Lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabriel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Mẫn LÝ THUYẾT XOẮN TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ CỦA NÓ VỚI TÔPÔ TUYẾN TÍNH VÀ TÔPÔ GABRIEL Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Mục lục Lời mở đầu Bảng ký hiệu Chương - Các vấn đề lý thuyết vành, môđun không gian tôpô 1.1 Vành 1.2 Môđun 1.3 Không gian tôpô 22 Chương - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền ví dụ 25 2.1 Preradicals 26 2.2 Lý thuyết xoắn 34 2.3 Lý thuyết xoắn di truyền .39 Chương - Mối quan hệ lý thuyết xoắn tổng quát tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel số ví dụ 45 3.1 Tôpô tuyến tính 46 3.2 Tôpô Gabriel 51 3.3 Một số ví dụ 54 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 63 Lời mở đầu Trước tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.Tiến sĩ Bùi Tường Trí, Người giảng dạy, trực tiếp đề tài hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình học tập như: PGS TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Đậu Thế Cấp, TS Trần Huyên, PGS.TS Trần Tuấn Nam Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô dạy Triết học, Ngoại ngữ thầy cô Phòng Khoa học – Công nghệ sau đại học tạo điều kiện học viên khóa cao học K.19 hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Luận văn đưa khái niệm lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải C,tôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A, minh họa ví dụ cụ thể cho khái niệm Đồng thời, luận văn trình bày mối quan hệ lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải Cvớitôpô tuyến tính, tôpô Gabriel vành A Nội dung luận văn trình bày chương: Chương Chương nhắc lại kiến thức Vành, Môđun, Không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc trình bày chương luận văn Chương Chương giới thiệu khái niệm Preradical, Preradical lũy đẳng, Radical phạm trù A-môđun phải C, khái niệm lớp tiền xoắn, lớptiền xoắn tự do, lớp tiền xoắn di truyền, lớp xoắn, lớp xoắn tự do, lớp xoắn di truyền vật phạm trù A-môđun phải C, trình bày định nghĩa tính chất Lý thuyết xoắn Lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải C, đồng thời đưa số ví dụ minh họa Chương Chương trình bày tôpô tuyến tính vành A tôpô Gabriel vành A, đồng thời trình bày mối quan hệ tôpô tuyến tính vành A, tôpô Gabriel vành A vớiLý thuyết xoắn, Lý thuyết xoắn di truyền phạm trù A-môđun phải C Cuối số ví dụ minh họa Mặc dù cố gắng kiến thức nhiều hạn chế thời gian không nhiều nên khó tránh khỏi có nhiều sai sót.Tác giả mong nhận bảo, góp ý chân tình thầy cô bạn bè để luận văn hoàn chỉnh Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỉ Mod- A Phạm trù A-môđun phải MA Môđun phải M vành A AM Môđun trái M vành A M(n,Z) Tập hợp ma trận cấp n có hệ số số nguyên M(n,2Z) Tập hợp ma trận cấp n có hệ số số nguyên chẵn M(n,Q) Tập hợp ma trận cấp ncó hệ số Q Ideal sinh S A[S-1] Vành phân số phải vành Adựa vào S Qrcl (A) Vành thương cổ điển phải vành A C :C→C Đồng cấu đồng C,tức C (x) = x,∀x∈C Ker𝛼 Hạt nhân đồng cấu 𝛼,tức làKer𝛼 = {x∈M | 𝛼(x) = 0},(với Im 𝛼 Ann(x) 𝛼: M→N đồng cấu A-môđun) Ảnh đồng cấu𝛼, tức làIm 𝛼= {y∈N |∃x∈M, 𝛼(x) =y},(với 𝛼: M→N đồng cấu A-môđun) Linh hóa tử (phải) phần tử x, tức Ann(x) = {a∈A | x.a = 0} Vành thương vành A ideal a A A/a HomA (M,N) Tập hợp đồng cấu A-môđun phải từ M đến N Môđun S-xoắn M, tứclà t(M) t(M)={x∈M|∃s∈S,x.s= 0} Tập hợp tất phần tử quy vành A( tức S reg lànhững phần tử ước 0)  Phần tử a∈A gọi ước tồn ≠ b∈A cho a.b = Tập hợp tất vật phạm trù C Ob(C) Mor C (C,C’) Tập hợp tất cấu xạ từ vật C đến C’ phạm trù C Cop Phạm trù đối ngẫu phạm trù C ∑𝐼 𝑀𝑖 Tổng họ môđun {M i } i∈I π i :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i i i :C i→⊕ I C i R Đồng cấu chiếu tắc, tức π i ((x i ) i ) = x i ,∀(x i ) I ∈∏𝐼 𝐶𝑖 Đơn cấu nhúng tắc, tức i i (x i ) = (x j ) j , 𝑥𝑗 = 𝑥𝑖 𝑛ế 𝑢𝑗 = 𝑖 � 𝑥𝑗 = 𝑛ế 𝑢𝑗 ≠ 𝑖 Spec(A) Tập hợp tất ideal nguyên tố vành A (a:a) Ideal phải A, xác định (a:a) = {b∈A|a.b∈a} E(M) Bao nội xạ môđun M Top(A) Tập hợp tất tôpô vành A Sets Phạm trù tập hợp Ab Phạm trù nhóm aben Chương -Các vấn đề lý thuyết vành, môđun không gian tôpô Chương nhắc lại khái niệm kết lý thuyết vành, môđun không gian tôpô, việc chứng minh chúng tìm thấy sách tham khảo trang cuối luận văn 1.1 Vành Trong luận văn này, vành hiểu vành không giao hoán, có đơn vị Định nghĩa 1.1.1.Vành tập hợp R với hai phép toán cộng nhân thỏa mãn tính chất sau: (R1) (R,+) nhóm Abel; (R2) (R,.)là nửa nhóm; (R3) Phép nhân phân phối với phép cộng, tức là:∀x,y,z∈R, ta có: x(y+z) = xy + xz, (y+z)x = yx +zx  Phần tử trung hòa phép cộng gọi phần tử-không, kí hiệu  Phần tử đối xứng x∈R gọi phần tử đối x, kí hiệu -x  Nếu phép nhân có phần tử đơn vị ta nói vành R vành có đơn vị Phần tử đơn vị kí hiệu e hay  Nếu phép nhân giao hoán ta nói vành R giao hoán  Cho vành R có đơn vị Phần tử x gọi khả nghịch x khả đối xứngđối với phép nhân, nghĩa tồn y∈R cho xy = yx = Kí hiệu R*={x∈R | x khả nghịch} Khi đó,R* nhóm phép nhân, gọi nhóm phần tử khả nghịch R Định nghĩa 1.1.2.Cho (R,+,.) vành, tập A khác rỗng R gọi vành R A ổn định hai phép toán vành R A với hai phép toán cảm sinh vành Định nghĩa 1.1.3.Vành I R gọi idealphải (tương ứng ideal trái) R với r∈R, x∈I, ta có: xr∈I (tương ứng rx∈I) Ta nói I ideal R vừa ideal trái vừa ideal phải R Ví dụ : • {0}, R hai ideal tầm thường R • Giả sử R chứa đơn vị, I ideal R Khi đó: I = R⇔Ichứa phần tử khả nghịch ⇔I chứa phần tử đơn vị • I ideal Z⇔I có dạng nZ, n∈Z • M(n,Z) vành M(n,Q) không ideal M(n,Q) • M(n,2Z) ideal M(n,Z) Định nghĩa 1.1.4.Cho S tập khác rỗng vành R Ta định nghĩa giao tất vành R có chứa S vành sinh S  Giao tất ideal R có chứa S ideal sinh S Kí hiệu là:  Giả sử I = Nếu S hữu hạn ta nói I hữu hạn sinh Đặc biệt, S = {a} ta viết I = , gọi ideal sinh a Xét vành (R,+,.) I ideal tùy ý R Vì phép cộng giao hoán nên nhóm (I,+) chuẩn tắc (R,+) ta lập nhóm thương (R/I,+) Định lý 1.1.5.Giả sử I ideal (R,+,.).Trên nhóm thương (R/I,+), ta định nghĩa phép toán nhân sau:(x+I).(y+I) = x.y + I Khi đó:(R/I,+,.) vành gọi vành thương R ideal I Ví dụ : ������� • Vành thươngZ/nZ = Z n = { 0� , 1� , 2� ,…,𝑛 − } Định nghĩa 1.1.6.(Các vành đặc biệt)  Miền nguyên vành giao hoán có đơn vị, nhiều phần tử ước  Trường miền nguyên mà phần tử khác có nghịch đảo  Vành vành ước mà ideal ideal  Vành quy (theo nghĩa Von Neumann)là vành R mà : Với a∈R, tồn x∈R cho a = axa  Vành đơn vành có hai ideal R  Ideal a A gọi ideal lũy linh ∃n∈N* cho an =  Ideal a A gọi ideal cốt yếu A nếua∩b≠ 0, với ideal b ≠ 0của A  Ideal p A gọi ideal nguyên tố với a, b∈A mà a.b∈p thìa∈p b∈p  Vành A gọi vành không đơn có ideal đơn Định nghĩa 1.1.7.Lấy A vành S tập đóng nhân A, nghĩa là: Với t, s∈S, ta có: ts∈S 1∈S Vành phân số (Rings of fractions)phải A dựa vào S vành A[S-1] với đồng cấu vành 𝜑 : A →A[S-1] thỏa mãn: (F1).𝜑(s) khả nghịch với s∈S, (F2).Mọi phần tử A[S-1] có dạng 𝜑(a).𝜑(s)-1với s∈S, (F3).𝜑(a) = 0⇔∃s∈S,a.s = Định lý 1.1.8.Khi A[S-1] tồn tại, có tính chất phổ dụng sau: Với đồng cấu g: A → B cho g(s) khả nghịch B,∀s∈S tồn đồng cấu h: A[S-1] → B cho h 𝜑 =g Mệnh đề 1.1.9.Cho S tập đóng nhân A Khi đó, A[S-1] tồn S thỏa mãn: (S1).∀s∈S, a∈A ⇒∃t∈S b∈A cho sb = at, (S2) Nếu sa = với s∈S at = với t∈S Khi đó: A[S-1] = A×S /~, ~ quan hệ tương đương với (a,s) ~ (b,t) tồn c, d∈A cho ac = bd sc = td∈S Định nghĩa 1.1.10.Tập S gọi tập mẫu số phải tập đóng nhân thỏa mãn (S1), (S2) Ví dụ : • Nếu A vành giao hoán tập đóng nhân A tập mẫu số, (S1) (S2) tự động thỏa mãn • Một ví dụ quan trọng tập đóng nhân tập S reg gồm tất phần tử quy (tức phần tử ước 0) A Khi đó, vành phân số A[S-1] thường gọi “vành thươngcổ điển phải” A Ta thường kí hiệu là: Qrcl (A) Qrcl Mệnh đề1.1.11.Qrcl (A)tồn A thỏa mãn điều kiện Ore, nghĩa :∀a, s∈A, s quy,∃b, t∈A, t quy cho at = s b Định nghĩa 1.1.12.Một vành A gọi vành thương(rings ofquotients) phần tử ước của A khả nghịch, nghĩa A vành thương trái phải Chẳng hạn, vành quy vành thương 1.2 Môđun Trong luận văn này, không nói thêm môđun hiểu môđun phải Định nghĩa 1.2.1.Lấy A vành có đơn vị Một A-môđun phải nhóm aben M với ánh xạ : M×A→M (x,a)→xa thỏa mãn tiên đề sau:∀x, y∈M,∀a,b∈A, ta có: (M1) (x+y)a =xa+ya, (M2) x(a+b) = xa+xb, (M3) x(ab) = (xa)b, (M4) x1 = x Ví dụ : Z- môđun Mọi nhóm aben xem Z-môđun, xác định x.n = x+x+…+x (n lần) với n>0 Vành A xem A-môđun (trái phải) với phép nhân phép nhân vành A Những môđun vành A A ideal phải A 3 Nếu A vành, ta xác định vành đối Aop giống nhóm aben A phép nhân * định nghĩa bởia*b = b.a, phép nhân vành A Một A-môđun trái giống Aop-môđun phải Định nghĩa 1.2.2.Cho M, N A-môđun Ánh xạ 𝛼: M→N gọi đồng cấu(hay ánh xạ A-tuyến tính) : Với x, y∈M, a∈A, ta có: 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼(𝑥) + 𝛼(𝑦), 𝛼(𝑥 𝑎) = 𝛼(𝑥) 𝑎 Mệnh đề 1.2.3.Đồng cấu 𝛼: M→N cảm sinh đẳng cấu: M / Ker 𝛼 ≅ Im 𝛼 Mệnh đề 1.2.4.Nếu L⊂M⊂N môđun, (N/L)/(M/L)≅(N/M) Mệnh đề 1.2.5.Nếu L,M môđun N, (L+M)/ M ≅ L/(L∩M) 𝛼𝑖−1 𝛼𝑖 𝛼𝑖+1 Định nghĩa 1.2.6.Dãy đồng cấu A-môđun…→M i-1�⎯�M i→M i+1�⎯�…được gọi khớp M i Ker𝛼𝑖 = Im𝛼𝑖−1 gọi khớp khớp M i 𝛼 𝛽  Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng: → A→B→ 𝐶→0 Định nghĩa 1.2.7.Môđun M gọi sinh họ (x i ) I phần tử M x∈M viết x = ∑𝐼 𝑥𝑖 𝑎𝑖 , tất trừ số hữu hạn 𝑎𝑖 ≠  Môđun M gọi môđun hữu hạn sinh có tập sinh hữu hạn nói cách khác, có toàn cấu An→M, với n∈N  Nếu hệ số 𝑎𝑖 xác định x họ (x i ) I gọi sở M Môđun gọi tự có sở Mệnh đề 1.2.8.Môđun M tự M ≅ 𝐴(𝐼) với I họ Định nghĩa 1.2.9.Môđun sinh tập S⊂M môđun gồm tất tổ hợp tuyến tính S  Tổng họ môđun {M i } i∈I môđun sinh tập ⋃𝐼 𝑀𝑖 , ký hiệu ∑𝐼 𝑀𝑖 Như vậy, ta có ∑𝐼 𝑀𝑖 = Các phần tử ∑𝐼 𝑀𝑖 tổng hữu hạn ∑𝐼 𝑥𝑖 , x i ∈M i hầu hết x i = trừ số hữu hạn Định nghĩa 1.2.10.Môđun M gọi môđun Nơ-te môđun M hữu hạn sinh  Vành A Nơ-te phải A A môđun Nơ-te, nghĩa ideal phải A hữu hạn sinh Mệnh đề 1.2.11.Lấy L môđun M Khi đó, M Nơ-te L M / L Nơ-te Mệnh đề 1.2.12.Nếu A vành Nơ-te phải môđun hữu hạn sinh Nơ-te Định nghĩa 1.2.13.Môđun M gọi môđun cyclic sinh từ phần tử Hay định nghĩa cách tương đương có toàn cấu A→M  Những môđun cyclic Lấy M môđun x∈M Phần tử x sinh môđun cyclic xA M Có toàn cấu 𝛼 : A→xA cho 𝛼(a) = xa Ker 𝛼 = {a|xa = 0} = Ann(x), gọi linh hóa tử x Do đó, x A≅A/Ann(x) Mệnh đề 1.2.14.Môđun M cyclic M ≅ A/a,với alà ideal phải A Định nghĩa 1.2.15 Mộtphạm trùC xác định gồm thành phần: (i) Lớp Ob(C) vật C, (ii) Tập Mor C (C,C’), phần tử gọi cấu xạ từ C đến C’với cặp thứ tự (C,C’) hai vật C, (iii) Một luật lấy tích cấu xạ: Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) với ba (C,C’,C’’) vật C o Kí hiệu: 𝛼∈Mor(C,C’) 𝛼: C→C’ o Tích 𝛼: C→C’ 𝛼′: C’→C’’ viết 𝛼’𝛼 Ngoài tiên đề sau phải thỏa mãn: (C1).Mor(C,C’) Mor(D,D’) phân biệt (C,C’) ≠ (D,D’) (C2).Nếu 𝛼 : C→C’ 𝛼′ : C’→C’’và 𝛼′′ : C’’→C’’’là cấu xạ thì𝛼 ′′ (𝛼 ′ 𝛼) = (𝛼 ′′ 𝛼 ′ )𝛼 (C3) Với vật C, tồn C ∈Mor(C,C) cho C α = αvà β1 C = βvới𝛼: C’→C β: C→C’’  Phạm trù đối: Đối với phạm trù C có phạm trù đối ngẫu Cop, chứa tất vật C, nhưngMor𝐂𝑜𝑝 (C,C’) = Mor C (C’,C) α*β=β.α,trong * phép nhân Cop, phép nhân C Ví dụ : Phạm trù Ab nhóm Aben Với vật nhóm Aben cấu xạ đồng cấu nhóm Tích hai cấu xạ tích hai đồng cấu nhóm Phạm trù A- môđun phải Mod-A Với vật A- môđun phải cấu xạ đồng cấu A- môđun phải Tích hai cấu xạ tích hai đồng cấu A- môđun Dễ dàng kiểm tra Mod-A thỏa mãn tất điều kiện định nghĩa phạm trù Định nghĩa 1.2.16.Phạm trù C gọi phạm trù tiền cộng tính tập Mor C (C,C’) nhóm aben luật lấy tích cấu xạ :Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) ánh xạ song tuyến tính Ví dụ : • Phạm trù Mod-Alà phạm trù tiền cộng tính, dễ dàng kiểm tra Hom(M,N) nhóm aben ánh xạ Hom(M’,M’’)×Hom(M,M’)→Hom(M,M’’) ánh xạ song tuyến tính Định nghĩa 1.2.17.Cho phạm trù B C Hàm tửT:B → C quy luật, tương ứng vật B∈Bvới vật T(B)∈C, tương ứng cấu xạ 𝛼:B→C phạm trù B với cấu xạ T(𝛼): T(B)→T(C) phạm trù C Hơn nữa, tiên đề sau phải thỏa mãn: (F1) Với vật B∈B:T(1 B ) = T(B) (F2).T(βα) = T(β)T(α) với cặp cấu xạ (α, β) B mà xác định đượctích βα Hàm tửT :B → C xác định ánh xạ:Mor B (B,B’) → Mor C (T(B),T(B’))(1) (với cặp (B,B’) B)  Hàm tử T:B → C gọi trung thành ánh xạ (1) đơn ánh  Hàm tử T:B → C gọi đầy (full) ánh xạ (1) toàn ánh Định nghĩa 1.2.18.NếuB C phạm trù tiền cộng tính hàm tử T:B → C gọi cộng tính thỏa mãn: (F3).T(α+β ) = T(α)+ T(β ), với𝛼,𝛽: B→C, với B, C∈Ob(B) Do đó, T hàm tử cộng tính ánh xạ (1) đồng cấu nhóm Ví dụ : Những phạm trù Nếu B C phạm trù B phạm trù C Ob(B) lớp Ob(C), Mor B (B,B’)là tập Mor C (B,B’) với B, B’ Ob(B),và luật lấy tích B giống C Khi đó, ta có hàm tử nhúng B→Clà trung thành Bđược gọi phạm trù đầy C hàm tử đầy.Nếu C phạm trù tiền cộng tính B phạm trù đầy C B tiền cộng tính hàm tử nhúng B→C cộng tính Hàm tử Hom Lấy Clà phạm trù Mod-A Ta định nghĩa hàm tử Hom : (Mod-A)op×Mod- A →Sets, tương ứng cặp (C,D) (Mod-A)op× Mod-A với tập Hom A (C,D) Đối với cặp 𝛼: C’→C 𝛽: D→D’của đồng cấu C ta đặt tương ứng với ánh xạ Hom( 𝛼, 𝛽 ): Hom(C,D)→Hom(C’,D’) định nghĩa 𝜑 →𝛽 𝜑 𝛼 Dễ dàng kiểm tra Hom(𝛼, 𝛽) đồng cấu nhóm Hom hàm tử từ(Mod- A)op ×Mod-A →Ab Nó hàm tử cộng tính theo biến Định nghĩa 1.2.19.Hàm tử T:B → Ccộng tính gọi hàm tử khớp biến dãy khớp phạm trù B thành dãy khớp phạm trù C  Tính khớp hàm tử phạm trù Môđun Lấy A B vành T:Mod-A→Mod-B hàm tử cộng tính Khi đó, T hàm tử khớp biến dãy khớp Mod-A thành dãy khớp Mod-B T hàm tử khớp trái có tính chất yếu biến dãy khớp 0→M’→M→M’’→0 Mod-A thành dãy khớp bên trái0→T(M’)→T(M)→T(M’’) Mod-B Tương tự cho tính khớp phải hàm tử.Hàm tử T khớp vừa khớp trái vừa khớp phải Ví dụ : • Hàm tử Hom: (Mod-A)op×Mod - A→Ab Hàm tử Hom :(Mod-A)op ×Mod-A→Ab khớp trái biến 𝛼 𝛽 Thật vậy, lấy 0→M’→M→ 𝑀′′ →0 dãy khớp Mod-A N A- môđun khác, ta chứng minh dãy sau khớp: 𝛽∗ 𝛼∗ 0→Hom(M’’,N)→Hom(M,N)→ Hom (𝑀′ , 𝑁) Ta có: 𝛽 ∗ đơn cấu, 𝜑: M’’→N cho = 𝛽 ∗ (𝜑) = 𝜑 𝛽, từ suy 𝜑 = Ker𝛼 ∗ chứa tất đồng cấu 𝜑: M→N cho 𝜑 𝛼 = Nhưng 𝜑 𝛼 = ta định nghĩa 𝜑�: M’’→N theo quy tắc 𝜑�(𝛽(x)) = 𝜑(x), 𝜑 = 𝛽 ∗ (𝜑�) Ngược lại, 𝜑∈Im𝛽 ∗ , 𝜑 = 𝛾 𝛽 với 𝛾: M’’→N, điều 𝜑 𝛼 = 𝛾 𝛽 𝛼 = Do đó, Ker 𝛼 ∗ = Im𝛽 ∗ , ta chứng minh tính khớp trái hàm tử Hom( ,N) Tính khớp trái hàm tử Hom(N, ) chứng minh tương tự Định nghĩa 1.2.20.Cho C phạm trù tiền cộng tính.Tích trực tiếp họ (C i ) i∈I vật C vật C với cấu xạ πi : C→C i (i∈I) cho vật X họ đồng cấu 𝜀 i : X→C i , tồn cấu xạ 𝜀 : X→C R cho πi 𝜀 = 𝜀 i R Kí hiệu Clà ∏𝐼 𝐶𝑖  Các cấu xạ πi :∏𝐼 𝐶𝑖 →C i gọi đồng cấu chiếu  Tính chất: Hom(X,∏𝐼 𝐶𝑖 ) ≅ ∏𝐼 Hom (𝑋, 𝐶𝑖 ) Ví dụ : • Tích trực tiếp họ môđun Để xây dựng khái niệm tích trực tiếp họ môđun,trước hết ta cần nhắc lại vài điều cần thiết khái niệm tích Descartes họ tập hợp Cho họ không rỗng tập hợp {A i } i∈I Tích Descartes họ tập hợp {A i }, kí hiệu ∏𝐼 𝐴𝑖 , tập hàm x: I→∪A i cho x(i)∈A i ,∀i∈I Bởi hàm x∈∏𝐼 𝐴𝑖 xác định giá trị (x(i)) i∈I nên ta có quyền đồng x với giá trị (x(i)) i∈I Và ta ký hiệu x i = x(i) phần tử ∏𝐼 𝐴𝑖 x = (x i ) i∈I với điều kiện x i ∈A i ,∀i Vậy ∏𝐼 𝐴𝑖 = {(x i ) i∈I |x i ∈A i ,∀i∈I} Về cách viết x = (x i ) i∈I , để tránh rườm rà ta viết gọn x = (x i ) Bây với họ khác rỗng môđun {X i } i∈I vành hệ tử R, ta xác định tập tích Descartes ∏𝐼 𝑋𝑖 phép toán sau: (x i ) + (x i ’) = (x i + x i ’) r.(x i ) = (r.x i ) với (x i ), (x i ’)∈∏𝐼 𝑋𝑖 r∈R Dễ thấy phép toán đưa vào ∏𝐼 𝑋𝑖 xác định theo thành phần thứ i Và phép toán thành phần X i thỏa yêu cầu R- môđun, nên không khó khăn để thấy phép toán ∏𝐼 𝑋𝑖 thỏa hết yêu cầu R-môđun Ta gọi môđun xây dựng ∏𝐼 𝑋𝑖 môđun tích trực tiếp họ {X i } Nó ký hiệu là: ∏𝐼 𝑋𝑖 Các môđun X i gọi môđun thành phần tích trực tiếp Sự liên hệ môđun thành phần tích trực tiếp thực thông qua phép nhúng phép chiếu Với k∈I ta có cặp phép nhúng chiếu xác định sau: j k :X k →∏𝐼 𝑋𝑖 với j k (x k ) = ([ j k (x k )] i ), 𝑥 𝑛ế 𝑢 𝑖 = 𝑘 , với x k ∈X k [ j k (x k )] i = � 𝑘 𝑛ế 𝑢 𝑖 ≠ 𝑘 p k :∏𝐼 𝑋𝑖 →X k với p k [(x i )] = x k , với (x i )∈∏𝐼 𝑋𝑖 Hiển nhiên phép nhúngj k đơn cấu, nhúng môđun thành phần X k vào môđun tích trực tiếp ∏𝐼 𝑋𝑖 môđun con, phép chiếu p k toàn cấu chiếu môđun tích trực tiếp ∏𝐼 𝑋𝑖 lên môđun thành phầnX k , có giá trị (x i ) thành phần thứ k Tích trực tiếp môđun có tính phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.21 Cho họ môđun {X i } i∈I với môđun X, họ đồng cấu {f i : X→X i } phân tích cách qua họ phép chiếu{p i : ∏𝐼 𝑋𝑖 →X i } i∈I Nói cách khác, tồn đồng cấu f:X→∏𝐼 𝑋𝑖 cho f i =p i f với i∈I Định nghĩa 1.2.22.Đối ngẫu khái niệm tích trực tiếp khái niệm đối tíchtrực tiếp(hoặc tổng trực tiếp), kí hiệu là: ⊕ I C i , đặc trưng R công thức sau:Hom(⊕ I C i , X)≅ ∏𝐼 Hom (𝐶𝑖 , 𝑋) R Đẳng cấu sinh từ đơn cấu tắc i i :C i→ ⊕ I C i R Ví dụ : • Tổng trực tiếp họ môđun Cho họ khác rỗng môđun {X i } i∈I vành hệ tử R Xét tập ∏𝐼 𝑋𝑖 gồm x = (x i ), mà hầu hết thành phần x i = 0, trừ số hữu hạn Dễ thấy tập ổn định ∏𝐼 𝑋𝑖 môđun ∏𝐼 𝑋𝑖 Ta gọi môđun tổng trực tiếp họ {X i } i∈I ký hiệu : ⊕ I X i R Tổng trực tiếp môđun có tính chất phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.23.Cho họ môđun {X i } i∈I với môđun X, họ đồng cấu {f i : X i →X}được phân tích cách qua họ phép nhúng {j i : X i→⊕ I X i } i∈I Nói cách khác, tồn đồng cấuf :⊕ I X i→X R R cho f i =f j i với i∈I Định nghĩa 1.2.24.Môđun P gọi môđun xạ ảnh toàn cấu môđun 𝛼:M→N đồng cấu 𝜑: 𝑃 → 𝑁, tồn đồng cấu 𝜑 ′ : 𝑃 → 𝑀 cho 𝛼𝜑 ′ = 𝜑 [...]... là một vành và S là tập con đóng nhân của A, nghĩa là: Với mọi t, s∈S, ta có: ts∈S và 1∈S Vành các phân số (Rings of fractions)phải của A dựa vào S là vành A[S-1] cùng với đồng cấu vành 𝜑 : A →A[S-1] thỏa mãn: (F1).𝜑(s) khả nghịch với mọi s∈S, (F2).Mọi phần tử trong A[S-1] có dạng 𝜑(a).𝜑(s)- 1với s∈S, (F3).𝜑(a) = 0⇔∃s∈S,a.s = 0 Định lý 1.1.8.Khi A[S-1] tồn tại, nó có tính chất phổ dụng sau: Với mọi... 1.1.12.Một vành A được gọi là vành các thương(rings ofquotients) nếu mọi phần tử không phải là ước của 0 của A đều khả nghịch, nghĩa là A là vành các thương trái và phải của chính nó Chẳng hạn, mọi vành chính quy đều là vành các thương 1.2 Môđun Trong luận văn này, nếu không nói gì thêm môđun được hiểu là môđun phải Định nghĩa 1.2.1.Lấy A là một vành có đơn vị 1 Một A-môđun phải là một nhóm aben M cùng với. .. 1.2.18.NếuB và C là những phạm trù tiền cộng tính thì hàm tử T:B → C được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn: (F3).T(α+β ) = T(α)+ T(β ), với ,𝛽: B→C, với B, C∈Ob(B) Do đó, T là hàm tử cộng tính khi và chỉ khi ánh xạ (1) là một đồng cấu nhóm Ví dụ : 1 Những phạm trù con Nếu B và C là những phạm trù thì B là phạm trù con của C nếu Ob(B) là một lớp con của Ob(C), Mor B (B,B’)là một tập con của Mor C (B,B’) với. .. 𝜑(x), và do đó 𝜑 = 𝛽 ∗ (𝜑�) Ngược lại, nếu 𝜑∈Im𝛽 ∗ , thì 𝜑 = 𝛾 𝛽 với 𝛾: M’’→N, và điều này chỉ rằng 𝜑 𝛼 = 𝛾 𝛽 𝛼 = 0 Do đó, Ker 𝛼 ∗ = Im𝛽 ∗ , và như vậy ta đã chứng minh được tính khớp trái của hàm tử Hom( ,N) Tính khớp trái của hàm tử Hom(N, ) được chứng minh tương tự Định nghĩa 1.2.20.Cho C là một phạm trù tiền cộng tính. Tích trực tiếp của họ (C i ) i∈I của những vật của C là một vật C cùng với cấu... Tính khớp của những hàm tử của phạm trù Môđun Lấy A và B là những vành và T:Mod-A→Mod-B là một hàm tử cộng tính Khi đó, T là một hàm tử khớp nếu nó biến mọi dãy khớp trong Mod-A thành một dãy khớp trong Mod-B T là một hàm tử khớp trái nếu nó có tính chất yếu hơn là biến mỗi dãy khớp 0→M’→M→M’’→0 trong Mod-A thành một dãy chỉ khớp bên trái0→T(M’)→T(M)→T(M’’) trong Mod-B Tương tự cho tính khớp phải của. .. trùC xác định gồm 3 thành phần: (i) Lớp Ob(C) của những vật của C, (ii) Tập Mor C (C,C’), những phần tử của nó gọi là những cấu xạ từ C đến C với mỗi cặp thứ tự (C,C’) của hai vật của C, (iii) Một luật lấy tích các cấu xạ: Mor(C’,C’’)×Mor(C,C’)→Mor(C,C’’) với mỗi bộ ba (C,C’,C’’) của những vật của C o Kí hiệu: 𝛼∈Mor(C,C’) là 𝛼: C→C’ o Tích của 𝛼: C→C’ và 𝛼′: C’→C’’ được viết là 𝛼’𝛼 Ngoài ra những... trong ∏𝐼 𝑋𝑖 vì vậy nó là môđun con của ∏𝐼 𝑋𝑖 Ta gọi nó là môđun tổng trực tiếp của họ {X i } i∈I và ký hiệu là : ⊕ I X i R Tổng trực tiếp của các môđun cũng có tính chất phổ dụng sau: Mệnh đề 1.2.23.Cho họ môđun {X i } i∈I khi đó với bất kỳ môđun X, mỗi họ đồng cấu {f i : X i →X}được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng {j i : X i→⊕ I X i } i∈I Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng... gọi là cơ sở của M Môđun được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở Mệnh đề 1.2.8.Môđun M tự do khi và chỉ khi M ≅ 𝐴(𝐼) với I là một họ nào đó Định nghĩa 1.2.9.Môđun con sinh bởi một tập S⊂M là môđun con gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S  Tổng của một họ môđun con {M i } i∈I là môđun con sinh bởi tập ⋃𝐼 𝑀𝑖 , ký hiệu là ∑𝐼 𝑀𝑖 Như vậy, ta có ∑𝐼 𝑀𝑖 = Các phần tử của ∑𝐼 𝑀𝑖 là các tổng hữu hạn... đóng nhân của A Khi đó, A[S-1] tồn tại khi và chỉ khi S thỏa mãn: (S1).∀s∈S, a∈A ⇒∃t∈S và b∈A sao cho sb = at, (S2) Nếu sa = 0 với s∈S thì at = 0 với t∈S Khi đó: A[S-1] = A×S /~, trong đó ~ là quan hệ tương đương với (a,s) ~ (b,t) nếu tồn tại c, d∈A sao cho ac = bd và sc = td∈S Định nghĩa 1.1.10.Tập S được gọi là tập mẫu số phải nếu nó là tập đóng nhân thỏa mãn (S1), (S2) Ví dụ : • Nếu A là vành giao... được xác định bởi x.n = x+x+…+x (n lần) với n>0 2 Vành A được xem như một A-môđun (trái cũng như phải) với phép nhân ngoài chính là phép nhân của vành A Những môđun con của vành A A chính là một ideal phải của A 3 Nếu A là một vành, ta xác định một vành đối Aop giống như một nhóm aben A nhưng phép nhân mới * được định nghĩa bởia*b = b.a, trong đó là phép nhân trong vành A Một A-môđun trái giống như một