cho K là một tập hợp compact trong không gian phức X và Z là một không gian phức.
Với một hàm f K: × →Z ta đặt:
fx( )z = f x z( ), với z∈Z
Và z( ) ( ),
f x = f x z với x∈K.
Hàm f được gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu fx:Z → và fz:K→ chỉnh hình với
mọi x∈K và z∈Z tương ứng. Ở đây, một hàm trên K được gọi là chỉnh hình nếu nó có