: S ψ với một nửa nhóm các từ +
2.2.4. Ba bài toán cơ bản của thuật toán Dhen Bài toán đẳng thức từ là bài toán thứ nhất trong ba bài toán cơ bản về thuật toán đợc thiết lập bởi M.
toán thứ nhất trong ba bài toán cơ bản về thuật toán đợc thiết lập bởi M. Dhen (1912). Vấn đề đặt ra nh sau: Giả sử đã cho biểu diễn G =( X R; ), tồn tại hay không một thuật toán xác định đợc hai phần tử w1 và w2 của F có
biểu diễn cùng một phần tử của nhóm G hay không? Một cách tơng đơng, đó là chỉ ra thuật toán xác định phần tử 1
1 2
w w w= − có nằm trong N hay
không? Nếu tồn tại một thuật toán nh vậy, nghĩa là N đệ quy, thì ta nói rằng bài toán đẳng thức từ của nhóm G giải đợc.
Bài toán thứ hai của Dhen là Bài toán liên hợp: Xác định xem hai phần tử tuỳ ý w1 và w2, biểu diễn của chúng trong G có liên hợp với nhau không?
Bài toán thứ ba là Bài toán đẳng cấu. Xác định xem hai nhóm với biểu diễn hữu hạn đã cho có đẳng cấu với nhau không?
Magnus đã chứng minh tính giải đợc của Bài toán đẳng thức từ trong trờng hợp các nhóm với một hệ thức xác định, nghĩa là nhóm với biểu diễn ( X R; )
mà trong đóR chỉ gồm một phần tử (1930). Tính giải đợc của Bài toán đẳng thức từ trong trờng hợp R gồm hai phần tử cũng nh tính giải đợc đối với Bài toán liên hợp trong biểu diễn bất kỳ với một hệ thức xác định là những vấn đề phức tạp đang đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Rõ ràng tính giải đợc của Bài toán liên hợp chứa trong nó lời giải của Bài toán đẳng thức từ, và nói chung Bài toán liên hợp khó hơn Bài toán đẳng thức từ. Thực tế, tồn tại, những nhóm biểu diễn hữu hạn mà Bài toán đẳng thức từ giải đợc nhng Bài toán liên hợp không giải đợc nh D. J. Colling (1969) hay C. F. Miller (1971) đã chỉ ra.
Bài toán đẳng cấu còn khó hơn. Có thể, kết quả đáng kinh ngạc nhất trong lĩnh vực này thuộc về S. I. Adiama và M. O. Rabin (1959) khi họ đã chứng tỏ đợc rằng tính không giải đợc của Bài toán đẳng cấu ngay cả trong những trờng hợp đặc biệt, chẳng hạn Bài toán đẳng cấu của các nhóm đợc cho bởi biểu diễn hữu hạn là nhóm tầm thờng.