Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp"Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình"được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác. Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Đặng Thị Bích Thảo Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian véc tơ tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . 12 1.3. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26 2.1. Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26 2.2. Tính chính quy Cauchy của không gian mầm hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Một số ví dụ và phản ví dụ về điều kiện (B) . . . . . . . 34 2.4. Tính đầy của không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . 37 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt ra đối với lý thuyết các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phương trên một tập con K nào đó của một không gian lồi địa phương. Điều đó dẫn đến khái niệm mầm hàm chỉnh hình H(K) trên tập K. Ý nghĩa quan trọng của khái niệm này là sự địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc xét một phần tử cố định nào đó người ta xét lớp tất cả các phần tử tương đương đối với phần tử này. Trong khái niệm mầm ta phân ra các đặc điểm chung liên kết các phần tử tương đương lại với nhau. Tập các mầm hàm chỉnh hình H(K) trên tập compact K có thể được xét theo hai khía cạnh. Một là, về mặt đại số ta có thể xem nó như là một vành. Các tính chất của vành H(K) đã được nghiên cứu rộng rãi, có thể xem: Bănică-Stănilă [2], Siu [7], Mặt khác, H(K) có thể được xem như là một không gian véc tơ tô pô trang bị tô pô lồi địa phương tự nhiên bằng cách kết hợp các tô pô của không gian các hàm chỉnh hình trên một lân cận của K. Theo hướng nghiên cứu này phải kể đến các công trình của S. B. Chae [3], A. Grothendieck [10] và A. Martineau [14, 15], Việc nghiên cứu một cách trực tiếp tô pô trên lớp không gian các hàm chỉnh hình không phải luôn được tiến hành một cách dễ dàng. Trong khi đó không gian mầm các hàm chỉnh hình đôi khi lại có thể nghiên cứu một cách thuận lợi. Trên H(K) người ta thường quan tâm đến tính chính quy và tính đầy của lớp không gian này. Theo hướng nghiên cứu đó, S. B. Chae [9] đã chứng tỏ tính chính quy của H(K) với K là tập compact trong không gian Banach. 2 Để nghiên cứu cấu trúc của không gian mầm hàm chỉnh hình H(K), với K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric tôi đã chọn đề tài: "Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình". Luận văn được chia làm 2 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo). Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian véc tơ tô pô, cần thiết cho quá trình sử dụng sau này. Tiếp theo bằng cách tiếp cận ngắn gọn chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về không gian mầm các hàm chỉnh hình mà mục đích của luận án là nghiên cứu các tính chất tô pô trên lớp các không gian này. Chương 2: Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình. Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu vấn đề chính quy của lớp không gian mầm các hàm chỉnh hình trên các tập compact trong không gian lồi địa phương metric và tính đầy của lớp không gian mầm các hàm chỉnh hình trên các tập compact cân trong không gian lồi địa phương metric, chương này lần lượt trình bày một cách có hệ thống một số kết quả về tính chính quy và tính đầy của lớp không gian đó. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tính chính quy và tính đầy đủ của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K) với K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết về không gian mầm các hàm chỉnh hình và cấu trúc của nó. 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Tính chính quy của không gian mầm hàm chỉnh hình H(K). - Tính chính quy Cauchy của không gian H(K). - Tính đầy của không gian H(K) với K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống một số kết quả về tính chính quy và tính đầy đủ dãy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K) với K là tập compact trong không gian lồi địa phương. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian véc tơ tô pô Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản sẽ được sử dụng về sau. Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ và A là một tập con của E i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A, trong đó λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1. ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A thì λx ∈ A khi | λ |≤ 1. iii) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời là lồi và cân. iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn n  i=1 λ i · x i với λ i ≥ 0, n  i=1 λ i = 1, x i ∈ A là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A. v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn n  i=1 λ i · x i với n  i=1 | λ i |≤ 1 và với mọi x i ∈ A (là tập hợp tuyệt đối lồi nhỏ nhất chứa A). vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ E, tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn: | µ |≥ λ Định nghĩa 1.1.2. Một không gian véc tơ tô pô có một cơ sở gồm những lân cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồi địa phương (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương. 5 Định nghĩa 1.1.3. a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K (K = C hoặc K = R). Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi là một nửa chuẩn nếu +) p(x) ≥ 0, +) p(λx) =| λ | p(x), +) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ E, λ ∈ K b) Một nửa chuẩn p tương ứng với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ của tập A. Mệnh đề 1.1.4. Trong một không gian lồi địa phương E, một nửa chuẩn p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc. Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước thì tồn tại một lân cận V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V . Do đó, với a là một điểm tùy ý của E, ta có: | p(x)−p(a) |≤ p(x−a) < ε khi x ∈ a+V  Định nghĩa 1.1.5. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn nếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p. Mệnh đề 1.1.6. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô pô của một không gian khả metric luôn luôn có thể xác định được bởi một metric, bất biến đối với các phép tịnh tiến. Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc. Ngược lại, nếu E có một cơ sở lân cận đếm được, thì vì mỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (u n ) những 6 lân cận tuyệt đối lồi. Gọi p n là hàm cỡ của u n . Đặt f(x) = ∞  n=1 2 −n inf{p n (x), 1}. Thế thì f(x + y) ≤ f(x) + f(y) , f(−x) = f(x) và nếu f(x) = 0 thì p n (x) = 0, với mọi n. Bởi vì E là tách nên x = 0. Đặt d(x, y) = f(x − y) thì d là một metric và d(x + z, y + z) = d(x, y). Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric, các tập hợp V n = {x : f(x) < 2 −n } lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng V n là mở đối với tô pô xuất phát bởi mỗi p n và do đó f là liên tục. Hơn nữa V n ⊂ U n bởi vì nếu x /∈ U n thì p n (x) ≥ 1, vậy f(x) ≥ 2 −n . Thành thử d xác định tô pô xuất phát của E.  Định nghĩa 1.1.7. a) Một hàm thực ϕ(x) trên một không gian tuyến tính X được gọi là dưới tuyến tính, nếu +) ϕ(x 1 + x 2 ) ≤ ϕ(x 1 ) + ϕ(x 2 ), với mọi x 1 , x 2 ∈ X +) ϕ(αx) = αϕ(x), với mọi x ∈ X và mọi số α ≥ 0 b) Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ(x) (trong không gian thực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ(αx) = |α|ϕ(x) với mọi x ∈ X và mọi số α ∈ K Mệnh đề 1.1.8. Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường thẳng nào. Chứng minh. Thật vậy, nếu B là một tập lồi, cân, hút thì dễ thấy rằng hàm cỡ p B của nó nghiệm đúng p B (−x) = p B (x), do đó với mọi 7 α < 0 : p B (αx) = −αp B (−x) = −αp B (x), cho nên p B (αx) =| α | p B (x) với mọi α và p B là một sơ chuẩn. Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi vì với x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)+(1−α)p(y) < 1. Hơn nữa B cân đối vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) = p(x) < 1, và B cũng là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p(x/λ) = p(x)/λ < 1. Dễ thấy p(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p(x) = p B (x). Sau cùng, nếu p là một chuẩn thì với mọi x = 0, p(x) > 0 cho nên p(αx) = αp(x) ≥ 1 (với α đủ lớn), tức là αx = B, chứng tỏ B không chứa trọn một đường thẳng nào đi qua 0 và x  Mệnh đề 1.1.9. Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn Γ tùy ý. Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng {x : sup 1≤i≤n p i (x) < ε} (ε > 0, p i ∈ Γ) (1.1). Nó là một tô pô Hausdorff khi và chỉ khi (∀x = 0)(∃p ∈ Γ)p(x) > 0 (1.2). Chứng minh. Cho B o là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p(x) < 1}, với p ∈ Γ. Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tương hợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là theo mệnh đề 1.1.8, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng ε n  i=1 V i (ε > 0, V i ∈ B o ). [...]... Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình Cho K là một tập compact của một không gian lồi địa phương metric E Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu tính chính quy của H(K) Không gian mầm H(K) trong trường hợp K là compact của không gian Banach đã được S B Chae [3] nghiên cứu và thu được tính chính quy của lớp không gian này Ở đây, chúng tôi chứng tỏ rằng điều đó vẫn đúng khi K là tập compact của. .. (1.2), gọi là không gian đếm được chuẩn b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là một không gian Frechet Như vậy mọi không gian Banach (không gian định chuẩn đủ) đều là không gian Frechet c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi địa phương gọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của gốc gọi là một không gian thùng và mọi không gian Frechet... phần tử của nó được gọi là các mầm của các hàm chỉnh hình hoặc vắn tắt hơn chỉ gọi là mầm chỉnh hình trên K Nếu f là một hàm chỉnh hình xác định trên một tập con mở của E và chứa K thì ta cũng ký hiệu bởi f là lớp tương đương trong H(K) Tô pô tự nhiên trên H(K) được cho bởi giới hạn quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương H(K) = lim ind[H(U ); τω ], U ⊃K ở đó U chạy trên tất cả các tập... Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.3.1 Một tập con U của không gian lồi địa phương E được gọi là mở hữu hạn nếu U ∩ F là một tập con mở của không gian Euclide F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf Các tf lân cận cân lập thành một cơ sở đối với tf lân cận của 0 trong E Định nghĩa 1.3.2 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn chiều U của. .. pô lồi địa phương trên H(U ) được sinh bởi các nửa chuẩn có dạng p(f ) = f K = sup | f (z) |, z∈K ở đó f ∈ H(U ) và K chạy trên tất cả các tập con compact của U Ta ký hiệu τ0 là tô pô mở compact trên không gian các ánh xạ chỉnh hình Tô pô τ0 là tô pô tự nhiên nhất được xét trên không gian các hàm chỉnh hình H(U ) Tuy nhiên, tô pô này luôn có các tính chất không mong muốn và vì lý do đó τδ đã được đề... 1.4 Không gian mầm các hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.4.1 Cho E là không gian lồi địa phương và K là một tập compact của E Trên H(U ) với U là tập mở chứa K trong U ⊃K E, ta xác định quan hệ tương đương ∼ như sau:f ∼ g nếu tồn tại một lân cận W của K mà trên đó f và g hoàn toàn được xác định, hơn nữa ta có: f | W = g | W Không gian véc tơ nhận được từ các lớp tương đương trên đây được ký hiệu bởi H(K) Các. .. 1.3.2 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn chiều U của không gian lồi địa phương E được gọi là G chỉnh hình (Gateaux chỉnh hình) nếu hạn chế của f tới mỗi đường thẳng phức là chỉnh hình Nghĩa là: với mọi a ∈ U, 0 = b ∈ E sao cho a + λb ∈ U với λ ∈ C thì ánh xạ λ → f (a + λb) là chỉnh hình Ta ký hiệu HG (E) là tập tất cả các hàm G chỉnh hình trên E Định nghĩa 1.3.3 Một ánh xạ f : U → C được gọi... một không gian con của X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1 (0) Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử x ∈ Xp (˜ là ˜ x lớp các x ∈ X với p(x − x) = 0), và dựa vào mệnh đề 1.1.9 ta thấy X chính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với các up 10 Mệnh đề 1.1.14 Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi địa phương đầy là đầy Mệnh đề 1.1.15 Nếu E là một không gian. .. các tập con đồng liên tục của E là đồng liên tục 12 Mệnh đề 1.1.23 ([10], tr 77, hệ quả 2) Một (DF ) -không gian tựa đầy là đầy Mệnh đề 1.1.24 ([10], tr 78, định lý 9) Cho E là giới hạn quy nạp của một dãy tăng của (DF ) -không gian En Khi đó, E là một (DF) -không gian và mỗi tập con bị chặn của E bị chứa trong bao đóng E của một tập con bị chặn của En 1.2 Đa thức trên không gian lồi địa phương Định... nạp được cho bởi các ánh xạ bao hàm G → E, ở đó G chạy trên tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E Do đó một hàm f xác định trên một tập con tf mở của E là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phần hữu hạn chiều của U là liên tục Nhưng các hàm nhiều biến là liên tục nên chúng ta nhận được điều cần chứng minh Mệnh đề 1.3.6 Nếu U là một tập con mở hữu hạn trong không gian véc tơ E và . . 18 1.4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26 2.1. Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình 26 2.2 khái niệm về không gian mầm các hàm chỉnh hình mà mục đích của luận án là nghiên cứu các tính chất tô pô trên lớp các không gian này. Chương 2: Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình. Với. quy của lớp không gian mầm các hàm chỉnh hình trên các tập compact trong không gian lồi địa phương metric và tính đầy của lớp không gian mầm các hàm chỉnh hình trên các tập compact cân trong không