Ứng dụng của nguyên lý dirichlet trong một số bài toán tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ VÂN ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 2011 1 MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp là một ngành toán học rời rạc nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp hữu hạn. Các cấu hình đó bao gồm: liệt kê, tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị các phần tử của một tập hợp hữu hạn. Có các bài toán tổ hợp cơ bản: Giải tích tổ hợp; Đại số tổ hợp; Hình học tổ hợp; Tô màu; Trò chơi; Đồ thị. Nguyên lí Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Riêng đối với các bài toán tổ hợp, dưới nhiều hình thức rất đa dạng và phong phú, nhờ ứng dụng nguyên lí này mà nhiều bài toán khó của lĩnh vực này được giải quyết trọn vẹn. Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học người Đức, Peter Gustav Dirichlet (1805-1059) đề xuất, tuy đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán. Nội dung của nguyên lý này được phát biểu như sau: Có n phần tử được xếp hết vào m tập hợp. Khi đó, tồn tại (có ít nhất một) tập hợp chứa không ít hơn [n/m] phần tử. Để dễ nhớ nguyên tắc trên còn được phát biểu như sau: Có n con thỏ được nhốt hết vào m cái lồng. Khi đó, nếu số thỏ nhiều hơn số lồng thì tồn tại một lồng chứa ít nhất hai con thỏ. Nguyên lý này còn được phát biểu dưới nhiều dạng: Tập hợp, Đại số, Hình học, Số học… Có nhiều bài toán thường chỉ cần chứng minh sự tồn tại của sự vật hay hiện tượng, mà không cần chỉ ra tường minh sự vật, hiện tượng đó. Do đó, nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản, nhưng nó là một công cụ hết sức hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Dùng nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định. Với những lý do như đã trình bày ở trên, luận văn này nhằm tìm tòi các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong các bài toán tổ hợp. Trong toàn bộ luận văn chúng tôi đã sưu tầm được 32 bài toán tương đối khó được dùng 2 trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế của nhiều nước trên thế giới, nhằm góp phần bổ sung thêm tư liệu giảng dạy và học tập phân môn toán tổ hợp cho giáo viên và học sinh phổ thông, sinh viên ngành toán ở các trường sư phạm. Nội dung của luận văn gồm hai chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo: Chương 1. Tìm hiểu nguyên lí Dirichlet trong Số học 1.1. Các dạng phát biểu của nguyên lí Dirichlet 1.2. Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong một số bài toán số học Chương 2. Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong giải các bài toán tổ hợp 2.1. Một số bài toán rời rạc và đại số tổ hợp 2.2. Một số bài toán hình học tổ hợp 2.3. Bài toán tô màu Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình nghiên túc của PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn đã giúp đỡ cho tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán học và Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn học viên. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG SỐ HỌC 1.1. Các dạng phát biểu của nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet mang tên nhà toán học người Đức: Peter Gustav Dirichlet (1851-1931), được phát biểu hết sức đơn giản: - Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n cái lồng (n là số nguyên dương) thì tồn tại lồng chứa ít nhất hai con thỏ. - Nếu nhốt n(m-1)+1 vào n lồng (m,n là số nguyên dương) thì tồn tại lồng chứa ít nhất m con thỏ. Hoặc một số dạng phát biểu khác thường hay sử dụng: - Nếu nhốt m con thỏ vào n cái lồng (m,n là số nguyên dương) thì tồn tại lồng chứa không ít hơn m/n con thỏ - Nếu lấy m số nguyên 1 2 , , ., m a a a chia cho n (n là số nguyên dương) thì tồn tại không ít hơn m/n số trong các số 1 2 , , ., m a a a có cùng số dư. Nguyên lí Dirichlet thực chất là một định lí về tập hợp hữu hạn. Ta có thể phát biểu chính xác nguyên lí này dưới dạng sau đây: Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B. Với cùng cách diễn đạt như vậy thì nguyên lí Dirichlet mở rộng có dạng sau: Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và s(A), s(B) tương ứng kí hiệu là số lượng các phần tử của A, B. Nếu với một quy tắc nào đó cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B thì tồn tại không ít hơn ( ) ( ) s A s B phần tử của A tương ứng với cùng một phần tử của B. 4 Nguyên lí Dirichlet còn được áp dụng cho độ dài các đoạn thẳng, diện tích các hình phẳng, thể tích các vật thể và được sử dụng nhiều trong bài toán hình học tổ hợp. - Nguyên lí Dirichlet cho thể tích được phát biểu như sau: Cho 1 2 , , , ., n A A A A là các vật thể sao cho i A A⊆ với 1,i n∀ = và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , ., n v A v A v A v A lần lượt là thể tích các vật thể 1 2 , , , ., n A A A A sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . n v A v A v A v A< + + + . Khi đó tồn tại ít nhất hai vật thể trong n vật thể 1 2 , , ., n A A A có điểm trong chung (điểm P được gọi là điểm trong của vật thể A nếu tồn tại mặt cầu tâm P nằm trọn trong A). - Nguyên lí Dirichlet cho diện tích: Cho 1 2 , , , ., n A A A A là các hình phẳng sao cho i A A⊆ với 1,i n∀ = và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , ., n s A s A s A s A lần lượt là diện tích các hình phẳng 1 2 , , , ., n A A A A sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . n s A s A s A s A< + + + . Khi đó tồn tại ít nhất hai hình phẳng trong n hình phẳng 1 2 , , ., n A A A có điểm trong chung (điểm P được gọi là điểm trong của hình phẳng A nếu tồn tại hình tròn tâm P nằm trọn trong A). - Nguyên lí Dirichlet cho đoạn thẳng: Cho 1 2 , , , ., n ∆ ∆ ∆ ∆ là các đoạn thẳng sao cho đoạn thẳng i ∆ nằm trong đoạn thẳng ∆ với 1,i n∀ = và tổng độ dài các đoạn thẳng 1 2 , , ., n ∆ ∆ ∆ lớn hơn độ dài đoạn thẳng ∆ . Khi đó tồn tại ít nhất hai đoạn thẳng trong số n đoạn thẳng 1 2 , , ., n ∆ ∆ ∆ có điểm trong chung. Nguyên lí Dirichlet còn được phát biểu cho trường hợp vô hạn như sau: Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo thì tồn tại ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn quả táo. Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết tập điểm trù mật trên đường thẳng. Nó 5 có một vai trò quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toán học rời rạc nói chung (trong đó có cả hình học rời rạc). 6 1.2. Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong giải toán số học Trước khi trình bày các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán tổ hợp, chúng ta nêu một vài ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong một số bài toán số học. Bài toán 1. Cho 3 số , , 2a a k a k+ + đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng khi đó k chia hết cho 6. Lời giải. Do , , 2a a k a k+ + đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng là số lẻ và không chia hết cho 3. Do a và a k+ cùng lẻ nên k=(a+k)-a chia hết cho 2. (1) Do , , 2a a k a k+ + đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 thì sẽ có ít nhất hai số có cùng số dư (theo nguyên lí Dirichlet). Chỉ có các khả sau: a) Nếu ( ) mod3a k a+ ≡ thì ( ) ( ) 0 mod3a k a+ − ≡ , suy ra 3kM . b) Nếu ( ) 2 mod3a k a k+ ≡ + thì ( ) ( ) ( ) 2 0 mod3a k a k+ − + ≡ , suy ra 3kM . c) Nếu ( ) 2 mod3a k a+ ≡ thì ( ) ( ) 2 0 mod3a k a+ − ≡ , suy ra 2 3kM . Do ( ) 2,3 1= nên 3kM . Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều thấy 3kM . (2) Lại do ( ) 2,3 1= , nên từ (1) và (2) suy ra 6kM . ■ Bài toán 2. Cho 10 số nguyên dương 1 2 10 , , .,u u u . Chứng minh rằng tồn tại các số { } 1,0,1 , 1,2, .,10 i c i∈ − = không đồng thời bằng không sao cho số 10 1 i i i c u = ∑ chia hết cho 1023. Lời giải. Xét tất cả các số có dạng 10 1 j i i i A bu = = ∑ , trong đó { } 0,1 i b ∈ , 1,2, .,10i = ; 1,2, .,1024j = . 7 Rõ ràng có tất cả 10 2 1024= số ( 1,2, .,1024) j A j = như vậy. Khi chia 1024 số j A này cho 1023 thì theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai số ( ) , k h A A k h≠ sao cho ( ) mod1023 k h A A≡ . Giả sử k A và h A có dạng sau: 10 1 k ki i i A b u = = ∑ , với { } 0,1 ki b ∈ 10 1 h hi i i A b u = = ∑ , với { } 0,1 hi b ∈ . Ta có: 1023 k h A A− M ⇔ ( ) 10 1 1023 ki hi i i b b u = − ∑ M . Đặt , 1,10 i ki hi c b b i= − = . Vì { } 0,1 ki b ∈ và { } 0,1 hi b ∈ nên { } 1,0,1 i c ∈ − . Mặt khác do k h A A≠ nên i c không thể đồng thời bằng không, 1,10i∀ = . Như thế ta đã chứng minh được sự tồn tại của các số { } 1,0,1 , 1,2, .,10 i c i∈ − = không đồng thời bằng không sao cho số 10 1 i i i c u = ∑ chia hết cho 1023. ■ Bài toán 3. Cho a và m là hai số nguyên dương tùy ý. Chứng minh rằng các số dư của phép chia 2 3 , , , .a a a cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu). Lời giải. Xét 1m + lũy thừa đầu tiên: 2 3 1 , , , ., , m m a a a a a + . Khi chia số nguyên dương bất kì cho m thì các số dư phải thuộc tập hợp { } 0,1,2, ., 1m − . Vì thế theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại hai trong 1m + số trên khi chia cho m có cùng số dư. Giả sử hai số đó là k a và k l a + ( 0l > ), ta có: ( ) mod k k l a a m + ≡ . (1) Xét một số tự nhiên n bất kì sao cho n k≥ . Từ (1) ta có: ( ) . . mod k n k k l n k a a a a m − + − ≡ , hay với mọi số tự nhiên n k≥ ta luôn có: ( ) mod n n l a a m + ≡ . (2). 8 Đẳng thức (2) chứng tỏ bắt đầu từ vị trí k a các số dư lặp lại tuần hoàn.■ Bài toán 4. Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt luôn luôn chọn được 6 số, gọi là 1 2 3 4 5 6 , , , , ,a a a a a a sao cho: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1800a a a a a a− − + M . Lời giải. Vì 3 số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5 do đó trong 12 số nguyên tố phân biệt đã cho luôn có ít nhất 9 số lớn hơn 5. Vì là số nguyên tố lớn hơn 5 nên: ● 9 số trên khi chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2. Theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ít nhất 5 số đồng dư với nhau theo mod3 . Năm số này lại không chia hết cho 5 vì thế trong 5 số này lại có ít nhất hai số mà ta có thể giả sử là 1 2 ,a a sao cho ( ) 1 2 mod5a a≡ . Ngoài ra dĩ nhiên ta có ( ) 1 2 mod3a a≡ . Từ đó 1 2 15a a− M . Mặt khác 1 a và 2 a cùng lẻ nên 1 2 2a a− M . Do ( ) 2,15 1= nên suy ra 1 2 30a a− M . ● Xét 7 số còn lại: Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 4 số đồng dư với nhau theo mod3 . Đem 4 số này chia cho 5. Có 2 khả năng xảy ra: + Nếu có hai số ( ta sẽ gọi là 3 4 ,a a ) mà ( ) 3 4 mod5a a≡ . Từ đó suy ra 3 4 5a a− M . Rõ ràng 3 4 3a a− M và 3 4 2a a− M , hơn nữa ( ) 5,3,2 1= nên 3 4 30a a− M . Lấy 5 6 ,a a bất kì (ngoài 1 2 3 4 , , ,a a a a đã chọn) thì do 5 6 ,a a lẻ (vì là số nguyên tố) nên 5 6 2a a+ M . Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1800a a a a a a− − + M (do 1800=30.30.2) + Nếu 4 số này khi chia cho 5 có số dư khác nhau là { } 1,2,3,4 và giả sử ( ) 5 1 mod5a ≡ , ( ) 6 4 mod5a ≡ thì ta có ( ) 5 6 5 mod5a a+ ≡ , suy ra 5 6 5a a+ M . Với hai số còn lại 3 4 ,a a thì rõ ràng 3 4 3a a− M (theo cách chọn 4 số như trên). 9 Do 5 6 ,a a , 3 4 ,a a lẻ nên 5 6 2a a+ M và 3 4 2a a− M . Từ đó suy ra 5 6 10a a+ M và 3 4 6a a− M . Vậy ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1800a a a a a a− − + M (do 1800=30.10.6). Tóm lại luôn tồn tại các số 1 2 3 4 5 6 , , , , ,a a a a a a sao cho ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1800a a a a a a− − + M . ■ Bài toán 5. Một hội toán học bao gồm thành viên 6 nước. Danh sách các hội viên gồm 1978 người được đánh số báo danh từ 1 đến 1978. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hội viên có số báo danh gấp đôi số báo danh gấp đôi số báo danh của một hội viên khác cùng nước hoặc bằng tổng hai số báo danh của hai hội viên khác cùng một nước với mình. Lời giải. Để ý rằng 329.6 < 1978, vì thế theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất một nước (mà ta sẽ gọi là nước A) có không ít hơn 330 đại biểu trong hội. Gọi số báo danh của các hội viên của nước A là: 1 2 330 , , ., , .a a a (giả sử 1 2 330 . .a a a< < < < ). Xét hiệu 330 x a a i i = − với 1,2, .,329i = . Có hai khả năng xảy ra: 1) Nếu tồn tại một số i x trùng với j a (số báo danh của một đại biểu nước A). Khi đó ta có: 330 i j a a a− = suy ra 330 a a a i j = + . Như vậy kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này. 2) Nếu i j x a≠ với mọi ,i j thì ta có: Rõ ràng khi ấy các số i x sẽ là số báo danh của một đại biểu thuộc năm nước còn lại (chú ý ở đây 1,2, .,329i = ). Để ý rằng 65.5 < 329, vì thế theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất một trong năm nước còn lại (ta gọi là nước B) có không ít hơn 66 thành viên, mà số báo danh của họ là một trong các số 1 2 329 , , ,x x x . Giả sử số báo danh của 10