: S ψ với một nửa nhóm các từ +
2.3.2. Mệnh đề Hai biểu diễn hữu hạn cho cùng một nhóm nếu và chỉ nếu từ một trong hai biểu diễn ấy có thể đi tới biểu diễn kia bằng cách chuyển
một trong hai biểu diễn ấy có thể đi tới biểu diễn kia bằng cách chuyển tiếp bởi một dãy hữu hạn các phép biến đổi Tietze.
Chứng minh. Rõ ràng rằng hai phép biểu diễn, hữu hạn hoặc vô hạn, đợc
liên kết bởi một dãy hữu hạn các phép biển biến đổi Tietze, xác định các nhóm đẳng cấu. Để chứng minh điều ngợc lại, giả thiết rằng hai biểu diễn
( X R1; 1) và ( X R2; 2) xác định các nhóm đẳng cấu. Với i=1,2; chúng ta sẽ ký hiệu Fi là nhóm tự do với cơ sở Χi;và Νi là bao đóng chuẩn tắc trong
i
F của tập hợp Ri ⊆Fi có thể giả thiết rằng đã cho nhóm G với hai ánh xạ
i
ϕ từ Fi lên G với hạt nhân Νi. Hơn nữa có thể giả thiết rằng X1∩X2 = ∅. Giả sử F là nhóm tự do với cơ sở X1∪X2. Khi đó ϕ1 và ϕ2 kết hợp với nhau xác định một ánh xạ từ X vào G và ánh xạ đó mở rộng đợc thành đồng cấu từ F vào G. Quả thật, nếu xét F1 và F2 nh các nhóm con của F thì ϕ là
Đối với mỗi x X∈ 1 chúng ta chọn wx∈F2 sao cho xϕ =wxϕ, và ký hiệu S1
là tập hợp hữu hạn các từ 1
x x
s =x w− . Tập hợp S2 đợc xác định bằng phơng
pháp tơng tự. Từ biểu diễn ( X R 1; 1) tới biểu diễn (Χ;R1 ∪S2) có thể chuyển tiếp bởi một dãy hữu hạn các phép biến đổi Tietze mà mỗi một trong chúng đa vào một phần tử sinh mới x X∈ 2 và hệ thức 1
2
x
w x S− ∈ , biểu diễn
x qua Χ1. Khi đó hạt nhân N của ánh xạ từ F lên G là bao đóng chuẩn tắc trong F của tập hợp R1∪S2. Mặt khác vì ( R2 ∪S1)ϕ =1 nên R2 ∪ ⊆S1 N. Dãy hữu hạn các phép biển đổi Tietze có thể nhập thêm các phần tử từ
2 1
R ∪S thành một phần tử của R1∪S2 để nhận đợc biểu diễn
( X R; ) (= Χ;R1∪ ∪ ∪R2 S1 S2) của nhóm G.
Chúng ta đã chứng tỏ rằng từ ( X R 1; 1) tới ( X R ; ) có thể chuyển tiếp bởi một dãy hữu hạn các phép biến đổi Tietze. Từ lập luận đối xứng suy ra có thể chuyển tiếp từ ( X R2; 2) tới ( X R; ) bằng phơng pháp tơng tự. Từ đó suy ra khả năng chuyển từ ( X R1; 1) tới ( X R2; 2) bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi Tietze.