Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 51 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
51
Dung lượng
2,24 MB
Nội dung
Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng đại học vinh Hoàng văn khanh Biểudiễnnửanhómvànhómbởicấutrúcđạisốtựdo tơng ứng Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 2 Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng đại học vinh Hoàng văn khanh Biểudiễnnửanhómvànhómbởicấutrúcđạisốtựdo tơng ứng Chuyên ngành: đạisố & lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: Pgs. Ts. Lê quốc hán Vinh - 2008 4 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Danh mục ký hiệu 3 Chơng I. Biểudiễnnửanhómbởi các cấutrúcđạisốtựdo 4 1.1. Nửanhóm các từ. Nửanhómtựdo 4 1.2. Vị nhómtự do. Định lý khuyết 10 1.3. Biểudiễn các nửa nhóm. Định lý Evans 15 Chơng II. Biểudiễnnhómbởi tập sinh và hệ thức xác định 21 2.1. Nhómtự do. Định lý Neilsen - Schreier 21 2.2. Biểudiễnnhómvà ba bài toán cơ bản về thuật toán Dhen 27 2.3. Biểudiễn hữu hạn. Phép biến đổi Tietze 31 2.4. Phơng pháp Magnus. Định lý tựdo 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời nói đầu Cấutrúcđạisốtựdo là một trong những cấutrúc đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấutrúcđạisố nói chung. Vào những năm đầu thế kỉ XX, các tác giả: Nielsen, Schreier, Magnus đã đạt đợc nhiều thành tựu khoa học trong việc khảo sát nhómtự do. Một trong những kết quả đáng quan tâm là các tác giả đã chứng minh đợc Nhóm con của nhómtựdo là nhómtự do, từđó khảo sát các bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhómtựdovàbiểudiễn của các nhóm qua cấutrúc thơng của các nhómtự do. Tiếp đến, vào giữa thế kỉ XX, lớp nửanhómtựdo tiếp tục đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Các vấn đề liên quan đến nhómvànửanhómtựdo đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều hớng khác nhau, nhng trong phạm vi của luận văn này chủ yếu chúng tôi khảo sát biểudiễnnửanhómvànhóm thông qua cấutrúcđạisốtựdo tơng ứng. Luận văn đợc chia làm 2 chơng 6 Chơng 1: Biểudiễnnửanhómbởicấutrúcđạisốtự do. Chúng tôi trình bày một số kiến thức về nửanhómtự do. Kết quả chính của chơng này là: chứng minh định lý khuyết Giả sử là một tập con hữu hạn các từ, và ( ) F là bao tựdo của nó. Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X không phải là cơ sở của một vị nhómtựdo nào đó) thì ( ) 1F X X (1.2.11); nêu lên một số ví dụ về biểudiễnnửanhóm (1.3.5); chứng minh định lý Evans Giả sử S là một nửanhóm đợc sinh bởi một tập đếm đợc. Thế thì S có thể nhúng đợc vào một nửanhóm đợc sinh bởi hai phần tử (1.3.6). Chơng 2: Biểudiễnnhómbởi tập sinh và hệ thức xác định. Chơng này chúng tôi trình bày các phơng pháp do Neilsen và Schreier nêu ra để chứng minh một trong những định lý quan trọng nhất của nhóm tổ hợp: nhóm con của nhómtựdo là nhómtự do. Từđó khảo sát các bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhómtựdovàbiểudiễn của các nhóm qua cấutrúc thơng của các nhómtự do. Kết quả chính của chơng này là: chứng minh định lý Schreier Giả sử X là một bảng chữ cái, H là một nhóm con tuỳ ý của nhómtựdo ( ) F F= . Tồn tại ít nhất một hệ Schreier các phần tửđạidiện của F theo H. Nếu u u là hàm chọn tơng ứng thì H là nhómtựdo đợc sinh bởi các phần tử khác đơn vị có dạng 1 sxsx , trong đó s chạy khắp các phần tửđạidiện đã chọn còn x chạy khắp X (2.1.9); nêu lên một số ví dụ biểudiễnnhóm (2.2.5); chứng minh định lý tựdo Giả sử F là nhómtựdo với cơ sở X và r là phần tử đợc rút gọn xyclic của F sao cho r chứa một phần tử sinh x X . Khi đó mỗi phần tử không tầm thờng thuộc bao đóng chuẩn tắc của r trong F cũng chứa x (2.4.2). Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. 7 Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong việc hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu Tr- ờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trờng. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 10 năm 2008. Danh mục ký hiệu Trong toàn luận văn này, trừ các trờng hợp đã đợc nói rõ trong các mục, còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu : Lực lợng của tập hợp X. N F : N là ớc chuẩn của F. F : : Nhóm thơng của F theo quan hệ tơng đẳng : trên F. : ánh xạ hạn chế trên X. C : Tơng đẳng sinh bởi quan hệ . [ ] S : Nửanhóm S đợc sinh bởi tập X. 8 9 Chơng I Biểudiễnnửanhómbởi các cấutrúcđạisốtựdo 1.1. Nửanhóm các từ. Nửanhómtựdo 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là một tập hợp các ký hiệu. Chúng ta sẽ gọi A là một bảng chữ cái và các phần tử của nó là các chữ cái. Một dãy hữu hạn các chữ cái gọi là một từ. Tập hợp tất cả các từ trên A đợc ký hiệu là + . Chúng ta sẽ viết u v nếu các từ u và v là nh nhau. Tập hợp + là một nửa nhóm, đợc gọi là nửanhóm các từ trên A, khi tích đ- ợc xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ 1 1 2 2 1 2 . , . ( , ) n m i j w a a a w b b b a b A là từ 1 2 1 2 1 2 . . n m w w w a a a b b b . Khi bổ sung vào + từ rỗng 1 (mà nó không có chữ cái nào), chúng ta nhận đợc vị nhóm các từ . Rõ ràng = + {1} với 1 + và 1. .1w w w= = với mọi w . 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một tập con X của S đợc gọi là sinh ra S một cách tựdo nếu [ ] S S = và mỗi ánh xạ 0 : X P (trong đó P là nửanhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu : S P sao cho = 0 . Khi đó chúng ta sẽ nói rằng là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ 0 . Nếu S đợc sinh tựdobởi một tập nào đó thì S đợc gọi là nửanhómtự do. 1.1.3. Ví dụ. 1) ( Ơ , +) là nửanhómtựdo với { } 1 = là tập sinh tựdo của nó. Nếu 0 : P là một ánh xạ, thì ta định nghĩa : P Ơ bởi ( ) ( ) 0 1 n n = . Khi đó = 0 và là đồng cấu vì 10