Luận văn: ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP ppt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================ Nguyễn Tuyết Nga ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5 1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10 2 Một số ứng dụng vào số học 15 2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19 2.3 Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20 3 Ưng dụng vào tổ hợp 26 3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Ưng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Lời cảm ơn Sau hơn nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ của tôi với đề tài nghiên cứu Ưng dụng của lý thuyết nhóm trong một số bài toán sơ cấp đ đợc hoàn thành. Những kết qủa ban đầu mà tôi thu đợc đó là nhờ sự hớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của cô giáo PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn. Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Cô. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Khoa Toán-Tin của Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đ tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này trong thời gian qua. Đội ngũ cán bộ thuộc phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đ hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp cao học Khóa I chúng tôi với một thái độ nhiệt tình, thân thiện nhất. Điều này sẽ mi là ấn tợng rất tốt đẹp trong lòng mỗi chúng tôi đối với nhà Trờng. Tôi cũng rất tự hào rằng trong quá trình học tập đ đợc Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí những nhà toán học hàng đầu Việt nam về lĩnh vực Phơng pháp toán sơ cấp giảng dạy cho chúng tôi nh GS Hà Huy Khoái, GS Nguyễn Minh Hà, GS Phan Huy Khải Và cũng là lời cảm ơn chân thành của tôi tới bạn bè, những ngời thân đ luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt qúa trình nghiên cứu. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 Lời nói đầu Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại. Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong nhiều hớng khác nhau của toán học, vật lí Đặc biệt, một số kĩ thuật trong lí thuyết nhóm đ đợc sử dụng để mang lại những kết quả đẹp của toán sơ cấp. Chẳng hạn, tính giải đợc của các đa thức đ đợc giải quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trờng và đa thức. Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyết nhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học và Tổ hợp. Công cụ chủ yếu của lí thuyết nhóm đợc vận dụng ở đây là Định lý Lagrange Cấp và chỉ số của một nhóm con của một nhóm hữu hạn là ớc của cấp của toàn nhóm và Định lý Burnside Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữu hạn X thì số quỹ đạo của tác động là 1 (G : e) gG f(g), trong đó f(g) là số phần tử của X cố định qua tác động của g. Luận văn đợc trình bày trong 3 chơng. Chơng 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 chơng sau, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ của Chơng I đợc tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum]. Chơng 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết 2.1 và 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đ biết của lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2), S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4 nhng cũng có những tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi bằng hiểu biết của mình (xem 2.1.1, 2.1.2). Tiết 2.3, đợc trình bày theo bài báo công bố năm 2005 của T. Evans và B. Holt [EH], chứng minh lại những công thức số học cổ điển bằng phơng pháp sử dụng công thức các lớp và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm. Chơng cuối của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm vào một số bài toán tổ hợp. Thực chất, khi có lí thuyết nhóm soi vào, các bài toán tổ hợp này đ bớt phức tạp hơn, cách giải quyết nó cũng không còn là những mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn của Toán tổ hợp nữa, mà nó trở thành rõ ràng, hệ thống và dễ hiểu. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm Mục đích của chơng này là nhắc lại một số kiến thức về nhóm, định lí Lagrange, tác động của nhóm lên tập hợp, công thức các lớp và Định lí Burnside. Kiến thức này là cần thiết cho những ứng dụng giải một số bài toán sơ cấp đợc trình bày trong Chơng II và Chơng III. Các kiến thức và thuật ngữ ở đây đợc tham khảo trong các cuốn sách về lí thuyết nhóm [Ash], [Rot] và [Hum]. 1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con 1.1.1. Định nghĩa. Nhóm là một tập G cùng với một phép toán thoả mn các điều kiện (i) Phép toán có tính kết hợp: a(bc) = (ab)c, a, b, c G. (ii) G có đơn vị: e G sao cho ex = xe = x, x G. (iii) Mọi phần tử của G đều khả nghịch: Với mỗi x G, tồn tại x 1 G sao cho xx 1 = x 1 x = e. Một nhóm G đợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu phép toán là giao hoán. Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G đợc gọi là cấp của G. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn. Một số ví dụ về nhóm. 5 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 6 - Tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỷ, tập R các số thực, tập C các số phức với phép cộng thông thờng đều là nhóm giao hoán cấp vô hạn. - Tập S(X) các song ánh từ một tập X đến chính nó với phép hợp thành các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng của X. Nếu X có n phần tử thì S(X) có cấp n! và nhóm này không giao hoán khi n 3. - Với mỗi số tự nhiên m 1, tập Z m các lớp thặng d theo môđun m với phép cộng các lớp thặng d là một nhóm giao hoán cấp m. Tập Z m các lớp thặng d theo môđun m nguyên tố cùng nhau với m với phép nhân các lớp thặng d là một nhóm giao hoán cấp (m), trong đó là hàm Euler. Một số tính chất cơ sở: Cho G là một nhóm với đơn vị e. Khi đó - Phần tử đơn vị của G là duy nhất. - Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử của G là duy nhất. - Mọi phần tử của G đều chính quy, tức là thỏa mn luật giản ớc. 1.1.2. Định nghĩa. Tập con H của một nhóm G đợc gọi là nhóm con của G nếu e H và a 1 H, ab H với mọi a, b H. 1.1.3. Định nghĩa. Một nhóm G đợc gọi là xyclic nếu tồn tại a G sao cho mỗi phần tử của G đều là một luỹ thừa của a. Trong trờng hợp này G đợc gọi là nhóm xyclic sinh bởi a và viết G =< a > . Chú ý rằng nhóm con của nhóm xyclic là xyclic. Cho G là một nhóm và a G. Đặt < a >= {a n | n Z}. Khi đó < a > là nhóm con của G, đợc gọi là nhóm con xyclic sinh bởi a. Cấp của nhóm con < a > đợc gọi là cấp của phần tử a. Dễ thấy rằng a có cấp vô hạn nếu và chỉ nếu a n = 0 kéo theo n = 0 với mọi S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 7 n Z. Hơn nữa, a có cấp n nếu và chỉ nếu n là số nguyên dơng bé nhất sao cho a n = e. 1.1.4. Định nghĩa. Cho A là tập con của một nhóm G. Khi đó tồn tại những nhóm con của G chứa A, chẳng hạn G. Giao của tất cả các nhóm con của G chứa A là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A. Nhóm con này đợc gọi là nhóm con sinh bởi tập A và kí hiệu là < A > . Rõ ràng nhóm con sinh bởi tập rỗng là {e}. Nếu A = thì < A >= {a 1 a 2 . . . a n | n N, a 1 , . . . , a n A A 1 }, trong đó A 1 = {x 1 | x A}. 1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm 1.2.1. Định nghĩa. Cho H là một nhóm con của một nhóm G. Ta định nghĩa quan hệ trên G nh sau: a b nếu và chỉ nếu ab 1 H với mọi a, b G. Dễ kiểm tra đợc là một quan hệ tơng đơng tren G. Với mỗi a G, gọi a là lớp tơng đơng của a. Ta có a = {ha | h H} = Ha. Mỗi lớp tơng đơng Ha đợc gọi là một lớp ghép trái của H trong G. Tập thơng của G theo quan hệ tơng đơng đợc kí hiệu bởi G/H. Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kí hiệu là (G : H), là số các lớp ghép trái của H. 1.2.2. Định lý. (Định lí Lagrange). Trong một nhóm hữu hạn, cấp và chỉ số của một nhóm con là ớc của cấp của toàn nhóm. Sau đây là một số hệ quả trực tiếp của Định lí Lagrange. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 8 - Cho G là nhóm cấp n và a G. Khi đó cấp của a là ớc của n. Hơn nữa, a n = e. - Mỗi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xylic sinh bởi một phần tử tùy ý khác đơn vị. - Mọi nhóm cấp 5 đều giao hoán. 1.2.3. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Một nhóm con H của G đợc gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu Ha = aH với mọi a G. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G. Kí hiệu G/H là tập các lớp ghép trái của H trong G. Khi đó quy tắc nhân HaHb = Hab với mọi Ha, Hb G/H là một phép toán trên G/H, và cùng với phép toán này, G/H làm thành một nhóm. Nhóm G/H xác định nh trên đợc gọi là nhóm thơng của G theo nhóm con chuẩn tắc H. 1.2.4. Định nghĩa. Cho G và H là các nhóm. Anh xạ f : G H đợc gọi là đồng cấu nhóm nếu f(xy) = f (x)f(y) với mọi x, y G. Một đồng cấu nhóm đợc gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Hai nhóm G và H đợc gọi là đẳng cấu với nhau, viết là G = H, nếu có một đẳng cấu giữa G và H. Một số tính chất: - Hợp thành của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm. - Nếu f : G H là đồng cấu nhóm thì f(x 1 ) = (f(x)) 1 và f(e) = e với mọi x G. - Nếu f : G H là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của G và B là nhóm con của H thì f(A) là nhóm con của H và f 1 (B) là nhóm con của G. Hơn nữa, nếu B là nhóm con chuẩn tắc thì f 1 (B) là nhóm con chuẩn tắc. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... nhiều những ứng dụng khác của Lí thuyết nhóm trong việc chứng minh lại những kết quả cổ điển của lí thuyết số (không đợc trình b y trong bản luận văn với khuôn khổ nhỏ bé n y) Ngời ta cũng dùng những kiến thức về Lí thuyết nhóm để đa ra những kết quả mới về số học Chẳng hạn, trong cuốn sách về lí thuyết nhóm của D Surowski [Sur], ông đ trình b y những kết quả đẹp của lí thuyết số (thể hiện trong 2 mệnh... cấu nhóm Khi đó tập Ker f = {x G | f (x) = e} l một nhóm con chuẩn tắc của G v đợc gọi l hạt nhân của f Tập Im f = f (G) l một nhóm con của H v đợc gọi l ảnh của f 1.2.6 Định lý (Định lí đồng cấu nhóm) Cho f : G H l đồng cấu nhóm Khi đó G/ Ker f Im f = 1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp 1.3.1 Định nghĩa Cho S l một tập hợp v G l một nhóm với e l đơn vị của G Một tác động trái của G lên S l một. .. lí Lagrange Trong tiết n y, chúng ta sử dụng Định lí Lagrange phát biểu ở Chơng I để chứng minh một số kết quả trong số học 2.2.1 Mệnh đề (Định lí Fermat bé) Cho p l một số nguyên tố v a l một số nguyên Khi đó ap a (mod p) Chứng minh Xét nhóm nhân Z các lớp thặng d theo môđun p nguyên p tố cùng nhau với p Nhóm n y có cấp p 1 Nếu a l bội của p thì ap cũng l bội của p v do đó ap a (mod p) Trờng hợp... dụng v o tổ hợp 3.1 Nhóm đối xứng Giả sử X có n phần tử Khi đó nhóm đối xứng của X đợc kí hiệu bởi Sn Chú ý rằng cấp của Sn l n!, v mỗi phần tử của Sn có thể đồng nhất với một song ánh từ tập {1, 2, , n} đến chính nó Ta biểu diễn phần 1 2 n tử s Sn dới dạng s = , trong đó s(i) = ai với mọi a1 a2 an i = 1, , n Sau đây l một số tính chất cơ sở của nhóm đối xứng Sn 3.1.1 Bổ đề Nhóm đối xứng... m số học sao cho g(n) = f (d) thì d|n f (n) = à(n/d) g(d) d/n Định lí sau đây l một kết quả cổ điển của lí thuyết số, đợc viết trong cuốn sách History of the Theory Numbers năm 1919 của L E Dickson Trong luận văn n y, chúng ta đa ra một chứng minh khác bằng phơng pháp sử dụng tác động nhóm lên tập hợp v Công thức các lớp 2.3.1 Định lý Với mọi số nguyên dơng n v k ta có à(n/d) k d 0 (mod n) d|n Chứng... Trong nhóm Z , áp dụng Định lí Lagrange p p ta có ap1 = 1, tức l ap1 1 (mod p) Suy ra ap a (mod p) 2.2.2 Mệnh đề (Định lí Euler) Cho m > 1 l một số tự nhiên v a l một số nguyên nguyên tố cùng nhau với m Kí hiệu l h m Euler Khi đó a(m) 1 (mod m) Chứng minh Xét nhóm nhân Z các lớp thặng d theo môđun m nguyên m tố cùng nhau với m Nhóm n y có cấp (m) Vì gcd(a, m) = 1 nên a Z Trong nhóm Z , áp dụng. .. bình qua tác gG động của các phần tử của G Theo định lí trên, số quỹ đạo của tác động chính l số điểm cố định trung bình Chứng minh Chúng ta dùng một kĩ thuật chuẩn tắc của tổ hợp gọi l kĩ thuật tính toán theo 2 cách để chứng minh Gọi T l tập các cặp sắp thứ tự (g, x) sao cho g G, x X v gx = x Với mỗi x X, số các phần tử g G sao cho (g, x) T chính l cấp của nhóm con đẳng hớng Gx của x Vì thế ta có... Định lí 1.4.4, tổng xGxi Card(Gxi ) số hạng, mỗi số hạng đều bằng xGxi với mọi i = 1, , t Suy ra xX (Gx : e) bao gồm (G : e) 1 Vì thế Card(Gxi ) (Gx : e) =1 (G : e) (Gx : e) = t (G : e) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chơng 2 Một số ứng dụng v o số học 2.1 Một số ứng dụng đơn giản Nhận xét mở đầu Giả sử p l số nguyên tố Khi đó Z = {1, , p 1} p l một nhóm. .. D12 , áp dụng Mệnh đề 3.2.5, ta tính đợc số cách tô m u cố định qua tác động của g Từ đó, áp dụng công thức trong Định lí 1.4.5, ta tính đợc số quỹ đạo phân biệt l : 1 6 (k + 3k4 + 4k 3 + 2k 2 + 2k) 12 Đây cũng chính l số cách tô mầu phân biệt 3.3 Một số ví dụ minh họa 3.3.1 Ví dụ Giả thiết rằng 2 cách tô m u các đỉnh của một hình vuông l tơng đơng nếu cách tô mầu n y l tác động của một hoán vị trong. .. l ớc của d|n Định lí sau đây l một kết quả cổ điển hơn của lí thuyết số, đợc viết trong b i báo của P A MacMahon Applications of the theory of S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 23 permutations in circular procession to the theory of numbers, đăng trên tạp chí Proc London Math Soc., năm 1891 Trong luận văn n y, chúng ta đa ra một chứng minh khác bằng việc sử dụng . thức của lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trờng và đa thức. Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyết nhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học. pháp sử dụng công thức các lớp và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm. Chơng cuối của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm vào một số bài toán tổ hợp. Thực chất, khi có lí thuyết nhóm. Công cụ chủ yếu của lí thuyết nhóm đợc vận dụng ở đây là Định lý Lagrange Cấp và chỉ số của một nhóm con của một nhóm hữu hạn là ớc của cấp của toàn nhóm và Định lý Burnside Nếu nhóm hữu hạn G