Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập ba đường cônic nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh võ văn lý xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic nhằm phát huy tính tích cực học sinh Trung Học Phổ Thông dạy học toán Chuyên ngành: Lý luận phơng pháp dạy học môn Toán Mà số: 60.14.10 luận văn thạc sÜ gi¸o dơc häc Ngêi híng dÉn khoa häc: TS Nguyễn Đinh Hùng Vinh - 2007 Mở đầu Lí chọn đề tài 1.1 Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào việc đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thờng gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nớc" Điều 24, Luật Giáo dục quy định: "Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo học sinh, bồi dỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vơn lên, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh" V× vËy, phơng hớng đổi phơng pháp dạy học làm cho häc sinh häc tËp tÝch cùc, chđ ®éng, chèng lại thói quen học tập thụ động Phải tiết học học sinh đợc suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều Đây tiêu chí, thớc đo đánh giá đổi phơng pháp dạy học 1.2 Về thực trạng dạy học Toán nớc ta Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: "Cách dạy phổ biến thầy đa kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng công thức định lý để tính toán, chứng minh " [38, tr.4] Lối dạy học theo kiểu "Thầy nói, trò nghe" lâu phổ biến đà làm cho trò trở nên bị động, lệ thuộc vào thầy giáo, giáo viên khó kiểm soát đợc việc học trò Mâu thuẫn yêu cầu đào tạo ngời xà hội công nghiệp hoá, đại hoá với thực trạng lạc hậu phơng pháp dạy học đà thúc đẩy việc đổi phơng pháp dạy học Toán với định hớng tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực 1.3 Để góp phần nâng cao chất lợng học tập, việc đổi phơng pháp dạy học cần đợc đổi theo định hớng hoạt động hoá ngời häc, tøc lµ tỉ chøc cho häc sinh häc tËp hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Đòi hỏi xuất phát từ yêu cầu xà hội phát triển nhân cách hệ trẻ, từ đặc điểm nội dung từ chất trình học tập Để đáp ứng đòi hỏi đó, không dừng việc nêu định hớng đổi phơng pháp dạy học mà cần phải sâu vào phơng pháp dạy học cụ thể nh biện pháp để thực định hớng nói [21, tr.179] 1.4 Hiện nay, nhiều nơi đà phát động phong trào cải cách phơng pháp dạy học nhằm ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cđa häc sinh Phải nói rằng, họ đà có nhiều nhiều cố gắng thiết thực, biện pháp cụ thể nhằm khuyến khích học sinh hoạt động tích cực nh: đối thoại, thảo luận, tự nghiên cứu tài liệu học tập T tởng nhấn mạnh vai trò tích cực, chủ động ngời học, xem ngời học chủ thể trình nhận thức đà có từ lâu kỷ XVII, A.Komenxki đà viết: "Giáo dục có mục đích đánh thức lực nhạy cảm, phán đoán đắn, phát triển nhân cách hÃy tìm phơng pháp cho phép giáo viên dạy hơn, học sinh học nhiều hơn" T tởng trở nên đa dạng kỷ XX Đặc biệt, trào lu giáo dục hớng vào ngời học xuất Mỹ, sau lan sang Tây Âu châu mà chủ yếu Nhật, thể thuật ngữ "Dạy học hớng vào ngời học", "Dạy học lấy học sinh làm trung tâm" nớc ta, có nhiều nhà nghiên cứu, nhà giáo dục đà có nhiều viết, nhiều công trình nghiên cứu phơng pháp dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung tâm, phát huy tính tích cùc cđa häc sinh d¹y häc nh: Ngun Kú, Nguyễn Cảnh Toàn, Trần Kiều, Thái Duy Tuyên, Nguyễn Kế Hào, Trần Bá Hoành, Lê Khánh Bằng Đáng ý dự án đổi phơng pháp dạy học phổ thông, có nhiều công trình nghiên cứu, tài liệu tập huấn đổi phơng pháp dạy häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cđa ngêi häc Những kết nghiên cứu giúp hiểu sâu phơng pháp tích cực phát huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh d¹y häc nãi chung dạy học môn toán nói riêng 1.5 Dạy Toán dạy hoạt động Toán học (A.A.Stôliar), hoạt động chủ yếu hoạt động giải Toán Bài tập Toán mang nhiều chức năng: chức giáo dục, chức giáo dỡng, chức phát triển t chức kiểm tra đánh giá Khối lợng tập Toán trờng phổ thông vô nhiều phong phú, đa dạng Có lớp toán có thuật giải nhng phần lớn toán cha có thuật giải Đứng trớc toán đó, giáo viên gợi ý hớng dẫn học sinh nh để giúp học sinh giải đợc toán vấn đề quan trọng Tuy nhiên, vấn đề khó khăn để đề đợc gợi ý hợp lý, lúc, chỗ trình nghệ thuật s phạm ngời giáo viên Trong chơng trình Toán phổ thông có nhiều tập Toán ba đờng cônic Thực tiễn s phạm cho thấy, đứng trớc tập học sinh thờng gặp nhiều khó khăn lúng túng Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đà cho rằng: "Những Toán ba đờng cônic không dễ học sinh thân học sinh thờng có tâm lý e ngại, chí sợ sệt loại Toán này" Giáo viên nhiều ngời có tâm lý lảng tránh dạy ba đờng cônic, thực tế nội dung tơng đối phức tạp Ngời thầy giáo sau truyền thụ kiến thức cho học sinh, thờng đòi hỏi học sinh thể lĩnh hội kiến thức, kỹ việc vận dụng kiến thức đà học để giải tập Vì xây dựng hệ thống tập tèt sÏ gióp häc sinh tõ thơ ®éng ®Õn chđ động độc lập việc giải tập Toán; giúp giáo viên thực tốt yêu cầu giảng nhằm nâng cao hiệu dạy học Từ phân tích đây, chọn đề tài nghiên cứu Luận văn là: "Xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic nhằm phát huy tính tích cực học sinh THPT dạy học Toán" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn xây dựng hệ thống tập ba đờng cônic có tác dơng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh THPT góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Làm rõ khái niệm phát huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh häc To¸n biểu dạy học Toán, đặc biệt dạy học giải tập Toán 3.2 Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa Hình học lớp 10 THPT (ban nâng cao) tài liệu tham khảo liên quan để xây dựng hệ thống tập sử dụng vào việc dạy học ba đờng cônic 3.3 Xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic phù hợp với phơng pháp dạy học 3.4 Tiến hành thực nghiệm s phạm để kiểm chứng tính hiệu biện pháp đợc đề xuất đề tài luận văn giả thuyết khoa học Trên sở nghiên cứu sách giáo khoa Hình học lớp 10 THPT số tài liệu có liên quan, ta xây dựng đợc hệ thống tập ba đờng cônic có t¸c dơng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán bậc THPT, góp phần thực tốt mục tiêu nhiệm vụ đổi phơng pháp dạy học Toán giai đoạn Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu lí luận phơng pháp giảng dạy môn Toán, tài liệu Tâm lí học, Giáo dục học có liên quan đến đề tài luận văn 5.2 Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s phạm, qua tài liệu Quan sát thực trạng dạy học số trờng tỉnh nh tỉnh 5.3 Thực nghiệm s phạm: Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic nhằm ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh THPT dạy học Toán nh đà đề xuất đóng góp Luận văn 6.1 Về mặt lý luận Làm rõ đợc nét đặc trng tính tích cực học sinh gåm møc ®é: - TÝnh tÝch cùc chÊp nhận, bắt chớc tái hiện: Đợc đặc trng bắt chớc, tính tích cực tái chủ yếu dựa vào trí nhớ t tái Học sinh tái đợc kiến thức đà học, thực đợc thao tác, kỹ mà giáo viên đà nêu Loại phát triển mạnh học sinh có lực nhận thức mức độ dới trung bình trung bình - Tính tích cực tìm tòi áp dụng: Đợc đặc trng tìm tòi mặt nhận thức, óc sáng kiến, lòng khát khao hiĨu biÕt, høng thó häc tËp TÝnh tÝch cùc không bị hạn chế khuôn khổ yêu cầu giáo viên học, xuất không yêu cầu giáo viên mà hoàn toàn tự phát trình nhận thức Loại phát triển mạnh học sinh có lực nhận thức mức độ trung bình, giỏi - Tính tích cực sáng tạo: Là mức độ cao tính tích cực Nó đặc trng khẳng định đờng riêng mình, không giống với đờng mà ngời thừa nhận, tự tìm đợc kiến thức mới, kết hay thực tốt yêu cầu giáo viên đa mà không cần nhờ đến gợi ý giáo viên Loại thờng thấy học sinh có lực nhận thức mức độ khá, giỏi, học sinh khiếu 6.2 Về mặt thực tiễn - Xây dựng đợc hệ thống tập phù hợp với nét đặc trng tính tích cực - Lựa chọn đợc hệ thống tập ba đờng cônic phục vụ cho việc dạy học 6.3 Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán Trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phơng pháp nghiên cứu Đóng góp Luận văn Chơng Một số vấn đề sở lý luận 1.1 Cơ sở lý luận dạy học tích cực hoá hoạt ®éng häc tËp cđa häc sinh 1.1.1 Kh¸i niƯm vỊ tính tích cực học tập 1.1.2 Các cấp độ tính tích cực 1.1.3 Về nguyên nhân tính tÝch cùc nhËn thøc 1.1.4 Mét sè c¬ së lý luận việc tích cực hoá hoạt động nhận thức 1.1.5 Dạy học tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh 1.1.6 Một số khía cạnh t tởng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh 1.2 Phơng pháp dạy học phát huy đợc tính tích cực học sinh 1.2.1 Các nguyên tắc đặc trng tích cực phơng pháp dạy häc 1.2.2 C¸c biƯn ph¸p ph¸t huy tÝnh tÝch cùc nhËn thøc cđa häc sinh 1.2.3 Mét nh÷ng giải pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh 1.3 Một số phơng pháp dạy học phát huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh 1.3.1 Nh÷ng dÊu hiƯu đặc trng phơng pháp tích cực 1.3.2 Một số phơng pháp hạy học phát huy tính tích cực học sinh cần đợc phát triển 1.4 Kết luận chơng Chơng Xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic nhằm phát huy tính tích cực học sinh THPT dạy học Toán 2.1 Đặc điểm xây dựng chơng trình sách giáo khoa Hình học lớp 10 2.1.1 Một số nguyên nhân cần đổi chơng trình sách giáo khoa 2.1.2.Đặc điểm xây dựng chơng trình sách giáo khoa Hình học 10 2.1.3 Nội dung chơng trình sách giáo khoa Hình học 10 2.2 Những định hớng xây dựng hệ thống tập nhằm phát huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh 2.2.1 Ph¸t huy tÝnh tích cực dạy học giải tập Toán 2.2.2 Định hớng xây dựng hệ thống tập Toán 2.2.3 Hệ thống tập ba đờng cônic 2.3 Kết luận chơng Chơng Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.4 KÕt ln chung vỊ thùc nghiƯm KÕt ln Tµi liƯu tham khảo Nội dung Chơng 1: Một số vấn ®Ị vỊ c¬ së lý ln 1.1 C¬ së lý luận dạy học tích cực hoá hoạt động học tËp cđa häc sinh 1.1.1 Kh¸i niƯm vỊ tÝnh tÝch cùc häc tËp 1.1.1.1 TÝnh tÝch cùc Theo tõ điển Tiếng Việt [Viện ngôn ngữ học, 1999] tích cực nghĩa có ý nghĩa, có tác dụng khẳng định, thúc đẩy phát triển Ngời tích cực ngời tỏ chủ động, có hoạt động nhằm tạo biến đổi theo hớng phát triển ví dụ nh đấu tranh tích cực, phơng pháp phòng bệnh tích cực Theo nghĩa khác, tích cực đem hết khả tâm trí vào việc làm chẳng hạn nh công tác tích cực Tích cực trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng định thúc đẩy phát triển [Trần Kiều, Nguyễn Thị Lan Anh] Tích cực chủ động, hăng hái, nhiệt tình với nhiệm vụ đợc giao [từ điển Tiếng Việt, 1994, Hoàng Phê chủ biên] Tích cực phÈm chÊt vèn cã cđa ngêi ®êi sèng xà hội Để tồn phát triển, ngời tìm tòi, khám phá, cải biến môi trờng để phôc vô cho ngêi Tuy vËy, tÝnh tÝch cùc có mặt tự phát tự giác Theo Thái Duy Tuyên, mặt tự phát tính tích cực u tè tiỊm Èn bªn trong, bÈm sinh, thĨ hiƯn tính tò mò, hiếu kỳ, linh hoạt đời sống hàng ngày Mặt tự giác tính tích cực trạng thái tâm lý tích cực có mục đích đối tợng rõ rệt, có hoạt động để chiếm lĩnh đối tợng Tính tích cực tự giác thể óc quan sát, tính phê phán t duy, trÝ tß mß khoa häc… Nhê tÝnh tÝch cùc tù gi¸c, cã ý thøc, ngêi cã thĨ đạt đợc nhiều tiến đời sống phát triển nhanh so với tính tích cực tự phát Vì vậy, hình thành phát triển tính tích cực xà hội nhiệm vụ chủ yếu giáo dục, nhằm đào tạo 10 x y2 Cho (H): − = , vµ M0(x0; y0) (H) phơng trình tiếp tuyến (H) a b điểm M0 (E) có dạng: x x y0 y − = a2 b Đờng thẳng Ax + By + C = tiÕp tun cđa (H) vµ chØ A 2a2 -B2b2 = C2 (C 0) Đờng parabol a Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm F cố định đờng thẳng cố định Tập hợp điểm M cách F đợc gọi ®êng parabol Ký hiÖu (P) VËy (P) = { M/ MF = MH} - F đợc gọi tiêu điểm parabol - đợc gọi đờng chuẩn parabol - Khoảng cách từ F đến đợc gọi tham số tiêu parabol - M thuộc elíp MF gọi bán kính qua tiêu điểm M p MF = x + b Phơng trình tắc parabol: y2 = 2px (p > 0), p tham số tiêu p - Đờng chuÈn: x = − c TiÕp tuyÕn cña parabol Cho (P): y2 = 2px, vµ M0(x0; y0) ∈ (P) phơng trình tiếp tuyến (P) điểm M0 cđa (P) cã d¹ng: y0y = p(x0 + x) Đờng thẳng Ax + By + C = tiÕp tun cđa (P) vµ chØ pB2 = 2AC Đờng cônic 83 a Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm F cố định đờng thẳng cố định không qua F Tập hợp ®iÓm M cho tØ sè MF b»ng d(M; ∆ ) số dơng e cho trớc gọi đờng cônic - F đợc gọi tiêu điểm đờng cônic - đợc gọi đờng chuẩn đờng cônic - e đợc gọi tâm sai đờng cônic Từ định nghĩa trên, kết hợp với tính chất elip, hyperbol, parabol ta có: - Elip đờng cônic có tâm sai e < - Hyperbol đờng cônic có tâm sai e > - Parabol đờng cônic có tâm sai e = b Đờng chn cđa elip §êng chn cđa elip: x ± ∆1 : x + a c = (e tâm sai cđa elip, e = ) Trong ®ã e a a a = đờng chuẩn ứng với tiêu ®iĨm F1(- c; 0) vµ ∆ : x − = e e đờng chuẩn ứng với tiêu ®iĨm F2(c; 0) c §êng chn cđa hyperbol §êng chn cña hyperbol: x ± ∆1 : x + a c = (e tâm sai elip, e = ) Trong e a a a = đờng chuẩn ứng với tiêu điểm F1(- c; 0) : x = đe e ờng chuẩn ứng với tiêu điểm F2(c; 0) 2.2.3.3 Hệ thống tập elip x y2 Trên mặt phẳng toạ độ 0xy cho (E): + = , (a > b > 0) a b 84 Gäi AA' lµ trơc lín cđa (E), BB' lµ trơc nhá (E), dựng tiếp tuyến At At' (E) Mét tiÕp tuyÕn (D) qua M thuéc (E) c¾t At T cắt At' T' M điểm tuỳ ý (E) Chứng minh rằng: b ≤ OM ≤ a 2 Gi¶i Gi¶ sư M(x0; y0) ⇒ OM = x + y Do a > b ⇒ 2 2 2 2 x y x y + ≤ + = (dÊu "=" a a a b xảy M trùng A A') t T' b A' ⇔ y t' F' O M T F A x -b 2 2 x + y0 ≤ a ⇔ x + y ≤ a ⇔ OM ≤ a T¬ng tù ta cã thÓ cho häc sinh chøng minh b ≤ OM TÝnh AT, AT' theo täa ®é ®iĨm M chứng minh AT.AT' không phụ thuộc vào vị trí điểm M (E) Giải Tiếp tuyến M lµ (D): x x y0 y + = ⇔ b2x0x + a2y0y - a2b2 = a b  b2  x   b2  x  A( a; 0), T = (D) ∩ At ⇒ T  a; 1 − ÷÷⇒ AT = 1 − ÷ a  y0  a   y0   b2  x   b2  x  ' ' A'(-a; 0), T' = (D) ∩ A't' ⇒ T  −a; 1 + ÷÷⇒ A T = 1 + ÷ y0  a  y0  a   ' ⇒ AT.A 'T ' = b4 y0 = b (h»ng sè) y0 b T×m quü tÝch giao điểm E AT' A'T M chạy (E) Giải Ta có: AT': x a y = ⇔ y T ' x + 2ay − yT 'a = −2a yT ' A'T: x+a y = ⇔ y T x + 2ay − yT a = 2a yT 85  yT ' x + 2ay − y T 'a = ⇔ E = AT' ∩ A'T tọa độ điểm E nghiệm hệ:  yT x − 2ay − y Ta =  y t' t T' M b  b 2x E  a ( yT ' − y T ) y0 a A' O x = F F' =a = x0 b yT ' + yT  ⇔ -b y0   x + a b2  x  x + a b2 b2 a 2y0 y0 2 = 1 − ÷ = ( a − x ) = 2a y b =  y = yT 2a y0  a  2a 2ay 0  T A x 2 x E = x x y0 x y2 x = x E  + =1 ⇔ E + E =1 Vậy: mà a Tập hợp E y0 ⇔  b a b2 y = 2y E yE =    x2 y2 + =1 elip có phơng trình a b   ÷ 4 Chøng minh r»ng tích khoảng cách từ F F' tới (D) không đổi Giải Ta có: F(c; 0), F'(-c; 0) d ( F,(D) ) = b x 0c − a b 2 b x + a y0 d ( F,(D) ) d ( F ,(D) ) = = b x +a b −a b x 2 = 2 b4 x + a y0 b x (a − b ) − a 4b 4 ; d ( F ,(D) ) = b x 0c2 − a 4b4 ' 2 b4 x + a y0 b x (a − b ) − a b  x0  b x + a b 1 − ÷  a  2 t'2 2 y 4 T' b x (a − b ) − a b 2 = b (không đổi) b Chứng minh FT vu«ng gãc víi FT' A' = −b ( b x (a − b ) ) − a b = − b x 0c − a b ' F' O M T F -b t A x 86 Gi¶i Ta cã: F(c; 0)  b2  a − x   T  a;  ÷÷  y0  a    b2  a + x   T  −a;  ÷÷⇒ y0  a    ' ur ur u b  a − x   u u'  b2  a + x   ⇒ FT  a − c;  ÷÷, FT  −a − c;  ÷÷⇒ y0  a   y0  a     ur uu u ur b4 b (a − x ) FT.FT ' = −(a + c)(a − c) + 2 (a − x ) = −b + = −b + b = b y0 a a 2 (a − x ) a Gọi N điểm thuộc (E) cho OM vuông gãc víi ON Chøng minh r»ng 1 1 + = + MN tiếp xúc với đờng tròn cố định OM ON a b Gi¶i Gi¶ sư M(xM; yM), N(xN; yN) NÕu hai điểm M N trùng với bốn đỉnh (E) ta có điều phải chứng minh Gọi k hệ số góc đờng thẳng OM th× ta cã:  x y2 k2  a 2b  M + M = x k 2x 2  M M 2 ⇒ + = ⇔ xM  + ÷= ⇔ x M = = b a k a 2k + b2 a b a b    y = kx +  M M a b2 a b ( k + 1) k 2a b 2 2 ⇒y =k x = 2 ⇒ OM = x M + y M = 2 a k + b2 a k + b2 M 2 M y N b A' F' O M F A x -b 87 Do OM ON đờng thẳng ON có hệ sè gãc lµ − ⇒ ta cã: k  x y2 N N xN  a + b2 = x  a 2k 2b2  1 N k2 ⇒ + = ⇔ x  + 2 ÷= ⇔ x = ⇒  N N a b2 a kb  a + k 2b  y = − x N N   k a b ( k + 1) a 2b2 2 ⇒ y = xN = ⇒ ON = x N + y N = k a + k 2b2 a + k 2b2 N ( a + b2 ) ( k + 1) = + 1 b + k 2a a + k 2b + = + = VËy: OM ON a b ( k + 1) a b ( k + 1) a b2 a b ( k + 1) - Kẻ OH đờng cao tam giác vuông MON ta có: 1 1 ab = + = + ⇔ OH = ⇒ MN lu«n tiÕp xóc víi mét 2 OH OM ON a b a + b2 đờng tròn cố định tâm O, bán kính x + y2 = ab a + b2 , phơng trình đờng tròn là: a 2b2 a + b2 Chøng minh r»ng nÕu ®êng th¼ng Ax + By + C = (A2 + B2 ≠ 0) lµ mét tiÕp tun cđa elip đờng thẳng Ax + By - C = tiếp tuyến elip Giải Ta có ®êng th¼ng Ax + By + C = (A2 + B2 ≠ 0) lµ tiÕp tun cđa elip vµ chØ a2A2 + b2B2 = C2 (1) XÐt ®êng th¼ng Ax + By - C = ta thấy hệ số A, B, -C thoả mÃn (1) Vậy đờng thẳng tiếp tuyến elip u u r Vì véc tơ pháp tuyến đờng thẳng thứ n = (A;B) véc tơ pháp tuyến đờng thẳng thứ hai nên hai đờng thẳng song song với 88 Xác định hình chữ nhật PQRS ngoại tiếp elip cho hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất, lín nhÊt y P Gi¶i b Q A' F' S O A F x -b R Giả sử cạnh PQ có phơng trình là: Ax + By + C = (A + B2 ≠ 0) ⇒ ta cã a2A2 + b2B2 = C2 (1), ®ã RS song song với PQ có phơng trình là: Ax + By - C = (theo câu 7) Khoảng cách hai cạnh gấp đôi khoảng cách từ O tới c¹nh PQ ⇒ ta cã d1 = C A +B 2 Cạnh PS vuông góc với cạnh PQ có phơng trình là: Bx - Ay + D = (A2 + B2 ≠ 0) vµ ta cịng cã a2B2 + b2A2 = D2 (2), c¹nh QR song song với PS nên có phơng trình là: Bx - Ay - D = Khoảng cách hai cạnh PS vµ NP lµ d = D A + B2 Vậy ta có diện tích hình chữ nhËt PQRS lµ: SPQRS = CD A + B2 Ta lấy độ dài véc tơ pháp tuyến đờng thẳng PQ: Ax + By + C = b»ng 2 1, tøc lµ cã thĨ chän A2 + B2 = ⇒ ta cã: SPQRS = 16C D Thay c¸c gi¸ trị C2, D2 từ (1) (2) ta đợc: 89 S2 = 16 ( a A + b 2B2 ) ( a B2 + b A ) thay B2 = - A2, c2 = a2 - b2 ta đợc: PQRS S2 = 16 ( a A + b (1 − A) ) ( a (1 − A) + b A ) ⇔ PQRS S2 = 16 ( a A + b − b 2A ) ( a −a A + b A ) ⇔ PQRS S2 = 16 ( A (a −b ) + b ) ( a −A (a −b ) ) = 16 ( A 2c + b ) ( a −A 2c ) ⇔ PQRS S2 = 16 ( a b + c A (1 − A ) ) PQRS ( Ta cã: SPQRS ) = 16a b A = A = Khi B = B = C = b hc C = ± a VËy: ( SPQRS ) = 4ab PQRS hình chữ nhật có cạnh song song với hệ trục toạ độ, phơng trình cạnh x = a, y = b  A2 + − A2  Theo bất đẳng thức Côsi ta có: A (1 − A ) ≤  ÷ = ⇒ A (1   1 1 A = Khi B2 = vµ C = (a + b ) 2 A2) lín nhÊt b»ng (S VËy: (S ) PQRS m ax Ta cã: ) PQRS m ax  2 c4  = 16  a b + ÷ = 16a b + 4(a − b ) = 4(a + b ) 4  2 2(a + b ) vµ B = ± = 2(a + b ) A = ;B= 2 2 Hình chữ nhật PQRS trở thành hình vuông có cạnh song song với đờng phân giác góc tạo trục 0x, 0y, phơng trình cạnh là: x + y + a + b2 = ; x + y − a + b2 = x − y + a + b2 = ; x − y − a + b2 = 90 Tìm quỹ tích điểm I cho từ I kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (E) mà hai tiếp tuyến vuông góc với Gi¶i y I b A' F' O F A x -b Giả sử từ I kẻ đợc hai tiếp tuyến IK IL vuông góc với nhau, ta có phơng trình đờng thẳng IK: Ax + By + C = víi (A2 + B2 ≠ 0) vµ IL: Bx - Ay + D = A 2a + B2 b = C2  Do IK IL tiếp tuyến elip nªn ta cã:  2 (*) 2 B a + A b = D  Do I = IK IL toạ độ điểm I nghiệm hệ phơng trình sau: Ax + By + C = C = −Ax − By ⇔ thay vµo (*) ta cã:  Bx − Ay + D = D = −Bx + Ay 2 2 2 A 2a + B2 b2 = ( Ax + By )  2   A a + B b = A x + B y + 2ABxy ⇔ 2 ⇒  2 2 2 2 2 B a + A b = B x + A y − 2ABxy  B a + A b = ( Bx − Ay )  ⇒ a2(A2 + B2) + b2(A2 + B2) = x2(A2 + B2) + y2(A2 + B2) ⇔ x2 + y2 = a2 + b2 Vậy quỹ tích điểm I đờng tròn tâm b¸n kÝnh R = a + b 2.2.3.4 HƯ thèng bµi tËp hyperbol 91 x y2 Trên mặt phẳng toạ độ 0xy cho (H): = a b Đờng thẳng (D): Ax + By + C = (A2 + B2 0) tiếp xúc với (H) điểm T Gọi M, N giao điểm (D) với ®êng tiƯm cËn cđa (H) Chøng minh r»ng T trung điểm MN 2 x y0 Gi¶i Gi¶ sư T(x0; y0) ⇒ − = a b (D) y M T F' O F x N b  y = x (1)  xx yy a TiÕp tuyÕn (∆) t¹i T cã d¹ng 02 − 02 = Hai tiƯm cËn cđa (H):  a b  y = − b x (2)  a  M = (∆) ∩ (1) ⇒ täa độ M nghiệm hệ phơng trình: a 2b  x x y0 y  x = bx − ay  a − b2 =  a 2b  b 2a   0 ⇔  ⇒ M ;  ÷  bx − ay0 bx − ay0  y = b x y = b a   a  bx − ay  N = (∆) (2) tọa độ N nghiệm hệ phơng trình: a 2b x x y0 y  x = bx + ay  a − b2 =  a 2b − b 2a    0 ⇔  ⇒ N ;  ÷ b bx + ay bx + ay0  − b2a  y = − x y =   a  bx + ay  92   1 2a b x 2a b x + = 2 = 2x Ta cã: x M + x N = a b  ÷= 2 bx − ay0 bx + ay  b x − a y a b    1 2a b y0 2a b y yM + y N = b a  − = 2 = 2y ÷= 2 2 ab  bx − ay0 bx + ay  b x − a y VËy T trung điểm MN Chứng minh tam giác OMN có diện tích không đổi Giải y (D) M F' Ta cã: SOMN T F O x N 1 a b + b 4a a b + b 4a = OM.ON.sin ∠MON = sin ∠MON 2 (bx − ay ) (bx + ay ) (a b + b4a ).sin ∠MON a 4b + b 4a = = sin ∠MON = 2 (bx − ay0 )(bx + ay ) b 2x − a y0 a b + b 4a = sin ∠MON = ( a + b ) sin ∠MON (không đổi) 2 ab Chứng minh tích khoảng cách từ mộty điểm (H) đến đờng tiệm cận số không đổi Giải H F' O F x 93 Ta có phơng trình đờng tiệm cận y = b x ⇔ bx − ay = 0(∆1 ) vµ a b y = − x ⇔ bx + ay = 0( ∆ ) Gi¶ sư H(xH; yH) điểm thuộc hyperbol a ta cã: d(H; ∆1 ) = bx − ay a + b2 ; d(H; ∆ ) = bx + ay a + b2 ⇒ 2 b x − a y0 bx − ay0 bx + ay a 2b2 (không đổi) d(H; ).d(H; ) = = = 2 2 a + b2 a + b2 a +b a +b Chứng minh chân đờng vuông góc hạ từ tiêu điểm tới đờng tiệm cận nằm đờng chuẩn ứng với tiêu điểm Giải Ta cần chứng minh FI OI, với I giao điểm hai đờng thẳng a2 a2 b ab x = ∩ y = x ⇒I  ; 2 c a a + b2  a +b  ÷  y I F' O F x 94 ur  a u ab  ; Ta cã: OI  ÷ a + b2   a +b u  a2 u r ab FI  − c; 2 a + b2  a +b   b2 ab  = ; ÷ ÷ 2 a + b2    a +b ur ur −a b u u a 2b2 ⇒ OI.FI = + = ⇒ OI ⊥ FI a + b2 a + b Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ 0xy cho từ điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (H) hai tiếp tuyến vuông góc với Giải Giả sử (D1): Ax + By + C = vµ (D2): Bx - Ay + D = víi A2 + B2 ≠ hai đờng thẳng vuông góc với tiÕp xóc víi (H) ⇒ ta cã:  A 2a − B2 b = C  (1)  2 2 B a − A b = D  y J x F ' Gäi J = (D1) ∩ (D2) ⇒ ta cã täaF độ điểm JOlà nghiệm hệ phơng trình: ( Ax + By ) = C  Ax + By + C =  ⇔ (2)   Bx − Ay + D = ( Bx − Ay ) = D  Tõ (1) vµ (2) ta cã: 2 2 2 ( Ax + By ) = A 2a − B2b  2   A x + B y + 2ABxy = A a − B b ⇔ 2 ⇔  2 2 2 2 2  B x + A y − 2ABxy = B a − A b  ( Bx − Ay ) = B a − A b  ⇔ (A2 + B2)(x2 + y2) = (A2 + B2)(a2 - b2) ⇔ x2 + y2 = a2 - b2 95 - NÕu a > b tập hợp J đờng tròn tâm O bán kÝnh R = a − b - Nếu a = b tập hợp J ®iĨm O - NÕu a < b ⇒ tËp hỵp J tập rỗng K điểm (H) (d1) (d2) hai đờng thẳng qua K tơng ứng song song với hai đờng tiƯm cËn cđa (H) Chøng minh r»ng diƯn tÝch S hình bình hành đợc giới hạn (D1), (D2) hai đờng tiệm cận số không đổi Gi¶i y M K F' O F x N Ta có K trung điểm MN, mà đờng thẳng (d1) (d2) qua K song song với tiệm cận hai đờng trung bình tam giác OMN nên diện tích hình bình hành SOETF = SOMN không đổi 2.2.3.5 Hệ thống tập parabol Trên mặt phẳng toạ độ 0xy cho (P): y2 = 2px (∆) lµ tiÕp tun cđa (P) M (M O) () cắt 0y I, () cắt 0x J, H hình chiếu M lên 0y, K hình chiếu M lên 0x, Chứng minh I trung điểm OH, O trung điểm JK () FI Giải 96 Giả sử M(x0; y0) phơng trình tiếp tuyến () M là: y0y = p(x0 + x) ⇒  px  y0  y  ⇒ I  0, ÷ H(0; y0), I  0; ữ, K(x0; 0), J(-x0; 0) Mặt khác x = 2p  2  y0  VËy: - I trung điểm OH y - O trung ®iĨm cđa JK H I J O M K F x (∆) Ta x0 = cã: p  F  ; ÷, 2  u r u u r y   y  u  p y  ur u u I  0; ÷⇒ FI  − ; ÷, u ∆ = MI  − x ; − ÷   2  2  mµ 2 u u y y  u r u uu u u r r y0 ⇒ MI  − ; − ÷ ⇒ FI.MI = y − y = ⇒ FI ⊥ MI ⇒ ∆ ⊥ FI 2p 2 4  2p Tìm quỹ tích trung điểm S IJ Giải Ta cã: x + xJ x y  xS = I =− =−  ( Ax + By ) = A a − B b  y0 = −4px s 2 4p   ⇔ ⇔ ⇔  px y y0 = 4yS Bx − Ay ) = B2a − A b  (  yS = =   2y0  2 2 1 2 ⇔ 16yS = −4px S ⇔ yS = − px S tập hợp S (P): y = px 4 Giả sử đờng thẳng (D) qua tiêu điểm F cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tơng ứng xA, xB Chứng minh rằng: AB = xA + xB + p Giải Cách 97 ... THPT (ban nâng cao) tài liệu tham khảo liên quan để xây dựng hệ thống tập sử dụng vào việc dạy học ba đờng cônic 3.3 Xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic phù hợp với phơng pháp dạy học 3.4... đợc phát triển 1.4 Kết luận chơng Chơng Xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic nhằm phát huy tính tích cực học sinh THPT dạy học Toán 2.1 Đặc điểm xây dựng chơng trình sách giáo khoa Hình học. .. Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc xây dựng sử dụng hệ thống tập ba đờng cônic nhằm phát huy tính tích cực học sinh THPT dạy học Toán nh đà đề xuất đóng góp Luận văn