Sai lầm về phương diện suy luận logic thông qua cấu trúc đại số: Nguyên nhân và phương thức khắc phục

Bài viết xây dựng một giả thuyết nghiên cứu về nguyên nhân sai lầm và tiến hành một thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết này. Từ đó, đề xuất phương thức khắc phục sai lầm này ở sinh viên.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 17 (42) - Thaùng 6/2016 Errors in logical reasoning through algebraic structures: Causes and solutions rườ Đại học Sài Gòn Ph.D Nguyen Ai Quoc Sai Gon University Tóm tắt ro bà báo trướ , hú tô ê sa lầm phươ d ện suy luận logic sinh viên tìm chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấ trú hóm, đồng thời phân tích nguyên nhân sai lầm nà dướ ba q a đ ểm: dạy học truyền th ng, thuyết didactic, thuyết hành vi Ở báo này, xây dựng giả thuyết nghiên cứu nguyên nhân sai lầm tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết Từ đó, hú tơ đề xuất phươ thức khắc phục sai lầm sinh viên Từ khóa: suy luận logic, sai lầm, cấu trúc nhóm, phần tử trung hòa, phần tử đối xứng… Abstract I o r prev o s art le, we prese ted st de ts’ errors lo al reaso whe the f d a d demonstrate the identity and inverse elements of a group structure We also analyzed the cause of these errors from the three viewpoints of traditional teaching method, didactics and behaviorism In this article, we propose a research hypothesis on the cause of these errors and proceed an experimentation to verify this hypothesis, from which we propose solutions to help students avoid these errors Keywords: logical reasoning, error, structure of group, identity element, inverse element… ười Mỗ phá hỉ đú sai phù hợp hay không phù hợp với vật, hiệ tượng, phán đố vừa đú lại vừa sa ũ hư khơ ó phá đố khơ đú ũ khơng sai [9, trang 40] 1.3 Suy luận logic học Suy luận hình thức tư d hằm rút phá từ hay nhiều phá ó [9, tra 66] Từ đ ể Le pet t Robert (2016) định hĩa: “ luận chuỗi mệ h đề Suy luận logic Trong phần này, chúng tơi trình bày đị h hĩa s khái niệm l ê q a đến suy luận logic 1.1 Logic Logic tính quy luật tro tư tưởng, lập luận thể rõ ràng, xác, mạch lạc tư d [9, trang 7] 1.2 Phán đốn Phá đố hình thức liên kết khái niệm, phản ánh m i liên hệ vật, hiệ tượng vào ý thức 31 gắn kết với theo nguyên tắc xá định dẫn tới kết luậ ” Từ đ ển Encyclopedia Universalis (2009) đị h hĩa: “ l ậ , trước hết hoạt độ tư d , hoạt động suy lý logic mà hoạt độ ta đ từ s mệ h đề ho trướ hư t ề đề đến mệ h đề mới, theo liên kết logic gắn liền với mệ h đề ba đầ : tro ý hĩa q trình di n ý thức chủ thể theo thứ tự thờ a ” 1.4 Suy luận logic toán học Trong báo này, suy luận logic mà hú tô ó đến hình thứ tư d sử dụng lập luận nhằm rút mệ h đề từ hay nhiều mệ h đề ó Sơ đồ suy luận logic phần tử trung lập, phần tử đối xứng 2.1 Sơ đồ suy luận logic đồ suy luận logic chúng tơi mơ hình hóa từ “sơ đồ suy diễn từ nhiều tiền đề” logic học ([9, tra 84]) hư sa : P1 P2 P1  P2   Pn  P hay , Pn P tro P1 , P2 , , Pn mệ h đề giả thiết P mệ h đề kết luận Suy luậ đú đắn (hợp logic) mệnh đề P1  P2   Pn hằ đú ( hĩa tất mệ h đề P1 , P2 , , Pn đú ) 2.2 Sơ đồ suy luận logic phần tử trung lập, phần tử đối xứng Từ đị h hĩa phần tử trung lập [4, trang 9], phần tử đ i xứng [4, trang 15] lập sơ đồ suy luậ lo hư sa : P1 P2 P Mệ h đề Phần tử đ i xứng Phần tử trung lập P1 e  X : ex  x, x  X x  X , x '  X : x ' x  e P2 e  X : xe  x, x  X x  X , x '  X : xx '  e P X có phần tử trung lập e x ' phần tử đối xứng x 2.3 Sơ đồ suy luận làm sinh viên Từ làm s h v ê mà hú tô t ến hành khảo sát, lập sơ đồ suy luậ lo hư sa : P1 ' P Mệ h đề Phần tử trung lập Phần tử đ i xứng P1 ' e nghiệm phương trình ex  x x ' nghiệm phương trình x ' x  e P X có phần tử trung lập e x ' phần tử đối xứng x 32 Bước 1: trang bị cho sinh viên kiến thức logic mệ h đề trước giảng dạy cấ trú đại s Chúng thiết kế giảng lý thuyết logic mệ h đề, vị ngữ - lượng từ Bài giảng nhằm cung cấp h đầy đủ hệ th ng khái niệm toán học liên q a đến suy luận logic, từ s h v ê ó sở khoa họ để tư hợp lý, có phươ pháp lý l ận chặt chẽ biết vận dụng vào toán hiệu + Mệ h đề: cung cấp đị h hĩa mệnh đề, phép toán mệ h đề (phép phủ định, phép tuyển, phép hội, phép kéo theo, phép tươ đươ ), mệ h đề đảo, mệ h đề phản đảo, mệnh đề phức hợp tươ đươ lo Đặc biệt trọ đến tươ đươ lo q a trọng (luật đồng nhất, luật nu t, luật lũ đẳng, luật phủ định kép, luật giao hoán, luật kết hợp, luật phân ph i, luật De Mor a ,…) + Vị ngữ - lượng từ: cung cấp định hĩa vị ngữ, lượng từ biế , lượng từ hai biến Chúng nhấn mạ h ý hĩa mệ h đề lượng từ phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng từ biến bảng sau: Sai lầm sinh viên thiết lập mệnh đề P1 ' , tứ sa kh tìm phần tử e x' , em hồn tồn khơng kiểm tra vị ngữ mệ h đề, đồng thời yếu t trung lập trái, trung lập phả (ha đ i xứ trá , đ i xứng phả ) ũ khô quan tâm Giả thuyết nghiên cứu Xuất phát từ quan sát hiệ tượng sai lầm sinh viên di n dai dẳng qua nhiề ăm từ nguyên nhân sai lầm mà hú tơ phâ tí h dựa quan đ ểm dạy học truyền th , q a đ ểm d da t q a đ ểm thuyết hành vi tro bà báo trước, xây dựng giả thuyết khoa học nguyên nhân sai lầm sinh viên suy luận logic tìm chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấ trú hóm hư sa : Tồn sinh viên kiểu “suy luận logic không đầy đủ” kiến thức kỹ suy luận logic tiếp nhận rãi rác, ngầm ẩn qua vài tốn mà khơng trang bị đầy đủ hệ thống Phương thức khắc phục Nhằm kiểm chứng giả thuyết trên, hú tô đề xuất phươ thức khắc phục gồm bước: Mệnh đề Đúng Sai x P  x  P(x) đú vớ mọ x P  x  Có trị x để P(x) đú trị x Mệnh đề Mệnh đề phủ định tương đương Có trị x để P(x) sai P(x) sa vớ mọ Đúng x P  x  x P  x  Có x P  x  x P  x  P(x) sa vớ mọ Sai trị x để P(x) sai P(x) đú x trị x 33 trị x Có đú vớ mọ trị trị x để P(x) Chú tô ũ lư ý trật tự, thứ tự xếp lượ bảng sau: Mệnh đề xy P  x, y  y xP  x, y  P(x,y) đú từ tro lượng từ hai biến Đúng Sai vớ mọ ặp (x,y) Có ặp (x,y) cho P(x,y) sai xy P  x, y  Vớ mọ x ó y cho P(x,y) đú Có x cho P(x,y) sai vớ mọ y xy P  x, y  Có x cho P(x,y) đú Vớ mọ x ó y cho P(x,y) sai xy P  x, y  yx P  x, y  vớ mọ y Có ặp (x,y) cho P(x,y) đú Bướ 2: phâ tí h, hướng dẫn cách vận dụng logic mệ h đề lý thuyết nhóm giảng đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứng Ở phần chúng tơi phân tích vài ví dụ cụ thể giảng đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứ để làm sáng tỏ việc vận dụng lý thuyết logic mệnh đề khái niệm nhóm - Cá đị h hĩa tro toá học thườ đị h hĩa tươ xứng, bao gồm hai thành phần, phần khái niệm định nghĩa, phần khái niệm dùng để định nghĩa ([9, trang 28]), đị h hĩa tro tố học di đạt hình thức logic mệnh đề mệ h đề tươ đươ ro lý th ết nhóm, có s đị h hĩa phát b ểu dạng mệ h đề“kéo theo” hư “định nghĩa” nên chúng mệ h đề tươ đươ Ví dụ ta ó đị h hĩa hóm ao hố hư sa : P(x,y) sa vớ mọ ặp (x,y) hoán” [7, trang 42] Rõ rà ế xem p: “phép tốn nhóm giao hốn” q: “nhóm gọi nhóm giao hốn” ta ó p  q Tuy h ê , h h ể hư trê khơ hí h xá phát b ể trê đị h hĩa ê ế “nhóm gọi nhóm giao hốn” “phép tốn nhóm giao hốn”, hĩa p  q, ó h p q tươ đươ lo - Cầ lư ý đị h hĩa tro lý th ết hóm đượ phát b ể dướ mệ h đề lượ từ dướ mệ h đề phứ hợp kết hợp vớ lo mệ h đề hư hú vẫ mệ h đề tươ đươ Ví dụ đị h hĩa phầ tử đ xứ sa loạ đị h hĩa phát b ể dướ mệ h đề lượ từ kết hợp vớ mệ h đề: “Giả sử * phép toán hai ngơi tập X có phần tử trung lập e x phần tử tùy ý X Ta nói x phần tử khả đối xứng có x '  X cho x '* x  x * x '  e Khi phần tử x ' gọi phần tử đối xứng x (đối với *)” [7, “Nếu phép toán nhóm giao hốn nhóm gọi nhóm giao 34 tập S sau: a* b  a  b,1 ,a,b  S trang 39] a thấ x ất h ệ mệ h đề lượ từ p: “ x'  X : x* x'  x'* x  e ” mệ h đề q: “phần tử x ' gọi phần tử đối xứng x (đối với *)” Bỏ q a ả th ết ba đầ , đị h hĩa trê ho thấ p q tươ đươ lo Ví dụ đị h hĩa hóm sa đâ loạ đị h hĩa phát b ể dướ mệ h đề phứ hợp kết hợp vớ mệ h đề: “Ta gọi nhóm nửa nhóm X có tính chất sau: có phần tử trung lập e; với x X, có x '  X cho x ' x  xx '  e ” [4, trang 15] Đị h hĩa trê hứa mệ h đề phứ hợp bao ồm ba mệ h đề: “X nửa nhóm”, “có phần tử trung lập e”, “với x X, có x’ X cho x’x=xx’=e mà ta ầ k ểm tra trị hâ lý đú mỗ mệ h đề mệ h đề “X nhóm” Lư ý tro kỹ th ật k ểm tra mệ h đề thứ ba mệ h đề phứ hợp trê v ệ phả k ểm trị hâ lý đú “với x X” V ệ tìm thấ phầ tử đ xứ hỉ đú ho từ phầ tử khô đảm bảo đú ho “x phần tử tùy ý X”, vậ sa kh tìm thấ phầ tử x ' ta hất th ết phả k ểm tra b ể thứ ó đú ho “với x X” Ví dụ sa m h ho v ệ k ểm tra thự ầ th ết: Cho S tập số thực nằm đoạn [0,1] Ta định nghĩa phép toán * Biết  S ,*  vị nhóm giao hốn với phần tử trung lập Liệu S có nhóm khơng ? Tại ? [7, trang 69] trì h tìm phầ tử đ xứ a* a'  0,a  S  a  a',1   a  a'   a'  a Suy a '  a phầ tử đ xứ a Vậ hóm a lầm trê ta bỏ q a ế t “lượ từ” tro mệ h đề “với x X, có x’ X cho x’*x=x*x’=e”, kết l ậ a '  a phầ tử đ xứ a hỉ đú tro trườ hợp a  Hơ ữa q trì h tìm k ếm hưa đủ sở để kết l ậ mà v ệ d đạt tro m h thỏa mệ h đề lượ từ thự ầ th ết - Kh ả đị h hĩa phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấu trúc hóm, đị h hĩa phát b ểu ngơn ngữ mơ tả, chúng cần thiết đượ định hĩa hình thức logic mệ h đề lượng từ, cụ thể hư sa : Phần tử trung lập Giả sử cho phép toán “.” tập X  X ,. có phần tử trung lập e  e  X : e.x  x  x.e, x  X Chú tơ ũ đề xuất quy trình kiểm chứng tồn hay không tồn phần tử trung lập sau: 35 S ìm k ếm e thơng qua phươ trì h ả đị h ex  x K ểm tra 1 ) K ểm tra e th ộ X Đ K ểm tra xe  x, x S ex  x, x Kết l ậ e phầ tử tr lập Đ Dự đố khơ ó phầ tử tr lập Đ S 1: Phương trình có nghiệm nhất; 2: Phương trình vơ nghiệm có nghiệm; Đ: Đúng; S: Sai Phần tử đ i xứng Giả sử tập X với phép tốn “.” có phần tử trung lập e x  X có phần tử đối xứng x '  x '  X : x '.x  e  x.x ' ươ tự, quy trình kiểm chứng tồn hay khơng tồn phần tử đ i xứng sau: S ìm k ếm x ' thơng qua phươ trì h ả đị h x'x  e K ểm tra 1 ) K ểm tra x ' th ộ X x'x  e Đ Đ K ểm tra xx '  e S S Đ Kết l ậ x ' phầ tử đ xứ x Dự x ' khơng có phầ tử đ xứ 1: Phương trình có nghiệm nhất; 2: Phương trình vơ nghiệm có nghiệm; Đ: Đúng; S: Sai Lư ý q trì h k ểm chứng tồn phần tử trung lập, phần tử đ i xứng hiệu cho trình tìm chứng minh phần tử thực tồn Đ i với tốn chứng minh khơng tồn phần tử trung lập hay phần tử đ i xứng, sinh viên cần vận dụng kiến thức phủ định mệ h đề lượng từ đ i vớ lượng từ hai biến mà trang bị bước cầ lư ý rằ kh phươ trì h ả định vơ nghiệm ó hơ nghiệm Ví dụ sau giúp thấ rõ hơ s luận logic mệ h đề áp dụng chứng minh không tồn phần tử đ i xứng: Trên tập hợp Q số hữu tỷ ta xét phép toán x * y  x  y  xy 36 phạm Toán khoa Tốn - Ứng dụng trườ Đại học Sài Gịn với câu hỏi: “Trên tập X   a,b   R ,a  0 , Cặp (Q,*) có phải nhóm khơng? [8, trang 40] Ở đâ hú tơ hỉ quan tâm việc vận dụng suy luận logic mệ h đề phần chứng minh phần tử đ i xứng nên bỏ qua phần trình bày chứng minh * có tính kết hợp (Q,*) có phần tử trung lập Quy trình sau dựa trê sơ đồ suy luận logic phần tử đ i xứ mà hú tơ ê trê + Tìm kiếm x ' thơ q a phươ trình giả định: ta định nghĩa phép tốn hai ngơi* sau:  a, b  *  c, d    ac, bc  d  ,   a, b  ,  c, d   X Chứng minh (X, *) nhóm.” hờ a thự h ệm 15 phút thự h ệm đượ t ế hà h sa kh s h viên đượ tra bị phươ thứ khắ phụ dướ bà ả Sau sinh viên làm bài, th sả phẩm ồm bà làm ấ háp s h v ê để ó thể q a sát đượ kỹ th ật ả ụ thể h t ết 3.2 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đá giả thuyết nghiên cứu Chúng kỳ vọng sinh viên vận dụng hiệu phươ thức khắc phục trên, từ trá h sai lầm tìm chứng minh phần tử cấu trúc nhóm 3.3 Kỹ thuật giải mong đợi - Kỹ thuật 1: sử dụng quy trình kiểm chứng tồn phần tử trung lập, phần tử đ i xứ đề xuất tro phươ thức khắc phục - Kỹ thuật 2: chứng minh mệ h đề P1 , P2 x '* x   x ' x  x ' x   x ' 1  x    x  x '   x với x  1 1 x + K ểm tra x ' th ộ : x ' th ộ kh hỉ kh x  1 Kết l ậ x  1 khơ ó phầ tử đ xứ , đâ ũ sa lầm phổ b ế s h v ê em khơ b ết vận dụng suy luận logic mệ h đề, đặc biệt phủ định mệ h đề lượng từ hai biến Vì vậy, ả đị h hĩa phần tử đ i xứng, ví dụ thực hiệu giúp sinh viên hiểu rõ chứng minh phần tử cụ thể phần tử đ xứ rước hết, ta vận dụng phủ định mệ h đề lượng từ hai biế tro đị h hĩa phần tử đ xứ hư sa : Giả sử tập X với phép toán “.” có phần tử trung lập e Phần tử x  X khơng có phần tử đối xứng  y  X : y.x  e  x y  e Vậy lời giả đú tro sơ đồ suy luận logic phần tử trung lập, phần tử đ i xứng mệ h đề đú 3.4 Kết thực nghiệm - Kỹ thuật a đoạn kiểm chứng tồn phần tử trung lập, phần tử đ i xứng thơ q a phươ trì h ả định Kỹ thuật “Đạt” thỏa mãn yêu cầu: + Thiết lập đú phươ trì h ả định + Giả đú h ệm (duy nhất) phươ trình giả định a đâ s giải “Đạt” sinh viên giấy nháp: Tìm phần tử trung lập ho ví dụ là: y  Q : 1* y  1  y  ( y)  1  nên -1 khơng có phần tử đ xứ Thực nghiệm 3.1 Bài toán thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành vào 01/2016 trê 105 s h v ê h 37 Tìm phần tử đ i xứng - Kỹ thuật a đoạn chứng minh mệ h đề P1 , P2 mệ h đề đú Kỹ thuật “Đạt” thỏa mãn yêu cầu: + Chứ m h đầ đủ thuộc tính (bên trái, bên phải) vị ngữ mệ h đề + Lượng từ mệ h đề có trật tự xác a đâ s bà làm “Đạt” sinh viên: Chứng minh phần tử trung lập 38 Chứng minh phần tử đ i xứng Bỏ qua chứng minh phép tốn * có tính kết hợp, bả dướ đâ th ng kê yếu t “Kỹ thuật 1” “Kỹ thuật 2” trình bày giấy nháp làm sinh viên: Đạt Kỹ thuật Kỹ thuật Khô đạt S Tỉ lệ S Tỉ lệ Phần tử trung lập 105 100% 0% Phần tử đ i xứng 105 100% 0% Phần tử trung lập 101 96,19% 3,81% Phần tử đ i xứng 99 94,28% 5,72% thực nghiên cứu cấu trúc hóm hư phươ d ện suy luận logic thấy thực cần thiết cho sinh viên học, nghiên cứu giảng dạy toán Kết nghiên cứu cho thấy cần thiết trang bị đầ đủ hệ th ng kiến thức lo toá dà h ho s h v ê sư phạm ăm hất h tố để hình thành phươ pháp s l ận logic, làm tảng cho việc rèn luyện kỹ ă ải toán giảng dạy toán sau Th ng kê cho thấy 100% sinh viên “Đạt” ê ầu kỹ thuật a đoạn tìm phần tử trung lập, phần tử đ i xứng Trong a đoạn chứng minh, tỉ lệ s h v ê “Đạt” yêu cầu chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng lầ lượt 96,19% 94,28% mà khô đạt tỉ lệ 100% hư tro a đoạn tìm phần tử cịn s sinh viên khơng chứng minh đầ đủ thuộc tính bên phải hay bên trái vị ngữ mệ h đề khơ đảm bảo tính thứ tự lượng từ mệ h đề Các sai lầm sinh viên thực nghiệm phần phản ánh khả ă s l ận logic hạn chế s sinh viên Kết luận Kết thực nghiệm cho phép kiểm chứng thỏa đá giả thuyết nghiên cứu Thực nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châ , Lê Vă ến (2009), Những yếu tố didactic Toán, xb Đại học qu c gia Tp Hồ Chí Minh Chươ trì h đào tạo (2012), PL3_SoDoCay_DTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học kỳ năm học học phần khoa Tốn - Ứng dụng trường Đại học Sài Gịn 39 quản lý Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc đào tạo: Đại học, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Tốn - Ứng dụ rườ Đại học Sài Gịn M V h a Nxb Giáo dục Tôn Thất Trí - Đồ h r ết (2014), Giáo trình Đại số đại cương, lư hà h ội rường Đại học Sài Gịn Chươ trì h đào tạo (2012), PL3_SoDoCay_CTU.pdf: Sơ đồ mở lớp học kỳ năm học học phần khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn quản lý Ngành đào tạo: Sư phạm Toán, Bậc đào tạo: Cao đẳng, Loại hình đào tạo: Chính quy, Khoa Tốn - Ứng dụ rườ Đại học Sài Gòn 11 Salin Marie Helène (1976), Le rôle de l’erreur dans l’apprentissage des mathématiques de l’école primaire, P bl at o s de l’IREM de Bordea x Lê Th ng Nhất (1996), Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh phổ thơng trung học thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán, Luận án phó Tiế sĩ khoa họ phạm - Tâm lý Website 12 http://www.sgu.edu.vn/index.php?option=co m_content&view=article&id=2663:chngtrinh-ao-to-chu-ki-20122016&catid=195:tbaotruong&Itemid=609 Lê Vă ế (2006), “ a lầm học sinh nhìn từ ó độ lí thuyết học tập”, ạp chí Giáo dục, s 137 hậ bà : 01/6/2016 Chươ h ếp (2013), Logic học, Nxb Đại họ phạm Thành ph Hồ Chí Minh 10 Kenneth H.Rosen (2000), tốn học rời rạc ứng dụng tin học, Nxb Khoa học Kỹ thuật Hồ â í h ( hủ biên) - rầ Phươ Dung (2003), Đại số đại cương, xb Đại học Phạm (1998), Đại số đại cương, 13 http://www.vnmath.com/2010/10/luan-tien-sicua-le-thong-nhat.html B ê tập xo : 15/6/2016 40 D ệt đă : 20/6/2016 ... học nguyên nhân sai lầm sinh viên suy luận logic tìm chứng minh phần tử trung lập, phần tử đ i xứng cấ trú hóm hư sa : Tồn sinh viên kiểu ? ?suy luận logic không đầy đủ” kiến thức kỹ suy luận logic. .. dụng lập luận nhằm rút mệ h đề từ hay nhiều mệ h đề ó Sơ đồ suy luận logic phần tử trung lập, phần tử đối xứng 2.1 Sơ đồ suy luận logic đồ suy luận logic chúng tơi mơ hình hóa từ “sơ đồ suy diễn... i xứng phả ) ũ khô quan tâm Giả thuyết nghiên cứu Xuất phát từ quan sát hiệ tượng sai lầm sinh viên di n dai dẳng qua nhiề ăm từ nguyên nhân sai lầm mà hú tơ phâ tí h dựa quan đ ểm dạy học truyền