Ứng dụng của cấu trúc nhóm trong một số bài toán đại số và số học

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH H CễNG TIN NG DNG CA CU TRC NHểM TRONG MT S BI TON I S V S HC Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN 2012 1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH H CễNG TIN NG DNG CA CU TRC NHểM TRONG MT S BI TON I S V S HC CHUYấN NGNH: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc PGS.TS. Nguyn Thnh Quang NGHệ AN - 2012 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA CẤU TRÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP 4 1.1 . Một số kiến thức cơ sở về Lý thuyết nhóm 4 1.2 . Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một số bài toán tổ hợp 8 1.3 . Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một số bài toán tô màu 11 CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 15 2.1 . Ứng dụng của các nhóm hữu hạn trong một số bài toán giải phương trình hàm 15 2.2. Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong bài toán xây dựng các phép biến đổi phân tuyến tính 18 2.3. Cấu trúc đồng cấu nhóm trong phương trình hàm 21 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 3 MỞ ĐẦU Trong khoảng một thế kỷ, rất nhiều nhà toán học đã gặp khó khăn khi nghiên cứu các bài toán trong Đại số trước khi Lý thuyết nhóm ra đời. Bắt đầu là JosephLouis Lagrange sử dụng nhóm hoán vị để tìm nghiệm đa thức (1771). Sau đó trong các bài báo, nghiên cứu về phương trình đại số của Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) và Evariste Galois (1830), những thuật ngữ trong lý thuyết nhóm đã xuất hiện. Lý thuyết nhóm cũng được hình thành từ Hình học vào khoảng giữa thế kỉ 19 và từ Lý thuyết số. Vào khoảng cuối thế kỉ 19, Lí thuyết nhóm được hình thành như một nhóm độc lập của Đại số (những người có công trong lĩnh vực này phải kể đến là Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu .). Nhiều khái niệm đại số được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của một ngành quan trọng trong Toán học. Hiện nay Lí thuyết nhóm là một phần phát triển nhất trong Đại số và có nhiều ứng dụng trong Tôpô học, Lý thuyết hàm, Mật mã học, Cơ học lượng tử và nhiều ngành khoa học cơ bản khác. Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại. Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong nhiều hướng khác nhau của Toán học, Vật lí . Đặc biệt, một số kỹ thuật trong Lí thuyết nhóm đã được sử dụng để mang lại những kết quả đẹp đẽ và sâu sắc của Toán học. Chẳng hạn, tính giải được bằng căn thức của các phương trình đại số đa thức đã được giải quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của Lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình 1 với Lí thuyết trường. Việc sử dụng cấu trúc nhóm để giải toán cũng đã xuất hiện trong các đề thi Olimpic Toán học quốc tế (IMO). Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của Lí thuyết nhóm vào lĩnh vực Tổ hợp, Đại số sơ cấp và Số học. Công cụ chủ yếu của Lí thuyết nhóm được vận dụng ở đây là Định lí Lagrange; Bổ đề Burnside về quỹ đạo của tác động nhóm lên một tập, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn, nhóm đối xứng, nhóm ma trận, p- nhóm . Luận văn này được trình bày trong 2 chương. Chương 1 gồm những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, lớp ghép, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp, p-nhóm. Vì các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, nên luận văn sẽ không tập trung trình bày chi tiết các lời giải này mà chủ yếu phân tích sự xuất hiện các cấu trúc nhóm. Trong tiết 1.1, luận văn chứng minh lại những công thức số học cổ điển Lucas bằng phương pháp sử dụng công cụ các lớp ghép và Bổ đề Burnside trong Lí thuyết nhóm. Ngoài ra, chương 1 điểm lại một vài ứng dụng của nhóm phép thế để giải một số bài toán tổ hợp và bài toán tô màu. Chương 2 là những ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong các bài toán giải phương trình hàm. Tiết 2.1 chỉ rõ ứng dụng của các nhóm hữu hạn theo chủ đề vừa nêu. Tiết 2.2. xây dựng các phép biến đổi phân tuyến tính bằng cách sử dụng công cụ nhóm. Tiết 2.3 gồm những ví dụ minh họa về việc cấu trúc đồng cấu nhóm xuất hiện trong đề ra và lời giải các phương trình hàm trong các đề thi Olimpic Toán quốc tế (IMO) và của một số nước khác. Rõ ràng là, nếu chúng ta biết sử dụng các tính chất của nhóm thì lời giải bài toán trở nên sinh động hơn rất nhiều. 2 Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang, người thầy giáo đã đặt vấn đề nghiên cứu và tận tình chỉ dẫn, để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong bộ môn Đại số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học thuộc trường Đại học Vinh đã động viên cổ vũ, có những góp ý quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập, nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học tại Trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn còn có nhiều thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. TÁC GIẢ 3 CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA CẤU CHÚC NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Cấu trúc nhóm xuất hiện tự nhiên trong các bài toán sơ cấp. Ví dụ đơn giản nhất là các nhóm ¢ , ¤ , ¡ , £ với phép toán cộng. Ví dụ ít hiển nhiên hơn là các nhóm hữu hạn (nói chung không aben) xuất hiện trong Lý thuyết số, Lý thuyết tổ hợp và Đại số. Chúng tôi sẽ điểm lại một vài ứng dụng của lý thuyết nhóm để giải một số bài toán tổ hợp. Do các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, chúng tôi sẽ không tập trung trình bày các lời giải này mà chủ yếu phân tích sự xuất hiện các cấu trúc nhóm như thế nào. .1. Một số kiến thứ c cơ sở về Lý thuyết nhóm 1.1.1. Định nghĩa. Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử thì ta nói G là một nhóm hữu hạn. Cấp của G là số phần tử của nhóm đó và ký hiệu là |G|. Với mỗi g ∈ G có một số nguyên dương n sao cho 1 n g = . Khi đó, số nguyên dương n nhỏ nhất như vậy được gọi là cấp của g và ký hiệu là ord(g). 1.1.2. p-nhóm. Cho p là một số nguyên tố. Một p - nhóm là một nhóm hữu hạn với các phần tử có cấp là một lũy thừa của p. 1.1.3. Mệnh đề. Nhóm aben G là p-nhóm khi và chỉ khi G có cấp là một lũy thừa của p. Chứng minh. Thật vậy, giả sử nhóm G có cấp là một lũy thừa của số nguyên tố p và a ∈ G. Xét nhóm xyclic H sinh bởi a. Rõ ràng or ( )H d a= . Do đó, theo Định lý Lagrange, ord(a) là ước của cấp của G, hay G là một p –nhóm. Ngược lại, giả sử G là một p-nhóm aben và H là một nhóm con lớn nhất của G mà có cấp là một lũy thừa của p. Ta sẽ chứng minh H = G. Giả sử có một phần tử a ∈ G - H. Khi đó ord(a) = p n với n > 0 nào đó. Xét tập { } ' ;H ab b H= ∈ . Dễ 4 thấy H' là hợp rời của các tập hợp 2 1 , , , ., n p H aH a H a H − và H’ là một nhóm aben. Nói riêng, H' là một nhóm con của G với cấp là ' n H H p H= > . Điều này mâu thuẫn với cách chọn H là nhóm con lớn nhất của G. Vậy G = H và G có cấp là một lũy thừa của p. ▄ Xét nhóm đối xứng S n và tập { } 1,2, .,X n= . Với mỗi σ ∈ S n , i ∈ X, ta được ( )i X σ ∈ . Tương ứng này rõ ràng thỏa mãn ( σ 1 o 1 2 1 2 ( )( ) ( ( ))i i σ σ σ σ =o 2 ). Khi đó, ta nói rằng có một tác động của nhóm S n lên tập X. Tổng quát hơn, ta có định nghĩa. 1.1.4. Định nghĩa. Cho G là một nhóm hữu hạn và X là một tập hữu hạn. Một tác động của G lên X là một ánh xạ G x X → X (g,a)  g(a) thỏa mãn: Với g,h ∈ G, a ∈ X, (gh)(a) = g(h(a)) và e(a) ≡ a. Với mỗi a ∈ X, tập con { } or ( ) ( ) ;b a g a X g G= ∈ ∈ được gọi là quỹ đạo của a. Phần tử a ∈ X gọi là cố định dưới tác động của nhóm G nếu và chỉ nếu { } { } or ( ) ( ) ; .b a g a X g G a= ∈ ∈ = Nhận xét. Tập X được phân hoạch thành hợp rời các quỹ đạo. Ví dụ. Xét tác động của nhóm đối xứng S n lên tập X = { } n, ,1 . Với hai ph ần tử bất kỳ i, j = 1, ., n, luôn có một phép thế, ký hiệu là (i,j) và gọi là phép chuyển vị, tráo đổi vị trí của i,j và cố định các vị trí khác. Do đó, tác động này chỉ có một quỹ đạo là cả tập X. Với một tập con Y ⊂ X, tập { } ( ) ; ( )Stab Y g G g Y Y= ∈ ⊆ 5 là một nhóm con của G và được gọi là nhóm con ổn định của Y. Ta có một song ánh { } . ( ); or ( )g Stab a g G b a∈ → cho bởi ( )gh g aa . Từ Định lý Lagrange cho ta 1.1.5. Mệnh đề. Với mỗi a ∈ X, quỹ đạo or ( )b a có số phần tử bằng ( ) G Stab a . Nói riêng, orb(a) là ước của |G|. Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm. Xét một tác động của G lên một tập hữu hạn X . Theo Mệnh đề 1.1.5, những quỹ đạo có nhiều hơn một phần tử có số phần tử là lũy thừa của p. Những quỹ đạo còn lại ứng với các điểm cố định của X. Ký hiệu X G là tập các điểm cố định, ta có mệnh đề sau 1.1.6. Mệnh đề. (mod ) G X X p≡ . Một ứng dụng thú vị của mệnh đề trên là định lý số học sau đây. 1.1.7. Đinh lý (Lucas). Cho các số nguyên m, n ≥ 0 và số nguyên tố p. Ta có 0 (mod ), k i i i m m p n n =     =  ÷  ÷     ∏ trong đó m i , n i là các chữ số trong biểu diễn cơ số p của m, n, nghĩa là 1 1 1 0 1 1 1 0 , , k k k k k k k k m m p m p m p m n n p n p n p n − − − − = + + + + = + + + + L L với 1 1 0 , , ., ; 0 , , ., . o k o k m m m p n n n p≤ < ≤ < Chứng minh. Xét một tập M gồm m phần tử. Chia M thành các tập con rời nhau: m i tập con có p i phần tử, i = 0,1, ., m. Trên mỗi tập con, có một tác động tự nhiên của nhóm xyclic ¢ /p i ¢ . Do đó nhóm 0 ( / ) i k m i i G p = = ∏ ¢ ¢ tác động tự nhiên theo từng thành phần lên tập M. Ở đây ( / ) / / i m i i i p p p= × ×¢ ¢ ¢ ¢ L ¢ ¢ là tích m i lần / i p¢ ¢ . 6 Gọi X là tập tất cả các tập con của M có n phần tử. Như vậy |X| =         n m . Dễ thấy G tác động cảm sinh lên tập X. Một tập con N thuộc X là bất biến dưới tác động của G khi và chỉ khi nó là hợp của các tập con có i p phần tử trong cách chia ở trên. Với mỗi i p , có i n tập con của N như vậy. Do đó, số tập con của N ⊆ M có n phần tử và bất biến dưới tác động của G là 0 k i i i m n =    ÷   ∏ . Khẳng định của Định lý Lucas được suy từ Mệnh đề 1.1.6. ▄ Công cụ nhóm tỏ ra có hiệu quả trong việc chứng minh tính trù mật trong tập hợp các số thực ¡ . Ta bắt đầu công việc nay bởi mệnh đề sau: 1.1.8. Mệnh đề. Nếu A là một nhóm con không tầm thường của nhóm cộng các số thực ¡ thì A hoặc là nhóm xyclic hoặc trù mật trong ¡ . Chứng minh. Đặt { } inf ; 0a A a ε = ∈ > . Số ε như vậy là tồn tạ i, vì tro ng A có số thự c dương. Ta xét ba trường hợp sau : ● Trường hợp 0 ε = : Khi đó tồ n tại mộ t dãy số thực dươ ng { } n n a A ∈ ⊂ ¥ giả m dần về 0. Xét một khoả ng bất kỳ ( ) ,a b ⊆ ¡ , không mất tính tổng quát giả sử 0 < a < b. Khi đó, luôn có mộ t phầ n tử a n trong dãy trên sao cho 0 < a n < b - a. Đặt n b N a   = ∈     ¢ . Kh i đó, ta có a < Na n < b. Vì A là một nhóm nên Na n ∈ A, do đó (a,b) ∩ A φ ≠ là trù mật trong ¡ . ● Trường hợp 0, A ε ε < ∉ : Tương tự như tr ên, có một dãy số thực dương { } n n a A ∈ ⊂ ¥ giả m dần xuống ε . Vì 0 ε < nên với chỉ số n đủ lớn 0 < a n + 1 - a n < ε . Điều này mâu thuẫn v ới cách chọn ε vì a n+ 1 - a n ∈ A (A là một nh óm). Do đó trườ ng hợp này không xảy ra. 7 . . Một số kiến thức cơ sở về Lý thuyết nhóm 4 1.2 . Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một số bài toán tổ hợp 8 1.3 . Ứng dụng của Lý thuyết nhóm trong một. một số bài toán tô màu 11 CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NHÓM TRONG CÁC BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 15 2.1 . Ứng dụng của các nhóm hữu hạn trong một số