: S ψ với một nửa nhóm các từ +
2.3.3. Mệnh đề Nếu đối với một biểu diễn hữu hạn sinh đã cho của nhóm G các Bài toán đẳng thức từ và liên hợp giải đợc, thì các Bài toán tơng ứng
các Bài toán đẳng thức từ và liên hợp giải đợc, thì các Bài toán tơng ứng
Chứng minh. Giả sử ( X R1; 1) và ( X R2; 2) là hai biểu diễn của cùng một nhóm G, giả thiết rằng Bài toán đẳng thức từ (hay bài toán liên hợp) giải đợc trong
( X R1; 1) và Χ2 hữu hạn. Chúng ta xét các ánh xạ tuỳ ý ϕ Χ → Χ: 2 1 sao cho với mọi x X∈ 2, các phần tử x và xϕ chuyển thành cùng một phần tử của G.
Khi đó ϕ đợc mở rộng thành đồng cấu từ F2 vào F1 với tính chất đó. Rõ ràng
ánh xạ ϕ có hiệu quả trong việc tính toán. Nếu đã cho bảng hữu hạn của xϕ
đối với Χ2 thì có thể nhận đợc wϕ đối với mọi w F∈ 2 chỉ cần áp dụng sự thay thế. Bây giờ để giải quyết Bài toán tơng ứng, ngời ta biểu diễn hai phần tử w1 và w2 thành cùng một phần tử (hay các phần tử liên hợp) của nhóm G,
chỉ cần tính toán w1ϕ và w2ϕ rồi áp dụng thuật toán đối với biểu diễn
( X R . 1; 1)
Các phép biến đổi Tietze có ích trong trờng hợp đặc biệt để chứng minh hai biểu diễn đã cho xác định các nhóm đẳng cấu, và để đơn giản hoá biểu diễn đã cho. Chúng thuận tiện để chứng minh những bất biến nào đó của biểu diễn hữu hạn thực ra là bất biến của các biểu diễn khác của chính nhóm ấy. Phần cuối của tiết này trình bày kết quả quan trọng của K. Reideister (1950) và O. J. Schreier (1927) cho phép từ biểu diễn của nhóm G và các thông tin thích hợp về nhóm con H của nhóm G ta nhận đợc biểu diễn của nhóm H.
Chúng tôi nhắc lại rằng đờng hoành Schreier của nhóm con H của nhóm tự do F với cơ sở X là tập con T⊆ F sao cho với các phần tử t thuộc T khác nhau thì các lớp liên hợp Ηt cũng khác nhau, hợp của các lớp liên hợp Ηt bằng F và mỗi đoạn ban đầu của phần tử t T∈ lại nằm trong T.