Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DƯƠNG MINH HOÀNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội-2011 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau đại học và các GS, TS giảng dạy chuyên nghành toán giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Văn Hào đã trực tiếp hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu luận văn và hoàn chỉnh luận văn. Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp đã nhận được của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh như hiện tại. Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Dương Minh Hoàng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn với đề tài “Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet”. được hoàn thành với sự nhận thức của riêng tác giả, không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Dương Minh Hoàng Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 10 1.1. Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô . . . . . . . . 10 1.2. Đối ngẫu và tô pô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Pô la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . 19 1.4.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . 28 Chương 2. Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet 31 2.1. Bất biến tô pô tuyến tính (DN) trên không gian Frechet . 31 2.1.1. Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (DN) . . . 31 2.1.2. Các điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Bất biến tô pô tuyến tính ( ˜ Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1. Khái niệm về bất biến tô pô ( ˜ Ω) . . . . . . . . . . . 44 2.2.2. Các điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chương 3. Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet 53 4 3.1. Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong C N với giá trị Frechet có (DN)− chuẩn . . . . . . . . . . . 55 3.3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact ˜ L− chính quy với giá trị Frechet có (DN) − chuẩn . . . . . . . 60 3.4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có (LB ∞ ) − chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt ra đối với lý thuyết các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phương trên một tập con X nào đó của một không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gian lồi địa phương F . Điều đó dẫn đến khái niệm mầm hàm chỉnh hình trên tập X. Ý nghĩa quan trọng của khái niệm này là sự địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc xét một phần tử cố định nào đó, người ta xét lớp các phần tử tương đương đối với phần tử này. Trong khái niệm mầm ta phân ra các đặc điểm chung liên kết các phần tử tương đương lại với nhau. Tập các mầm hàm chỉnh hình H (X, F) trên một tập compact X có thể được xét theo hai khía cạnh: Một là, về mặt đại số ta có thể xem nó như là một vành. Các tính chất của vành H (X, F ) đã được nghiên cứu rộng rãi; chẳng hạn theo hướng nghiên cứu này ta có thể xem Bănică – Stănăsilă [2], Đậu Thế Cấp – Nguyễn Văn Khuê [4] , Mặt khác, H (X, F ) có thể xem như một không gian véc tơ tô pô trang bị tô pô lồi địa phương tự nhiên bằng cách kết hợp các tô pô của không gian các hàm chỉnh hình trên một lân cận của X. Theo hướng nghiên cứu này ta phải kể đến các công trình nghiên cứu của Chae [5, 6]. Vấn đề nghiên cứu các tô pô lồi địa phương trên không gian H (U, F ) = H(U) các hàm chỉnh hình trên một tập mở U trong không gian lồi địa phương E được khởi đầu bởi Nachbin [11,12] và Alexander [1]. Trong giải tích phức vô hạn chiều, người ta thấy rằng tô pô mở compact hay tô pô hội tụ đều trên các tập con compact của U không chỉ là tô pô tự nhiên duy nhất. Tô pô τ ω được đề xuất lần đầu tiên bởi Nachbin [11,12], nó ra đời từ ý tưởng liên quan đến các phiếm hàm giải tích mang bởi tập compact. Sự ra đời của tô pô mang bởi tập compact mở ra nhiều hướng nghiên cứu trong giải tích phức vô hạn chiều và trở thành công cụ hữu hiệu giải quyết 6 nhiều bài toán quan trọng trong lĩnh vực này. Một trong các vấn đề được quan tâm nhiều trong lớp không gian mầm các hàm chỉnh hình đó là việc đặc trưng các tập bị chặn của nó. Nhớ lại rằng, không gian mầm H(K, F ) được xây dựng từ không gian H(U, F ) các hàm chỉnh hình trên lân cận mở U của K trong một không gian lồi địa phương E, với giá trị trong một không gian lồi địa phương F , bằng giới hạn quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương. Như vậy, không gian mầm H(K, F ) được gọi là chính quy nếu giới hạn quy nạp trên là chính quy. Nghĩa là, mỗi tập con bị chặn của H(K, F ) là bị chứa và bị chặn trong không gian H(U, F ) nào đó. Tính chính quy của không gian mầm H (K, F ) = H (K) đã được nhiều tác giả quan tâm, mở đầu cho hướng nghiên cứu này là Chae [5,6]. Trong đó, các tác giả xét bài toán cho trường hợp K là một tập con compact của một không gian Banach. Các kết quả này được tổng quát hóa và làm sâu sắc hơn bởi Mujica[10]. Năm 1981, bằng việc mô tả hệ nửa chuẩn sinh ra tô pô của H(K) Dineen [7] đã chứng tỏ rằng H(K) là đầy đủ cùng với giả thiết K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric. Cũng ở đây, nhờ phương pháp được sử dụng để thu được tính đầy của H(K), lần đầu tiên Dineen đã đưa ra được một số đặc trưng về tính chính quy của H(K) khi K là tập compact trong các không gian không nhất thiết lồi địa phương metric. Cũng theo hướng nghiên cứu này ta cần phải kể đến các kết quả của Soraggi [16], Soraggi đã chỉ ra các ví dụ cũng như các phản ví dụ về tính chính quy của H(K). Để nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F) với giá trị Frechet và được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào em chọn đề tài "CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET". Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận, ba chương cùng tài liệu tham khảo. Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. 7 Chương này dành cho việc giới thiệu các khái niệm liên quan đến việc xét bài toán về tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với miền xác định và miền giá trị là các không gian Frechet. Trong đó, chúng tôi đã trình bày các kiến thức quan trọng liên quan đến hướng nghiên cứu là 1. Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô. 2. Đối ngẫu và tô pô yếu. 3. Pô la. 4. Hàm chỉnh hình. Chương 2. Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet. Khác với chương 1, trong chương 2 chúng tôi giới thiệu đến hai bất biến tô pô tuyến tính là (DN) và  ˜ Ω  trên không gian Frechet. Trong đó, để tạo điều kiện thuận lợi cho việc tiếp tục đi sâu vào việc nghiên cứu của chương sau chúng tôi đã đặc biệt chú trọng đưa ra một số các điều kiện tương đương để một không gian Frechet có tính chất (DN) và  ˜ Ω  . Từ đó dẫn đến các chứng minh cụ thể cho các không gian dãy K¨othe, không gian chuỗi lũy thừa có tính (DN) và  ˜ Ω  . Cụ thể trong chương này chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau 1. Bất biến tô pô tuyến tính (DN) trên không gian Frechet. 2. Bất biến tô pô tuyến tính  ˜ Ω  trên không gian Frechet. Chương 3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet. Trong chương 3 chúng tôi trình bày hướng nghiên cứu chính của luận văn. Đầu tiên chúng tôi đưa ra mệnh đề nói đến điều kiện cần về tính chính quy của không gian H(K, F ) với K là tập compact trong C N . Chúng tôi quy bài toán về việc xét tính chính quy của giới hạn quy nạp của một dãy tăng các không gian Frechet ( (LF ) - không gian). Cũng với kỹ thuật đó, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần và đủ cho tính chính quy của không 8 gian mầm H(K, F ) với K là tập compact ˜ L − chính quy trong một không gian Frechet. Điều kiện ở đây là không gian Frechet F có tính chất (DN). Phần tiếp theo trong chương này dành để trình bày kết quả nghiên cứu tính chính quy của H(K, F ) khi F có tính chất (LB ∞ ) mạnh hơn (DN), nhưng đối với tập compact K chỉ cần thỏa mãn điều kiện duy nhất. 1. Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet. 2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong C N với gia trị Frechet có (DN) − chuẩn. 3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact ˜ L − chính quy với giá trị Frechet có (DN) − chuẩn. 4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có (LB ∞ ) − chuẩn. 2. Mục đích nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F) với giá trị Frechet. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Xuất phát từ việc nghiên cứu điều kiện cần đối với tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet. Luận văn trình bày một số tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F) với giá trị Frecht có tính chất (DN), (LB ∞ ). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có tính chất (DN), (LB ∞ ). 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn. Nghiên cứu tính chính quy của 9 không gian mầm các hàm chỉnh hình với miền giá trị trong các không gian Frechet có (DN) − chuẩn, trên các tập compact trong C N và tập compact ˜ L − chính quy. Kết quả tương tự cũng được khẳng định cho lớp không gian mầm có miền giá trị Frechet có (DN), (LB ∞ ) − chuẩn. [...]... số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F ) với E, F là các không gian Frechet và K là tập compact trong E Những kết quả này liên quan đến một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet Đây là những khái niệm mới, được đưa ra bởi D.Vogt vào những năm 80 của thế kỷ trước Nhờ những... là không gian đếm được chuẩn b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là một không gian Frechet 14 Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều là không gian Frechet c) Một tập lồi, cân, đóng và hút trong một không gian lồi địa phương gọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của gốc gọi là một không gian thùng và mọi không gian Frechet là không. .. không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gian lồi địa phương F được gọi là Gateaux chỉnh hình hoặc G chỉnh hình nếu với mỗi a ∈ U, b ∈ E và φ ∈ F thì hàm một biến phức f : λ → φ ◦ f (a + λb) là một hàm chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm 0 Ta ký hiệu HG (E, F ) là tập tất cả các hàm G chỉnh hình từ E vào F Bởi định lý Hartog trong trương hợp nhiều chiều nói rằng các hàm chỉnh hình. .. sau f ∼ g nếu tồn tại một lân cận W của K mà trên đó f và g hoàn toàn được xác định, hơn nữa ta có f |W = g |W Không gian véc tơ nhận được từ các lớp tương đương trên 29 đây được ký hiệu bởi H(K, F ) Các phần tử của nó được gọi là các mầm của các hàm chỉnh hình hoặc vắn tắt hơn chỉ gọi là mầm chỉnh hình trên K Nếu f là một hàm chỉnh hình xác định trên một tập con mở của E và chứa K thì ta cũng ký hiệu... 1.4.2 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.19 Một tập con U của không gian lồi địa phương E được gọi là mở hữu hạn nếu U ∩ F là một tập con mở của không gian Euclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf Các tf lân cận cân lập thành một cở sở đối với tf lân cận của 0 trong E Định nghĩa 1.20 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn chiều U của. .. ξ ∞ Ta gọi chuỗi Pn,ξ (x − ξ)n là chuỗi Taylor của hàm f (x) tại ξ Bởi vì n=0 n khai triển trên là duy nhất nên ta thường ký hiệu Pn,ξ = d f (ξ) n! Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên U với giá trị trong F được ký hiệu bởi H(U, F ) 1.4.3 Không gian mầm các hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.24 Cho E và F là không gian lồi địa phương và K là một tập compact của E Trên H(U, F ) với U là tập mở chứa K trong... một không gian Frechet nào đó có tính chất (DN ) Tiêu chuẩn này liên quan đến không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục Giả sử E, F là các không gian Frechet, L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Với mỗi A ∈ L (E, F ) ta xác định A trong đó { n} n,k = sup { Ax n : x k ≤ 1} , là hệ nửa chuẩn trên F xác định tô pô của F , còn { k} là hệ nửa chuẩn trên E xác định tô pô của. .. thỏa mãn x 1+d q ≤C x d p; x k với mọi x ∈ E Lưu ý Tính chất (DN ) không phụ thuộc vào hệ các nửa chuẩn xác định tô pô của E; Tính chất (DN ) được di truyền qua các không gian con; Không gian Frechet có tính chất (DN ) thì nó có chuẩn liên tục và chuẩn này được gọi là (DN ) − chuẩn 2.1.2 Các điều kiện tương đương Định lý 2.1 Không gian Frechet E có tính chất (DN ) nếu và chỉ nếu tồn tại p ∈ N và d >... quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương H(K, F ) = lim ind [H (U, F ) ; τω ] U ⊃K ở đó U chạy trên tất cả các tập mở trong E chứa K Tô pô của H(K, F ) không thay đổi nếu chúng ta hạn chế chúng tới mỗi thành phần liên thông của U K Bởi tính duy nhất của thác triển chỉnh hình, ánh xạ chính tắc H (U, F ) → H (K, F ) là đơn ánh và chúng ta đồng nhất H(U, F ) với một không gian véc tơ con của. .. Cn , V ⊂ Cm là chỉnh hình Do đó, ánh xạ f :U ⊂E→F là G chỉnh hình nếu và chỉ nếu φ ◦ f |U ∩H là hàm nhiều biến chỉnh hình với mỗi φ ∈ F và không gian con hữu hạn chiều H trong E Từ đó suy ra ta có thể sử dụng các kết quả trong trường hợp nhiều chiều như: khai triển chuỗi Taylor, phương trình Cauchy-Riemann, đối với các ánh xạ G chỉnh hình Định nghĩa 1.21 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương . cho tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet. 2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong C N với gia trị Frechet có (DN) − chuẩn. 3. Không gian mầm các. chỉnh hình với giá trị Frechet 53 4 3.1. Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên. tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F) với giá trị Frechet. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Xuất phát từ việc nghiên cứu điều kiện cần đối với tính chính quy của không gian mầm các