Cấu trúc Đại số dây (LV00415)

6 Mở Đầu 1. Lý do chn ti: Các đối tợng vật lí tác động lẫn nhau thông qua bốn loại tơng tác cơ bản nhất tạo nên bức tranh vũ trụ của chúng ta đó là: tơng tác mạnh, tơng tác yếu, tơng tác điện từ và tơng tác hấp dẫn. Xây dựng một lý thuyết thống nhất các tơng tác sẽ cho phép ta hiểu sâu sắc hơn về bản chất các hiện tợng, các mối quan hệ động lực, từ đó tiên đoán đợc hàng loạt các hệ quả mới. Một phơng hớng hiện nay đợc xem có nhiều triển vọng nhất để xây dựng lý thuyết đại thống nhất là Lý Thuyết Dây đợc hình thành vào những năm 1968 đến 1973. Sự ra đời của Lý Thuyết Dây là một phát minh có tầm quan trọng đặc biệt trong vật lý các hạt cơ bản. Đến đây các hạt cơ bản không đợc xem nh các hạt điểm nữa mà đợc xem nh các sợi dây chuyển động trong không - thời gian, khi ấy nó quét lên một mặt gọi là lá thế. Nền tảng của Lý Thuyết Dây chính là lý thuyết trờng lợng tử mô tả động lực học của dây trên lá thế. Có thể nghiên cứu lí thuyết dây thông qua công cụ đại số dây. Xây dựng đợc mô hình cấu trúc đại số dây từ đó phát hiện đợc các tính chất xác lập phân loại mô hình lý thuyết dây. Đề tài Cấu trúc đại số dây nghiên cứu một cách có hệ thống đại số dây và đại số dây biến dạng. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng đợc đại số dây và các biểu diễn của chúng - Xây dựng đợc đại số dây biến dạng - a ra biu din dao ng -q v dao ng Para-Boson ca i s dây 7 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu và viết tổng quan về lý thuyết dây. - Nghiên cứu đại số dây và các biểu diễn của chúng. - Xây dựng đại số dây biến dạng không dị thờng, có dị thờng và đại số dây biến dạng -R(q). 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu và tìm hiểu tổng quan về lý thuyết dây và đại số dây - Nghiên cứu đại số dây biến dạng và đại số dây biến dạng -R(q). 5. Phơng pháp nghiên cứu - Tự đọc và tìm hiểu tài liệu theo hớng dẫn của giáo viên. - Tham dự các sêmina và các hội nghị khoa học vật lý 6. Những đóng góp mới về khoa học thực tiễn của đề tài - Xây dựng đợc mô hình đại số dây, đại số dây biến dạng - a ra c biu din dao ng -q v dao ng Para-Boson ca i s Virasoro - Xõy dng c ại s Virasoro bin dng -R(q). 8 Nội dung Chơng I: Các nguyên lí cơ bản về đại số dây 1.1. Khái niệm chung về lý thuyết dây: Lý thuyết trờng lợng tử tơng ứng với quan niệm hạt là đối tợng không kích thớc - điểm theo nghĩa toán học. Để giúp hiểu sâu hơn về khái niệm hạt dây, ta hãy nhắc sơ qua về hạt điểm. Khi chuyển động trong không - thờigian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt điểm vạch nên một đờng gọi là đờng thế (xem hình vẽ). Vị trí của hạt có thể mô tả bởi hàm vector x () phụ thuộc vào thông số nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, là chỉ số Lorentz khái quát trong không - thời gian D chiều, = 0,1,2, D - 1. Chuyển động của hạt điểm trong không - thời gian Minkowski với metric. v = diag (1,-1,,-1) Đợc mô tả bởi tác dụng: v v 1 x.x)(edS (1.1) 1 2 đờng thế x ( ) 9 Trong đó (e() là một hàm nào đó, đóng vai trò nh metric dọc theo quỹ đạo d d Tác dụng (1.1) bất biến đối với phép biến đổi tổng quát. = f() e() e() = )(e. d 'd Thật vậy, ta có: 1' ' ( ') . v v S d e x x 2 1 ' ' ( ) . . ' v v d d d e x x d d 1 ' ( ) . ' v v d d e x x d 1 ( ) . v v d e x x S Tính bất biến này có thể sử dụng để đặt e() = 1. Lúc này ta nói rằng đã dùng conformal gauge, và viết lại (1.1) thành: v v x.xdS (1.2) 10 Phơng trình Euler - Lagrange áp dụng với x . 0 )x( L x L dẫn tới phơng trình 0 d xd 2 2 có nghiệm tơng ứng với đờng thẳng trong không - thời gian Minkowski. Khi xem hạt là đối tợng có kích thớc một chiều - dây, thì cách tiếp cận cũng tơng tự. Khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 tới vị trí 2, hạt dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình vẽ). Vị trí của dây trong không - thời gian đợc xác định bởi hàm X (,) phụ thuộc 2 thông số và , có thể hiểu nh thời gian riêng của dây -<<+ , có thể hiểu nh độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, với các giá trị đợc chọn trong khoảng 0. Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết: = (,), 0 = , 1 = 1 2 Lá thế X (,) 11 Đa vào các metric tensor trên lá thế h và h với các tính chất. h = h , h = h , h h = và biến đổi theo quy luật h () = h () = ' ' . . ( ) h (1.3) h () = h () = )(h dới tác dụng của phép biến đổi tổng quát = f () (1.4) Chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng X.Xhhd 2 1 S 2 (1.5) Trong đó: h det h = h 00 h 11 - h 2 01 , X X Tác dụng (1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng quát (94.3), mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric. h () ().h () (1.6) 12 Vì lúc này: h.hh)(.h)((hh 12 Nh vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: đối xứng (1.4) với hai thông số và đối xứng Weyl (1.6). Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor h theo metric Minkowski hai chiều: h = = diag (1, -1) Vậy chuyển động của hạt dây trong không - thời gian đợc mô tả bởi tác dụng X.Xd 2 1 S 2 1 ( . . ) 2 d d X X X X (1.7) 1.2. Phơng trình chuyển động của dây: áp dụng phơng trình Euler - Lagrange 0 )X( L X L vào tác dụng (1.7), ta đợc phơng trình chuyển động 0X)(X 22 (1.8) Đó là phơng trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dới dạng: )(X)(X)(X LR (1.9) 13 trong đó R X mô tả các mode chuyển động phải, L X mô tả các mode chuyển động trái của dây. Cần phân biệt dây mở và dây đóng Dây mở Dây đóng Với dây mở ta đặt điều kiện biên: X = 0 tại = 0, (1.10) Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.10) có dạng khai triển nh sau: 2,1n )(m nR e n 1 2 i )(p 2 1 x 2 1 )(X (1.11) n )(in nL e n 1 2 i )(p 2 1 x 2 1 )(X n in n ncos.e n 1 ipx)(X ở đây có thể xem x và p nh toạ độ và xung lợng của khối tâm của hạt dây, n nh các dao động tử quỹ đạo. Ta đòi hỏi X phải là thực, nên x và p cũng phải là thực 14 Và: nn (1.12) Với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn: ),(X),(X (1.13) Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện (1.13) có dạng khai triển nh sau: 2,1n )(in2 nR e n 1 2 i )(p 2 1 x 2 1 )(X (1.14) n )(in nL e ~ n 1 2 i )(p 2 1 x 2 1 )(X n m2 n m2 n m2 e ~ ee n 1 2 i px)(X Chú ý rằng trong trờng hợp dây đóng ta phân biệt dao động tử quỹ đạo n ứng với chuyển động phải, và n ~ ứng với chuyển động trái. Để tiện sử dụng về sau, ta viết ra các biểu thức khai triển của X X và X X . Trong trờng hợp dây mở, từ (1.11) ta có: cos in n n X e n (1.15) n in n nsinei'X Trong ú ta ký hiu p 0 15 Trong trường hợp dây đóng, từ (1.14) ta có:         in2 n in2 n n int2 e ~ eeX          in2 n in2 n n int2' e ~ eeX (1.16) trong ®ã ta ký hiÖu   p 2 1 ~ 00 1.3. PhÐp biÕn ®æi Lorentz bÊt thêng trong lý thuyÕt d©y XÐt c¸c phÐp biÕn ®æi PoincarÐ trong kh«ng - thêi gian D chiÒu: X   X’  =A  v X v + a  (1.17) §èi víi l¸ thÕ th× phÐp biÕn ®æi nµy cã tÝnh toµn côc (c¸c th«ng sè A  v vµ a  kh«ng phô thuéc   ), vµ tÝnh bÊt biÕn PoincarÐ g¾n liÒn víi c¸c dßng Noether trªn l¸ thÕ. Ph¬ng thøc x©y dùng c¸c dßng Noether trªn l¸ thÕ tæng cã thÓ tãm t¾t nh sau: XÐt phÐp biÕn ®æi trêng  () d¹ng: ()  ’() = () + .() (1.18) trong ®ã  lµ mét th«ng sè cùc vi. [...]... Chương Ii: đại số dây 2.1 Xây dựng đại số dây Từ tensor năng - xung lượng T (1.37) ta lập các toán tử 1 Ln ein d (T00 cos n iT01 cos n ), n Z Đặc biệt: Ln 1 (2.1) 0 d T 00 P0 0 Hãy biểu diễn Ln qua các dao động tử quỹ đạo Từ (1.33) ta có: T00 1 ( X X X ' X ' ) 2 T10 1 X' X 2 thay vào đây các biểu thức khai triển (1.15) và (1.16), ta tính được: Ln Ln 1 k ,n k 2 k với dây mở,... - lượng tử hoá dây đơn lẻ Đến đây vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và huỷ dây, và do đó các quá trình chuyển hoá giữa các dây Để có thể mô tả các quá trình chuyển hoá giữa các dây, cần phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử Điều này cũng tương tự như cần thiết xây dựng lý thuyết trường lượng tử để mô tả các quá trình chuyển hoá giữa các hạt Để chuyển từ lượng tử hoá dây đơn lẻ sang... đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, ta chuyển từ hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm dưới đây [X(,), (,)] Đây không phải là phiếm hàm thông thường với các giá trị số thông thường, mà là phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không - thời gian x Trong mục này chúng ta nói đến phiếm hàm trường dây cho trường hợp dây boson mở Phiếm hàm trường dây boson mở [X(,)] có biểu thức... kích thích cao hơn ~ Cũng tiến hành hoàn toàn tương tự, phương trình L1 0 cho: t v ( x ) 0 và các hệ thức giữa các trường thành phần cao hơn (2.56) 39 2.5 Các biểu diễn của đại số dây 2.5.1 Biểu diễn vi phân của đại số dây i s Virasoro bao gm nhng vi t Ln, nZ tho món nhng h thc giao hoỏn: [Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (2.57) Biu din vi phõn n gin nht ca i s ny l: Ln = x-n+1 x (2.58) Thật vậy ta có: [Ln,... [X(,)] n1nr > 0 (2.34) 33 n Các hệ số khai triển n ( x) được xem là các trường thành phần của 1 r 1 r trường dây và chính là các trường định xứ thông thường trong lý thuyết trường lượng tử Chú ý rằng do các dao động tử , n>0 giao hoán với nhau nên các hệ n n số khai triển này có thể xem là đối xứng theo các cặp chỉ số Ta hãy viết biểu thức (2.34) cho một số trường thành phần ứng với các mode... kiện gauge của trường dây 2.4 Lượng tử hoá dây bosson đóng Phiếm hàm trường dây boson đóng có biểu thức khai triển tổng quát như sau: [X(,)] (i ) r s n1 nr , m1 mr 0 r ! s ! 1 r ,v1 vr ( x) n11 nss m11 mss 0 r ,s Với n1nr ,m1ms > 0 (2.45) n Các trường thành phần n ,,m vm ( x) có thể xem là đối xứng theo các cặp v 1 n 1 r 1 s s m r 1 chỉ số và các cặp chỉ số v Phiếm hàm thoả... thấp nhất, m2=2a0 trong trường hợp dây mở và m2=8a0 trong trường hợp dây đóng Như vậy khi a0>1 (chẳng hạn a0=1 với dây boson) thì 32 các trạng thái này có m2 0, lên trạng... một số điều kiện nhất định Trước hết, trạng thái vật lý phải có chuẩn > 0 Một trạng thái 29 vật lý cũng phải thoả mãn các phương trình suy ra từ phương trình chuyển động Như sẽ trình bày ở các chương sau, các phương trình này có dạng: (L0 - a0) = 0 (2.20) Ln = 0 , n > 0 đối với dây mở, và ~ (L0 - a0) = 0, ( L 0 - a0) = 0 (2.21) Ln = 0 , Ln = 0 n > 0 đối với dây đóng trong đó a0 là một thông số, ... lượng của dây được định nghĩa là: M v dM v 0 0 1 v v d(X X X X ) 0 (1.23) Thay vào đây các biểu thức khai triển (1.11), (1.15), (1.16), (1.17) 19 chú ý rằng d cos n cos m 0 ( n , m n , m ) 2 0 n,m Z, ta có: 1 v v M v x p v x v p i ( n n n ) n n 1 n (1.24) cho dây mở Và: 1 v v ~ ~v ~v ~ M v x p v x v p i ( n n n n n n ) n n n 1 n (1.25) cho dây đóng . thuyết dây thông qua công cụ đại số dây. Xây dựng đợc mô hình cấu trúc đại số dây từ đó phát hiện đợc các tính chất xác lập phân loại mô hình lý thuyết dây. Đề tài Cấu trúc đại số dây nghiên. thờng và đại số dây biến dạng -R(q). 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu và tìm hiểu tổng quan về lý thuyết dây và đại số dây - Nghiên cứu đại số dây biến dạng và đại số dây biến. cứu một cách có hệ thống đại số dây và đại số dây biến dạng. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng đợc đại số dây và các biểu diễn của chúng - Xây dựng đợc đại số dây biến dạng - a ra biu