Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán đại số giải tích và quan điểm khắc phục

Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nớc (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr. 1). Về phơng pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra: Phải đổi mới phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng những phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu . Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, ; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. 1.2. ở trờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thêm xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trờng phổ thông. Các bài toán là phơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học Toán. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ thông có lúc, có chỗ còn cha tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn 1 hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên cha chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. 1.3. Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống cũng nh trong nghiên cứu khoa học. Khổng Tử đã nói: Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trớc đó của mình. Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi. Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn, G. Polia đã phát biểu: Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình [45, tr. 204], còn A. A. Stôliar thì nhấn mạnh rằng: Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh [66, tr. 105]. Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv viết: Năng lực bình thờng của học sinh trung học đủ để các em nắm đợc Toán học trong nhà trờng phổ thông nếu có sự hớng dẫn tốt của thầy giáo [8, tr. 10]. Nh vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục đợc. 1.4. Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toán còn tơng đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn chủ đề phơng trình, chủ đề bất phơng trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số, . Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có u điểm là giúp cho ngời đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số lợng chủ đề kiến 2 thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại để thành các chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể. Các nhóm tác giả Trần Phơng - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992); Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) đều sắp xếp sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức. Cách sắp xếp sai lầm dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức nh các tác giả nói trên cha thể giải thích một cách tờng minh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh. Hơn nữa cha thể đề cập đợc một số kiểu sai lầm thờng gặp nh: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác t duy, sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng, . Có thể nói, cho đến nay cha có một công trình nào nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải Toán nhìn từ góc độ hoạt động toán học, nghĩa là xem xét các sai lầm theo phơng diện chất lợng tiến hành các hoạt động toán học. Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông trong giải Toán Đại số và Giải tích mà các công trình nghiên cứu trớc đây hoặc cha đề cập, hoặc cha phân tích một cách sâu sắc và đề xuất các quan điểm khắc phục. 3. Giả thuyết khoa học 3 Nếu làm sáng tỏ đợc các dạng sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích, thì có thể đề xuất đợc các quan điểm để phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm này, góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờng phổ thông. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: 4.1. Trong giải Toán Đại số và Giải tích, học sinh thờng mắc phải một số kiểu sai lầm phổ biến nào? 4.2. Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm đó? 4.3. Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra, cần thực hiện những quan điểm nào? 4.4. Kết quả của Thực nghiệm s phạm là nh thế nào? 5. Phơng pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phơng pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh. 5.2. Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s phạm, qua các tài liệu để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích. 6. Những đóng góp của Luận văn 6.1. Luận văn đã làm sáng tỏ đợc nhiều kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích mà các tài liệu khác hoặc cha có dịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ. Đặc biệt, khi đề cập đến các sai lầm, Luận văn đã chú trọng đến phơng diện hoạt động toán học. 6.2. Luận văn đã phân tích đợc nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó. 4 6.3. Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đa ra một bức tranh toàn cảnh và tơng đối đầy đủ về những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán. 6.4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán Trung học phổ thông. 7. Cấu trúc của luận văn Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Giả thuyết khoa học 5. Phơng pháp nghiên cứu 6. Đóng góp của Luận văn Chơng 1. Một số vấn đề thực trạng về những sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.1. Một số công trình có liên quan 1.2. Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải Toán 1.3. Một số kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.4. Kết luận Chơng 1 Chơng 2. Góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 2.1. Cơ sở lí luận 2.2. Những quan điểm chủ đạo trong việc phòng tránh, sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 5 2.4. Kết luận Chơng 2 Chơng 3. Thực nghiệm s phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức thực nghiệm 3.3. Nội dung thực nghiệm 3.4. Đánh giá các kết quả thực nghiệm Kết luận Những công trình của tác giả hoặc đồng tác giả đã đợc công bố Tài liệu tham khảo 6 Chơng 1 Một số vấn đề thực trạng về những sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích 1.1. Một số công trình có liên quan Những công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toán còn tơng đối ít, trong các công trình đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề phơng trình, bất phơng trình, giới hạn, hàm số, . Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có u điểm là giúp cho ngời đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số lợng chủ đề kiến thức là rất nhiều khó mà kể hết, nếu gộp chúng lại để thành chủ đề lớn thì nhiều khi mắc phải sự chung chung mà không có điều kiện xem xét hết đặc trng của từng dạng. Đặt vấn đề xem xét hết các kiểu sai lầm trên mọi chủ đề là việc làm bất khả thi. Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đa ra bốn biện pháp s phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhng cha thực sự đi sâu vào một kiểu sai lầm nào và cha phân tích một cách bao quát các nguyên nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan trọng ảnh hởng tới chất lợng giải bài tập Toán đó là nguyên nhân do ảnh hởng về mặt tâm lí. Nhóm tác giả Trần Phơng - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thờng gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai lầm của học sinh. Trong công trình này, các tác giả đã đa ra một số kĩ thuật chọn điểm rơi để tránh sai lầm khi sử dụng các Bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpski. Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong 7 công trình Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đa ra thuật ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống đợc các tác giả cài đặt mà nếu học sinh không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm. Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức nh các tác giả nói trên thì không thể giải thích một cách tờng minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh để từ đó họ có ý thức phòng tránh các sai lầm này, mặt khác cha đề cập đợc một số kiểu sai lầm thờng gặp nh: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác t duy, sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng, . Nh vậy trên phơng diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã đợc nghiên cứu ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên cha có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ hoạt động toán học, xem xét các sai lầm theo phơng diện chất lợng tiến hành các hoạt động toán học. Nói một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm của học sinh khi giải Toán thờng xem xét theo phơng diện chủ đề kiến thức, còn cách tiếp cận của Luận văn này sẽ theo phơng diện khác, đó là phơng diện hoạt động. 1.2. Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán Dạy Toán là dạy hoạt động toán học (A. A. Stôliar, 1969, tr. 12) là một luận điểm cơ bản đã đợc mọi ngời thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là hoạt động giải bài tập Toán. Trình độ học Toán của học sinh đến mức độ nào sẽ đợc thể hiện rõ nét qua chất lợng giải Toán. Vai trò của bài tập trong dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu về phơng pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)). Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P. M. Ecđơnnhiev trong [67]: "Bài tập đợc coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán". Tuy 8 nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và định lí toán học. Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn s phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm. Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi. Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên cha chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G. Polia cho rằng: "Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [45, tr. 204], A. A. Stôliar phát biểu: "Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh" [66, tr. 105], còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn theo Nguyễn Anh Tuấn 2003). Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình thờng không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt đợc học vấn toán học phổ thông, cơ bản dù cho chơng trình toán đã hiện đại hóa" [17, tr. 49]. Nh vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc phục đợc. 1.3. Một số kiểu sai lầm của học sinh TRUNG HọC PHổ THÔNG khi giải toán Đại số và Giải tích Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm, chúng tôi dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm của học sinh. 9 Trong mục này, khi xem xét các sai lầm của học sinh chúng tôi không sắp xếp theo từng dạng toán, nói cách khác là, không tiến hành theo con đờng nêu những sai lầm theo từng chủ đề kiến thức. Những sai lầm của học sinh (khi giải Toán Đại số và Giải tích) sẽ đợc đề cập và làm sáng tỏ từ phơng diện Hoạt động toán học. 1.3.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng Học sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trờng hợp. 1.3.1.1. Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ giải và biện luận , lẫn lộn giữa biện luận theo m và tìm m . Khi giải biện luận phơng trình (bất phơng trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phơng trình (bất phơng trình) có nghiệm. Ví dụ 1: Giải và biện luận phơng trình m(x + m) = x + 1 (?): Học sinh chuyển x về một vế và đa về: (m - 1)x = 1 - m 2 từ đó rút ra 2 1 m x m 1 = . Để phép chia có nghĩa thì phải có điều kiện m 1 . Kết luận: m 1 và x = - m - 1. (!): Thực ra đây không phải bài toán tìm m để phơng trình có nghiệm, mà đây là bài toán giải và biện luận phơng trình. Khi giải và biện luận phơng trình, kể cả trờng hợp phơng trình vô nghiệm thì ta vẫn phải xem xét. Giả sử có điều kiện m 1 thì ta thực hiện đợc phép chia 1 m 2 cho m - 1, nhng không có nghĩa là, ta thực hiện phép chia trớc rồi lại buộc m phải khác 1. Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình x 1 2x m = 10