: S ψ với một nửa nhóm các từ +
2.1.9. Định lý (Định lý Schreier) Giả sử X là một bảng chữ cái, H là một
nhóm con tuỳ ý của nhóm tự do F F= ( )Χ . Tồn tại ít nhất một hệ Schreier
các phần tử đại diện của F theo H.
Nếu u→u là hàm chọn tơng ứng thì H là nhóm tự do đợc sinh bởi các
phần tử khác đơn vị có dạng −1
sxsx , trong đó s chạy khắp các phần tử đại
diện đã chọn còn x chạy khắp X.
Chứng minh. i) Trớc hết, chúng ta chứng tỏ rằng tồn tại hệ Schreier các đại
diện phải. Gọi độ dài của các từ đại diện trong lớp ghép phải của F theo H là độ dài của lớp ghép đó. Xây dựng hệ Schreier bằng phơng pháp quy nạp theo độ dài của lớp.
Chúng ta chọn từ rỗng làm đại diện cho H, nếu L là lớp có độ dài 1, thì ta chọn từ tuỳ ý độ dài 1 làm đại diện cho L. Giả sử trong các lớp với độ dài bé hơn r, các phần tử đại diện đã đợc chọn, nghĩa là trên các lớp ấy đã xác định đợc hàm chọn u→u. Giả sử L là lớp có độ dài r. Chọn trong lớp đó các từ nào đó y y1, ,...,2 yr với yi∈ ∪X X−1. Và công bố đại diện của L là
1 2... r−1 r
y y y y . Rõ ràng, hệ các đại diện đợc chọn nh vậy là hệ Schreier.
ii) Giả sử S là hệ Schreier các phần tử đại diện của F theo H và u→u là
hàm chọn tơng ứng. Chúng ta chứng tỏ rằng các phần tử khác đơn vị −1
sxsx
với s S x X∈ , ∈ là hệ sinh tự do của H. Còn phải chứng minh nó là hệ sinh
tự do, nghĩa là các phần tử không liên hệ với nhau bởi những hệ thức không
tầm thờng. Trớc hết mỗi từ dạng 1
, ,
−
∈ ∈Χ
không rút gọn đợc. Thật vậy, sự rút gọn có thể đợc bắt đầu chỉ chỗ tiếp giáp với chữ x. Nhng nếu 1 1 − ≡ s s x thì −1 sxsx = s s1 1−1 =1 còn nếu 1 1 1 2 − − − ≡ sx x s thì 2 s s= và 1 1 − = sxsx .
Hơn nữa, giả sử u, v là các phần tử khác đơn vị dạng (2) hay nghịch đảo của chúng. Từ phép chứng minh Định lý 2.1.7 chúng ta thấy rằng u sx sx= ε ε −1,
1
v ty ty= δ δ − trong đó s t S x y, ∈ ; , ∈ Χ; ,ε δ = ±1.
Do tính chất không rút gọn đợc của các từ u và v, quá trình rút gọn của tích
uv chỉ có thể bắt đầu từ chỗ tiếp nối. Nó kết thúc, không thể đi từ xε đến δ
y từ trái qua phải. Thật vậy, do tính chất của hệ Schreier các đại diện, nếu
quá trình rút gọn bắt đầu gặp xε, thì t s x≡ 1 −ε trong đó s1 ≡sxε . Từ đó 1
1
−
=
sxsx .
Nhng điều này không xảy ra vì bên trái từ u≠1. Nếu quá trình rút gọn bắt đầu gặp yδ , thì s1 ≡tyδ , trong đó s1 ≡sxε , từ đó ty tyδ δ −1 =1
Nhng điều này không xảy ra vì bên trái từ v≠1.
Cuối cùng sự rút gọn cũng không đồng thời xảy ra với x yε, δ vì uv≠1.
Bây giờ, giả sử đã cho một từ không rút gọn đợc (khác từ rỗng) có dạng (2). Cần chứng tỏ rằng, nếu xét chúng nh một từ trong bảng chữ cái X và tiến hành các cách rút gọn thì từ còn lại sẽ khác từ rỗng. Nhng thực ra do sự rút gọn đã chỉ ra có thể bắt đầu tại điểm tiếp nối của từ dạng (2) và chấm dứt, nên không đi tới phần giữa của chúng. Định lý 2.1.9 đợc chứng minh.